高考数学-坐标系与参数方程(含22年真题讲解)

高考数学-坐标系与参数方程 （含22年真题讲解）
1．【2022年全国甲卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{
x =
2+t 6
y =√t
（t 为参数），曲
线C 2的参数方程为{
x =−
2+s 6
y =−√s
（s 为参数）．
(1)写出C 1的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 3的极坐标方程为2cosθ−sinθ=0，求C 3与C 1交点的直角坐标，及C 3与C 2交点的直角坐标． 【答案】(1)y 2=6x −2(y ≥0)；
(2)C 3,C 1的交点坐标为(1
2
,1)，(1,2)，C 3,C 2的交点坐标为(−1
2
,−1)，(−1,−2)．
【解析】 【分析】
(1)消去t ，即可得到C 1的普通方程；
(2)将曲线C 2,C 3的方程化成普通方程，联立求解即解出． (1) 因为x =2+t 6
，y =√t ，所以x =
2+y 26
，即C 1的普通方程为y 2=6x −2(y ≥0)．
(2) 因为x =−
2+s 6,y =−√s ，所以6x =−2−y 2，即C 2的普通方程为y 2=−6x −2(y ≤0)，
由2cosθ−sinθ=0⇒2ρcosθ−ρsinθ=0，即C 3的普通方程为2x −y =0． 联立{y 2=6x −2(y ≥0)2x −y =0 ，解得：{x =1
2y =1 或{x =1y =2 ，即交点坐标为(12,1)，(1,2)；
联立{y 2=−6x −2(y ≤0)2x −y =0 ，解得：{x =−12y =−1 或{x =−1y =−2 ，即交点坐标为(−12,−1)，(−1,−2)． 2．【2022年全国乙卷】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =√3cos2t y =2sint ，（t 为参
数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为ρsin (θ+π
3)+m =0． (1)写出l 的直角坐标方程；
(2)若l 与C 有公共点，求m 的取值范围． 【答案】(1)√3x +y +2m =0 (2)−19
12≤m ≤5
2 【解析】 【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标的互化公式处理即可；
（2）联立l 与C 的方程，采用换元法处理，根据新设a 的取值范围求解m 的范围即可. (1)
因为l ：ρsin (θ+π
3)+m =0，所以1
2
ρ⋅sinθ+√3
2
ρ⋅cosθ+m =0，
又因为ρ⋅sinθ=y,ρ⋅cosθ=x ，所以化简为12y +√3
2x +m =0，
整理得l 的直角坐标方程：√3x +y +2m =0 (2)
联立l 与C 的方程，即将x =√3cos2t ，y =2sint 代入 √3x +y +2m =0中，可得3cos2t +2sint +2m =0， 所以3(1−2sin 2t)+2sint +2m =0， 化简为−6sin 2t +2sint +3+2m =0，
要使l 与C 有公共点，则2m =6sin 2t −2sint −3有解，
令sint =a ，则a ∈[−1,1]，令f(a)=6a 2−2a −3，(−1≤a ≤1)， 对称轴为a =1
6，开口向上，
所以f(a)max =f(−1)=6+2−3=5， f(a)min =f(1
6)=1
6−2
6−3=−19
6，
所以−
196
≤2m ≤5
m 的取值范围为−19
12≤m ≤5
2.
1．（2022·宁夏·吴忠中学三模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2
44x t y t ⎧=-⎨
=⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方
程为2cos ρθ=．
(1)求曲线1C 与2C 的直角坐标方程；
(2)已知直线l 的极坐标方程为πR 02θαρα⎛
⎫ ⎪=∈⎝
<<⎭，
，直线l 与曲线1C ，2C 分别交于M ，N （均异于点O ）两点，若
4OM
ON
=，求α． 【答案】(1)曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)π
4
α=
【解析】 【分析】
（1）1C 的参数方程消参可求出1C 的直角坐标方程；2C 的极坐标方程同乘ρ，把cos x ρθ=，
222x y ρ=+代入2C 的极坐标方程可求出2C 的直角坐标方程.
