2003数一数三考研数学真题及解析

2003年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.把答案填在题中横线上.)
(1)设10,cos ,()0,0,x x f x x
x λ
⎧≠⎪
=⎨=⎪⎩
其导函数在0x =处连续,则λ的取值范围是 .
(2)已知曲线b x a x y
+-=233与x 轴相切,则2b 可以通过a 表示为=2b
.
(3)设0,a >,01,
()()0,,
a x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩若其他而D 表示全平面,则
⎰⎰-=D
dxdy x y g x f I )()(=
.
(4)设n 维向量0,),0,,0,(<=a a a T α;E 为n 阶单位矩阵,矩阵
T E A αα-=,
T a
E B αα1
+=
其中A 的逆矩阵为B ,则a =
.
(5)设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为
.
(6)设总体X 服从参数为2的指数分布,
n X X X ,,,21 为来自总体X 的简单随机样本,则当
∞→n 时,∑==n i i n X n Y 1
2
1依概率收敛于
.
二、选择题(本题共6小题,每小题4分,满分24分.每题小给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)
(1)设()f x 为不恒等于零的奇函数,且)0(f '存在,则函数x
x f x g )
()(= (A ) 在0x =处左极限不存在. (B ) 有跳跃间断点0x =. (C ) 在0x =处右极限不存在.
(D ) 有可去间断点0x =.
(2)设可微函数(,)f x y 在点),(00y x 取得极小值,则下列结论正确的是 (A ) ),(0y x f 在0y y
=处的导数等于零.
(B ) ),(0y x f 在0y y =处的导数大于零. (C )
),(0y x f 在0y y =处的导数小于零.
(D ) ),(0y x f 在0y y =处的导数不存在.
(3)设2
n
n n a a p +=
,2
n
n n a a q -=
, ,2,1=n ,则下列命题正确的是
(A ) 若
∑∞
=1
n n
a
条件收敛,则
∑∞
=1
n n
p
与
∑∞
=1
n n
q
都收敛.
(B ) 若
∑∞
=1n n
a
绝对收敛,则
∑∞
=1n n
p
与
∑∞
=1n n
q
都收敛.
(C )
∑∞
=1
n n
a
若条件收敛,则
∑∞
=1n n
p
与
∑∞
=1n n
q
的敛散性都不定.
(D ) 若∑∞
=1
n n
a
绝对收敛,则
∑∞
=1
n n
p
与
∑∞
=1
n n
q
的敛散性都不定.
(4)设三阶矩阵⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡=a b b b a b b b a A ,若A 的伴随矩阵的秩等于1,则必有
(A ) a b =或20a b +=. (B ) a b =或20a b +≠. (C ) a b ≠且20a b +=.
(D ) a b ≠且20a b +≠.
(5)设s ααα,,,21 均为n 维向量,下列结论不正确．．．的是 (A ) 若对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,都有0221
1≠+++s s k k k ααα ,则
s ααα,,,21 线性无关.
(B ) 若s ααα,,,21 线性相关,则对于任意一组不全为零的数s k k k ,,,21 ,有1122k k αα+
0.s s k α++=L
(C ) s ααα,,,21 线性无关的充要条件是此向量组的秩为s . (D ) s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关.
(6)将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:
1A ={掷第一次出现正面},2A ={掷第二次出现正
面},3A ={正、反面各出现一次},4A ={正面出现两次},则事件
(A ) 321,,A A A 相互独立. (B ) 432,,A A A 相互独立. (C ) 321,,A A A 两两独立.
(D ) 432,,A A A 两两独立.
三、(本题满分8分) 设1111(),[,1)sin (1)2
f x x x x x πππ=
+-∈-,试补充定义(1)f 使得()f x 在]1,21[上连续.
四、(本题满分8分)
设(,)f u v 具有二阶连续偏导数,且满足12
222=∂∂+∂∂v
f u f ,又)](21,[),(22
y x xy f y x g -=,求 .222
2y
g
x g ∂∂+∂∂
五、(本题满分8分) 计算二重积分
.)sin(22)
(22
dxdy y x e I D
y x
+=⎰⎰-+-π
其中积分区域D =}.),{(2
2
π≤+y x y x
六、(本题满分9分)
求幂级数∑∞
=<-+1
2)1(2)1(1n n
n
x n x 的和函数()f x 及其极值.
