2024届浙江省慈溪市三山高级中学等六校高三数学第一学期期末统考试题含解析

2024届浙江省慈溪市三山高级中学等六校高三数学第一学期期末统考试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置． 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B 铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效． 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{
}
2
320M x x x =++>，集合1{|()4}2
x
N x =≤ ，则 M N ⋃=（ ）
A ．{}
2x x ≥-
B ．{}
1x x >-
C ．{}
2x x ≤-
D ．R
2． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（ ） A ．
15
B ．
25
C ．
35
D ．
45
3．若点位于由曲线与围成的封闭区域内（包括边界），则的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．已知m ，n 为异面直线，m ⊥平面α，n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ，,l α⊄,l β⊄则 （ ）
A ．α∥β且l ∥α
B ．α⊥β且l ⊥β
C ．α与β相交，且交线垂直于l
D ．α与β相交，且交线平行于l
5．设f (x )是定义在R 上的偶函数，且在(0,+∞)单调递减，则（ ）
A ．0.30.4
3(log 0.3)(2)(2)f f f -->> B ．0.40.3
3(log 0.3)(2)(2)f f f -->> C ．0.30.4
3(2)(2)(log 0.3)f f f -->>
D ．0.40.3
3(2)(2)(log 0.3)f f f -->>
6．将函数sin 2y x =的图像向左平移(0)ϕϕ>个单位得到函数sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像，则ϕ的最小值为（ ） A ．
6
π B ．
12
π
C ．
1112
π
D ．
56
π 7．已知全集{},1,2,3,4,U Z A ==()(){}
130,B x x x x Z =+->∈，则集合()U A C B ⋂的子集个数为（ ） A ．2
B ．4
C ．8
D ．16
8．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝
才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ） A ．96里
B ．72里
C ．48里
D ．24里
9．要得到函数2sin 26y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
的图象，只需将函数2cos2y x =的图象 A ．向左平移3π
个单位长度 B ．向右平移3
π
个单位长度
C ．向左平移6
π
个单位长度 D ．向右平移
6
π
个单位长度 10．已知函数2()e (2)e x
x f x t t x =+--（0t ≥），若函数()f x 在x ∈R 上有唯一零点，则t 的值为（ ）
A ．1
B ．
1
2
或0 C ．1或0 D ．2或0
11．函数cos ()cos x x
f x x x
+=
-在[2,2]ππ-的图象大致为
A ．
B ．
C ．
D ．
12．已知向量(1,0)a =，(1,3)b =，则与2a b -共线的单位向量为( )
A ．13,22⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭
B ．13,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝⎭
C ．321⎫-⎪⎪⎝⎭或321⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
D ．13,2⎛ ⎝⎭或13,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设()f x 是定义在()0,∞+上的函数，且()0f x >，对任意0,0a b >>，若经过点()(),(),,()a f a b f b -的一次函数与x 轴的交点为(),0c ，且a b c 、、互不相等，则称c 为,a b 关于函数()f x 的平均数，记为(),f M a b .当
()f x =_________()0x >时，(),f M a b 为,a b 的几何平均数ab .（只需写出一个符合要求的函数即可）
14．已知曲线2222
:1(0)2x y Q x a a -=>，点A ，B 在曲线Q 上，且以AB 为直径的圆的方程是22
(2)(1)1x y -+-=．则a =_______．
15．从甲、乙等8名志愿者中选5人参加周一到周五的社区服务，每天安排一人，每人只参加一天.若要求甲、乙两人至少选一人参加，且当甲、乙两人都参加时，他们参加社区服务的日期不相邻，那么不同的安排种数 为______________.(用数字作答)
16．已知抛物线2
:8C y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 相切于M 点，N 是l 上一点(不与M 重合)，若以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则点N 到抛物线顶点O 的距离ON 的最小值是__________. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为：1cos sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩（α为参数），以O 为极点，x 轴的正
半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为：23sin ρθ=. （1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若直线():0l y kx k =>与曲线1C 交于O ，A 两点，与曲线2C 交于O ，B 两点，求OA OB +取得最大值时直线l 的直角坐标方程.
18．（12分）移动支付（支付宝及微信支付）已经渐渐成为人们购物消费的一种支付方式，为调查市民使用移动支付的年龄结构，随机对100位市民做问卷调查得到22⨯列联表如下：
（1）将上22⨯列联表补充完整，并请说明在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄是否有关？ （2）在使用移动支付的人群中采用分层抽样的方式抽取10人做进一步的问卷调查，从这10人随机中选出3人颁发参与奖励，设年龄都低于35岁（含35岁）的人数为X ，求X 的分布列及期望.