（2）设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，用极径的几何意义表示出4OM
ON
=，即124ρρ=，解方程即可求出α. (1)
解：1C 的参数方程为2
44x t y t ⎧=-⎨=⎩（t 为参数），把2216y t =代入24x t =-中可得，
24y x =-，所以曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，
2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，即22cos ρρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=，
综上所述：曲线1C 的直角坐标方程为24y x =-，曲线2C 的直角坐标方程为2220x y x +-=， (2)
由（1）知，1C 的极坐标方程为2sin 4cos ρθθ=-， 设M 、N 两点的极坐标分别为()1,ρα、()2,ρα，
则2
1sin 4cos ραα=-，22cos ρα=，由题意知02
π
α<<
可得sin 0α≠，
因为4OM
ON
=，所以124ρρ=，
所以
2
4cos 42cos sin ααα-=⨯，故21
sin 2α=，所以sin 2α=或sin 2α=（舍） 所以π
4
α=.
2．（2022·四川·宜宾市叙州区第一中学校模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1
C 的参数方程为1cos sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），曲线2C 的参数方程为22
21x t t y t ⎧=-⎨=-⎩
（t 为参数）.已知曲线2C 与x ，y 正半轴分别相交于,A B 两点.
(1)写出曲线1C 的极坐标方程，并求出,A B 两点的直角坐标；
(2)若过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 与曲线1C 交于P 点，与直线AB 交于Q 点，求线段
PQ 的长度.
【答案】(1)2cos ρθ=，A 点为()3,0，B 点为()0,3
(2)
2
【解析】 【分析】
（1）普通方程()2
211x y -+=，即可得2cos ρθ=
（2）求出直线AB 的方程为3y x =-+，然后求出直线l 的方程，然后可求出PQ 的长度 (1)
曲线1C 的普通方程()2
211x y -+=，
极坐标方程()()2
2
cos 1sin 1ρθρθ-+=，∴2cos ρθ=.
在曲线2C 上，当0x =时，0=t 或2t =，此时3y =或1y =-（舍），所以B 点为()0,3. 当0y =时，1t =-或1t =，此时3x =或1x =-（舍），所以A 点为()3,0. (2)
直线AB 的方程为3y x =-+，极坐标方程为sin cos 3ρθρθ=-+， ∴()sin cos 3ρθθ+=，
过原点O 且与直线AB 垂直的直线l 的极坐标方程为4
π
θ=
.
4
π
θ=与2cos ρθ=
联立，得1ρ 4
π
θ=
与()sin cos 3ρθθ+=
联立，得2ρ=
∴21PQ ρρ=-=
. 3．（2022·江西·南昌市八一中学三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为11x y ⎧
=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭.
(1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)设点Q
的直角坐标为(，P 为C 上的动点，求PQ 中点R 的轨迹的极坐标方程. 【答案】(1)直线l 的普通方程为2x y +=，曲线C 的普通方程为(
)(2
2
14x y ++=；
(2)21ρ= 【解析】 【分析】
（1）消去参数t ，即可得到直线l 的普通方程，再由两角和的正弦公式及222cos sin x y x y ρθ
ρθρ=⎧⎪
=⎨⎪=+⎩，将
曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；
（2）设(),R x y ，即可表示P 点坐标，再根据点P 在曲线C 上，代入C 的方程，即可得到点
R 的轨迹方程，再将直角坐标方程化为极坐标方程即可；
(1)
解：因为直线l
的参数方程为11x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为2x y +=，
因为曲线C 的极坐标方程为4sin 6πρθ⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭，即4sin cos cos sin 66ππρθθ⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭，
即2cos ρθθ=--
，所以2sin 2cos ρθρθ=--，
又222cos sin x y x y ρθρθρ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩
，所以222x y x +=--，即(
)(2
2
14x y +++=，
即曲线C 的普通方程为(
)(2
2
14x y ++=；
(2)
解：设(),R x y
，则(21,2P x y -，
因为点P 在曲线C 上，所以(
)(2
2
21124x y -++=，
即221x y +=，所以PQ 中点R 的轨迹方程为221x y +=，即21ρ=
4．（2022·黑龙江·哈尔滨三中模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数
方程为21x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为()2cos θsin θρ=+. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设点()2,1P ，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求PA PB
PB PA
+的值. 【答案】(1)10x y --=，22220x y x y +--= (2)4 【解析】 【分析】
（1）直接消去参数，将直线l 的方程化为普通方程，利用互化公式将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程
（2）将直线的参数方程代入曲线C
的普通方程，得到210t -=
，得到
12121t t t t +==- ，化简()2
22
12
121212
211212
2PA PB
t t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+==，代入韦达定理，即可得到答案 (1)
直线l
的参数方程为21x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）， 消去参数t 可得l 的普通方程为10x y --=.
