2.6.1函数的单调性(课件)高二数学(北师大版2019选择性必修第二册)

则在这个区间内，函数y=f(x)单调递增；
(2)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)<0,
则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减. 导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
注意 若在某个区间内,f'(x)≥0且只在有限个点为0， 则在这个区间内，函数y = f(x)单调递增;
若在某个区间内，f'(x)≤0,且只在有限个点为0, 则在这个区间内，函数y=f(x)单调递减.
f(x)是减函数.
5.如果函数y=f(x)的图象如
图1，那么导函数
y = f / (x)
的图象可能是（ A）
评注：利用函数的图像求导函数的图像，应注 意函数的单调性与导函数的正、负的关系.
6.若 f(x) = - 1 x2 + bln(x + 2)在(-1, +)
2
上是减函数，则b的取值范围是（C）
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难
画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
①求定义域
②求 f '( x)
③令f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
注
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
意 ④作出结论
1.导数求单调区间首先要确定函数的定义域
(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与0比较)
(5)结论
本章学后，此方法基本上就被淘汰
导数的几何意义:
导数 f (x) lim f (x x) f (x) 的几何意义是:
x0
x
函数 y f ( x) 的图象在
y
点 ( x, f ( x)) 处的切线的
斜率.(如图)
f ( x) 0
y
2
y sin x
o
3 x
如图,当x ( , 2 )时，sin x 0, x sin x 0, 即：y ' 0 该函数在( , 2 )上为增函数。
逆向问题——已知单调性求参数 已知函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:
（1）若f(x)在区间(a,b)上是增函数, 则转化为f´(x)≥0在(a,b)上恒成立;
本节课,我们就来探究函数的单调性与导数的关 系.
首先我们回忆一下函数的单调性的概念 和导数的几何意义.
二、复习引入:
函数 y = f (x) 在给定区间 G 上，当 x 1、x 2 ∈D 且 x 1＜ x 2 时
1）都有 f ( x 1 ) ＜ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在D 上是增函数； 2）都有 f ( x 1 ) ＞ f ( x 2 )， 则 f ( x ) 在D 上是减函数；
3
拓展提升：方程根的问题
求证：方程 x 1 sin x 0 只有一个根。
2
f ( x ) x - 1 sin x,x ( , ) 2
f '( x ) 1 1 cos x 0 2
f(x)在（ ， ）上是单调函数， 而当x 0时，（f x)=0 方程x 1 sin x 0有唯一的根x 0.
＊ 求函数的单调性： （1）定义法； （2）导数法。
（1）确定函数y=f(x)的定义域D； （2）求导数 f′ (x)； （3）解不等式f′ (x)>0，解集在定义域 内 D 的部分为增区间；
（4）解不等式f′ (x)<0，解集在定义域D 内的部分为减区间．
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递减
注意：应正确理解 “ 某个区间 ” 的含义,它 必须是定义域内的某个区间。
小结
＊ 用导数求函数的单调区间： （1）求 f (x)，并判断 f (x) 的符号；
（2）解不等式 f (x) 0 得 f (x) 的单调增区间； 解 f (x) 0 得 f (x) 的单调减区间。
思 考如 果 在 某 个 区 间 内 恒 有 fx0,那 么 函 数 yfx有 什 么 特 征 ?
提示 请同学们回顾一下函数单调性的定义,并思考某个区间上函数 y f x
的平均变化率的几何意义与其导数正负的关系.
例1 讨论函数f(x)=2x3一3x2 —36x+16的单调性.
解 f'(x)=6x2-6x-36 = 6(x+2)(x-3). 设 f'(x)＞0,则 6(x+2)(x-3)＞0,即 x＜-2 或 x＞3. 故当x∈(-∞,-2)或x∈(3,+∞)时,f'(x)＞0, 因此，在这两个区间内，函数f(x)均单调递增； 当x∈(-2,3)时,f'(x)＜0, 因此，在这个区间内，函数f(x)单调递减.
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴 yA
y f (x)
解： f ( x)的大致形状如右图： 这里，称A,B两点为“临界点”
B o 2 3x
练习：
设 f '(x)是函数 f ( x) 的导函数，y f '(x)的图象如
例3.讨论二次函数
解:
的单调区间.
由 是
,得
, 即函数
的递增区间
; 相应地, 函数的递减区间是
由 是
,得
, 即函数
的递增区间
; 相应地, 函数的递减区间是
例1：求参数的范围 若函数f(x) ax3 - x2 x - 5在(-,+)上单调递增， 求a的取值范围
解析：f (x) ax3 x2 x 5,则f (x) 3ax2 2x 1, 又f (x)在R上单调递增，则f (x) 0，即3ax2 2x 1 0， 结合图像，a只能大于0，且 4 12a 0,所以a 1
函数的单调性决定了函数图象的大致形状.因此，当确定了函数的 单调性后，再通过描出一些特殊的点，如(-2,60),(3,-65)等，就可以画 出函数的大致图象.图2-14即为函数f(x)=2x3一3x2 —36x+16的大致图 象.
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
总结: 当遇到三次或三次以上的,或图象很难 画出的函数求单调性问题时，应考虑导数法。
y y = x3 + 3x Ox
（ 1）
y
1
O1

x
（ 2）
例2 已知导函数
的下列信息:
当1 < x < 4 时,
当 x > 4 , 或 x < 1时,
当 x = 4 , 或 x = 1时,
试画出函数
的图象的大致形状.