七、(本题满分9分)
设()()()F x f x g x =,其中函数(),()f x g x 在),(+∞-∞内满足一下条件:
)()(x g x f =',)()(x f x g ='且(0)0f =,.2)()(x e x g x f =+
(1)求()F x 所满足的一阶微分方程; (2)求()F x 出的表达式.
八、(本题满分8分)
设函数()f x 在[0,3]上连续,在(0,3)内可导,且(0)(1)(2)3,(3)1f f f f ++==.试证必存在
(0,3)ξ∈,使.0)(='ξf
九、(本题满分13分) 已知齐次线性方程组
⎪⎪⎪⎩⎪
⎪⎪⎨⎧=+++++=+++++=+++++=+++++,
0)(,0)(,
0)(,0)(332211332211332211332211n
n n n n n n n x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b a 其中
.01
≠∑=n
i i
a
试讨论n a a a ,,,21 和b 满足何种关系时,
(1)方程组仅有零解;
(2)方程组有非零解.在有非零解时,求此方程组的一个基础解系.
十、(本题满分13分) 设二次型
)0(222),,(312
32221321>+-+==b x bx x x ax AX X x x x f T ,
其中二次型的矩阵A 的特征值之和为1,特征值之积为12-.
(1)求,a b 的值;
(2)利用正交变换将二次型化f 为标准型,并写出所用的正交变换和对应的正交矩阵.
十一、(本题满分13分)
设随机变量X的概率密度为
[1,8],
()
;
0,
x
f x
∈
=
⎩
其他
()
F x是X的分布函数,求随机变量()
Y F X
=的分布函数.
十二、(本题满分13分)
设随机变量X与Y独立,其中的概率分布为
⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛
7.0
3.0
2
1
~
X,
而Y的概率密度为()
f y,求随机变量U X Y
=+的概率密度()
g u.
2003年考研数学三试题答案与解析
一、填空题
(1)【分析】从题意知参数λ是在实数集中取值,这时幂函数xλ的定义域为0
x>.故题目中的函数宜改为
1
0,
cos,
()
0.
0,
x
x
f x x
x
λ
⎧
≠
⎪
=⎨
=
⎪⎩
若
若
以下讨论这个函数()
f x的导函数'()
f x在0
x=处的连续的条件.显然()
f x在0
x=可导的充要条件是1
λ>,且当1
λ>时有
'1
00
1
cos01
(0)lim lim cos0.
x x
x
x
f x
x x
λ
λ
++
-
+
→→
-
===
-
由()
f x是偶函数,又可得
''
00
()(0)()(0)
(0)lim lim(0)0.
00
x x
f x f f x f
f f
x x
--
-+
→→
---
==-=-=
---
故当1
λ>时,'(0)
f存在且等于0.
注意,当0x >时,1
211'()cos
sin f x x x x x λλλ--=+; 当0x <时,12
11'()cos sin f x x
x x x
λλλ--=+. 于是()f x 由的导函数在0x =处连续得0
lim '()'(0)0x f x f →==,故λ的取值范围是2λ>.
(2)【分析】
22'()33y x x a =-,令'()0y x =有x a =或x a =-.由题设还有3330a a b -+=或
3330a a b -++=,所以32b a =或32b a =-,即264b a =.
(3)【分析】 由题设知201,01
,()()0,
x y x a f x g y x ⎧≤≤≤-≤-=⎨⎩若且其他,
于是,令1
{(,)01,01}{(,)01,1}D x y x y x x y x x y x =≤≤≤-≤=≤≤≤≤+,则
1
11
2
2
20
()()x x
D
D I f x g y x dxdy a dxdy a
dx dy a +=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰
.
(4)【分析】 按可逆定义,有AB E =,即
()1
11
()T
T
T T T T E E E a
a a
αααααααααααα-+=+--.
由于22T a αα=,而T
αα是秩为1的矩阵,故
111
(12)0120, 1.2
T AB E a a a a a a αα=⇔--=⇔--=⇒==-
已知0a <,故应填:1-.