曲线C 的极坐标方程为2(cos θsin θ)ρ=+，即22(cos θsin θ)ρρ=+，
根据222cos θsin θx y x y ρρρ=⎧⎪
=⎨⎪=+⎩，可得2222x y x y +=+.
∴曲线C 的直角坐标方程为22220x y x y +--= (2)
在直线l
的参数方程21x y ⎧
=⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩（t 为参数）中，设点A ，B 对应的参数分别为1t ，2t ， 将直线l
的参数方程22
1x y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数），代入22220x y x y +--=，
得210t +-=，
∴12t t +=121t t =-.
∴
()2
22
12
121212
211212
24PA PB
t t t t t t t t PB PA t t t t t t +-++=+=== 5．（2022·安徽淮南·二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y α
α=⎧⎨
=+⎩（其中α为参数，02πα≤<），以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线1l 的极坐标方程为(R)3
π
θρ=∈．
(1)求曲线C 的极坐标方程与直线1l 的直角坐标方程；
(2)设直线1l 与曲线C 交于点O ，A ，直线2l 与曲线C 交于点O ，B ，求AOB 面积的最大值． 【答案】(1)4sin ρθ=
，y
(2)【解析】
【分析】
（1）依据参数方程与普通方程的互化和极坐标方程与直角坐标方程的互化即可解决； （2）先求得AOB 面积的表达式，再对其求最大值即可. (1)
曲线C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=，展开得2240x y y +-=， 则曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． 直线1l
的直角坐标方程为y (2)
由（1
）可知π
||4sin
3
OA == 设直线2l 的极坐标方程为(R)θβρ=∈，
根据条件知要使AOB 面积取最大值，则π
π3
β<<，则||4sin OB β=，
于是1ππsin sin 233OAB S OA OB βββ⎛⎫⎛
⎫=⨯⨯⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2π6sin cos cos 2)3sin 226ββββββ⎛
⎫=-=--=+ ⎪⎝⎭，
所以当π3π262
β+
=即2π
3β=时，AOB
的面积取最大值，最大值为
6．（2022·内蒙古呼和浩特·二模（理））在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为
)
)cos sin cos sin 2x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪
⎨=-⎪⎩
（ϕ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，两坐标系取相同单位长度，直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 100ρθρθ+-=. (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程； (2)求曲线C 上的点到直线l 距离的最小值. 【答案】(1)2
214
x y +=，23100x y +-=；
【解析】 【分析】
（1）消去曲线C 的参数方程中的参数即可得解，利用极坐标与直角坐标互化得直线l 的直角坐标方程作答.
（2）设出曲线C 上任意一点的坐标，利用点到直线距离公式及辅助角公式求解作答. (1)
由
))cos sin cos sin x y ϕϕϕϕ⎧=+⎪⎨=
-⎪⎩（ϕ为参数），消去参数得2
214x y +=， 所以曲线C 的普通方程为2
214
x y +=，
把cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入直线l 的极坐标方程2cos 3sin 100ρθρθ+-=得：23100x y +-=，
所以直线l 的直角坐标方程为23100x y +-=. (2)
由（1）知，曲线C 的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩
（α为参数），
设()2cos ,sin P αα为曲线C 上一点，P 到直线l 的距离为d ，
则
105sin d αϕ-+==
=
ϕ由4
tan 3
ϕ=
确定，
因此，当()sin 1αϕ
+=时，d
所以曲线C 上的点到直线l 7．（2022·甘肃·武威第六中学模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为11x t t
y t t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=-
⎪⎩
（t 为参数），以坐标原点极点，以
x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐
sin cos 0θρθ-．
(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程： (2)若直线与曲线C 交于A ，B 两点，点P 的坐标为(0,1)，求11||||
PA PB +的值． 【答案】(1)224
x y -=
，0x
+= (2)
5
【解析】
【分析】
（1）消去参数t 可得曲线C 的方程，利用公式法转化得到直线l 的直角坐标方程； （2）利用直线l 的参数方程中t 的几何意义求解. (1)
∴11x t t
y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），∴2
2222
22
2112112x t t t t y t t t t ⎧⎛⎫=+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-=+- ⎪⎪⎝⎭⎩
，所以224x y -=， 所以曲线C 的方程为224x y -=
又∴cos x ρθ=，sin y ρθ=，
0x - 所以直线l
的直角坐标方程为0x =； (2)
∴()0,1P 在直线l 上，∴直线l
的参数方程为112x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
设A ，B 对应的参数分别为1t 与2t
将直线l 的参数方程代入到224x y -=得22100t t --=． ∴2Δ(2)41(10)440=--⨯⨯-=>， ∴122t t +=，12100t t ⋅=-<， ∴1||PA t =，2||PB t =
∴
121212
1111||||-+=+===
=
t t
PA PB t t t t
，
所以
11||||+=PA PB 8．（2022·全国·赣州市第三中学模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 满足参数方程2
241421t x t y t ⎧
=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
（t 为参数且11t -≤≤）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极
坐标系，点P 为曲线1C 上一动点，且极坐标为(),ρθ. (1)求曲线1C 的直角坐标方程； (2)求()cos 3sin ρθθ+的取值范围.