（参考公式：()
()()()()
2
2
n ad bc k a b c d a c b d -=++++（其中n a b c d =+++）
19．（12分）已知函数()2
x
f x xe x ax b =+++，曲线()y f x =在点()()
0,0f 处的切线方程为4230x y --=
()1求a ，b 的值； ()2证明：()ln f x x >．
20．（12分）已知2()2(01)f x ax x x =-≤≤，求()f x 的最小值.
21．（12分）在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t
=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为02πθαα⎛
⎫
=<< ⎪⎝
⎭
，直线l 交曲线C 于,A B 两点，P 为AB 中点.
（1）求曲线C 的直角坐标方程和点P 的轨迹2C 的极坐标方程； （2）若||||3AB OP ⋅=，求α的值.
22．（10分）已知函数()ln (,f x ax x b a b =+为实数)的图像在点()()
1,1f 处的切线方程为1y x =-.
（1）求实数,a b 的值及函数()f x 的单调区间； （2）设函数()()1f x g x x
+=
，证明()()1212()g x g x x x =<时， 122x x +>.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、D 【解题分析】
试题分析：由题{
}{
}
2
320|21M x x x x x x =++=--或，
{}2
111|()4|()|2222x x N x x N x x -⎧
⎫⎪⎪⎧⎫⎛⎫=≤=≤==≥-⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎝⎭⎪⎪⎩⎭
，M N R ∴⋃=，选D
考点：集合的运算 2、C 【解题分析】
先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2
510C =，再求出6和28恰好在同一组
包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【题目详解】
解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，
则基本事件总数为2
510C =，
则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21
234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043
105
P -==. 故选：C. 【题目点拨】
本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用. 3、D 【解题分析】 画出曲线
与
围成的封闭区域，
表示封闭区域内的点
和定点
连线的斜率，然后结合图形
求解可得所求范围． 【题目详解】 画出曲线
与
围成的封闭区域，如图阴影部分所示．
表示封闭区域内的点和定点
连线的斜率， 设
，结合图形可得
或
， 由题意得点A,B 的坐标分别为，
∴，
∴或
，
∴
的取值范围为
．
故选D ． 【题目点拨】
解答本题的关键有两个：一是根据数形结合的方法求解问题，即把
看作两点间连线的斜率；二是要正确画出两曲线
所围成的封闭区域．考查转化能力和属性结合的能力，属于基础题． 4、D 【解题分析】
试题分析：由m ⊥平面α，直线l 满足l m ⊥，且l α⊄，所以//l α，又n ⊥平面β，,l n l β⊥⊄，所以l β//，由直线,m n 为异面直线，且m ⊥平面,n α⊥平面β，则α与β相交，否则，若//αβ则推出//m n ，与,m n 异面矛盾，所以,αβ相交，且交线平行于l ，故选D ．
考点：平面与平面的位置关系，平面的基本性质及其推论． 5、D 【解题分析】
利用()f x 是偶函数化简()3log 0.3f ，结合()f x 在区间()0,∞+上的单调性，比较出三者的大小关系. 【题目详解】
()f x 是偶函数，()33
31010log 0.3(log )(log )33
f f f ∴=-=，
而0.30.43
10
log 12203-->>>>，因为()f x 在(0,)+∞上递减， 0.30.4310
(log )(2)(2)3
f f f --∴<<，
即0.30.4
3(log 0.3)(2)(2)f f f --<<．
故选:D 【题目点拨】
本小题主要考查利用函数的奇偶性和单调性比较大小，属于基础题. 6、B 【解题分析】
根据三角函数的平移求出函数的解析式，结合三角函数的性质进行求解即可． 【题目详解】
将函数sin 2y x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位， 得到sin 2()sin(22)y x x ϕϕ=+=+， 此时与函数sin(2)6
y x π
=+的图象重合， 则226
k π
ϕπ=+
，即12
k π
ϕπ=+，k Z ∈，
∴当0k =时，ϕ取得最小值为12
π
ϕ=
，
故选：B ． 【题目点拨】
本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的平移关系求出解析式是解决本题的关键． 7、C 【解题分析】
先求B.再求U C B ，求得()U A C B ⋂则子集个数可求 【题目详解】
