【湘教版】高中数学必修一期末试题附答案(1)

一、选择题
1．设()31x
f x =-，若关于x 的函数2()()(1)()
g x f x t f x t =-++有三个不同的零点，则实数t 的取值范围为（ ） A ．102⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
B ．()0,2
C ．()0,1
D ．(]0,1
2．关于x 的方程x x a a -=有三个不同的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(0,4) B ．(4,0)-
C ．(4,4)-
D ．(,4)(4,)-∞-⋃+∞
3．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()20f x f x +--=，且当[]0,1x ∈时，
()()2log 1f x x =+，则下列结论正确的是（ ）
①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 是周期函数，且2是其一个周期；③16132f f ⎛⎫⎛⎫
<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
；④关于x 的方程()0f x t -=（01t <<）在区间()2,7-上的所有实根之和是12. A ．①④
B ．①②④
C ．③④
D ．①②③
4．若lg 2a =，lg3b =，则5log 12等于（ ）
A ．21a b a
++
B ．21a b a
+
C ．21a b a
D ．21a b a
-
5．已知函数()()3,<1log ,1
a a x a x f x x x ⎧--=⎨
≥⎩的值域．．
是R ，那么实数a 的取值范围是（ ） A ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦
B ．()1,+∞
C ．()()0,11,3
D ．3
,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭
6．函数32
ln ||
()x x f x x
-=
的图象大致为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．函数()(3)()f x x ax b =--为偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则(2)0f x ->的解集为（ ） A ．{|22}x x -<< B ．{|5x x >或1}x <- C ．{|04}x x <<
D ．{|4x x >或0}x <
8．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且
()1
12
f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式
()()234f x f x -⋅≥的解集为（ ）
A ．(]
[),12,-∞+∞ B ．[]1,2 C ．()1,2 D ．(],1-∞
9．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有
()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦
成立，若()()22
11f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]-
C ．(,1)
(2,)
-∞-+∞
D ．(,1][2,)-∞-+∞
10．下图中的阴影部分，可用集合符号表示为（ ）
A ．()()U U A
B ⋂ B ．()(
)U U
A B
C ．(
)U
A B
D ．
(
)U
A B ⋂
11．已知集合A ={x |-3≤x -1＜1}，B ={-3，-2，-1，0，1，2}，若C ⊆A ∩B ，则满足条件的集合C 的个数是（ ）.
A ．7
B ．8
C ．15
D ．16
12．已知全集U =R ，集合(){}{}
20,1A x x x B x x =+<=≤，则图中阴影部分表示的集合是（ ）
A ．()2,1-
B ．[][)1,01,2-
C ．()[]2,10,1--
D ．0,1
二、填空题
13．已知当0,
4x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
时，函数()2sin 16f x x πω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（0>ω）有且仅有5个零点，则ω的取值范围是______.
14．若关于x 的方程1x
a k -=（0a >且1a ≠）恰有两个解，则k 的取值范围是______.
15．已知21()1,()log 2x
f x
g x x m ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭
，若
()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，则实数m 的取值范围是_______.
16．设25a b m ==,且
11
2a b
+=,则m =______. 17．函数f (x )是定义在[－4，4]上的偶函数，其在[0，4]上的图象如图所示，那么不等式
()
cos f x x
<0的解集为________．
18．已知()()
2
1
353m f x m m x
+=++是幂函数，对12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠有
()()1212
0f x f x x x ->-，若,a b ∈R ，0a b +<，0ab <，则()()f a f b +________0（填
>，<）.
19．已知集合(){}
2
2330,,A x x a x a a R x R =+--=∈∈，集合
(){}
22330,,B x x a x a a a R x R =+-+-=∈∈，若,A B A B ≠⋂≠∅，则
A B =_______
20．对于集合M ，定义函数1()1M x M
f x x M ∈⎧=⎨
-∉⎩
，对于两个集合M 、N ，定义集合
{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,用()Card M 表示有限集合M 所含元素的个数,若
{1,2,4,8}A =,{2,4,6,8,10}B =,则能使()()Card X A Card X B *+*取最小值的集合X 的
个数为________.
三、解答题
21．已知函数2()29f x x ax =-+.