(5)【分析】 (0.4),DZ D X DX =-=
(,)(,0.4)(,)(,),
0.9.
XY XY Cov Y Z Cov Y X Cov Y X Cov X Y ρρ=-======
(6)【分析】 根据简单随机样本的性质,n X X X ,,,21 相互独立都服从参数为2的指数分布,因此
222
12,,,n
X X X L 也都相互独立同分布,且它们共同的期望值为
222111()().422
i i i EX DX EX =+=
+= 根据辛钦大数定律,当∞→n 时,∑==n i i n X n Y 1
2
1依概率收敛于其期望值12,因此应填:12.
二、选择题
(1)【分析】 由()f x 是奇函数有(0)0f =.又因为)0(f '存在,所以
00()(0)()
(0)lim
lim lim ().0x x x f x f f x f g x x x
→→→-'===- 由于函数()g x 在点0x =无定义,但存在0
lim ()'(0)x g x f →=,所以0x =是()g x 的可去间断点.故应选(D ).
(2)【分析】 由函数(,)f x y 在点),(00y x 处可微,知函数(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都存在,又由二元函数极值的必要条件即得(,)f x y 在点),(00y x 处的两个偏导数都等于零.从而有
000(,)(,)
(,)
0.y y x y x y df x y f dy
y
==∂=
=∂
故应选(A ).
(3)【分析】 利用正项级数的比较判别法,由级数
∑∞
=1
n n
a
绝对收敛以及
0,0n n n n p a q a ≤≤≤-≤
可知,正项级数
∑∞
=1
n n
p
与
1
()n
n q ∞=-∑都收敛,从而∑∞
=1
n n
p
与
∑∞
=1
n n
q
都收敛,故应选(B ).
(4)【分析】 根据伴随矩阵A *
秩的关系式
,(),()1,()1,0,()1,n r A n r A r A n r A n *=⎧⎪
==-⎨⎪<-⎩
若若若知()1()2r A r A *=⇔=.
若a b =,易见()1r A ≤,故可排除(A ),(B ).
当a b ≠时,A 中有2阶子式
0a b b a
≠,若()2r A =,按定义只需0A =.由于
2222(2)().a b a b a b A b a b a b a b b b a +++⎡⎤
⎢⎥==+-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
所以应选(C ).
(5)【分析】 按线性相关定义:若存在不全为零的数s k k k ,,,21 ,使
11220s s k k k ααα+++=L ,
①
则称向量组s ααα,,,21 线性相关.即齐次方程组12
12(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L M 有非零解,则向量
组
s ααα,,,21 线性相关,而非零解就是关系式①中的组合系数.
按定义不难看出(B )是错误的,因为①式中的常数s k k k ,,,21 不能是任意的,而应当是齐次方程组的解.所以应选(B ).
而向量组s ααα,,,21 线性无关,即齐次方程组12
12(,,,)0s n x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
L M 只有零解,亦即系数
矩阵的秩12(,,,)s r s ααα=L
.故(C )是正确的,不应当选.
因为线性无关等价于齐次方程组只有零解,那么,若s k k k ,,,21 不全为0,则12(,,,)T s k k k L 必
不是齐次方程组的解,即必有0221
1≠+++s s k k k ααα .可知(A )是正确的,不应当选.
因为“如果s ααα,,,21 线性相关,则必有11,,,s s ααα+L 线性相关”,所以,若s ααα,,,21 中
有某两个向量线性相关,则必有s ααα,,,21 线性相关.那么s ααα,,,21 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关.因此(D )是正确的,不应当选.
(6)【分析】 123411211(),(),(),(),22424
P A P A P A P A =
==== 124132312311
()(),()(),()()044
P A A P A P A A P A A P A A A P =====∅=.
计算看出121213132323()()(),()()(),()()(),P A A P A P A P A A P A P A P A A P A P A ===但是
123123()()()()P A A A P A P A P A ≠.因此事件123,,A A A 两两独立但不相互独立.应选(C ).
进一步分析,由于事件2
4A A ⊃,故2A 与4A 不独立.因此不能选(B )与(D ).
