期末模拟试题(二)- 2022-2023学年七年级上册数学同步培优题库(浙教版)(解析卷)

2022-2023学年七年级上期期末模拟试题（二）
注意事项：
本试卷满分120分，考试时间120分钟，试题共26题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2022·浙江·七年级专题练习）下列四个数中，最小的是（ ） A ．2 B ．0
C ．π
D ．﹣4
【答案】D
【分析】根据有理数大小的比较方法，即可判定． 【详解】解：
4<0<2<π，∴最小的是-4，故选：D ．
【点睛】本题考查了有理数大小的比较，熟练掌握和运用有理数大小的比较方法是解决本题的关键． 2．（2022·浙江·一模）2022年4月16日央视新闻网全程直播“神舟十三号”载人飞船返航，截止当天下午五时，全网共2728.9万人在线观看．数据2728.9万用科学记数法表示为（ ） A ．42728.910⨯ B ．42.728910⨯ C ．72.728910⨯ D ．72.728910-⨯
【答案】C
【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值≥10时，n 是正整数；当原数的绝对值＜1时，n 是负整数．
【详解】解：数据2728.9万用科学记数法表示为27289000=2.7289×107． 故选：C ．
【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，正确确定a 的值以及n 的值是解决问题的关键． 3．（2022·浙江·七年级期末）下列运算正确的是（ ）．
A 3±
B ．3(2)6-=-
C ．|3|3--=
D ．242-=-
4．（2022·浙江·慈溪七年级期中）下列运算中，正确的是（ ） A ．23m n mn += B ．22330m n nm -=
C ．235235n n n +=
D ．21m m -=
【答案】B
【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，字母和字母的指数不变逐项计算即得答案；【详解】解：A、2m与n不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
B、22
-=，故本选项符合题意；
330
m n nm
C、2
3n不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
2n与3
D、2m m m
-=，故本选项不符合题意；故选：B
【点睛】本题考查了合并同类项的知识，属于基础题型，熟练掌握合并同类项的法则是解题关键．5．（2022·浙江·七年级专题练习）如图，在数轴上，用①，②，③，④注明了四段的范围，若某段上有两个整数，则这段是（）
A．①B．②C．③D．④
【答案】C
【分析】根据数轴的意义及其表示数的性质，可确定四段中各包含的整数个数，即可确定正确答案．【详解】解：段①-0.5～0.7中有整数0；段②0.7～1.9中有整数1；
段③1.9～3.1中有整数2和3；段④3.1～4.3中有整数4；
∴有两个整数的是段③．故选：C．
【点睛】本题考查的是数轴表示数的意义，解答本题关键是能够确定数轴上从左到右所表示的数依次增大．
6．（2022·浙江·七年级单元测试）下列方程中，以x＝2为解的方程是（）
A．2（x+2）＝0 B．3（x﹣1）＝9 C．4x﹣1＝3x D．3x+1＝2x+3
【答案】D
【分析】根据一元一次方程的解的定义，即可求解．
【详解】解：A、当x＝2时，左边=2（2+2）＝8≠0，故本选项不符合题意；
B、当x＝2时，左边=3（2﹣1）＝3≠9，故本选项不符合题意；
C、当x＝2时，左边=4×2-1=7，右边=3×2=6，所以左边≠右边，故本选项不符合题意；
D、当x＝2时，左边=3×2+1=7，右边=2×2+3=7，所以左边=右边，故本选项符合题意；故选：D 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键．
∠与∠β7．（2022·浙江·七年级专题练习）将一副直角三角尺按如图所示的不同方式摆放，则图中α