(I)当0a ≤时，设()(2)x g x f =，证明：函数()g x 在R 上单调递增； (II)若[1,2]x ∀∈，(2)0x f ≤成立，求实数a 的取值范围； (III)若函数()f x 在(3,9)-有两个零点，求实数a 的取值范围.
22．定义在R 上的函数()f x 满足()00f ≠，且当0x >时，()1f x >，对任意
a b ，∈R ，均有()()()f a b f a f b +=⋅．
（1）求证：()01f =；
（2）求证：对任意x ∈R ，恒有()0f x >； （3）求证：()f x 是R 上的增函数；
（4）若()()
2
21f x f x x ⋅->，求x 的取值范围．
23．已知函数3
5()log 5x
f x x
-=+． （1）求函数()f x 的定义域；
（2）判断函数()f x 奇偶性，并证明你的结论.
24．已知函数()lg(3)f x ax =-的图像经过定点(2,0)． (1)求a 的值；
(2)设(3),(5)f m f n ==，求21log 63（用,m n 表示）；
25．已知二次函数2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，且0a ≠）的图象过()0,1A ，
()1,5B 两点，且它的对称轴的方程为12
x =-.
（1）求该二次函数的表达式；
（2）当26x ≤≤时，函数()2
2y ax b m x c =+-+的最大值为()G m ，最小值为
()H m ，令()()()h m G m H m =-，求()h m 的表达式.
26．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤2a ＋3}，B ＝{x |－2≤x ≤4}，全集U ＝R ． （1）当a ＝2时，求A ∪B 和(∁R A )∩B ； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的取值范围．
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一、选择题
1．C 解析：C 【分析】
由()0g x =得()1f x =或()f x t =，作出函数()f x 的图象，可得()f x t =需有两解，有此可得t 的范围． 【详解】
据题意()0g x =有三个解．
由()0g x =得()1f x =或()f x t =，易知()1f x =只有一个解， ∴()f x t =必须有两解， 由图象知01t <<． 故选：C ．
【点睛】
关键点点睛：本题考查函数零点个数问题，解题时根据零点的定义化为方程()0g x =的解的个数，进而转化为()f x t =的解的个数，再利用数形结合思想，考虑函数()y f x =的图象与直线y t =的交点个数问题．掌握转化思想是解题关键．
2．D
解析：D 【分析】
画出函数()22,()
,()
x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得
【详解】
数形结合法：画出函数()22,()
,()
x ax x a f x x x a x ax x a ⎧-≥=-=⎨-+<⎩与y a =图象可得
由图可得：204a a <<解得4a > 或2
04
a a >>-解得4a
故选：D 【点睛】
数形结合法：画出相应的函数图象，通过观察图象与x 轴在给定区间上是否有交点来判断，或者转化为两个函数图象在给定区间上是否有交点来判断.
3．A
解析：A 【分析】
由对称性判断①，由周期性判断②，周期性与奇偶性、单调性判断③，作出函数
()y f x =的大致图象与直线y t =，由它们交点的性质判断④．
【详解】
由()()20f x f x +--=可知()f x 的图象关于直线1x =对称，①正确； 因为()f x 是奇函数，所以()()()2f x f x f x +=-=-，所以
()()()42f x f x f x +=-+=，所以()f x 是周期函数，其一个周期为4，但不能说明2
是()f x 的周期，故②错误；
由()f x 的周期性和对称性可得1644243333f f f f ⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫
=+=
= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
.又当[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，所以()f x 在[]0,1x ∈时单调递增，所以1223f f ⎛⎫
⎛⎫
< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，即
16132f f ⎛⎫⎛⎫
> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，③错误； 又[]0,1x ∈时，()()2log 1f x x =+，则可画出()f x 在区间[]
2,8-上对应的函数图象变化趋势，如图
易得()0f x t -=（01t <<）即()f x t =（01t <<）在区间()2,7-上的根分别关于1，5对称，故零点之和为()21512⨯+=，④正确. 故选：A. 【点睛】
本题考查函数的奇偶性、对称性、单调性，考查函数的零点，掌握函数的基本性质是解题基础．函数零点问题常用转化为函数图象与直线的交点问题，利用数形结合思想求解．
4．C
解析：C 【分析】
利用对数的换底公式可将5log 12用a 、b 表示. 【详解】
根据对数的换底公式得，
5lg12lg3lg 4lg32lg 22log 12lg5lg10lg 21lg 21a b
a
+++=
===---， 故选：C ．
关键点点睛：该题考查的是有关对数的运算，解答本题的关键是熟记换底公式以及对数的运算性质，利用运算性质化简、运算，其中lg5lg10lg 2=-是题目的一个难点和易错点.
