2024年中考数学高频考点专题复习——反比例函数的实际应用(含解析)
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2024年中考数学高频考点专题复习——反比例函数的实际应用
1.如图,利用已有的一面长为的墙,用篱笆围一个面积为的矩形花圃.设的长为
,的长为.
(1)求y 关于x 的函数表达式和自变量x 的取值范围.
(2)边和的长都是整数,若围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过,试求出满足条件且用料最省的方案.
2.通过实验研究发现:初中生在数学课上听课注意力指标数随上课时间的变化而变化,上课开始时,学
生兴趣激增,中间一段时间,学生的兴趣保持平稳状态,随后开始分散,学生注意力指标数y 随时间x (分)变化的函数图象如图所示,当和时,图象是线段;当时,图象是双曲线的一部分,根据函数图象回答下列问题:
(1)点A 的注意力指标数是 ;
(2)当时,求注意力指标数y 随时间x (分)的函数解析式;
(3)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要21分钟,他能否经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于36
?请说明理由.
5m 220m ABCD AB ()m x BC ()m y AB BC ABCD 20m 010x ≤<1020x ≤<2040x ≤≤010x ≤<
3.如图,帆船A 和帆船B 在太湖湖面上训练,O 为湖面上的一个定点,教练船静候于O 点,训练时要
求A 、B 两船始终关于O 点对称.以O 为原点,建立如图所示的坐标系,x 轴、y 轴的正方向分别表示正东、正北方向.设A 、B 两船可近似看成在双曲线y =
上运动,湖面风平浪静,双帆远影优美,训练中当教练船与A 、B 两船恰好在直线y =x 上时,三船同时发现湖面上有一遇险的C 船,此时教练船测得C 船在东南45°方向上,A 船测得AC 与AB 的夹角为60°,B 船也同时测得C 船的位置(假设C 船位置不再改变,A 、B 、C 三船可分别用A 、B 、C 三点表示).
(1)发现C 船时,A 、B 、C 三船所在位置的坐标分别为A( , )、
B(
,
)和C(
,
);
(2)发现C 船,三船立即停止训练,并分别从A 、O 、B 三点出发沿最短路线同时前往救援,设A 、B 两船的速度相等,教练船与A 船的速度之比为3:4,问教练船是否最先赶到?请说明理由.
4.某气象研究中心观测到一场沙尘暴从发生到减弱的过程,开始一段时间风速平均每小时增加2千米,
4小时后,沙尘暴经过开阔荒漠地,风速变为平均每小时增加4千米,然后风速不变,当沙尘暴遇到绿色植被区时,风速y (千米/小时),时间x (小时)成反比例关系地慢慢减弱,结合风速与时间的图象,回答下列问题:
(1)这场沙尘暴的最高风速是多少?最高风速维持了多长时间;
(2)求出当x≥20时,风速y (千米/小时)与时间x (小时)之间的函数关系?
(3)在这次沙尘暴的形成过程中,当风速不超过10千米/小时称为“安全时刻”,其余时刻是“危险时刻”.问这次风暴的整个过程中,“危险时刻”一共有多长时间?
4
x
5.为了做好新冠疫情防控工作,某学校要求全校各班级每天对各班教室进行消毒.现有一种备选药物,
根据测定,教室内每立方米空气中的药含量y (单位:mg )随时间x (单位:h )的变化情况如图所示,根据图中提供的信息,解决下面的问题.
(1)如图反映的是那两个变量之间的关系?哪个是自变量?哪个是因变量?(2)什么时刻每立方米空气中药含量最多?此时药含量是多少?
(3)在什么时间范围内,每立方米空气中药含量在增加?在什么时间范围内,每立方米空气中药含量在减少?
(4
)据测定,当空气中每立方米的药物含量降低到
mg 以下时,才能保证对人身无害,若该校课间操时间为40分钟,据此判断,学校能否选用这种药物用于教室消毒?请说明理由.
6.水产公司有一种海产品共2104千克,为寻求合适的销售价格,进行了8天试销,试销情况如下:
第1天第2天第3天第4天第5天第6天第7天第8天售价x(元/千克)400300250240200150125120销售量y(千克)
30
40
48
50
60
80
96
100
观察表中数据,发现可以用反比例函数刻画这种海产品每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间的关系.现假定在这批海产品的销售中,每天的销售量y(千克)与销售价格x(元/千克)之间都满足这一关系.