不一定
．．．相等的是（）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】A 选项由图形即直角三角形的性质即可判断；B 选项由两角互余即可的判断；C 选项由对顶角相等即可判断；D 选项由同角的余角相等即可判断． 【详解】A 选项中，90,45αβα∠+∠=︒∠=︒， 45βα∴∠=∠=︒，故不符合题意；
B 选项中，90αβ∠+∠=︒，则α∠与∠β不一定相等，故符合题意；
C 选项中，,αβ∠∠是对顶角，αβ∴∠=∠，故不符合题意；
D 选项如图，
190,190αβ∠+∠=︒∠+∠=︒，
αβ∴∠=∠，故不符合题意；故选：B ．
【点睛】本题考查了对顶角相等，余角，同角的余角相等等知识点，熟练掌握这些知识是解题的关键． 8．（2022·浙江衢州·七年级期末）我国古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐3人，两车空出来；每车坐2人，多出9人无车坐．问人数和车数各多少？设车x 辆，根据题意，可列出的方程是（ ） A ．3x ﹣2＝2x ＋9
B ．3（x ﹣2）＝2x ＋9
C ．2932x x +=-
D ．3（x ﹣2）＝2（x ＋9）
【答案】B
【分析】理清题意，根据乘车人数不变，即可列出关于x 的一元一次方程． 【详解】解：设车x 辆，根据题意得：3（x ﹣2）＝2x ＋9．故选：B ．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．
9．（2023·浙江·七年级专题练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①），分两种不同形式不重叠的放在一个底面长为m ，宽为n 的长方形盒子底部（如图②、图③），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，设图②中阴影部分图形的周长为l 1，图③中两个阴影部分图形的周长和为l 2，若125
4
l l =，则m ，n 满足（ ）
A ．m ＝6
5
n
B ．m ＝7
5n
C ．m ＝3
2n
D ．m ＝9
5
n
【答案】C
【分析】可先求出两个图形中阴影部分的周长，观察到图②中的可得阴影部分的周长与长方形ABCD 的周长相等，再根据长方形周长计算可求出l 1，对于图③可设小卡片的宽为x ，长为y ，则有y +2x ＝m ，再将两阴影部分的周长相加，通过合并同类项即可求解l 2，因若125
4
l l =，即可求m 、n 的关系式．
【详解】解：图②中通过平移，可将阴影部分的周长转换为长为m ，宽为n 的长方形的周长，即图②中阴影部分的图形的周长l 1为2m +2n
图③中，设小长形卡片的宽为x ，长为y ，则y +2x ＝m
所求的两个长方形的周长之各为：2m +2（n ﹣y ）+2（n ﹣2x ）， 整理得，2m +4n ﹣2m ＝4n 即l 2为4n
∵1254l l =，∴2m +2n ＝54
×4n 整理得，m ＝32n 故选：C ．
【点睛】此题主要通过长方形周长计算公式来考查整式加减的运算，灵活运用长方形周长计算公式即可解题．
10．（2022·浙江·七年级期末）如图1所示，一块瓷砖表面有四条分割线，由分割线可构成一个正方形图案．图2由两块瓷砖铺成，分割线可构成3个正方形．图3由四块瓷砖铺成，分割线可构成9个正方形．若用十二块瓷砖铺成长方形，则由分割线可构成的正方形数不可能是（）
A ．35
B ．33
C ．28
D ．23
【答案】C
【分析】由题意可得：12块瓷砖拼成长方形，有1×12，2×6，3×4这三种情况，分类讨论即可． 【详解】解：当瓷砖拼成1×12的长方形时，一共有2×12-1=23个正方形； 当瓷砖拼成2×6的长方形时，一共有6×6-3=33个正方形；
当瓷砖拼成3×4的长方形时，一共有10×4-5=35个正方形． 故选：C ．
【点睛】本题考查图形拼接的分类讨论．解题的关键是穷举几种拼接的方式，并针对每种方式，从简单到一般找出正方形数量变化的规律．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）
