最新-2021年高考数学文科江苏专版二轮专题复习与策略课件：专题讲座1 四大数学思想 精品

1≥1，∴a≥23，∴23≤a<1.
当a≥1时，有2a≥1，∴a≥0，∴a≥1.
综上，a≥23.
(2)若∠PF2F1＝90°， 则PF21＝PF22＋F1F22. ∵PF1＋PF2＝6，F1F2＝2 5， 解得PF1＝134，PF2＝43， ∴PPFF12＝72. 若∠F2PF1＝90°，
则F1F22＝PF21＋PF22 ＝PF21＋(6－PF1)2， 解得PF1＝4，PF2＝2， ∴PPFF12＝2. 综上所述，PPFF12＝2或72.]
(1)抛物线y2＝4x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，又 点A(－1,0)，则PPAF的最小值是________．
(2)已知函数f(x)＝3e|x|.若存在实数t∈[－1，＋∞)，使得对任意的x∈[1， m]，m∈Z且m>1，都有f(x＋t)≤3ex，则m的最大值为________．
解得k＞12. 又M为线段AB的中点，所以
x0＝x1＋2 x2＝3－＋84kk2， y0＝y1＋2 y2＝3＋64k2.
由P(0，－2)，M(x0，y0)，N(a,0)三点共线，
所以3＋6－4k82k＋2＝0－a－－02， 3＋4k2
所以－4a＝2k＋3k.
又因为k＞
1 2
，所以2k＋
3 k
≥2
6 ，当且仅当k＝
[变式训练4] (1)(2016·杭州二模)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是AA1的中 点，则异面直线BE与B1D1所成角的余弦值等于________，若正方体的边长为 1，则四面体B-EB1D1的体积为________．
(1)3f(ln 2)＞2f(ln 3) (2)－ 36，0 [(1)令F(x)＝fexx，则F′(x)＝f′x－ex fx. 因为对∀x∈R都有f(x)＞f′(x)，所以F′(x)＜0， 即F(x)在R上单调递减． 又ln 2＜ln 3，所以F(ln 2)＞F(ln 3)， 即felnln 22＞felnln 33， 所以fln2 2＞fln3 3，即3f(ln 2)＞2f(ln 3)．
(2016·山东高考)已知函数f(x)＝
|x|，x≤m， x2－2mx＋4m，x>m，
其中m>0.
若存在实数b，使得关于x的方程f(x)＝b有三个不同的根，则m的取值范围是
________．
(3，＋∞) [作出f(x)的图象如图所示．当x>m时，x2－2mx＋4m＝(x－m)2＋ 4m－m2，∴要使方程f(x)＝b有三个不同的根，则4m－m2<m，即m2－3m>0.又 m>0，解得m>3.]
【导学号：91632070】
[解题指导] (1)利用抛物线的定义把PPAF的最值问题等价转化成直线 PA 的斜 率问题．
(2)f(x＋t)≤3exx―＋―t≥→0ex＋t≤ex两边――取→对数t≤1＋ln x－x―令―h―x＝――1＋―l―n x―－→x h(x)min≥－1.
2 (1) 2
(2)3 [(1)如图，作PH⊥l于H，由抛物线的定
又x∈[1，m]，所以h(x)min＝h(m)＝1＋ln m－m. 所以要使得对x∈[1，m]，t值恒存在， 只需1＋ln m－m≥－1. 因为h(3)＝ln 3－2＝ln1e·3e>ln 1e＝－1， h(4)＝ln 4－3＝ln1e·e42<ln 1e＝－1，且函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数， 所以满足条件的最大整数m的值为3.]
思想3 分类讨论思想 类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象按 某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各 类结果得到整个问题的解答.实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集 零为整”的数学思想.
(1)设函数f(x)＝
3x－1，x<1， 2x，x≥1.
分类讨论思想在解题中的应用 1．由数学概念引起的分类．有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜 率、指数函数、对数函数等． 2．由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论．有的定理、公式、性质 是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函 数的单调性等．
3．由数学运算和字母参数变化引起的分类．如除法运算中除数不为零， 偶次方根为非负，对数真数与底数的限制，指数运算中底数的要求，不等式两 边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．
(1)－3或38 (2)32或6 [(1)当a＞0时，f(x)在[－3，－1]上单调递减，在[－1,2]
上单调递增，故当x＝2时，f(x)取得最大值，即8a＋1＝4，解得a＝
3 8
Байду номын сангаас.当a＜0
时，易知f(x)在x＝－1处取得最大，即－a＋1＝4，∴a＝－3.
综上可知，a＝38或－3.
(2)当q＝1时，a1＝a2＝a3＝32， S3＝3a1＝92，显然成立； 当q≠1时，由题意， 得aa11q112－＝－qaq33＝＝32S，3＝92.
3．解析几何中的许多问题，需要通过解二元方程组才能解决．这都涉及 二次方程与二次函数有关理论．
4．立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程 或建立函数表达式的方法加以解决．
[变式训练1] 将函数y＝sin4x－π3的图象向左平移m(m＞0)个单位长度后，
所得到的图象关于y轴对称，则m的最小值为________．【导学号：91632069】
数形结合思想在解题中的应用 1．构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围或解不等式． 2．构建函数模型并结合其图象研究方程根或函数的零点的范围． 3．构建解析几何模型求最值或范围． 4．构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系．
[变式训练2] (1)若方程x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b＝0的两根分别为椭圆、双曲 线的离心率，则ba的取值范围是________．
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，直线l与x轴的交点为N(a,0)．
y＝kx＋2， 由x42＋y32＝1，
得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0.