(1)写出这个反比例函数的解析式;
(2)在试销8天后,公司决定将这种海产品的销售价格定为150元/千克,并且每天都按这个价格销售,那么余下的这些海产品预计再用多少天可以全部售出?
(3)在按(2)中定价继续销售15天后,公司发现剩余的这些海产品必须在不超过2天内全部售出,此时需要重新确定一个销售价格,使后面两天都按新的价格销售,那么新确定的价格最高不超过每千克多少元才能完成销售任务?
1
16
7.某中学组织学生到商场参加社会实践活动,他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作.已知该品牌运动鞋每双的进价为120元,为寻求合适的销售价格进行了4天的试销,试销情况如表所示: 第1天第2天第3天第4天
售价x(元/双)150200250300
销售量y(双)40302420
(1)观察表中数据,x,y满足什么函数关系?写出用x表示y的函数表达式;
(2)若商场计划每天的销售利润为3000元,则每双运动鞋的售价应定为多少元?
8.心理学家研究发现,在一节45分钟的课中,学生的注意力随教师讲课的时间的变化而变化,开始学生的注意力逐渐增强,中间学生的注意力保持稳定的状态,随后开始分散,经实验学生的注意力指数y 随时间x(分钟)的变化规律如图所示.
(1)一位教师为了达到最好的上课效果,准备课前复习,要求学生的注意力指数至少达到30时,开始上新课,问他应该复习多长时间?
(2)如果(1)的这位教师本节新课内容需要22分钟,为了使学生的听课效果最好,问这位教师能否在学生听课效果最好时,讲完新课内容?
9.某蔬菜生产基地的气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜.如图是试验阶段的某天
恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度 与时间 之间的函数关系,其中线段 ,
表示恒温系统开启阶段,双曲线的一部分 表示恒温系统关闭阶段.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)求 与 ( )的函数表达式;
(2)若大棚内的温度低于 时,蔬菜会受到伤害.问这天内,恒温系统最多可以关闭多长时间,才能使蔬菜避免受到伤害?
10.某小组进行漂洗实验,每次漂洗的衣服量和添加洗衣粉量固定不变实验发现,当每次漂洗用水量v
(升)一定时,衣服中残留的洗衣粉量y (克)与漂洗次数x (次)满足
y=(k 为常数),已知当使用5升水,漂洗1次后,衣服中残留洗衣粉2克.(1)求k 的值.
(2)如果每次用水5升,要求漂洗后残留的洗衣粉量小于0.8克,求至少漂洗多少次?
(3)现将20升水等分成x 次(x>1)漂洗,要使残留的洗衣粉量降到0.5克,求每次漂洗用水多少升?
()C y ︒()h x AB BC CD y x 1024x ≤≤10C ︒ 2.5
kv x
+
11.汛期到来,山洪暴发,下表记录了某水库 内水位的变化情况,其中 表示时间(单位:
)
, 表示水位高度(单位: ),当 ( )时,达到警戒水位,开始开闸放水. 0246810121416182014
15
16
17
18
14.4
12
10.3
9
8
7.2
(1)在给出的平面直角坐标系中,根据表格中的数据画出水位变化图象,并写出水位高出16米的时间 的取值范围 ▲ .(精确到0.1)
(
2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式.
(3)据估计,开闸放水后,水位的这种变化规律还会持续一段时间,预测何时水位达到 .
12.如图,直线与双曲线交于A ,两点,点A 的坐标为,点是双曲线第一象限分支上的一点,连结并延长交轴于点,且.
(1)求的值,并直接写出点的坐标;
(2)点是轴上的动点,连结,,求的最小值和点坐标;
(3)是坐标轴上的点,是平面内一点,是否存在点,,使得四边形是矩形?若存
20h x h y m 8x =h /h x /m
y x 6m 32y x =
(0)k
y k x
=≠B (3)m -,
C BC x
D 2BC CD =k B G y GB GC GB GC +G P Q P Q ABPQ
在,请求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
13.泡茶需要将电热水壶中的水先烧到100℃,然后停止烧水,等水温降低到适合的温度时再泡茶,烧水
时水温y(℃)与时间x(min)成一次函数关系;停止加热过了1分钟后,水壶中水的温度y(℃)与时间x(min)近似于反比例函数关系(如图).已知水壶中水的初始温度是20℃,降温过程中水温不低于20℃.
