高中数学第4章计数原理4-3组合第2课时组合在实际问题中的应用分层作业湘教版选择性必修第一册

对于D,这5名毕业生分配到该山区的A,B,C三所小学,每所学校至少分配1
人,共有(C53AC2122C11
+
C 52
C
2 3
C 11
A
2 2
)A33
=150
种分配方案,故
D
错误.故选
AB.
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14.(2023全国甲,理9)有五名志愿者参加社区服务,共服务星期六、星期天
同的位置的排列方法数有A44种,根据分步乘法计数原理,完成这件事共有 C52A44=240 种不同的分配方案.故选 C.
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4.将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,
其中一个路口3人,且甲、乙在同一路口的分配方案共有( A )
A 必备知识基础练
1.要将甲、乙、丙、丁4名同学分到A,B,C三个班中,要求每个班至少分到 一人,则甲被分到A班的分法种数为( B )
A.6
B.12
C.24
D.36
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解析 (方法 1)根据题意分 2 步进行分析:第一步,将甲、乙、丙、丁 4 名同学 分为 3 组,有C42=6 种分组方法;第二步,将甲所在的组分到 A 班,剩下 2 组安排 到 B,C 班,有A22=2 种情况.则由分步乘法计数原理可知共有 6×2=12 种分法. 故选 B. (方法 2)依题意,若 A 班只有 1 名同学,则这名同学一定是甲,然后将乙、丙、 丁 3 人分到 B,C 两个班,则有C32A22=6 种不同的分法;若 A 班有 2 名同学,则问 题转化为乙、丙、丁 3 位同学分到 A,B,C 三个班中,共有A33=6 种不同的分法, 由分类加法计数原理可知共有 6+6=12 种不同的分法,故选 B.
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7.从6个人中选4个人去值班,每人值班一天,第一天安排1个人,第二天安排1 个人,第三天安排2个人,则共有 180 种安排情况. 解析 根据题意,可知共有 C64C41C31 =180种方法.
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13.(多选题)某师范大学5名毕业生到某山区的乡村小学工作.将这5名毕业 生分配到该山区的A,B,C三所小学,每所学校至少分配1人.( AB ) A.若甲不去A小学,则共有100种分配方法 B.若甲、乙去同一所小学,则共有36种分配方法 C.若有一所小学分配了3人,则共有90种分配方法 D.共有120种分配方法
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B 级 关键能力提升练
10.把16个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中,且每个盒子内的小球
数要多于盒子的编号数,则不同的放法有( C )
A.18种
B.28种
C.36种
D.42种
解析 根据题意,16个相同的小球放到三个编号为1,2,3的盒子中,且每个盒
则不同的分配方案共有( C )
A.60种
B.120种 C.240种
D.480种
解析 根据题意,有一个项目中分配 2 名志愿者,其余各项目中分配 1 名志愿者,
可以先从 5 名志愿者中任选 2 人,组成一个小组,有C52种选法;然后连同其余三 人,看成四个元素,四个项目看成四个不同的位置,四个不同的元素在四个不
C62 ·C21 ·C41 = 62××51×2×4=120 种.
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(方法 2 间接法)甲、乙两位同学各自选读 2 种课外读物共有C62C62种选法, 甲、乙所选都不同有C62C42种选法,甲、乙所选都相同有C62种选法,故这两人选 读的课外读物中恰有一种相同的选法有C62 ·C62 − C62 ·C42 − C62 = C62·(C62 − C42-1)=120 种.故选 C.
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6.(2023全国乙,理7)甲、乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种,则这两
人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有( C )
A.30种
B.60种
C.120种
D.240种
解析 (方法 1 直接法)甲在 6 种课外读物中任选 2 种,有C62种选法,乙在甲选 的 2 种课外读物中挑一种有C21种选法,乙在甲选 2 种课外读物后剩下的 4 种 中选一种有C41种选法,则这两人选读的课外读物中恰有一种相同的选法共有
若分为 1-1-3 的三组,有C53 − C31=7 种分组方法,
若分为
1-2-2
的三组,有CA52C22
2 3
−
C32=12
种分组方法,则广告宣传页共有
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7+12=19种分组方法. 第2步,将分好的三组分别粘贴在不同入口,有 A33 =6种分组方法. 根据分步乘法计数原理,则有19×6=114种不同的粘贴方法.
11.从正方体的8个顶点中选取4个作为顶点,可得到四面体的个数为( A )
A.C84-12 C.C84-6
B.C84-8 D.C84-4
解析 从正方体的 8 个顶点中选取 4 个顶点有C84种,正方体表面四点共面不能 构成四面体有 6 种情况,正方体的六个对角面四点共面不能构成四面体有 6
种情况,所以可得到的四面体的个数为C84-6-6=C84-12 种,故选 A.
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(方法 2 间接法)由题意知总的选择种数为C52 ·C52=100 种,其中 2 人都连续两 天参加服务有C52=10 种情况,没有人连续两天参加服务有C52 ·C32=30 种情况, 则恰有 1 人连续参加两天服务的选择种数为 100-10-30=60.故选 B.
A.
