22.3+实际问题与二次函数++++课件+2023—2024学年人教版数学九年级上册

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(2)在花园面积最大的条件下，A，B两块内分别种植牡丹
和芍药，每平方米种植2 株，已知牡丹每株售价25 元，
芍药每株售价15 元，学校计划购买费用不超过5 万元，
求最多可以购买多少株牡丹？
思路导引：
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解：设购买牡丹m 株，则购买芍药1 200×2－m=
(2 400－m)(株).
(2)设：找出问题中的变量和常量；
(3)列：用二次函数表示出变量和常量之间的关系，
建立二次函数模型，把实际问题转化成数学问题；
(4)解：依据已知条件，借助二次函数的解析式、
图象和性质等求解实际问题；
(5)检：检验结果，得出符合实际意义的结论 .
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要点解读
1. 用二次函数解决实际问题时，审题是关键 . 检验
思路导引：
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解：由题意得W=(x－30)(－10x＋600)=－10x2＋
900x－18 000.
当x =－

=45
－
时，在30 ≤ x ＜ 60 的范围内，
W 取到最大值，最大值是2 250.
答：当销售价格x 为每千克45 元时，日销售利
润W 最大，最大的日销售利润是2250 元.
且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇
合 . 如图 22.3-2，以水平方向为 x 轴，喷水池中心为
原点建立直角坐标系 .
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思路导引：
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(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析式 .
解：设水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解析
式为 y=a(x－3) 2＋5( a ≠ 0) .
容易被忽略，求得的结果除了要满足题中的数量关系，
还要符合实际问题的意义 .
2. 在实际问题中求最值时，用配方法把函数解析式
化为y=a(x－h)2＋k 的形式求函数的最值，或者针对函
数解析式用顶点坐标公式求函数的最值 .
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例1 [中考·湖州] 某水产经销商以每千克30 元的价格购进
一批某品种淡水鱼，由销售经验可知，这种淡水鱼的
在“创建文明城市”期间，计划将头盔降价销售，经
调查发现：每降价1 元，每月可多售出20 顶. 已知头盔
的进价为每顶50 元，则该商店每月获得最大利润时，
每顶头盔的售价为 (
A.60 元
B.65 元
D )
C.75 元
D.70 元
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1-2. [易错题 ] 某商品的进价为每件 30 元，现在的售价为
2
y=－ x ＋24.75，当两辆消防车喷射口位置的水平距

离AB 为32 m 时，“ 水门”
最高点距离喷射口的竖直
高度CD 为______m.
12.8
课堂小结
实际问题与
二次函数
实际问题
图形面积
利润问题
抛物线型
分类
数学
模型
转化
二次
函数
增减性
最值
32 m，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰
物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷水池水柱的
最大高度 .
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解：当 x=0 时， y= － × (0 － 3)
2＋5=

.
设扩建改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函


数解析式为 y= － x2＋bx＋


.
∵该函数图象过点( 16， 0 ) ，
每件 40 元，每星期可卖出 150 件．市场调查反映：如
果每件售价每涨 1 元(售价每件不能高于 45 元)，那么
每星期少卖 10 件．设每件售价为 x 元( x 为非负整数)，
若要使每星期的利润最大，且销量较大，则 x 应为
( B )
A.41
B.42
C.42.5
D.43
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例2 [母题中考·菏泽教材P57 复习题T7]某学校为美化学校
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解题通法：利用二次函数的性质求最大利润的方法：
二次函数y =ax2＋bx＋c，当a<0 时，函数有最大值.
在实际问题中，求商品的最大利润的一般步骤：(1)
列出二次函数解析式，并根据自变量的实际意义，
确定自变量的取值范围；
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(2)在自变量的取值范围内，运用公式法或配方法求
第二十二章
二次函数
22.3
实际问题与二次函数
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知识点 1 用二次函数解实际问题
1. 常用方法
利用二次函数解决实际问题，首先要建立数
学模型，把实际问题转化为二次函数问题，利用
题中存在的等量关系，求出函数解析式，然后利
用函数的图象和性质去解决问题 .
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2. 一般步骤
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(1)审：仔细审题，理清题意；


∴ 0= － ×

2
16 ＋16b＋

，解得 b=3.
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∴扩建改造后水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数解


析式为 y= － x2＋3x＋




= － (x －
2
)＋ .