(1)分别求出图中所对应的函数关系式,并且写出自变量x 的取值范围:
(2)从水壶中的水烧开(100℃)降到90℃就可以泡茶,问从水烧开到泡茶需要等待多长时间?
14.某种商品上市之初采用了大量的广告宣传,其销售量与上市的天数之间成正比,当广告停止后,销
售量与上市的天数之间成反比(如图),现已知上市30天时,当日销售量为120万件.
(1)写出该商品上市以后销售量y (万件)与时间x (天数)之间的表达式;
(2)求上市至第100天(含第100天),日销售量在36万件以下(不含36万件)的天数;(3)广告合同约定,当销售量不低于100万件,并且持续天数不少于12天时,广告设计师就可以拿到“特殊贡献奖”,那么本次广告策划,设计师能否拿到“特殊贡献奖”
?
P
答案解析部分
1.【答案】(1)解:由题意得:,
,已有的一面墙长为,,,
y 关于x 的函数表达式为(2)解:边和的长都是整数,且, 的值可以为4、5、10、20,
围成的矩形花圃的三边篱笆的总长不超过,,
的值可以为4、5,
当时,,则,当时,,则,
满足条件且用料最省的方案为,.
2.【答案】(1)24
(2)解:设线段(0≤x <10)
∵,,∴{
b =2410k +b =48 解之:
{
k =12
5b =24
∴当0≤x <10时的函数解析式为(3)解:当时,代入和得 和∵,20xy =20
y x
∴=
5m 20
5x
∴≤4x ∴≥∴()20
4y x x
=
≥ AB BC ()20
4y x x
=
≥x ∴ ABCD 20m 220x y ∴+≤x ∴4x =5y =224513x y +=⨯+=5x =4y =225414x y +=⨯+=∴4m AB =5m BC =AB y kx b =+:(024)A ,
(1048)B ,12
245
y x =+36y =12245y x =
+960y x
=15x =280
3
x =
806552133
-=>
∴他能经过适当的安排,使学生在听这道综合题的讲解时,注意力指标数都不低于36.
3.【答案】(1)2;2;-2;-2;2
2 ;
(
2)解:作AD ⊥x 轴于D
,连AC 、BC 和OC
,
∵A (2
,2),∴∠
AOD=45°,AO=2
,
∵C 在O 的东南45°方向上,∴∠AOC=45°+45°=90°,∵AO=BO ,∴AC=BC ,
又∵∠BAC=60°,∴△ABC 为正三角形,∴AC=BC=AB=2AO=4
,
∴ ,由条件设教练船的速度为3m ,A
、B 两船的速度都为4m ,则教练船所用时间为
,
A 、
B 两船所用时间均为 = ,
= , =
,
> ;∴教练船没有最先赶到.
4.【答案】
(1)解:0~4时,风速平均每小时增加2千米,所以4时风速为8千米/时;
4~10时,风速变为平均每小时增加4千米,10时达到最高风速,为8+6×4=32千米/时,
OC =
=
10~20时,风速不变,最高风速维持时间为20﹣10=10小时;答:这场沙尘暴的最高风速是32千米/时,最高风速维持了10小时(2)解:设y =
, 将(20,32)代入,得32= ,解得k =640.
所以当x≥20时,风速y (千米/小时)与时间x (小时)之间的函数关系为y =
(3)解:∵4时风速为8千米/时,而4小时后,风速变为平均每小时增加4千米, ∴4.5时风速为10千米/时,将y =10代入y = ,得10=
,解得x =64,
64﹣4.5=59.5(小时).
故沙尘暴的风速从开始形成过程中的10千米/小时到最后减弱过程中的10千米/小时,共经过59.5小时.答:这次风暴的整个过程中,“危险时刻”一共经过59.5小时.
5.【答案】(1)解:图象反应的是时间x 和每立方米空气中的药含量y 之间的关系;自变量为时间x ;因
变量为每立方米空气中的药含量y ;(2)解:从函数图象可得:当x=h 时,空气中药含量最多,最多为1mg ;(3)解:从图象可得:当0<x<h 时,每立方米空气中药含量在增加;当x≥
h 时,每立方米空气中药含量在减少(4)解:不能选用这种药物消毒,理由如下:由图象可得,当x=1时,y=
,∴,∴学校不能选用这种药物用于教室消毒.