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5.某省示范性高中安排6名高级教师到甲、乙、丙三所中学进行支教,每所
学校至少安排1人,则不同的分配方案有( D )
A.150种
B.180种
C.270种
D.540种
解析 将 6 人分成 3 组,可以是 1,1,4,也可以是 1,2,3,也可以是 2,2,2,
A.18种
B.24种
C.36种
D.72种
解析 5名交警分配到三个不同路口疏导交通,每个路口至少一人,其中一个
路口3人,所以不同路口的执勤人数为3,1,1.
又甲、乙在同一路口,先选一个人和甲乙组成一组有C31种选法,剩余两人为两
组,然后安排到
3
个路口共有C
1 3
C 21
C
A
2 2
1 1
A33=18
种不同的安排方法.故选
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9.从6名短跑运动员中选4人参加4×100米接力赛,如果甲不能跑第一棒,乙 不能跑第四棒,共有多少种不同的参赛方法? 解 把所选取的运动员的情况分为三类: 第 1 类,甲、乙两人均不参赛,不同的参赛方法有A44=24 种; 第 2 类,甲、乙两人有且只有 1 人参赛,不同的参赛方法有C21C43(A44 − A33)=144 种; 第 3 类,甲、乙两人都参赛,不同的参赛方法有C42(A44-2A33 + A22)=84 种. 由分类加法计数原理知,所有的参赛方法共有24+144+84=252种.
两天,每天从中任选两人参加服务,则恰有1人连续参加两天服务的选择种 数为( B )
A.120
B.60
C.40
D.30
解析 (方法 1 直接法)在 5 名志愿者中任选 2 人参加星期六的社区服务,有C52 种情况;星期天时,先在星期六选中的 2 人中任选 1 人,有C21种情况,再在星期六 选中的 2 人之外的 3 人中选 1 人,有C31种情况. 由分步乘法计数原理知,共有C52 ·C21 ·C31=60 种情况.
正确;
对于 B,若甲、乙同去一所小学,则将甲、乙捆绑,共有C42A33=36 种,所以甲、 乙去同一所小学共有36种分配方法,故B正确;
对于C,若有一所小学分配了3人,先将5人分成3,1,1三组,再将三组人分配
到三所小学,所以有C
3 5
C 21
C
A 22
1 1
A33=60
种分配方法,故
C
错误;
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子内的小球数要多于盒子的编号数,先在1号盒子里放1个球,在2号盒子里
放2个球,在3号盒子里放3个球,则原问题可以转化为将剩下的10个小球,放
入3个盒子,每个盒子至少放1个的问题,将剩下的10个球排成一排,有9个空
位,在9个空位中任选2个,插入挡板,有
C92
=
8× 2
9
=36种不同的放法.
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解析 对于A,5名毕业生分配到三所小学可以分成3,1,1或2,2,1两种情况,
若 A 小学安排 1 人,则有C41(C43 × A22 + C42)=56 种分配方法; 若 A 小学安排 2 人,则有C42C31A22=36 种分配方法,若 A 小学安排 3 人,则有 C43A22=8 种分配方法,所以甲不去 A 小学共有 56+36+8=100 种分配方法,故 A
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2.某校在重阳节当日安排6位学生到两所敬老院开展志愿服务活动,要求每
所敬老院至少安排2人,则不同的分配方案数是( C )
A.35
B.40
C.50
D.70
解析 6名学生分成两组,每组不少于两人的分组,一组2人另一组4人,或每组
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12.现有15个数学竞赛参赛名额分给五个班,其中一、二班每班至少3个名
额,三、四、五班每班至少2个名额,则名额分配方式共有( B )
A.15种
B.35种
C.70种
D.125种
解析 根据题意,先将15个名额分配给一班、二班每班2个,三、四、五班每 班1个,还剩下8个名额,将剩下的8个名额进行排列,产生7个“空档”,在7个 “空档”中任选4个,则有 C74 =35种分配方法,故选B.
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15.现有10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中,从中任意取出4只,4只鞋 子恰有两双的种数为 45 ,4只鞋子有2只成双,另2只不成双的种数 为 1 440 . 解析 从 10 双中任选 2 双有C120=45 种取法.先选取一双有C110种选法,再从 9 双中任取两双有C92种选法,每双鞋只取一只各有 2 种取法,根据分步乘法计数 原理可知选取的种数为 N=C110C92×22=1 440.
第一类,若分成
1,1,4,有C
4 6
C
A
1 2 2 2
C 11
A33=90
种安排方法;第二类,若分成
1,2,3,有
C61C52A33=360 种安排方法;第三类,若分成 2,2,2,有C62AC4233C32 A33=90 种安排方法.根
据分类加法计数原理,共有 90+360+90=540 种不同的分配方案.故选 D.
3人,所以不同的分配方案数为
C62 A22
+
C63 C33 A22
·A22=50,故选C.
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3.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个
项目进行培训,每名志愿者只分配到1个项目,每个项目至少分配1名志愿者,
8.双十一活动期间,某商场计划将5张广告宣传页粘贴在商场的3个不同的
入口,其中有2张是电器广告的宣传页,要求这2张电器广告的宣传页必须粘 贴在不同入口,且每个入口至少粘贴1张宣传页,则不同的粘贴方法有
114 种.
解析 根据题意,分2步进行分析:
第1步,将5张宣传页分为3组,其中2张电器广告的宣传页不能在同一组,