5．A
解析：A 【分析】
当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须
要包含()0,+∞，
，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，
,从而可得答案. 【详解】
由题意，()f x 的值域为R ，
当0＜a ＜1时，当1≥x 时，log 0a y x =≤，
所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，
当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 所以不满足()f x 的值域为R .
当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，
， 所以当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，
, 若3a =时，当1x <时，3y a =-=-，不满足()f x 的值域为R .
若3a >时，当1x <时，()3y a x a =--单调递减，()332y a x a a =-->- 所以不满足()f x 的值域为R .
若13a <<时，当1x <时，()3y a x a =--单调递增，()332y a x a a =--<- 要使得()f x 的值域为R ，则320a -≥，即3
2
a ≤ 所以满足条件的a 的取值范围是：312
a <≤， 故选：A ． 【点睛】
关键点睛：本题考查根据函数的值域求参数的范围，解答本题的关键是当0＜a ＜1时，当
1≥x 时，log 0a y x =≤，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0,+∞，，当1a >时，当1≥x 时，[)log 0a y x =∈+∞，，则当1x <时，()3y a x a =--的值域必须要包含()0-∞，，属于中档题. 6．A
解析：A
判断奇偶性可排除两个选项，再确定函数值的变化趋势排除一个，得出正确选项． 【详解】
解：函数的定义域为{0}x
x ≠∣， 因为332
2
()ln ||
ln ||
()()()
x x x x f x f x x x
-----=
=
=-，
所以()f x 为偶函数，所以排除C ,D,
又因为当0x >时，322
ln ln ()x x x
f x x x x
-==-， 当x →+∞时，()f x →+∞，所以排除B
故选：A. 【点睛】
本题考查由函数解析式选择函数图象，解题方法是排除法，即通过判断函数的性质，特殊的函数值或函数值的变化趋势等，排除错误选项，得出正确答案．
7．B
解析：B 【分析】
根据函数是偶函数，求出a ，b 关系，结合单调性确定a 的符号即可得到结论． 【详解】
2()(3)()(3)3f x x ax b ax a b x b =--=-++为偶函数， 所以22()(3)3(3)3f x ax a b x b ax a b x b -=+++-=++ 30a b ∴+=，即3b a =-，
则2()(3)(3)(3)(3)9f x x ax a a x x ax a =-+=-+=-， 在(0,)+∞上单调递增，0a ∴>，
则由(2)(1)(5)0f x a x x -=--->，得(1)(5)0x x +->， 解得1x <-或5x >，
故不等式的解集为{|1x x <-或5}x >． 故选：B 【点睛】
思路点睛：解答本题只要按部就班化简转化函数为偶函数和单调性即可得解.由函数的奇偶性得到3b a =-，由函数的单调性得到0a >.
8．B
解析：B 【分析】
计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()2
34f x f x
-⋅≥，可得出()()2
32f x
x f -≥-，再由函数()y f x =在R 上
的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】
由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=
，
()()
1
121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.
设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()2
34f x f x
-⋅≥，可得
()()232f x x f -≥-.
所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤. 因此，不等式()()2
34f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.
故选B. 【点睛】
本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．A
解析：A 【分析】
由函数的单调性列x 的不等式求解即可. 【详解】
由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在R 上为增函数， 由(
)(
)
2
2
11f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，
故22
min 1(1)m m x --<+，即211m m --<解得12m -<<.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题
10．C
解析：C 【分析】
图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集. 【详解】
图中阴影部分是集合A 与集合B 的补集的交集，所以图中阴影部分，可以用(
)
U
A B 表
示.
【点睛】
本题考查了用韦恩图表示集合间的关系，考查了学生概念理解，数形结合的能力，属于基础题.