【答案】
(1)y =()22
04y x y +=≥
(2)⎡-⎣ 【解析】 【分析】
（1）消去参数t 可得普通方程，由11t -≤≤，得到0y ≥，即可求出曲线1C 的直角坐标方程； （2）先判断出2ρ=利用三角函数出()cos 3sin ρθθ+的范围. (1)
由2241421t x t y t ⎧
=⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩
消去t 可得：224x y +=. 由于11t -≤≤，则212t +≤，即0y ≥.
因此曲线1C
的直角坐标方程为y ()22
04y x y +=≥
(2)
曲线1C 为上半圆，点P 在1C 上，因此2ρ=，0,θπ⎡⎤∈⎣⎦ 由三角函数的性质知，在[]0,π
上，1cos 3sin θθ-≤+≤因此(
)cos 3sin 2,ρθθ⎡+∈-⎣
9．（2022·黑龙江·哈尔滨三中三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程
为22x y t ⎧=⎪⎨
=-⎪⎩
(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为22cos 4sin 10ρρθρθ---=. (1)求圆C 的直角坐标方程；
(2)设圆C 与直线l 交于点A 、B ，若点P 的坐标为()2,2，求
1
PA PB
-.
【答案】(1)()()22
126x y -+-=；
【解析】 【分析】
(1)将222x y ρ=+、cos x ρθ=、sin y ρθ=代入圆C 的极坐标方程即可求其直角坐标方程； (2)将直线l 的参数方程化为标准形式，代入圆C 的直角坐标方程得到关于参数t 的二次方程，根据韦达定理和直线参数方程参数的几何意义即可求出1
PA PB
-．
(1)
∴22cos 4sin 10ρρθρθ---=，∴222410x y x y +---=， 即()()2
2
126x y -+-=； (2)
直线l
参数方程的标准形式为2122x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩(t 为参数)， 代入圆C
直角坐标方程整理得250t -=， 设方程的两根为1t 、2t ，则A 、B 对应参数1t 、2t ，
则1212
50
t t t t ⋅=-<⎧⎪⎨+⎪⎩，
∴1PA PB
-1212
11t t t t ==+-
10．（2022·河南·模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为222x m y m
⎧=⎨
=⎩（m 为参数），直线l 的参数方程为12x tcos y tsin α
α
⎧
=+⎪⎨⎪=⎩，（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2cos ρθ=，直线l 与1C 交于点P ，Q ，与2C 交于点S ，T ，与x 轴交于点R .
(1)写出曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)若()4PR QR SR TR -=-，求直线l 的倾斜角. 【答案】(1)22y x =，()2
211x y -+= (2)
2π或4
π或34π
【解析】 【分析】
（1）消参求得曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=同乘ρ得到2C 的直角坐标方程. （2）l 过定点1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭
.将直线l 的参数方程代入2
1:2C y x =，整理得22sin 2cos 10t t αα--=，
利用参数的几何含义化简求解. (1)
曲线1C 的普通方程为22y x =.由2cos ρθ=得22cos ρρθ=.所以2C 的直角坐标方程为222x y x +=，即()2
211x y -+=.