解: 当1 < x < 4 时,
可知
在此区间内
单调递增;
当 x > 4 , 或 x < 1时,
A. [-1, +∞)
B. (1, )
C. (, 1]
D. (, 1)
解析:由条件，函数 f(x) = - 1 x2 + bln(x + 2)在(-1,+)
上是减函数，则
f
，(x)
0
2 .
7. 函数 f (x) 的导函数 f ′(x) 的图象如图所示，则下列判断中正确的是 A () A．函数 f (x) 在区间 (-3，0) 上是减函数 B．函数 f (x) 在区间 (1，3) 上是减函数 C．函数 f (x)在区间 (0，2) 上是减函数 D．函数 f (x) 在区间 (3，4) 上是增函数
区间为
4.已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0)，若 f(x)的单调减区间为(0,4)，则k=__1__.
4.讨论f (x)=x3-6x2+9x-3的单调性.
解:f ' (x)=3x2-12x+9
令3x2-12x+9>0, 解得x>3或x<1, 因此,当 x (3, ) 或 x (,1)时， f(x)是增函数. 令3x2-12x+9<0,解得1<x<3,因此,当 x (1,3时) ,
（2）若f(x)在区间(a,b)上是减函数, 则转化为f´(x)≤0在(a,b)上恒成立.
请注意：
有 “=”
然后检验参数的取值能否使f´(x)恒等于0.
例： f(x)=x3, f(x)=x-sinx
f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有
f ′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为0.
D=(a,b)
y
y
oa
bx
oa
bx
若 f(x) 在D上是增函数或减函数， 则 f(x) 在D上具有严格的单调性。
D 称为单调区间
用定义法证明函数的单调性的一般步骤： (1)任取x1、x2∈D，且x1< x2. (2)作差f(x1)－f(x2) (作商) (3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)
y
O
x
x (−∞，−1)
−1
(−1，2)
2
(2，+∞)
f ′(x)
+
0
−
0
+
f (x) 单调递增
单调递减
单调递增
所以， f (x) 在 (−∞，−1) 和 (2，+∞) 上都单调递增，在 (−1，2) 上单调递减.
小结
在某个区间(a, b)内,
f '( x) 0 f ( x)在(a, b)内单调递增
右图所示,则 y f (x) 的图象最有可能的是( C )
y
y f (x)
y
y f (x)
y
y f '(x)
o 1 2x o 1 2x
o
2x
(A)
(B)
y y f (x)
y y f (x)
2
o1
x o 12
x
(C)
(D)
总结：
1°什么情况下，用“导数法” 求函数单调性、 单调区间较简便？
2°试总结用“导数法” 求单调区间的步骤？
①求定义域
②求 f '( x)
③令 f '( x) 0解不等式 f ( x)的递增区间
f '( x) 0解不等式 f ( x)的递减区间
④作出结论
解：（1）因为 f (x) = x3 + 3x，所以 f ′(x) = 3x2 + 3 = 3(x2 + 1) > 0；所以函数 f (x) = x3 + 3x 在 R 上单调递 增，如图(1)所示；
2.6.1函数的单调性
温故知新
（1）.常函数：(C)/
（2）.幂函数 ： (xn)/
（3）.三角函数 ：
, (c为常数)；
（4）.对数函数的导数:
（5）.指数函数的导数:
导数的运算法则:
法则1: 法则2: 法则3:
定义法 判断函数单调性有哪些方法？
图象法 y x3 3x?
比如：判断函数 y x2 的单调性。
附近几乎没有升降
试画出函数 f ( x) 图象的大致形状。变化,切线平行x轴
yA
yA
y f (x)
y f (x)
B
B
o 2 3x
o 2 3x
变式：已知导函数的下列信息：
分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减 当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
间内单调递减;
可知
y
在此区
当 x = 4 , 或 x = 1时,
综上, 函数 图象 O 1
4
x
的大致形状如右图所示.
变式：已知导函数的下列信息： 分析：
当2 x 3时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递减
当x 3或x 2时，f '( x) 0; f ( x)在此区间递增
当x 3或x 2时，f '( x) 0. f ( x)图象在此两处
2
随堂练习
1.函数 y ax3 x 在R上是减函数，则（D）
A.a 1 3
C.a 0
B.a 1
D.a 0
2.设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如右图 所示，则导函数f ' (x)的图象可能是（D ）
(A)
(B)
(C)
(D)
3.已知函数 f x x2 2x 4, 则 f x 的单调
f ( x) 0
a
0b
cx
函数及图象 单调性
y
f ( x) x2 在(,0)上递减
切线斜率
k 的正负
k<0
导数的正负
-
k>0 o x 在(0,)上递增
+
y f (x)
y
递增 k>0 +
oa
bx
y
y f (x)
递减
k<0
-
oa b x
抽象概括：
导数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：
(1)若在某个区间内，函数y=f(x)的导数f'(x)>0,
2单调区间不能用“∪” 联系，而只能用“ ，”隔开
练习
函数y x cos x sin x在下面哪个区间内是增函数( B)
3
A. ( , )
B. ( , 2 )
3 5
C. ( , )
D. (2 , 3 )
22
22
解： y' x'cos x x(cos x)' (sin x)'
cos x xsin x cos x xsin x
y
如图：
y x2
函数在(, 0)上为_减___函数，
在(0, )上为_增___函数。 o
x
函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，研 究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数 的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数 的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的 了解.正是因科学家们对数量的变化规律进行了长期的 研究,导致了微积分的创立.