三、【解】
利用sin sin[(1)]sin (1)x x x ππππ=--=-,并令(1)y x π=-,有
1
1
1
(1)sin lim ()lim (1)sin x x x x
f x x x
πππππ-
-
→→--=+-
2
00001
sin 1sin lim lim sin 11cos 1sin 1lim lim .22y y y y y y y y
y y y y y y πππππ+
+
++→→→→--=
+=+-=+=+=
由于()f x 在1[,1)2
上连续,因此定义1
(1)f π
=,就可使()f x 在]1,2
1[上连续.
四、【解】
由一阶全微分形式不变性,得
221()()()()2f f f f dg d xy d x y ydx xdy xdx ydy u v u v ∂∂∂∂=
+-=+--∂∂∂∂ ()()f f f f y x dx x y dy u v u v
∂∂∂∂=++-∂∂∂∂.
于是
,g f f g f f y x x y x u v y u v
∂∂∂∂∂∂=+=-∂∂∂∂∂∂. 故
22222222()()()()g f f f f f f f f y x y y x y x x x u x v v u u v v u v v
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++=++++∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂
222
2
2222,f f f f y xy x u u v v v ∂∂∂∂=+++∂∂∂∂∂ 22222222
()()()()g f f f f f f f f
x y x x y y x y y y u y v v u u v v u v v
∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=--=----∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ 222
2
2222.f f f f x xy y u u v v v ∂∂∂∂=-+-∂∂∂∂∂ 所以 2222
222222
2222()().g g f f y x x y x y x y u v
∂∂∂∂+=+++=+∂∂∂∂
五、【解】
作极坐标变换cos ,sin x r y r θθ==,有
222
2()
2220
sin()sin x y r D
I e
e
x y dxdy e
d r dr π
π
π
θ-+-=+=⎰⎰⎰
.
令2
t r =,则0
sin t I
e e tdt π
ππ-=⎰.记0
sin t A e tdt π
-=⎰,于是
sin sin cos t t t A tde e t
e tdt π
π
π
---=-=-+⎰⎰
cos cos sin 1.t t t tde e t
e tdt e A π
π
π
π----=-=--=+-⎰⎰
由此可解得1
(1).2
A e π-=+ 因此 (1)(1).22
I e A e e e ππππππ
π-==+=+
六、【解】
将等式21
()1(1)(1)2n
n
n x f x x n ∞
==+-<∑逐项求导,得 212
1
'()(1)(1).1n n n x
f x x x x ∞
-==-=-
<+∑ 上式两边从0到x 积分,有
2
201()(0)ln(1)(1).12
x
t f x f dt x x t -=-=-+<+⎰
由于(0)1f =,故得到了和函数()f x 的表达式
21
()1ln(1)(1).2
f x x x =-+<
令'()0f x =,可求出函数()f x 有唯一驻点0x =,因为
2
22
1''()''(0)10,(1)
x f x f x -=-⇒=-<+ 可见()f x 在点0x =处取得极大值,且极大值为(0)1f =.
七、【解】
(1)由2
2
()'()()()'()()()F x f x g x f x g x f x g x =+=+
22[()()]2()()(2)2().x f x g x f x g x e F x =+-=-
可知()F x 所满足的一阶微分方程为2'()2()4.x
F x F x e
+=
(2)用2x
e
同乘方程两边,可得24(())'4x
x e
F x e =,积分即得22()4,x x e F x e C =+
于是方程的通解是22().x
x F x e
Ce -=+
将(0)(0)(0)0F f g ==代入上式,可确定常数1C =-.故所求函数的表达式为
22().x x F x e e -=-
八、【分析】 本题关键是证明存在一点[0,3)c ∈,使()1f c =,然后(3)1f =,用用罗尔定理即可.
【证明】因为()f x 在[0,3]上连续,所以()f x 在[0,2]上连续,且在[0,2]上必有最大值M 和最小值m ,于是(0),(1),(2).m f M m f M m f M ≤≤≤≤≤≤故
(0)(1)(2)
1.3
f f f m M ++≤
=≤
这表明1
[(0)(1)(2)]3
f f f ++是函数()f x 当[0,2]x ∈时的值域[,]m M 上的一个点.由闭区间上连续函数的最大、最小值定理与介值定理知,至少存在一点[0,2]c ∈,使
(0)(1)(2)
()13
f f f f c ++=
=.
