全国大学生周培源力学竞赛模拟试题及答案-江南大学

江南大学力学竞赛模拟试题
一、大家在日常生活中通常遇到这样的情景，如果没有打开瓶盖的起子，当然可用牙齿咬开，也可以把瓶盖挨着桌子，猛击瓶盖而打开它．但这两种方法都不太好：前者不太卫生，易损坏牙齿；后者易损坏桌子，有时甚至会击碎瓶口，使手受伤．下面的方法则较文雅也方便．如图左手拇指紧压住瓶盖，其余四指紧握住瓶颈且靠近瓶盖．右手抓住筷子的一头，另一头夹在瓶盖与手指之间，然后右手向下用力，一般很容易就打开了瓶盖。

（20分）
(1)本问题与力学中的什么内容有关系?
(2)若筷子弯曲太大如何处理?
(3)右手上用的力与瓶盖上所受力的关系? 若右手向下用力过猛，筷子何处最易折断？
图1 图2
解：（1）实际上，这个方法中应用了杠杆原理．筷子在这里充当了杠杆。

（2）若筷子弯曲太大，可把两支叠在一起用。

这样可提高抗弯截面系数。

（3）左手手指充当了支点．（这个方法中，大拇指压住艇羹的主要目的，是防止其余四指(支点)向下打滑，图1可简化成图2所示的力学模型，设杠杆两端一边是右手施加的力
F ，一边是瓶盖施加的力Q ，1l AO =，2l BO =。

即F l l Q 1
2=，由于12l l >>，所以F Q >>。

即右手只要稍加力，就可能打开瓶盖。

把筷子作为一受力杆件，最大弯矩在O 处（图3示），即左手手指与筷子接触处最容易折断。

图3
二、某工地为使工人高处作业方便，在木桩上搁置一些木板。

图示为一手握推车的工人站在板上。

若设板长5m ，厚58mm ，抗弯刚度EI =200 kN·m 2，假设板的宽度远小于长度，工人沿板的宽度中线行走，不计板重；木桩截面为80⨯80mm 的正方形；木材的弹性模
量E =10Gpa ，许用应力[σ]=12Mpa 。

工人的体重为800N ；手推车的连同车内物料的重量共1200N ，其质心距工人1m ，距小车的轮轴0.5m 。

（35分）
（1）画出板的结构分析模型的简图。

（2）并问工人站在何处，板的最大弯曲正应力最大？
（3）该结构是否安全可靠？
解：（1）可将板视作梁分析，并设人离板的左端A 得距离为x ，
其结构分析模型如图（b ）所示。

通过分析人车组合，得：
F 1=1200N ， F 2=800N
（2）根据板的最大弯曲正应
力计算公式可知，弯矩最大
处弯曲正应力最大。

最大弯矩将出现在F 1或 F 2
的作用点C 、D （位置变化）
M C =1760x - 400x 2
M D = -400 x 2 +1160x + 840
当x = 2.2m 处， M max = 1936N ⋅m
（3）板的强度校核：
][81.22/max max σσ<==MPa I
t M 木桩的稳定性分析：
考虑木桩稳定性最不利的约束方式，即下端固定，上端自由，则长度系数μ =2
B F A F B
图（b ）
A 图中尺寸单位：m
图（a ）
临界力 22）
（l EI F cr μπ== 26kN 木桩的受力与工人在板上的位置有关，最大受力是当x = 0时，A 处的受力
F max = 880N << F cr
木桩足够稳定。

所以结构安全。

三、山坡上下有AB 两根木柱，顶端在同一水平线上，长度分别为l 1和l 2，惯性矩分别为I 1
和I 2，弹性模量为E ，用一不可伸长的绳子以水平力P 将A 桩顶端拉紧，绳的另一端拴在B 桩顶端，然后松开（25分）
(1) 求绳中张力;
(2) 若两端距离为L ,改用拉伸刚度为E 0A 0的弹性绳，结果又如何？
解：设绳子右端拴住B 桩顶端并除去P 力后绳中张力为P 1，若绳子不可伸长，在P 1作用下，两根悬臂梁顶端的挠度之和应与P 力作用的A 梁顶端的挠度相等。

故变形协调条件为 1
3123211311333EI Pl EI l P EI l P =+ 由此得： P l I l I l I P 32131231
21+=
对于拉伸刚度为E 0A 0的弹性绳，可设该绳原长为L 0 (L 0略小于L )，用P 力拉绳的右端至B 桩顶端时，有
L A E Pl EI Pl L =++0
0013130 （1） 当拴住B 桩顶端并除去P 力后，绳中张力变为P 1，此时有：
L EI l P A E l P EI l P L =+++2
3
2100011311330 （2） 由（1）、（2）两式得
0001313A E Pl EI Pl +23210001131133EI l P A E l P EI l P ++= （3） 根据（3）式且 L L ≈0，最后得：
P L I EI l I l I A E I L EI l A E P 213213120021310013)()3(+++=
四、一天，师傅欲检验徒弟知识的灵活应用能力，准备了半径分别为R 、)(r R r 〉两齿轮O 、1O ，小齿轮可在大齿轮内作纯滚动，小齿轮上有偏心点，其偏心距为e 。

要求徒弟根据给定的材料设计一套简单的机构，绘制精美的几何图形。

聪明的徒弟很快领会师傅的意图，将大齿轮固定，小齿轮的偏心点处安装画笔，如图1示，当小齿轮在大齿轮内滚动时，画笔下出现了精美的几何图形。

（40分）
下面的问题交给聪明的你，相信你能解答
（1）本问题与力学中的什么内容有关系？
（2）求出偏心点（画笔）的轨迹方程，图形的几何形状与何参数有关？当图形曲线退化为直线时，机构参数满足何关系?
（3）当几何图形为图2示的三叶玫瑰曲线)3cos(αρa =时，机构参数与曲线方程中的参数a 满足何关系？
图1 图2
解：（1）本问题与力学中点的运动轨迹、运动合成有关
（2）取定坐标oxy 如图3示，小齿轮上偏心点坐标为
),(y x ，图示位置时：
⎩
⎨⎧--=+-=ϕθϕθsin sin )(cos cos )(e r R y e r R x 纯滚动时，满足：)(ϕθθ+=r R 则：
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)
sin(sin )()
cos(cos )(θθθθr r
R e r R y r r
R e r R x （1） 图3
当机构参数满足：r e r R ==,2时，图形曲线退化为直线。

（3）对)3cos(αρa =的曲线方程，在图2示直角坐标中可表示为
⎩⎨⎧==αρα
ρsin cos y x
进一步：⎩⎨⎧==ααα
αsin )3cos(cos )3cos(a y a x
利用三角公式变换：
[]
[]
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=
)2sin()4sin(2)2cos()4cos(2ααααa y a
x
（2）
对照（2）问题中的轨迹方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)
sin(sin )()
cos(cos )(θθθθr r R e r R y r
r R e r R x
作βθ4→变换，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=-+-=)
4sin(4sin )()
4cos(
4cos )(ββββr r
R e r R y r r
R e r R x
（3） 由式（2）、（3）对比知，当机构参数满足：
a e a r a R 21
,,23
===
时即可画出要求的三叶玫瑰线图形。