3.2.1双曲线及其标准方程课件高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
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学习目标（1分钟）
1、掌握双曲线的几何图形并理解其定义； 2、了解双曲线的标准方程及其推导过程； 3、能根据条件求简单的双曲线的标准方程。
问题导学（5分钟）
阅读课本118-120页并思考下列问题： 1.双曲线的定义是什么？有什么限制条件？ 2.双曲线的标准方程是什么？有什么特点？
点拨精讲（24分钟）
不存在
(4)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离之差为0,则M点的轨迹是什么?
AB的中垂线
感悟:(1)若||MF1|-|MF2||<|F1F2|,M点轨迹为双曲线.
(2)若||MF1|-|MF2||=|F1F2|,M点轨迹为两条射线.
(3)若||MF1|-|MF2||>|F1F2|,M点轨迹不存在.
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
F（±c，0） F（0，±c）
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的 关系 a>b>0,a2=b2+c2
9 16
课堂小结（1分钟）
1.双曲线的定义、图形及标准方程：
2.椭圆与双曲线的区别：
当堂检测（14分钟）
1.根据双曲线方程求a,b,c及焦点坐标
(1)x2 - y2 = 1 9 16
(2)y2 - x2 = 1 9 16
34x2 9y2 36
2.已知
P
是双曲线 x2 － y2 ＝1
64 36
3).列式. |MF1| - |MF2|= 2a
M
F1
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4).化简. c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
两边同时除以
a2 c2 a2
得：
x2
y2
a2 c2 a2 1
由双曲线定义知：2c 2a 即：c a c2 a2 0
(4)若||MF1|-|MF2||=0,M点轨迹为AB中垂线.
如何求双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
焦点在x轴上：
1). 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴,线段F1F2
的中点为原点建立角坐标系
y
2).设点. 设M(x , y)双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
焦点位置的判 定
看x2,y2项系数的正负,哪项系数为正,焦 点就在哪一条轴上
注:任何一条双曲线,只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标
准形式,当且仅当双曲线的焦点在坐标轴上,且两焦点的中点是原 点时,其方程才具有标准形式
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程 焦点
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
上一点，F1，F2
是双曲线的左、右焦点，
且|PF1|＝17，求|PF2|的值． 解 由双曲线方程 x2 － y2 ＝1 可得 a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图
64 36
象可得点 P 到右焦点 F2 的距离 d≥c－a＝2，因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1| ＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.
y2 a2
-
x2 b2
= 1 a > 0，b > 0 .
定义
图形
||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）
方程 焦点
a.b.c的关系
x2 a2
y2 b2
1a
0, b 0
F1(-c,0), F2(c,0)
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0
F1(0,-c), F2(0,c)
c2=a2+b2 c > a且c > b，但a,b没有大小关系
1.双曲线定义：
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点F1,F2叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 1.必须在平面内 2.两个定点——两点间的距离确定 3.定长——轨迹上任意的点到两个定点的距离之差的绝 对值确定
4.||MF1|-|MF2 ||<|F1F2 |
请 回
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离之差的绝对值为5,则M点的轨迹是什么?
双曲线
答
：
(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距
离之差的绝对值为6,则M点的轨迹是什么? 两条射线
(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离之差的绝对值为10,则M点的轨迹是什么?
3.若k > 1,则关于x、y的方程 (1 k)x2 y2 k 2 1 所表示的曲线是
( B)
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的双曲线
x2
y2
4.如果方程
1表示双曲线, 求m的取值范围.
2m m1
由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1
∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
a>0，b>0，但a不一定 大于b，c2=a2+b2
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到
焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2 y2 a 2 b2 1(a 0, b 0)
根据已知条件，|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=6， 所以2c=10，2a=8.即a=3，c=5 那么b2=c2-a2=25-9=16 因此，双曲线的标准方程为 x2 - y2 = 1
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 y2 a 2 b2 1(a 0, b 0)
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦
点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中c2=a2+b2.
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么呢?
焦点分别是 F1(0，-c) ，F2 (0,c)
1、掌握双曲线的几何图形并理解其定义； 2、了解双曲线的标准方程及其推导过程； 3、能根据条件求简单的双曲线的标准方程。
问题导学（5分钟）
阅读课本118-120页并思考下列问题： 1.双曲线的定义是什么？有什么限制条件？ 2.双曲线的标准方程是什么？有什么特点？
点拨精讲（24分钟）
不存在
(4)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离之差为0,则M点的轨迹是什么?
AB的中垂线
感悟:(1)若||MF1|-|MF2||<|F1F2|,M点轨迹为双曲线.
(2)若||MF1|-|MF2||=|F1F2|,M点轨迹为两条射线.