11．D
解析：D 【分析】
推导出C ⊆A ∩B ={-2，-1，0，1}，由此能求出满足条件的集合C 的个数． 【详解】
∵集合A ={x |-3≤x -1＜1}={x |-2≤x ＜2}，
B ={-3，-2，-1，0，1，2}，
C ⊆A ∩B ={-2，-1，0，1}， ∴满足条件的集合C 的个数是：24=16． 故选：
D ． 【点睛】
本题考查满足条件的集合C 的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
12．C
解析：C 【分析】
由集合描述求集合,A B ，结合韦恩图知阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，分别求出
()U C A B 、()A B ⋃，然后求交集即可.
【详解】
(){}20{|20}A x x x x x =+<=-<<，{}
1{|11}B x x x x =≤=-≤≤，
由图知：阴影部分为()()U C A B A B ⋂⋂⋃，而{|10}A B x x ⋂=-≤<，
{|21}A B x x ⋃=-<≤，
∴(){|1U C A B x x ⋂=<-或0}x ≥，即()(){|21U C A B A B x x ⋂⋂⋃=-<<-或
01}x ≤≤，
故选：C 【点睛】
本题考查了集合的基本运算，结合韦恩图得到阴影部分的表达式，应用集合的交并补混合运算求集合.
二、填空题
13．【分析】令利用正弦函数的性质解方程得出非负根中较小的六个根根据题意得出且整理即可得出答案【详解】令得则或整理得或则非负根中较小的有则且解得：故答案为：【点睛】本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范
解析：56163
ω≤<
【分析】
令()0f x =，利用正弦函数的性质解方程1sin 62
x πω⎛⎫
+= ⎪⎝
⎭，得出非负根中较小的六个根，根据题意，得出44
π
π
ω
≤
且
2434
πππωω+>，整理即可得出答案. 【详解】
令()0f x =，得1sin 62x πω⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭
则26
6
x k π
π
ωπ+
=+或52,6
6
x k k Z π
π
ωπ+
=+
∈ 整理得2k x π
ω
=
或22,3k x k Z π
π
ω
ω
=
+
∈ 则非负根中较小的有22224240,,,,,333πππππππωωωωωωω
++ 则
44ππω≤且2434
πππωω+> 解得：56163
ω≤<
故答案为：56163
ω≤< 【点睛】
本题主要考查了根据函数零点的个数求参数范围，属于中档题.
14．【分析】根据函数与方程之间的关系转化为函数图象交点个数问题结合指数函数的性质利用数形结合进行求解即可【详解】解：不妨设则作出函数的图象如图：要使方程（且）恰有两个解则即实数k 的取值范围是故答案为：【 解析：0,1
【分析】
根据函数与方程之间的关系，转化为函数图象交点个数问题，结合指数函数的性质，利用数形结合进行求解即可. 【详解】
解：不妨设1a >，则1,0
()11,0x x
x a x f x a a x ⎧-≥=-=⎨-+<⎩
，
作出函数()f x 的图象如图：
要使方程|1|x
a k -=（0a >且1a ≠）恰有两个解， 则01k <<，
即实数k 的取值范围是()0,1， 故答案为：()0,1
【点睛】
本题主要考查函数与方程的应用，利用指数函数的性质转化为两个函数的交点个数问题，利用数形结合是解决本题的关键.
15．【分析】求出函数在上的最值最后根据题意列出不等式进行求解即可【详解】当时因此；当时因此因为所以有即故答案为：【点睛】本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值考查了存在性和任意性的概念的理解考查了数
解析：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦
【分析】
求出函数(),()f x g x 在[1,3]x ∈上的最值，最后根据题意列出不等式进行求解即可. 【详解】
当[1,3]x ∈时，11[,1]28x
⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，因此9()[,2]8f x ∈；
当[1,3]x ∈时，22(log )[0,log 3]x ∈，因此2()[,log 3]g x m m ∈+， 因为()()1212[1,3],[1,3],x x f x g x ∀∈∃∈≥，所以有min min ()()f x g x ≥， 即
99
88
m m ≥⇒≤. 故答案为：9,8⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦
【点睛】
本题考查了求指数型函数和对数型函数的最小值，考查了存在性和任意性的概念的理解，考查了数学运算能力.