因为()1(3)f c f ==,且()f x 在[,3]c 上连续,在(,3)c 内可导,所以由罗尔定理知,必存在(0,3)(0,3),ξ∈⊂使.0)(='ξf
九、【解】
方程组的系数行列式
1231231
231231
2
3
00000
n n n n n a b a a a a b a a a a a b a a b b A a a a b a b
b a a a a b
b
b
+++-=
+=-+-L L L
L L
L M M M M M M M
M L
L
231
1
000().0000
00
i
n n
n i i a b
a a a
b b a b b b
-=+=
=+∑∑L L L M M M M L
(1)当0b ≠且
1
0n
i i a b =+≠∑时,0A ≠,方程组仅有零解.
(2)当0b =时,原方程组的同解方程组为11220.n n a x a x a x +++=L
由
1
0n
i
i a
=≠∑可知(1,2,,)i a i n =L 不全为零,不妨设10a ≠.因为秩()1r A =,取23,,,n x x x L 为自由
变量,可得到方程组的基础解系为
12123111(,,0,,0),(,0,,,0),,(,0,0,,).T T T n n a a a a a a ααα-=-=-=-L L L L
当1
n i i b a ==-
∑时,由1
0n
i
i a
=≠∑知0b ≠,系数矩阵可化为
1231231
1100001010110000.1010100100
00001
1n
n i
n i a b a a a a a a a a b b A b
b b
b =⎡
⎤
+--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→⎢
⎥-⎢
⎥⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥-⎢
⎥⎣
⎦
⎣⎦-⎣⎦∑L L L L L L L
M M M M uu r uu r L M
M M M L M M M
M L L
L
①②
由于秩()1r A n =-,则0Ax =的基础解系是(1,1,1,1)T α=L .
十、【解】
(1)二次型f 的矩阵为002002a b A b ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
.设A 的特征值为(1,2,3)i i λ=,由题设,有 1232
1232(2)1,
1,22(2)12.
a a
b A a b λλλλλλ++=++-=⎧⎪⇒==⎨==--=-⎪⎩(已知0b >). (2)由矩阵A 的特征多项式
21
02
12
2
0(2)
(2)(3),2
2
2
02
E A λλλλλλλλλ-----=-=-=-+-+-+
得到A 的特征值1
232, 3.λλλ===-
对于2λ=,由102102(2)0,000000,204000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
得到属于2λ=的线性无关的特征向量1
2(0,1,0),(2,0,1).T T αα==
对于3λ=-,由402201(3)0,050010,201000E A x --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=-→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
得到属于3λ=-的特征向量3
(1,0,2)T α=-.
由于123,,ααα已两两正交,故只需单位化,有
123(0,1,0),,2).T T T γγγ==
=- 那么,
令1230(,,)1
00.0P γγγ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥
==⎢⎥⎢⎥⎢⎢⎣
则P 为正交矩阵,在正交变换x Py =下,有
122.3T P AP P AP -⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
二次型的标准型为222
123
223f y y y =+-.
十一、【解】 易见,当1x <时,()0F x =;当8x >时,()1F x =.对于[1,8]x ∈,有
1
()1x
f x ==⎰
.
设()G y 是随机变量()Y F X =的分布函数.显然当0y ≤时,()0G y =;当1y ≥时,()1G y =. 对于(0,1)y ∈,有
(){}{()}1}G y P Y y P F X y P y =≤=≤=≤
33{(1)}[(1)].P X y F y y =≤+=+=
于是,()Y F X =的分布函数为
0,0,
(),01,1, 1.y G y y y y <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
若若若
十二、【解】 设()F y 是Y 的分布函数,则由全概率公式,知U X Y =+的分布函数为
(){}G u P X Y u =+≤
0.3{1}0.7{2}0.3{11}0.7{22}.
P X Y u X P X Y u X P Y u X P Y u X =+≤=++≤==≤-=+≤-=
由于X 和Y 独立,可见
()0.3{1}0.7{2}0.3(1)0.7(2).G u P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-
由此,得U 的概率密度
()'()0.3'(1)0.7'(2)0.3(1)0.7(2).g u G u F u F u f u f u ==-+-=-+-。