6.【答案】(1)解:设 , ∵当x=400时y=30,∴k=400×30=12000,
k
x
k 20
640x
640
x
640
x
1
5
1
5
1
5
116
116048405⎛⎫
-⨯=> ⎪⎝⎭
k
y x
=
∴函数解析式为 .(2)解:2104-(30+40+48+50+60+80+96+100)=1600.
即8天试销后,余下的海产品还有1 600千克.
当x=150时, =80.1600÷80=20(天).
答:余下的这些海产品预计再用20天可以全部售出.
(3)解:1600-80×15=400(千克),
设新确定的价格为每千克x 元. ,解得:x≤60,
答:新确定的价格最高不超过60元/千克才能完成销售任务.
7.【答案】(1)解:由表中数据得: ∴∴y 是x 的反比例函数,故所求函数关系式为 (2)解:由题意得: 把 代入得: 解得: 经检验, 是原方程的根;
∴单价应定为240元
8.【答案】(1)解:设DA 的函数关系式为y=kx+b (x≠0),
∵y=kx+b 过(0,20),(10,40),
∴{
b =2010k +b =40,
∴{b =20k =2,∴y=2x+20(0≤x≤10);
当y=30时,30=2x+20,
∴x=5;
答:他应该复习5分钟;
12000y x
=12000150
y =
120002400x
⨯≥6000
xy =6000
y x
=6000
y x =
()1203000
x y -=6000y x =()60001203000x x
-=240
x =240x =
(2)解:设BC 的函数关系式(k 1≠0)(21≤x≤45),∵过B (21,40),
∴,∴K 1=840,
∴(21≤x≤45),当x=30时,,28﹣5=23,
∵23>22,
∴这位老师能在学生听课效果最好时讲完新课内容.
9.【答案】(1)解:当 时,设 把 代入 得: 所以: (2)解:当 时,
经检验: 是原方程的解,且符合题意,
所以恒温系统最多可以关闭 小时,才能使蔬菜避免受到伤害.
10.【答案】(1)解:∵使用5升水,漂洗1次后,衣服中残留洗衣粉2克,
∴v=5,x=1,y=2,
∴2=,∴k=-0.1.
(2)解:∵v=5,
∴y=
, ∵反比例函数y=,在x>0的范围内y 随x 的增大而减少,∴当y<0.8时,漂洗的次数x>2.5,
∴至少漂洗3次,衣服中残留的洗衣粉量小于0.8克.
(3)解:由(1)得y=, 1k y x =
14021
k =840y x
=
8402830y ==1024x ≤≤k y x
=()1020,
k y x =,1020200k =⨯=,200.y x
=10y =20010x =,20x ∴=,
20x =201010∴-=,
105 2.51
k +0.15 2.52x x
-⨯+=2x 0.1 2.5v x
-+
∴xy=-0.1v+2.5,即x 2y=-0.1vx+2.5x ,
∵将20升水等分成x 次,
∴vx=20,
∴x 2y=-2+2.5x ,
∵y=0.5,
∴0.5x 2=-2+2.5x ,
即x 2-5x+4=0,
∴x 1=4,x 2=1(舍去,x >1),
∴当x=4时,每次漂洗用水v=20÷4=5升.
答:每次漂洗用水5升.
11.【答案】(1)解:在平面直角坐标系中,根据表格中的数据水位变化图象如图所示,
;
4≤x <8.8
(2)解:观察图象当0<x <8时,y 与x 可能是一次函数关系:设y=kx+b ,把(0,14),(8,18)代入
得 {b =148k +b =18 解得: {
k =12b =14 , y 与x 的关系式为: ,经验证(2,15),(4,16),(6,17)都满足 因此放水前y 与x 的关系式为: (0<x <8).观察图象当x >8时,y 与x 就不是一次函数关系:通过观察数据发现:
8×18=10×14.4=12×12=16×9=18×8=144.