11．（2022·浙江·绍兴七年级期中）有理数2(1)-，3(1)-，21-，，|1|-，(1)--，1
1
--中，等于1的个数有______个． 【答案】4
【分析】直接利用有理数的乘方以及绝对值的性质、相反数的性质分别化简得出答案． 【详解】解：（-1）2=1，（-1）3=-1，-12=-1，|-1|=1，-（-1）=1，-1
-1
=1， 则等于1的个数有4个． 故答案为：4．
【点睛】此题主要考查了有理数的乘方以及绝对值的性质、相反数的性质，正确化简各数是解题关键． 12．（2022·浙江·七年级期末）如图是北京和巴黎的时差，则当巴黎时间为8：30时，北京时间为 _____．
【答案】15：30
【分析】根据巴黎与北京的时差为7小时，即可解答．
【详解】解：∵8：30+7：00=15：30，
∴当巴黎时间为8：30时，北京时间为15：30，故答案为：15：30．
【点睛】本题考查了有理数的加法以及正数和负数的应用，关键是理解题意，根据题意列出算式．13．（2022·浙江·七年级期末）如图，吊桥与铅垂方向所成的角∠a=30°30'，若要把吊桥放平，则需要将吊桥沿着顺时针方向旋转的角度大小是____．
【答案】59.5 ##59°30′
【分析】由旋转是含义，求出∠α的余角即可解答．
【详解】解：旋转的角度为：90°-∠α =90°-30°30′ =90°-30.5° =59.5°，
∴要把吊桥放平，则需要将吊桥沿着顺时针方向旋转的角度大小是59.5°，故答案为：59.5°．
【点睛】本题考查了旋转的性质，互为余角的两个角的关系，角度度分秒的换算，熟练掌握度分秒的进制是解题的关键．
14．（2022·浙江舟山·七年级期末）已知线段AB＝8cm，C是直线AB上的一点AC＝3.2cm，M、N 分别是AB、AC的中点，则MN的长等于______cm．
【答案】2.4或5.6
【分析】先求出AN、AM的长度，然后根据点C的位置进行讨论即可求出答案．
【详解】解：∵M、N分别是AB、AC的中点，AB＝8cm，AC＝3.2cm，
∴AN=1
2AC=1.6cm，AM=1
2
AB=4cm，
当点C 与B 位于点A 的异侧时， 此时MN =AN +AM =4+1.6=5.6cm ，
当点C 与B 位于点A 的同一侧时， 此时MN =AM -AN =4-1.6=2.4cm ，
故答案为：2.4或5.6．
【点睛】本题考查线段的和差运算，中点的含义，解题的关键是根据点C 的位置进行讨论，本题属于基础题型．
15．（2022·浙江宁波·七年级期末）计算： 34ππ-+-=________． 【答案】1
【分析】先化简绝对值，再加减运算即可求解． 【详解】解：∵3＜π＜4， ∴34ππ-+-=34-+-=1， 故答案为：1．
【点睛】本题考查化简绝对值、实数的加减运算，会利用绝对值的性质化简绝对值是解答的关键． 16．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，∠AOB =∠COD =120°，若∠BOC ＝108°，则∠AOD 的度数是________．
【答案】132°
【分析】根据题意可得∠BOD =∠COD -∠BOC =12°，再由∠AOD =∠AOB +∠BOD ，即可求解． 【详解】解∶∵∠COD =120°，∠BOC ＝108°，∴∠BOD =∠COD -∠BOC =12°， ∵∠AOB =120°，∴∠AOD =∠AOB +∠BOD =132°．故答案为：132°
【点睛】本题主要考查了角的计算，根据题意，准确得到角与角间的关系是解题的关键．
17．（2022·浙江衢州·七年级期末）实验室里有一个水平放置的正方体容器，从内部量得它的棱长为15cm ，容器内的水深为4cm 、现往容器内放入如图所示的长方体实心铁块（铁块一面平放在容器底面），过顶点A 的三条棱的长分别10cm ，10cm ，x cm （x <15）． （1）容器内水的体积为_______ cm 3
（2）当铁块的顶部高出水面1cm 时，x 的值为______．
【答案】 900 12.5或8.2
【分析】（1）利用长方体体积公式即可得到答案；