16．【分析】变换得到代入化简得到得到答案【详解】则故故答案为：【点睛】本题考查了指数对数变换换底公式意在考查学生的计算能力 10
【分析】
变换得到2log a m =，5log b m =，代入化简得到
11
log 102m a b
+==，得到答案.
【详解】
25a b m ==，则2log a m =，5log b m =，
故
11
log 2log 5log 102,m m m m a b
+=+==∴=
【点睛】
本题考查了指数对数变换，换底公式，意在考查学生的计算能力.
17．【解析】在区间上不等式不成立在区间上要使不等式成立则所以所以在区间上不等式的解集为再由偶函数的对称性知在区间上不等式的解集为所以不等式的解集为点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想属于中档题 解析：(,1)(1,)22
π
π
-
-⋃ 【解析】
在区间[]0,1 上，()0,cos 0f x x ≥>，不等式不成立，在区间[]1,4 上，()0f x ≤，要使不等式
()
0cos f x x <成立，则cos 0x >，所以(1,)2
x π∈，所以在区间[]0,4上，不等式的解集为(1,)2
π，再由偶函数的对称性知，在区间[)4,0-上，不等式的解集为(,1)2
π
--，所以
不等式的解集为(,1)(1,)22
π
π
-
-⋃． 点睛：本题考查偶函数的对称性及数形结合数学思想，属于中档题．
18．【分析】先根据是幂函数求出的值再根据且有得出为增函数进而得到函数解析式再根据函数的奇偶性即可求解【详解】解：是幂函数解得：或当时当时又对且时都有在上单调递增易知的定义域为且为上的奇函数且在上单调递增 解析：<
【分析】
先根据()()
2
1
353m f x m m x
+=++是幂函数，求出m 的值，再根据12,(0,)x x ∈+∞且
12x x ≠有
()()1212
0f x f x x x ->-，得出()f x 为增函数，进而得到函数解析式，再根据函数
的奇偶性即可求解. 【详解】 解：
()()21353m f x m m x +=++是幂函数，
23531m m +∴+=，
解得：2
3
m =-
或1m =-，
当2
3
m =-时，()13f x x =，
当1m =-时，()0
1f x x ==，
又
对12,(0,)x x ∈+∞且12x x ≠时，都有
()()1212
0f x f x x x ->-，
()f x ∴在(0,)+∞上单调递增， ()13f x x
∴=，
易知()f x 的定义域为R ，
且()()()113
3
f x x x f x -=-=-=-，
()f x ∴为R 上的奇函数，且在R 上单调递增， 0a b <+， a b ∴<-，
()()()f a f b f b ∴<-=-，
()()0f a f b ∴+<.
故答案为：<. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是利用幂函数以及单调性得出函数的解析式.
19．【分析】设公共根是代入两方程作差可得即公共根就是进一步代入原方程求解两集合即可得出答案【详解】两个方程有公共根设公共根为两式相减得:即①若则两个方程都是与矛盾;②则公共根为代入得:即解得:(舍)故答 解析：{2,3,1}--
【分析】
设公共根是b ,代入两方程,作差可得b a =,即公共根就是a ,进一步代入原方程求解两集合,即可得出答案. 【详解】
A B ⋂≠∅ ∴两个方程有公共根
设公共根为b
∴2(23)30b a b a +--=,22(3)30b a b a a +-+-=
两式相减得:20ab a -=,即()0a b a -=.
①若0a =,则两个方程都是230x x -=,与A B ≠矛盾; ②0,a ≠则b a =,
∴公共根为a ,代入2(23)30x a x a +--=
得:2
(23)30a a a a +--= 即220a a -=,解得:0a =(舍),2a =
{}2|60{3,2}A x x x ∴=+-==- 2
|20{1,2}B
x x x
{2,3,1}A B ∴⋃=--
故答案为:{2,3,1}-- 【点睛】
本题考查了集合并集运算,能够通过,A B A B ≠⋂≠∅解读出两个集合中的方程有公共根,是解题的关键.