1142
y x =+1142y x =+1142
y x =+
因此放水后y 与x 的关系最符合反比例函数,关系式为:设 ,则 ,y 与x 的关系式为: .( )所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为: (0<x <8)和 .( )
(3)解:当y=6时, ,解得: , 因此预计24h 水位达到6m.12.【答案】(1)解:将点A 的坐标为代入直线中,得,解得:,
,
,
B 的坐标为(2)解:如图,作轴于点E ,轴于点F ,则,
,
,
,, ,,
,
,
k y x =144k =144=y x
8x ≥1142y x =
+144=y x 8x ≥1446=x
24x =()-3A m ,
32y x =332
m =﹣-2m =()2-3A ∴-,=-2(3)=6k ∴⨯-()23,
BE x ⊥CF x ⊥BE CF BE CF DCF DBE ∴ ∽DC CF DB BE
∴=2BC CD = 13DC CF DB BE ∴
==()23B ,3BE ∴=1CF ∴=
,
作点B 关于y 轴的对称点,连接交y 轴于点G ,则即为的最小值,
,
设的解析式为,
,
,解得: ,解析式为,当时,,;(3)解:存在.理由如下:
当点P 在x 轴上时,如图,
设点 的坐标为 ,过点B 作轴于点M ,四边形是矩形,
,
()61C ∴,B 'B C 'B C 'BG GC +()()2361B C -' ,,,B C ∴=='=BG GC B C '∴+B C 'y kx b =+()()2361B C -' ,,,3216k b k b =-+⎧⎨=+⎩
1452
k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴B C '1542
y x =-+0x =52
y =502G ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭
,1P ()0a ,
BM x ⊥ 11ABPQ 190OBP ∴∠=︒
,,,
,,
,,
,,经检验符合题意,
∴点 的坐标为;当点P 在y 轴上时,过点B 作轴于点N ,如图2,
设点 的坐标为,
四边形是矩形,
,
,,
,
,
,经检验符合题意,
∴点的坐标为,1==90OMB OBP ∴∠∠︒1
=BOM POB ∠∠1OBM OPB ∴ ∽1
OB OM OP OB ∴=()23B ,OB ∴==2OM ==132a ∴=
1P 1302⎛⎫ ⎪⎝⎭
,BN y ⊥2P ()0b , 22ABP Q 290OBP ∴∠=︒2==90ONB P BO ∠∠︒ 2BON P OB ∠=∠2BON P OB ∴ ∽2OB ON OP OB
∴==133b ∴=
2P 1303⎛⎫
⎪⎝⎭
,
综上所述,点P 的坐标为或.13.【答案】(1)解:停止加热 分钟后,设 , 由题意得: , 解得: ,
, 当 时,解得: ,当 时, ,
点坐标为 , 点坐标为 , 当加热烧水时,设 ,
由题意将 点坐标 代入上式得 , 解得: ,
当加热烧水时,函数关系式为 ;
当停止加热时 与 的函数关系式为 ; ;(2)解:把 代入 ,得 , 因此从水壶中的水烧开 降到 可以泡茶需要等待 分钟.
14.【答案】(1)解:根据题意可知:
当时,设y 与x 的函数解析式为,
∴,
解得:,
∴;
当时,设y 与x 的函数解析式为,∴,解得:1302⎛⎫ ⎪⎝⎭,1303⎛⎫ ⎪⎝⎭
,1k y x =
5018
k =900k =900y x
∴=100y =9x =20y =45x =C ∴()9100,
B ∴()8100,
20y ax =+B ()8100,
100820a =+10a =∴()102008y x x =+≤≤y x 100(89)y x =<≤900(945)y x x =
<≤90y =900y x
=10x =()100℃90℃1082-=030x ≤≤1y k x =112030k =14k =()4030y x x =≤≤30x ≥2k y x =
212030
k =23600
k =
∴综上所述,该商品上市以后销售量y (万件)与时间x (天数)之间的表达式为:;.(2)解:当时,
令,
解得:,
∴,
∴销量不到36万件的天数为8天;
当时,令,解得: (不符合题意),
∴上市至第100天(含第100天),日销售量在36万件以下(不含36万件)的天数为8天;(3)解:当时,
令,
解得:∴,
∴销量超过100万件的天数为6天,
当时,
令,解得:∴,
销量超过100万件的天数为6天,
综上所述,销售量不低于100万件,并且持续天数为12天,广告设计师可以拿到“特殊贡献奖”.()360030y x x
=≥()4030y x x =≤≤()360030y x x
=≥030x ≤≤436x <9x <09x ≤<30x ≥360036x
<100x >030x ≤≤4100x ≥25
x ≥2530x ≤≤30x ≥3600100x
≥36
x ≤3036x ≤≤。