（2）分两种情况：利用实心铁块浸在水中的体积等于容器中水位增加后的体积减去原来水的体积建立方程求解即可．
【详解】解：（1）根据已知容器内水的体积为15×15×4=900（cm 3）， 故答案为：900；
（2）①当长方体实心铁块的棱长为10cm 和x cm 的那一面平放在长方体的容器底面时， 则铁块浸在水中的高度为9cm ，此时水位上升了5cm ，铁块浸在水中的体积为10×9x =90x cm 3， ∴90x =15×15×5， 解得x =12.5，
②当长方体实心铁块的棱长为10cm 和10cm 的那一面平放在长方体的容器底面时， 同理可得：10×10•（x -1）=15×15•（x-1-4）， 解得x =8.2，
故答案为：12.5cm 或8.2cm ．
【点睛】本题主要考查了从实际问题列一次一次方程，正确找出相等关系是解本题的关键． 18．（2022·浙江嘉兴·七年级期末）如图，在数轴上，点A ，B 表示的数分别是8-，10．点P 以每秒2个单位长度从A 出发沿数轴向右运动，同时点Q 以每秒3个单位长度从点B 出发沿数轴在B ，A 之间往返运动，设运动时间为t 秒．当点P ，Q 之间的距离为6个单位长度时，t 的值为______．
【答案】
125
秒或24
5秒或12秒
【分析】根据数轴上两点间的距离解题，分三种情况讨论①当点P 、Q 没有相遇时，②当点P 、Q 相遇后，点Q 没有到达A 时，③当点Q 到达A 返回时．
【详解】解：点A ，B 表示的数分别是8-，10，OA 8∴=，OB 10=，OA OB 18∴+=， ①当点P 、Q 没有相遇时，
三、解答题（本大题共8小题，共66分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
19．（2022·浙江·七年级专题练习）解方程：
(1)318
x-=；
(2)
12
1
23
x x
+-
-=．
【答案】(1)x=3 (2)x=-1
【分析】(1)按解一元一次方程的一般步骤求解即可；
(2)按解一元一次方程的一般步骤求解即可．
【详解】（1）解：由原方程移项、合并同类项，得3x=9，
解得x=3，
所以，原方程的解为x=3；
（2）解：去分母，得3(x+1)-6=2(x-2)，
去括号，得3x+3-6=2x-4，
移项、合并同类项，得x=-1，
所以，原方程的解为x=-1．
【点睛】本题考查了一元一次方程解法．解一元一次方程的一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1．
20．（2022·浙江丽水·七年级期末）如图，已知点A、B、C，按下列要求画出图形．
(1)作射线BA ，直线AC ；
(2)过点B 画直线AC 的垂线段BH ． 【答案】(1)见解析(2)见解析
【分析】（1）根据射线、直线的概念作图即可； （2）根据垂线段的概念作图即可．
（1）解：如下图，射线BA 、直线AC 即为所求．
（2）解：如下图，线段BH 即为所求．
【点睛】本题主要考查了作图的知识，理解并掌握射线、直线和垂线段的概念是解题关键． 21．（2022·浙江·余姚市梨洲中学七年级期中）计算 (1)107(5)(4)---+- (2)1156(2)34
-+÷-⨯(3)21114()(60)31215
--⨯- (4)321
2(10.5)(3)33⎡⎤---⨯⨯--⎣⎦ 【答案】(1)4(2)1
52
-(3)71(4)9-
【分析】（1）根据有理数的加减混合运算法则求解即可；
（2）根据有理数的四则混合运算法则和算术平方根的概念求解即可； （3）根据有理数的乘法运算律求解即可；
22．（2022·浙江·七年级专题练习）已知22321A a ab a =+--，21223B a ab =-++．
（1）化简4(32)A A B --．
（2）当1a =-，2b =-时，求（1）中代数式的值． （3）若（1）中代数式的值与a 的取值无关，求b 的值．
∵22321A a ab a =+--，212
23B a ab =-++，
∴A+2B
=2
211322
3222a b ab a a a ⎛⎫+--+++ ⎝
-⎪⎭
=223
421232a a ab a b a --+++- =1423