(2)
不妨设0απ<<，则sin 0α>.易知1,02R ⎛⎫ ⎪⎝⎭
是l 过的定点.将直线l 的参数方程代入2
1:2C y x =，
整理得22sin 2cos 10t t αα--=，设P ，Q 对应的参数分别为P t ，Q t ，则
2
2cos sin P Q PR QR t t αα
-=+=.将直线l 的参数方程代入()2
22:11C x y -+=，得23
cos 04
t t α--
=， 设S ，T 对应的参数分别为S t ，T t ，则cos S T SR TR t t α-=+=.由()4PR QR SR TR -=-得
22cos 4cos sin ααα=，得cos 0α=
或sin α=l 的倾斜角为2π或4π或34π. 11．（2022·河南洛阳·三模（理））在直角坐标系xOy 中，直线1l
的参数方程为1
2x t
y kt
⎧=⎪
⎨=⎪⎩（t 为参数），直线2l
的参数方程为x m m y k ⎧=⎪
⎨=-⎪
⎩
（m 为参数）
，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，
P 的轨迹为曲线1C .
(1)求曲线1C 的普通方程；
(2)以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设曲线2C 的极坐标方程为
2cos ρθ=，射线OM ：()04
π
θρ=
≥与1C ，2C 分别交于A ，B 两点，求线段AB 的长.
【答案】(1)22
163
x y +=，()0y ≠
(2)2【解析】 【分析】
（1）消去参数得到直线1l 、2l 的普通方程，联立两方程消去k ，即可得到P 的轨迹； （2）首先将1C 的方程化为极坐标方程，再将()04
π
θρ=
≥代入两极坐标方程即可求出OA ，
OB ，即可得解；
(1)
解：因为直线1l
的参数方程为1
2x t
y kt
⎧⎪
⎨=⎪⎩（t 为参数）， 消去参数t 得直线1l
的普通方程为(1
2
y k x =
①， 直线2l
的参数方程为x m m y k ⎧=⎪
⎨=-
⎪⎩
（m 为参数）
， 消去参数m 得直线2l
的普通方程为(1
y x k
=-
②， 设(),P x y ，由①②
联立得(
(121y k x y x k ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，消去k 得()2
2162y x =--
即曲线1C 的普通方程为22
163
x y +=，()0y ≠；
(2)
解：设1OA ρ=，2OB ρ=，
由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得曲线1C 的极坐标方程为2261sin ρθ=+（02θπ<<，θπ≠），
代入()04
π
θρ=≥得12OA ρ==，
将()04
π
θρ=
≥代入2cos ρθ=
得2OB ρ==
所以2AB OA OB =-= 即线段AB
的长度为2
12．（2022·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos 3sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），将曲线1C 经过伸缩变换13x x
y y =⎧''⎪
⎨=⎪⎩
得到曲线2C .以坐标原
点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线2C 的极坐标方程；
(2)已知射线():0l θαρ=≥与曲线2C 交于A 、B 两点，若3OB OA =，求tan α的值. 【答案】(1)24cos 30ρρθ-+= (2)0 【解析】 【分析】
（1）求出曲线2C 的参数方程，化为普通方程，再利用极坐标方程与直角坐标方程之间的转换关系可得出曲线2C 的极坐标方程；
（2）设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根，由已知可得213ρρ=，
结合韦达定理可求得cos α的值，利用同角三角函数的基本关系可求得tan α的值. (1)
解：由题可得2C 的参数方程为2cos sin x y β
β=+⎧⎨=⎩（β为参数），
则2C 的直角方程为()2
221x y -+=，即22430x y x +-+=， 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以24cos 30ρρθ-+=，
所以曲线2C 的极坐标方程为24cos 30ρρθ-+=. (2)
解：设()1,A ρα、()2,B ρα，则1ρ、2ρ为方程24cos 30ρρα-+=的两根， 2Δ16cos 120α=->，
则124cos ρρα+=①，123ρρ=②， 因为3OB OA =，所以213ρρ=③，
由①②③解得cos 1α=，则sin 0α=，tan 0α∴=，此时16120∆=->，合乎题意. 故tan 0α=.
13．（2022·贵州遵义·三模（文））在极点为O 的极坐标系中，经过点π2,6M ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与极
轴所成角为α，且与极轴的交点为N ． (1)当π
2
α=
时，求l 的极坐标方程； (2)当ππ,43α⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，求MON △面积的取值范围．
【答案】
(1)cos ρθ=
(2)⋃⎣⎦⎣⎦
【解析】 【分析】
（1）先求得l 的直角坐标方程，再转化为极坐标方程.