因为直线y＝kx＋2和椭圆x42＋y32＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，所以
Δ＝16k2－4×43＋4k2＞0， x1＋x2＝－3＋164kk2＜0， x1x2＝3＋44k2＞0，
(1)设函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意x∈R都有f(x)＞f′(x)成立，则
3f(ln 2)与2f(ln 3)的大小关系为________．
(2)直线y＝kx＋2和椭圆
x2 4
＋
y2 3
＝1在y轴左侧部分交于A，B两点，直线l过点
P(0，－2)和线段AB的中点M，则l在x轴上的截距a的取值范围为________．
b a
可以看作可行域内的点(a，b)与原点(0,0)连线的斜率，由图可知kOA＝－
12，∴－2＜ba＜－12.
(2)设y＝g(x)＝fxx(x≠0)，则g′(x)＝xf′xx－2 fx，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0， ∴g′(x)<0，∴g(x)在(0，＋∞)上为减函数，且g(1)＝f(1)＝－f(－1)＝0. ∵f(x)为奇函数，∴g(x)为偶函数， ∴g(x)的图象的示意图如图所示． 当x>0，g(x)>0时，f(x)>0,0<x<1， 当x<0，g(x)<0时，f(x)>0，x<－1， ∴使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0,1)．]
(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－ f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是________．
(1) －2，－12 (2)(0,1)∪(1，＋∞) [(1)由题意可知，方程的一个根位于 (0,1)之间，另一根大于1.
设f(x)＝x2＋(1＋a)x＋1＋a＋b，则 f0＞0， f1＜0， 即12＋ a＋a＋ b＋b＞ 3＜0， 0. 作出可行域如图阴影部分所示．
所以aa11q12＝＋32q，＋q2＝92，②① 由①②，得1＋qq＋ 2 q2＝3，即2q2－q－1＝0，所以q＝－12或q＝1(舍去)． 当q＝－12时，a1＝aq32＝6. 综上可知，a1＝32或a1＝6.]
思想4 转化与化归思想 转化与化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时采用某种手段将问题 通过变换使之转化，进而得到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换 转化为简单的问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决 的问题通过变换转化为已解决的问题.
5π 24
[把y＝sin 4x－π3 的图象上所有的点向左平移m个单位长度后，得到y＝
sin4x＋m－π3＝sin4x＋4m－π3的图象，
而此图象关于y轴对称，则4m－π3＝kπ＋π2(k∈Z)，
解得m＝14kπ＋52π4(k∈Z)．又m＞0，所以m的最小值为52π4.]
思想2 数形结合思想 数形结合思想，就是通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.其应用 包括以下两个方面： 1“以形助数”，把某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思 维为形象思维，揭示数学问题的本质，如应用函数的图象来直观地说明函数的 性质. 2“以数定形”，把直观图形数量化，使形更加精确，如应用曲线的方程 来精确地阐明曲线的几何性质.
转化与化归思想在解题中的应用 1．在三角函数中，涉及到三角式的变形，一般通过转化与化归将复杂的 三角问题转化为已知或易解的三角问题，以起到化暗为明的作用，主要的方法 有公式的“三用”(顺用、逆用、变形用)、角度的转化、函数的转化等． 2．换元法：是将一个复杂的或陌生的函数、方程、不等式转化为简单的 或熟悉的函数、方程、不等式的一种重要的方法．
数
学
思
专题讲座1 四大数学思想
想 集
训
思想1 函数与方程思想 函数的思想，就是通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图象和性质 去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决的数学思想. 方程的思想，就是建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程 组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决的数学思想.
义可知，PH＝PF，从而
PF PA
的最小值等价于
PH PA
的最小值，
等价于∠PAH最小，等价于∠PAF最大，即直线PA的斜率
最大．此时直线PA与抛物线y2＝4x相切，由直线与抛物线
的关系可知∠PAF＝45°，所以PPAF＝PPAH＝sin
45°＝
2 2.
(2)因为当t∈[－1，＋∞)且x∈[1，m]时，x＋t≥0， 所以f(x＋t)≤3ex⇔ex＋t≤ex⇔t≤1＋ln x－x. 所以原命题等价转化为：存在实数t∈[－1，＋∞)，使得不等式t≤1＋ln x －x对任意x∈[1，m]恒成立． 令h(x)＝1＋ln x－x(x≥1)． 因为h′(x)＝1x－1≤0， 所以函数h(x)在[1，＋∞)上为减函数．
3．在解决平面向量与三角函数、平面几何、解析几何等知识的交汇题目 时，常将平面向量语言与三角函数、平面几何、解析几何语言进行转化．
4．在解决数列问题时，常将一般数列转化为等差数列或等比数列求解． 5．在利用导数研究函数问题时，常将函数的单调性、极值(最值)、切线问 题，转化为其导函数f′(x)构成的方程．
4．由图形的不确定性引起的分类讨论．有的图形类型、位置需要分类， 如：角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等．
[变式训练3] (1)已知二次函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－3,2]上的最大值 为4，则a等于________．
(2)在等比数列{an}中，已知a3＝32，S3＝92，则a1＝________.
6 2
时等号成立，所以－
4 a
≥2 6，则－ 36≤a≤0.]
函数与方程思想在解题中的应用 1．函数与不等式的相互转化，对函数y＝f(x)，当y＞0时，就化为不等式f(x) ＞0，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开 不等式． 2．数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理 数列问题十分重要．
则满足f(f(a))＝2f(a)的a的取值范围
是________．
(2)设F1，F2为椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2
是一个直角三角形的三个顶点，且PF1＞PF2，则PPFF12的值为________．
(1) 23，＋∞
(2)2或
7 2
[(1)由f(f(a))＝2f(a)得，f(a)≥1.当a<1时，有3a－