ab a -+；
（2）∵1a =-，2b =-，
∴1423ab a -+=()()()1
412213⨯-⨯--⨯-+=1103
；
（3）∵1423
ab a -+=()1423
b a -+，
1
423
ab a -+的值与a 的取值无关，
∴4b-2=0， ∴b=1
2
．
【点睛】本题考查了整式的加减．解决本题（3）的关键是理解结果与a 无关．与a 无关的意思是含该未知数的项的系数为0．
23．（2022·浙江·乐清七年级期中）用边长20cm 的正方形硬纸板做底面直径为6cm ，高为10cm 的圆柱体盒子（图1），每个盒子由1个长方形侧面和2个圆形底面组成，硬纸板以A ，B 两种方法裁剪（裁剪后边角料不再利用）
A 方法：剪2个侧面（图2）；
B 方法：剪9个底面．
(1)请你计算A ，B 两种方法纸板的利用率（纸板利用率=
100%⨯纸板被利用的面积
纸板的总面积
，π取3，结果精
确到0.1%）；(2)现有26张硬纸板，裁剪时x 张用A 方法，其余用B 方法． ①用含x 的代数式分别表示裁剪出的侧面与底面的个数； ②若裁剪出的侧面和底面恰好全部用完，能做成多少个盒子？
【答案】(1)A 种方法纸板的利用率为90.0%，B 种方法纸板的利用率为60.8%
(2)①侧面2x 个，底面()2349x -个；②36个
【分析】（1）首先分别算出盒子的侧面积和底面圆的面积，再根据利用率公式分别进行计算即可； （2）①根据题意，列出代数式即可；②根据①列出的代数式，使裁剪出的侧面与底面的个数相等，列出方程并解出，再算出裁剪出的侧面的个数，即可得出答案． 【详解】（1）解：盒子的侧面积为()2
1036180cm ⨯⨯=，
∴A 种方法纸板的利用率21802180
90.0%2020400
⨯⨯=
==⨯，
圆的面积为2
6272π⎛⎫
⨯= ⎪⎝⎭，
∴B 种方法纸板的利用率279279
60.8%2020400
⨯⨯=
=≈⨯；
（2）解：①∵有26张硬纸板，裁剪时x 张用A 方法，剪2个侧面，其余用B 方法，剪9个底面， ∴剪出侧面的个数2x 个，剪出底面的个数为()()2692349x x -⨯=-个； ②由（1），可得：222349x x ⨯=-， 解得：18x =， ∴221836x =⨯=， ∴可以做成36个盒子．
【点睛】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用、圆柱侧面积、圆的面积，解本题的关键在理解题意，正确列出代数式．
24．（2022·浙江衢州·七年级期末）“双十一”活动期间，某羽绒服商家的优惠措施是：购买所有商品先按标价打六折，再享受折后每满200元减30元的优惠．付款可采用“花呗”分3期的方式，还款的费率为2.5%．如图是小亮购买的优惠价和小红“花呗”分3期每期的应付款．（备注：“花呗”是一种消费信用贷款，用户可以“先消费，后付款”）
(1)在此次活动中要购买标价为2350元的羽绒服． ①打折满减后的优惠价为多少元？
②若采用“花呗”分3期付款，则每期应付款为多少元？
(2)在此次活动中购买某羽绒服，若采用“花呗”分3期付款，每期应付款为348.5元，求购买此羽绒服的优惠价及羽绒服标价．
【答案】(1)①购买标价为2350元的羽绒服，打折满减后的优惠价为1200元； ②采用“花呗”分3期
25．（2022·浙江宁波·七年级期末）如图，在数轴上，点A 所表示的数为a ，点B 所表示的数为b ，满足
21
1(4)08
a b ++-=，点D 从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，点E 从点B
出发以1个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，当D 、E 两点相遇时停止运动．
(1)点A 表示的数为 ，点B 表示的数为 ；
(2)点P 为线段DE 的中点，D 、E 两点同时开始运动，设运动时间为t 秒，试用含t 的代数式表示BP 的长度．(3)在（2）的条件下，探索3BP -DP 的值是否与t 有关，请说明理由． 【答案】(1)-8，4
(2)1
62
BP t =-