由题()(){}{
}
130,1x 3,U C B x x x x Z x x Z =+-≤∈=-≤≤∈={}1,0,1,2,3=-, 则集合(){}1,2,3U A C B ⋂=,故其子集个数为328= 故选C 【题目点拨】
此题考查了交、并、补集的混合运算及子集个数，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，是基础题 8、B
【解题分析】
人每天走的路程构成公比为1
2
的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ，计算1192a =，代入得到答案. 【题目详解】
由题意可知此人每天走的路程构成公比为
1
2
的等比数列，设此人第一天走的路程为1a ， 则611123781
12
a ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，
解得1192a =，从而可得3
241119296,1922422a a ⎛⎫=⨯==⨯= ⎪⎝⎭，故24962472a a -=-=. 故选：B . 【题目点拨】
本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力. 9、D 【解题分析】 先将2sin 26y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
化为2cos 26π⎡⎤
⎛⎫=-
⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦
y x ，根据函数图像的平移原则，即可得出结果. 【题目详解】 因为2sin 22cos 22cos 2636y x x x πππ⎡⎤⎛
⎫
⎛
⎫⎛⎫=+
=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎝⎭⎝
⎭⎣⎦， 所以只需将2cos2y x =的图象向右平移6
π
个单位. 【题目点拨】
本题主要考查三角函数的平移，熟记函数平移原则即可，属于基础题型. 10、C 【解题分析】
求出函数的导函数，当0t >时，只需(ln )0f t -=，即1ln 10t t -+=，令1()ln 1g t t t
=-+，利用导数求其单调区间，即可求出参数t 的值，当0t =时，根据函数的单调性及零点存在性定理可判断； 【题目详解】 解：∵2()e (2)e x
x f x t t x =+--（0t ≥），
∴()()2()2e
(2)e 1e 12e 1x
x x x f x t t t '=+--=-+，∴当0t >时，由()0f x '=得ln x t =-，
则()f x 在(),ln t -∞-上单调递减，在()ln ,t -+∞上单调递增，
所以(ln )f t -是极小值，∴只需(ln )0f t -=， 即1ln 10t t -+=.令1()ln 1g t t t =-+，则2
11
()0g t t t
'=+>，∴函数()g t 在(0,)+∞上单 调递增.∵(1)0g =，∴1t =；
当0t =时，()2e x f x x =--，函数()f x 在R 上单调递减，∵(1)2e 10f =--<，2
(2)22e 0f --=->，函数()
f x 在R 上有且只有一个零点，∴t 的值是1或0. 故选：C 【题目点拨】
本题考查利用导数研究函数的零点问题，零点存在性定理的应用，属于中档题. 11、A 【解题分析】
因为(0)1f =，所以排除C 、D ．当x 从负方向趋近于0时，0cos cos x x x x <+<-，可得0()1<<f x .故选A ． 12、D 【解题分析】
根据题意得，()
2=1-3a b -，设与2a b -共线的单位向量为(),x y ，利用向量共线和单位向量模为1，列式求出,x y 即
可得出答案. 【题目详解】
因为(1,0)a =，(1,3)b =，则()22,0a =，
所以()
2=1
-3a b -，， 设与2a b -共线的单位向量为()
,x y ，
则22
1
y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪
⎩， 解得122x y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=-
⎪⎩ 或122x y ⎧=-⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
所以与2a
b -共线的单位向量为1,22⎛-
⎝⎭或1,22⎛⎫
- ⎪ ⎪⎝
⎭. 故选：D. 【题目点拨】
本题考查向量的坐标运算以及共线定理和单位向量的定义.
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13
【解题分析】
由定义可知()()()()
(),,,,,0a f a b f b c -
f a f b =
，通过整理可得())0f x t =>，继
而可求出正确答案. 【题目详解】
解：根据题意(),f M a b c ==()()()()
(),,,,,0a f a b f b c -三点共线.
故可得：()()f a f b a c c b
=
-
-，即
f a f b =
=，
故可以选择())()0,()0f x x f x x =>=
>等.
故答案为:
【题目点拨】
本题考查了两点的斜率公式，考查了推理能力，考查了运算能力.