∴扩建改造后喷水池水柱的最大高度为


m.
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环境，打造绿色校园，决定用篱笆围成一个一面靠墙
(墙足够长)的矩形花园，用一道
篱笆把花园分为A，B 两块(如图
22.3-1 所示)，花园里种满牡丹和
芍药. 学校已定购篱笆120 m.
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(1)设计一个使花园面积最大的方案，并求出其最大面积；
思路导引：
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解：设垂直于墙的边为x m，围成的矩形面积
得
= －，
＋ = ，
解得
= ，
＋ = ，
∴ y 关于x 的函数解析式是y =－10x＋600(30 ≤ x ＜60).
思路导引：
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(2)设该经销商销售这种淡水鱼的日销售利润为W 元，如
果不考虑其他因素，求当销售价格x 为多少时，日销售
利润W 最大？最大的日销售利润是多少元？
立时必须在离水池中心多少米以内？


解：当 y=1.8 时，有 － (x－3) 2＋5 =1.8，wenku.baidu.com
解得 x1=－1 (舍去) ， x2=7.
∴为了不被淋湿，身高 1.8 米的王师傅站立时必须在
离水池中心 7 m以内 .
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(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：
在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到
出二次函数的最大值，需要注意的是：当二次函数
图象的顶点的横坐标不在自变量的取值范围之内时，
需结合二次函数的图象，根据二次函数的增减性，
在自变量的取值范围之内求出函数的最值.
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1-1.“ 一人一盔安全守规，一人一带平安常在！” 某商店
销售一批头盔， 售价为每顶80 元，每月可售出200顶.
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为S m2，则平行于墙的边为(120－3x)m，
根据题意，得S=x(120 －3x)=－3(x－20)2＋1 200.
∵－3 ＜ 0，∴当x =20 时，S 取最大值1 200.
∴ 120 －3 x =120 －3×20= 60 .
∴当垂直于墙的边为20 m，平行于墙的边为60 m 时，
花园面积最大，最大面积为1200 m2 .
∴当x＝6(BH＝24 m<50 m)时，
S取得最大值，最大值为144.
答：能建成的三间长方形种牛饲养室的总占地面积的
最大值为144 m2.
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例3 [中考·衢州]某游乐园有一个直径为16m的圆形喷
水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛
物线，在距水池中心 3 m处达到最高，高度为 5 m，
将点( 8， 0)的坐标代入 y=a (x－3) 2＋5 ，得 25a＋


5=0，解得 a=－ . ∴水柱所在抛物线(第一象限部分)
的函数解析式为y=－

(x－3) 2＋5(

0<x<8) .
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(2)王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外
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喷水，为了不被淋湿，身高 1.8 m的王师傅站
144
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2-2.某农场拟建三间长方形种牛饲养室，
饲养室的一面靠墙(墙长50m)，中间
用两道墙隔开(如图) . 已知计划中的
建筑材料可建墙的总长度为 48m，
求能建成的三间长方形种牛饲养室
的总占地面积的最大值．
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解：设总占地面积为S m2，AB＝x m，
可得S＝AB·BH＝x(48－4x)＝－4(x－6)2＋144.
∵学校计划购买费用不超过5 万元，
∴ 25m＋15(2400－m)≤ 50000，解得m ≤ 1 400.
∴最多可以购买1400 株牡丹.
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2-1. 在综合实践活动中，同学们借助如图所示的直角墙角
(两边足够长)，用24 m 长的篱笆围成一个矩形花园
2.
ABCD，则矩形花园ABCD 的最大面积为______m
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3-1.C919 大型客机是我国首款按照国际通行适航标准自行
研制，具有自主知识产权的喷气式干线客机. 如图①，
在某次C919 大型客机过水门仪式中， 两条水柱从两
辆消防车A，B 中斜向上射出，形似
抛物线，以两车所连水平直线的中点
O 为坐标原点，平行于AB 的直线为x 轴，
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建立如图② 所示的平面直角坐标系， 其函数关系式为
日销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)(30 ≤ x ＜ 60)存在一
次函数关系，部分数据如表所示：
销售价格x(元/kg)
50
40
日销售量y(kg)
100
200
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(1)试求出y 关于x 的函数解析式.
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解：设y 关于x 的函数解析式为y =kx＋b(k ≠ 0).
将x =5 0，y =10 0 和x =40，y =200 分别代入，