20．【分析】通过定义可以用集合中的补集来解释再根据取最小值时所满足的条件最后可以求出集合的个数【详解】因为所以有要想最小只需最大且最小要使最小则有所以集合是集合和集合子集的并集因此集合的个数为个故答案为 解析：8
【分析】
通过定义可以用集合中的补集来解释，再根据()()Card X A Card X B *+*取最小值时所满足的条件,最后可以求出集合X 的个数. 【详解】
因为{|()()1}M N M N x f x f x *=⋅=-,所以有()M
N
M N C M N *=⋂,要想
()Card X A *最小,只需()Card X A ⋂最大,且()Card X A ⋃最小,要使 ()()Card X A Card X B *+*最小, 则有A B X A B ⋂⊆⊆⋃,
{}{}1,2,4,6,8,10,2,4,8A B A B ⋃=⋂=,所以集合X 是集合{}2,4,8和集合{}1,6,10子
集的并集,因此集合X 的个数为328=个. 故答案为：8 【点睛】
本题考查了新定义题,考查了集合与集合之间的关系,考查了数学阅读能力.
三、解答题
21．(I)证明见解析 ；(II) 13
4
a ≥；(III) 35a << . 【分析】
(I)根据函数单调性定义法证明即可；
(II) 设2(12)x t x =<<，则24t <<则 92t a t +
≤，令9
()h t t t
=+，求()h t 最大值即可； (III)根据零点分布列出等价不等式求解即可. 【详解】
（Ⅰ）()(2)4229x x x
g x f a ==-⋅+，设21x x R >∈，
221121()()4229(4229)x x x x g x g x a a -=-⋅+--⋅+
2121442(22)x x x x a =---
212121(22)(22)2(22)x x x x x x a =-+-- 2121(22)[(22)2]x x x x a =-+-
因为函数2x
y =在R 上单调递增， 所以2122x x >，所以21220x x ->，
又21(22)0,0x
x
a +>≤，所以21(22)20x
x
a +->，
2121(22)[(22)2]0x x x x a -+->，
所以21()()g x g x >，
所以函数()g x 在R 上单调递增.
（Ⅱ）设2(12)x
t x =<<，
则24t <<，都有2290t at -+≤，
92t a t +≤，令9()h t t t
=+， 易证()h t 在(2,3)单调递减，在(3,4)单调递增，
又1325(2)(4)24h h =
=,，()h t 最大值为132
， 13132,24
a a ≥
≥. (III)因为函数()f x 在(3,9)-有两个零点且对称轴为x a =，
所以2394360(3)0(9)0
a a f f -<<⎧⎪->⎪⎨->⎪⎪>⎩，
解得35a <<. 【点睛】
方法点睛：已知不等式恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法： （1）函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
22．（1）见解析； （2）见解析； （3）见解析； （4）(0,3) . 【分析】
（1）利用赋值法，令a ＝b ＝0，求解f (0)的值即可； （2）分类讨论x < 0和0x ≥两种情况证明题中的不等式即可；
（3）由函数的性质可证得当12x x <时，f (x 2) > f (x 1)，则f (x )是R 上的增函数． （4）由题意结合函数的单调性和函数在特殊点的函数值可得x 的取值范围是(0，3)．
【详解】
（1）证明：令a ＝b ＝0，得f (0)＝f 2 (0)，又因为f (0) ≠ 0，所以f (0)＝1. （2）当x < 0时，－x >0，
所以f (0) ＝f (x ) f (－x ) ＝1，即()()
1
0f x f x =
>-， 又因为0x ≥时，()10f x ≥>，所以对任意x ∈R ，恒有f (x ) >0.