本题关键是分析出三点共线. 14、±
【解题分析】
设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-设A ､B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，代入曲线方程，两式作差可得
12121212114
1222
y y x x x x y y -+==⨯=-+，从而可得直线的斜率，联立直线AB 与Q 的方程，由||2AB =，利用
弦长公式即可求解. 【题目详解】
因为AB 是圆的直径，必过圆心(2,1)点， 设AB 所在直线方程为:1(2)AB l y k x -=-
设A ､B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，
故22
1122
22
2222
1212x y a a x y a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减， 可得
()()()()121212122
2
2x x x x y y y y a a -+-+=
12121212114
1222
y y x x x x y y -+⇒
==⨯=-+
(因为(2,1)是AB 的中点)，即1k = 联立直线AB 与Q 的方程：
222
2
22142201
2y x x x a x y a
a =-⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩ 又||2AB =，即2
|4|AB =，即
()
()2
2
12124x x y y -+-=
又因为1212y y x x -=-，
则有()()22
1212124224x x x x x x ⎡⎤=-=+-⎣⎦
()22
24422a ⎡⎤=-+⎣⎦
即2882a -=
∴2
a =±
.
故答案为： 【题目点拨】
本题考查了直线与圆锥曲线的位置关系、弦长公式，考查了学生的计算能力，综合性比较强，属于中档题. 15、5040. 【解题分析】
分两类，一类是甲乙都参加，另一类是甲乙中选一人，方法数为32145
64265144036005040N A A C C A =+=+=。

填5040.
【题目点拨】
利用排列组合计数时，关键是正确进行分类和分步，分类时要注意不重不漏.在本题中，甲与乙是两个特殊元素，对于特殊元素“优先法”，所以有了分类。

本题还涉及不相邻问题，采用“插空法”。

16、2 【解题分析】
根据抛物线2
:8C y x =
，不妨设(
M
m ，取
=y
l k =
，
():l y x m -=
-，再根据以线段MN 为直径的圆恰好经过F ，则MF NF ⊥
，得到
():2NF l y x =
-，两式联立，求得点N 的轨迹，再求解最值.
【题目详解】
因为抛物线2
:8C y x =
，不妨设(M
m ，取
=y
所以y '=
l k =
所以
():l y x m -=
-，
因为以线段MN 为直径的圆恰好经过F ， 所以MF NF ⊥ ，
所以1
2NF MF
m k k =-
=
，
所以()2:2NF l y x =
-，
由
))2y x m y x ⎧-=
-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，解得2x =-，
所以点N 在直线 2x =-上，
所以当()2,0N -时， ON 最小，最小值为2. 故答案为：2 【题目点拨】
本题主要考查直线与抛物线的位置关系直线的交轨问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（1）曲线1:2cos C ρθ=
，曲线(2
22:3C x y +=.（2
）y =.
【解题分析】 （1）用1cos sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩和cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩消去参数α即得1C
的极坐标方程；将ρθ=两边同时乘以ρ，然后由222,sin x y y ρρθ=+=解得直角坐标方程.
（2）过极点的直线的参数方程为,0,2R π
θϕϕρ⎛
⎫
=<<∈ ⎪⎝
⎭
，代入到1:2cos C ρθ=和2C
：ρθ=中，表示出OA OB +即可求解.
【题目详解】 解：由1cos sin x y αα
=+⎧⎨
=⎩和cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨=⎩，得cos 1cos sin sin ρθαρθα-=⎧⎨
=⎩ ()()
2
2
cos 1sin 1ρθρθ-+=，化简得2cos ρθ=
故1C ：2cos ρθ=
将ρθ=两边同时乘以ρ
，得2sin ρθ= 因为2
2
2
,sin x y y ρρθ=+=
，所以220x y +-= 得2C
的直角坐标方程(2
22:3C x y +=.
（2）设直线l 的极坐标方程,0,2R π
θϕϕρ⎛
⎫=<<
∈ ⎪⎝
⎭
由2cos θϕ
ρθ=⎧⎨=⎩
，得||2cos OA ϕ=，
由θϕρθ=⎧⎪⎨=⎪⎩
，得||OB ϕ=
故2cos 4sin 6OA OB πϕϕϕ⎛
⎫
+==+ ⎪⎝
⎭
当3
π
ϕ=
时，OA OB +取得最大值
此时直线的极坐标方程为：()3
R π
θρ=∈，
其直角坐标方程为：y =. 【题目点拨】
考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互相转化以及应用圆的极坐标方程中ρ的几何意义求距离的的最大值方法；中档题.
18、（1）列联表见解析，在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关；（2）分布列见解析，期望为
12
5
. 【解题分析】
（1）根据题中所给的条件补全列联表，根据列联表求出观测值，把观测值同临界值进行比较，得到能在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）首先确定X 的取值，求出相应的概率，可得分布列和数学期望. 【题目详解】
（1）根据题意及22⨯列联表可得完整的22⨯列联表如下：
根据公式可得()2
21004040101036 6.63550505050
k ⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，
所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为支付方式与年龄有关.