(3)3BP -DP 为定值12，与t 无关，理由见解析
【分析】（1）根据若干个非负数的和为0，则这些非负数均为0，建立方程求解即可；
（2）用含t 的代数式表示点D 、E 对应数，再利用中点性质即可求得点P 对应的数，最后利用B 对应数与P 对应数的差，表示数轴上两点之间的距离即可；
（3）由（2）得：162BP t =-，1
(123)2DP t =-，代入3BP -DP 即可得出答案．
【详解】（1）解：∵2
11(4)08a b ++-=，
∴1
10,408
a b +=-=， 解得：8,4a b =-=，
∴点A 表示的数为-8，点B 表示的数为4； 故答案为：-8，4 （2）解：如图，
根据题意得：得：AD =2t ，BE =t ，
∴点D 、E 对应数分别为：-8+2t ，4-t ，且点E 在点D 的右侧， ∴DE =4-t -（-8+2t ）=12-3t ， ∵点P 为线段DE 的中点， ∴11
(123)22
DP DE t =
=-， ∴点P 对应的数为11
82(123)222
t t t -++-=-，
∴11
4(2)622
BP t t =--=-；
（3）解：3BP -DP 为定值12，与t 无关，理由如下：
由（2）得：162BP t =-，1
(123)2DP t =-，
∴113333(6)(123)186122222BP DP t t t t ⎡⎤
-=---=--+=⎢⎥⎣⎦，
∴3BP -DP 为定值12，与t 无关．
【点睛】本题考查了数轴、绝对值、代数式、数轴上两点之间的距离、整式加减的应用等，找准等量关系，正确列出代数式是解题的关键．
26．（2022·浙江金华·七年级期末）阅读理解：在钟面上，把一周分成12个大格，每个大格分成5个小格，所以每个大格对应的是30︒角，每个小格对应的是6︒角，时针每分钟转过的角度是0.5度，分针每分针转过的角度是6度．
(1)解决问题：当时钟的时刻是8：30时，求此时分针与时针所夹的锐角的度数． (2)8：00开始几分钟后分针第一次追上时针．
(3)设在8：00时，分针的位置为OA ，时针的位置为OB ，运动后的分针为OP ，时针为OQ ．问：在8：00~9：00之间，从8：00开始运动几分钟，OB ，OP ，OQ 这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线？ 【答案】(1)75︒ (2)480
11
分钟 (3)48013
分钟或960
23分钟或48分钟
【分析】（1）根据8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，可得所夹的锐角的度数； （2）计算出8：00时时针与分针所夹钝角的度数，设x 分钟后分针第一次追上时针，利用追击问题列方程，即可求解；
（3）分OB 平分QOP ∠，OP 平分QOB ∠，OQ 平分POB ∠三种情况，利用角的和、差、倍数关系列方程，即可求解．
（1）解：8：30时，时针与分针的夹角是2.5个大格，2.53075⨯︒=︒，即分针与时针所夹的锐角的度数是75︒．
（2）解：设x 分钟后分针第一次追上时针．8：00时，时针与分针所夹钝角是8个大格，830240，
由题意，60.5240x x ，解得48011
x
，即8：00开始48011分钟后分针第一次追上时针．
（3）解：设运动m 分钟后，OB ，OP ，OQ 这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的
平分线．分三种情况：如图
①，当OB 平分QOP ∠时，QOB POB ∠=∠，∴0.52406m m ，解得480
13
m
；如图②，当OP 平分QOB ∠时，2QOB POB ∠=∠，∴0.526240m m ，解得960
23
m
；如图③，当OQ 平分POB ∠时，2POB QOB ∠=∠，∴624020.5m m ，解得48m =；综上，运动
48013
分钟或960
23分钟或48分钟后，
OB ，OP ，OQ 这三条射线，其中一条射线是另外两条射线所夹的角的平分线．
【点睛】本题考查一元一次方程的应用，以及角平分线的定义，能够计算出任一时刻时针与分针之间的角度是解题的关键．。