（3）证明：设12x x <，则210x x ->，所以f (x 2)＝f [(x 2－x 1)＋x 1]＝f (x 2－x 1) f (x 1)． 因为x 2－x 1>0，所以f (x 2－x 1)>1，又f (x 1) > 0，
则f (x 2－x 1) f (x 1) > f (x 1)，即f (x 2) > f (x 1)，所以f (x )是R 上的增函数． （4）由f (x )·
f (2x －x 2) >1， f (0)＝1得f (3x －x 2) > f (0)， 又由f (x ) 为增函数，所以3x －x 2 > 0 ⇒ 0 < x < 3.故x 的取值范围是(0，3)． 【点睛】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数.由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一.抽象性较强，灵活性大,解抽象函数重要的一点要抓住函数中的某些性质，通过局部性质或图象的局部特征，利用常规数学思想方法（如化归法、数形结合法等），这样就能突破“抽象”带来的困难，做到胸有成竹.另外还要通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法. 23．（1）(5,5)- （2）奇函数，见解析 【分析】
（1）若()f x 有意义,则需满足
505x
x
->+,进而求解即可； （2）由（1）,先判断定义域是否关于原点对称,再判断()f x -与()f x 的关系即可. 【详解】 （1）由题,则
505x
x
->+,解得55x -<<,故定义域为()5,5- （2）奇函数,
证明:由（1）,()f x 的定义域关于原点对称, 因为()()33355log log log 1055x x
f x f x x x
+--+=+==-+,即()()f x f x -=-, 所以()f x 是奇函数 【点睛】
本题考查具体函数的定义域,考查函数的奇偶性的证明. 24．（1）2a =；（2）2m n
m n
++ 【分析】
（1）根据对数运算求a 的值；（2）利用换底公式化简求值. 【详解】
(1)由已知得231a -=得：2a =
(2)由(1)得()()lg 23f x x =-，则()()3lg3,5lg7f m f n ====， ∴21lg632lg3lg72log 63lg21lg3lg7m n
m n
++===++ 【点睛】
本题考查对数换底公式，考查基本分析求解能力，属基础题.
25．（1）2221y x x =++；（2）()22728,5
1
16913,5922
1255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎪->⎩
.
【分析】
（1）待定系数法求出参数,,a b c ，写出二次函数表达式即可；
（2）由（1）知2
2(22)1y x m x =+-+，即对称轴为1
2
m x -=
，讨论12m -与区间[]
2,6的位置关系求m 范围及对应()h m . 【详解】
解：（1）由题可得12215
b
a c a
b
c ⎧-=-⎪⎪=⎨⎪++=⎪
⎩
，解得221a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，即2
221y x x =++；
（2）22
(2)2(22)1y ax b m x c x m x =+-+=+-+，其图象对称轴的方程为1
2
m x -=
. ①当
1
22
m -<时，即5m <时，()8512G m m =-，()134H m m =-，()728h m m =-；
②当1242m -≤≤时，即59m ≤≤时，()8512G m m =-，221
()2m m H m -++=，21169()1322
h m m m =
-+； ③当1462m -<≤时，即913m <≤时，()134G m m =-，221
()2m m H m -++=，2125
()522h m m m =-+；
④当1
62
m ->时，即13m >时，()134G m m =-，()8512H m m =-，
()872h m m =-.
综上，()22728,51
16913,5922
1255,91322872,13m m m m m h m m m m m m -<⎧⎪⎪-+≤≤⎪=⎨
⎪-+<≤⎪⎪->⎩
. 【点睛】
关键点点睛：已知过定点及对称轴，应用待定系数法求二次函数解析式；当对称轴含参数时，研究区间最值需要讨论对称轴与区间的关系确定最值情况.
26．（1）A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}；(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}；（2）{4a a <-或1
1}2
a -≤≤． 【分析】
（1）由a ＝2，得到A ＝{x |1≤x ≤7}，然后利用集合的基本运算求解. （2）由A ∩B ＝A ，得到A ⊆B ．然后分A ＝∅，A ≠∅两种情况讨论求解. 【详解】
（1）当a ＝2时，A ＝{x |1≤x ≤7}，
则A ∪B ＝{x |－2≤x ≤7}，∁R A ＝{x |x <1或x >7}，(∁R A )∩B ＝{x |－2≤x <1}． （2）∵A ∩B ＝A ， ∴A ⊆B ．
若A ＝∅，则a －1>2a ＋3，解得a <－4；
若A ≠∅，由A ⊆B ，得12312234a a a a -≤+⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，
解得－1≤a ≤
12
综上，a 的取值范围是{4a a <-或 11}2
a -≤≤． 【点睛】
本题主要考查集合的基本要和基本运算，还考查了分类讨论的思想和运算求解的能力，属于中档题.。