（2）根据分层抽样，可知35岁以下（含35岁）的人数为8人，35岁以上的有2人， 所以获得奖励的35岁以下（含35岁）的人数为X ， 则X 的可能为1，2，3，且
(
)128231081120C C P X C ===，()218231056210C C P X C ===，()3
83
1056
3120
C P X C ===， 其分布列为
P
8120 56120 56120
85656121231201201205
EX =⨯
+⨯+⨯=. 【题目点拨】
独立性检验依据2K 的值结合附表数据进行判断，另外，离散型随机变量的分布列，在求解的过程中，注意变量的取值以及对应的概率要计算正确，注意离散型随机变量的期望公式的使用，属于中档题目. 19、（1）3
1,2
a b ==-；（2）见解析 【解题分析】
分析：第一问结合导数的几何意义以及切点在切线上也在函数图像上，从而建立关于,a b 的等量关系式，从而求得结果；第二问可以有两种方法，一是将不等式转化，构造新函数，利用导数研究函数的最值，从而求得结果，二是利用中间量来完成，这样利用不等式的传递性来完成，再者这种方法可以简化运算.
详解：（1）解：()()12x
f x x e x a '=+++，由题意有()()012
302f a f b ⎧=+=⎪⎨==-
'⎪⎩
，解得31,2a b ==-
（2）证明：（方法一）由（1）知，()2
32
x
f x xe x x =++-
.设()2
ln x h x xe x x x =++- 则只需证明()32
h x >
()()1121x h x x e x x =+++-' ()112x
x e x ⎛⎫=++- ⎪⎝
⎭，设()12x g x e x =+-
则()2
1
0x
g x e x =+
>'， ()g x ∴在()0,+∞上单调递增 1
412404g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭，1312303g e ⎛⎫
=+-> ⎪⎝⎭
011,43x ⎛⎫
∴∃∈ ⎪⎝⎭
，使得
且当()00,x x ∈时，()0g x <，当()0,x x ∈+∞时，()0g x >
∴当()00,x x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减
当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增
()()0min
h x h x ∴== 0
200
00ln x x e x x x ++-，由00120x
e x +-
=，得00
1
2x e x =-，
()00012h x x x ⎛⎫∴=-+ ⎪⎝⎭
2000ln x x x +- 2
0001ln x x x =-+-，
设()2
1ln x x x x φ=-+-，11,43
x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
，()1
21x x x
φ'=-- ()()
211x x x
+-=
∴当11,43x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0x φ'<，()x φ在11,43⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减，
∴ ()()00h x x φ=> 2
1133φ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
111ln 33⎛⎫-+- ⎪⎝⎭ 73ln392=+>，因此()32h x > （方法二）先证当0x ≥时，()2
32x
f x xe x x =++-
3
22
x ≥-，即证20x xe x x +-≥ 设()2
x
g x xe x x =+-，0x ≥则()()121x
g x x e x '=++-，且()00g '=
()()220x g x x e '=++>，()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，()()00g x g ''≥= ()g x ∴'在[)0,+∞单调递增，则当0x ≥时，()()200x g x xe x x g =+-≥=
（也可直接分析2
33
222
x
xe x x x ++-≥- ⇔ 20x xe x x +-≥ ⇔ 10x e x +-≥显然成立） 再证3
2ln 2
x x -
≥ 设()32ln 2h x x x =--，则()1212x h x x x ='-=-，令()0h x '=，得1
2
x =
且当10,
2x ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当1,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0h x '>，()h x 单调递增.
∴ ()32ln 2h x x x =-
- 11ln2022h ⎛⎫
≥=-+> ⎪⎝⎭
，即32ln 2x x ->
又()2
33
222
x
f x xe x x x =++-
≥-，()ln f x x ∴> 点睛：该题考查的是有关利用导数研究函数的综合问题，在求解的过程中，涉及到的知识点有导数的几何意义，有关切线的问题，还有就是应用导数证明不等式，可以构造新函数，转化为最值问题来解决，也可以借用不等式的传递性，借助中间量来完成.