（2）对直线l 的倾斜角进行分类讨论，结合三角形的面积公式求得MON △面积的取值范围. (1)
点π2,6M ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，则π2cos 6
π2sin 1
6x y ⎧
=⨯=⎪⎪⎨⎪=⨯=⎪⎩
，
所以M
点的直角坐标为)
，
当π
2
α=
时，直线l
的直角坐标方程为x =
转化为极坐标方程为cos ρθ=.
(2)
在极坐标系下：经过点π2,6M ⎛⎫
⎪⎝⎭
的直线l 与极轴所成角为α，
在直角坐标系下：经过点)
M
的直线l 的倾斜角为α或πα-.
即直线l 的倾斜角是α或πα-. 当直线l 的倾斜角为α时，
直线l 的方程为(1tan y x α-=，
令0y =得1
tan N x α
-=
ππ
,43α⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，tan α⎡∈⎣，
111
,1,,tan tan tan N x ααα⎤⎡∈-∈-=-⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎦
，
所以1π111
sin 2262tan 2
MON
S
OM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯-+⨯ ⎝
11
tan 2α⎛=-⨯∈ ⎝⎣⎦
.
当直线l 的倾斜角为πα-时，
直线l 的方程为()((1tan πtan y x x αα-=-=-，
令0y =得1
tan N x α
=
11
,1tan tan N x αα⎤⎤∈=⎥⎥⎣⎦⎣⎦
，
所以1π111
sin 2262tan 2
MON
S
OM ON α⎛=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯ ⎝
11
tan 2α⎛=⨯∈ ⎝⎣⎦
.
综上所述，MON △面积的取值范围是⋃⎣⎦⎣⎦
. 14．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y -+=，曲线2C 的参数
方程是2cos x y θθ
=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），点2,2P π⎛⎫
⎪⎝⎭.
(1)求曲线1C 和2C 的极坐标方程； (2)设射线(0)3
π
θρ=
>分别与曲线1C 和2C 相交于A ，B 两点，求PAB △的面积.
【答案】(1)4cos ρθ=，22123sin ρθ
=+
(2)1 【解析】 【分析】
（1）由公式法求极坐标方程
（2）联立方程后分别求出A ，B 坐标，及P 到直线AB 距离后求面积 (1)
曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y x +-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线1C 的极坐标方程为：4cos ρθ=. 曲线2C 的普通方程是：22
143
x y +
=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入上式并化简， 得曲线2C 的极坐标方程为：2212
3sin ρθ
=+.
(2)
设12,,,33A B ππρρ⎛⎫⎛
⎫ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭，
则1||4cos
23
OA π
ρ===，
2222
1216
||53sin 3
OB ρπ
==
=
+
，所以||OB =，
所以||||||2AB OA OB =-=-
. 又(0,2)P
到直线:AB y =
的距离为：1d ==
所以12112PAB
S
⎛=
⨯⨯= ⎝⎭ 15．（2022·全国·模拟预测（文））在直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为x y θ
θ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ
为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程
为cos sin 4ρθθ=. (1)求C 和l 的直角坐标方程；
(2)若点M ，N 分别为曲线C 和直线l 上的动点，求MN 的最小值.
【答案】(1)22
163
x y +=
，40x -=
2- 【解析】 【分析】
（1）利用22cos sin 1θθ+=消去参数θ，可得曲线C 的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式可求出直线l 的直角坐标方程， （2）设曲线C
上任意一点)
M
θθ到直线l 的距离为d ，然后利用点到直线的
距离公式表示出d ，再根据三角函数的性质可求出其最小值 (1)
由曲线C
的参数方程为x y θθ
⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ
为参数）可知22
22
cos sin 1θθ+=+=，
故曲线C 的直角坐标方程为22
163
x y +=.由直线l
的极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，
结合cos x ρθ=，sin y ρθ=可知l
的直角坐标方程为40x -=. (2)
MN 的最小值即为曲线C 上任意一点到直线l 距离的最小值.
设曲线C
上任意一点)
M
θθ到直线l 的距离为d ，
则
2cos 24d πθ⎛
⎫=
=+≥ ⎪⎝⎭
，
故MN 2..。