20、()min
2,1
1,1a a f x a a
-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
【解题分析】
讨论0a =和0a ≠的情况，然后再分对称轴和区间之间的关系，最后求出最小值 【题目详解】
当0a =时，()2f x x =-，它在[]
01
，上是减函数 故函数的最小值为()12f =-
当0a ≠时，函数()2
2f x ax x =-的图象思维对称轴方程为1
x a
=
当1a ≥时，](1
01a
∈，，函数的最小值为11f a a ⎛⎫
=- ⎪⎝⎭
当01a <<时，1
1a
>，函数的最小值为()12f a =- 当0a <时，
1
1a
<，函数的最小值为()12f a =- 综上，()2,11,1min
a a f x a a
-<⎧⎪=⎨-≥⎪⎩
【题目点拨】
本题主要考查了二次函数在闭区间上的最值，二次函数的性质的应用，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题。

21、（1）22
(1)(1)1x y -+-=
，042ππρθθ⎛⎫⎛⎫=
-<< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭；（2）512π
α=或12πα=
【解题分析】
（1）根据曲线C 的参数方程消去参数t ，可得曲线C
的直角坐标方程，再由OC =cos OP OC POC =∠，
可得点P 的轨迹2C 的极坐标方程；
（2）将曲线C 极坐标方程求，与直线l 极坐标方程联立，消去θ，得到关于ρ的二次方程，由ρ的几何意义可求出AB ，而（1
）可知4OP πα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，然后列方程可求出α的值.
【题目详解】
（1）曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)1x y -+-=， 圆C
的圆心为,C OC ，设(,)P ρθ，所以4
POC π
θ∠=-
，
则由cos OP OC POC =∠
，即042ππρθθ⎛⎫⎛⎫=-<< ⎪⎪⎝
⎭⎝⎭为点P 轨迹2C 的极坐标方程.
（2）曲线C 的极坐标方程为2
22cos 104πρρθ⎛⎫
--
+= ⎪⎝
⎭
， 将:02l πθαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与曲线C 的极坐标方程联立得，2
22cos 104πρρα⎛⎫--+= ⎪⎝
⎭，
设()()12,,,02A B πραραα⎛⎫
<<
⎪⎝
⎭
， 所以22128cos 422cos 144
AB ππρραα⎛⎫⎛
⎫=
-=--=-- ⎪ ⎪⎝
⎭
⎝
⎭
，
2cos 4OP πα⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭，
由||||3AB OP ⋅=，即222cos 12cos 344ππαα⎛
⎫
⎛
⎫-
-⨯-= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
， 令2cos 142m m πα⎛⎫⎛⎫-=< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，上述方程可化为4216830m m --=，解得32m =. 由3cos ,42444
ππππ
αα⎛
⎫
-
=-<-< ⎪⎝
⎭，所以46ππα-=±，即512πα=或12πα=.
【题目点拨】
此题考查参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与直角坐标方程的互化，利用极坐标求点的轨迹方程，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于中档题.
22、 (1) 1,0a b == ;函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛
⎫ ⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
;(2)详见解析. 【解题分析】
试题分析：（1）由题得()()1ln f x a x '=+，根据曲线()f x 在点()()
1,1f 处的切线方程，列出方程组，求得,a b 的值，得到()f x 的解析式，即可求解函数的单调区间；
（2）由（1）得 ()1ln g x x x =+根据由()()12g x g x =，整理得
212121-ln 0x x x x x x =>， 设
21t(1)x t x =>，转化为函数1u(t)t 2ln t t
=--的最值，即可作出证明. 试题解析：
（1）由题得，函数()f x 的定义域为()0,∞+，
()()x a 1lnx '
=+，
因为曲线()f x 在点()()
1,f 1处的切线方程为y x 1=-，
所以()()
1111b 0a f aln '⎧==⎪⎨=+=⎪⎩，，解得a 1,b 0==.
令
()x 1lnx 0'
=+=，得1x e
=，
当10x e <<
时， ()h x 0'<， ()f x 在区间10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递减； 当1x e >
时， ()h x 0'>， ()f x 在区间1,e ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内单调递增. 所以函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫
⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
. （2）由（1）得， ()()f x 11
g x lnx x
x
+=
=+
. 由()()1212g x g x (x x )=<，得121211
lnx lnx x x +
=+，即212121
x -x x ln 0x x x =>. 要证
，需证()
21212121x -x x x x 2ln x x x +>，即证212121
x x x 2ln x x x ->， 设21x t(t 1)x =>，则要证212121x x x 2ln x x x ->，等价于证： 1t 2lnt(t 1)t
->>.
令1u(t)t 2lnt t =--，则()2
2121u't 110t t t ⎛⎫
=+-=-> ⎪⎝⎭
，
∴()u t 在区间()1,+∞内单调递增， ()()u t u 10>=, 即1
t 2lnt t
->，故12x x 2+>.。