(3)若||MF1|-|MF2||>|F1F2|,M点轨迹不存在.
y2 b2
1(a
b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
b 0)
F（±c，0） F（0，±c）
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
x2 y2 1(a 0,b 0) a2 b2
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
F（±c，0）
F（0，±c）
a.b.c的 关系 a>b>0,a2=b2+c2
9 16
课堂小结（1分钟）
1.双曲线的定义、图形及标准方程：
2.椭圆与双曲线的区别：
当堂检测（14分钟）
1.根据双曲线方程求a,b,c及焦点坐标
(1)x2 - y2 = 1 9 16
(2)y2 - x2 = 1 9 16
34x2 9y2 36
2.已知
P
是双曲线 x2 － y2 ＝1
64 36
3).列式. |MF1| - |MF2|= 2a
M
F1
o F2 x
即 (x+c)2 + y2 - (x-c)2 + y2 = +_ 2a
4).化简. c2 a2 x2 a2 y2 a2 c2 a2
两边同时除以
a2 c2 a2
得：
x2
y2
a2 c2 a2 1
由双曲线定义知：2c 2a 即：c a c2 a2 0
(4)若||MF1|-|MF2||=0,M点轨迹为AB中垂线.
如何求双曲线的标准方程
焦点位置
焦点在 x 轴上
焦点在 y 轴上
图形
焦点在x轴上：
1). 建系. 以F1,F2所在的直线为X轴,线段F1F2
的中点为原点建立角坐标系
y
2).设点. 设M(x , y)双曲线的焦
距为2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)
焦点位置的判 定
看x2,y2项系数的正负,哪项系数为正,焦 点就在哪一条轴上
注:任何一条双曲线,只需选择适当的坐标系,其方程均可写成标
准形式,当且仅当双曲线的焦点在坐标轴上,且两焦点的中点是原 点时,其方程才具有标准形式
双曲线与椭圆之间的区别与联系
定义 方程 焦点
椭圆
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
上一点，F1，F2
是双曲线的左、右焦点，
且|PF1|＝17，求|PF2|的值． 解 由双曲线方程 x2 － y2 ＝1 可得 a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图
64 36
象可得点 P 到右焦点 F2 的距离 d≥c－a＝2，因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1| ＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.
y2 a2
-
x2 b2
= 1 a > 0，b > 0 .
定义
图形
||MF1|—|MF2||=2a（2a＜|F1F2|）
方程 焦点
a.b.c的关系
x2 a2
y2 b2
1a
0, b 0
F1(-c,0), F2(c,0)
y2 a2
x2 b2
1a
0, b
0
F1(0,-c), F2(0,c)
c2=a2+b2 c > a且c > b，但a,b没有大小关系
1.双曲线定义：
一般地，我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于非零常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。
定点F1,F2叫做双曲线的焦点，
两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。 1.必须在平面内 2.两个定点——两点间的距离确定 3.定长——轨迹上任意的点到两个定点的距离之差的绝 对值确定
4.||MF1|-|MF2 ||<|F1F2 |
请 回
(1)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离之差的绝对值为5,则M点的轨迹是什么?
双曲线
答
：
(2)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距
离之差的绝对值为6,则M点的轨迹是什么? 两条射线
(3)已知A(-3,0),B(3,0),M点到A,B两点的距 离之差的绝对值为10,则M点的轨迹是什么?
3.若k > 1,则关于x、y的方程 (1 k)x2 y2 k 2 1 所表示的曲线是
( B)
A.焦点在x轴上的椭圆 B.焦点在y轴上的双曲线
C.焦点在y轴上的椭圆 D.焦点在x轴上的双曲线
x2
y2
4.如果方程
1表示双曲线, 求m的取值范围.
2m m1
由(2 m)(m 1) 0 得m 2或m 1
∴ m 的取值范围为 (, 2) (1, )
a>0，b>0，但a不一定 大于b，c2=a2+b2
例1、已知双曲线的焦点 F1(-5,0), F2(5,0)，双曲线上一点P到
焦点的距离差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程。
解：因为双曲线的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为
x2 y2 a 2 b2 1(a 0, b 0)
根据已知条件，|F1F2|=10. ||PF1|-|PF2||=6， 所以2c=10，2a=8.即a=3，c=5 那么b2=c2-a2=25-9=16 因此，双曲线的标准方程为 x2 - y2 = 1
设 c2 a2 b2 b 0 代入上式整理得：
x2 y2 a 2 b2 1(a 0, b 0)
这个方程叫做双曲线的标准方程 ，它所表示的双曲线的焦
点在x轴上，焦点是 F1(-c，0)，F2(c，0). 其中c2=a2+b2.
焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么呢?
焦点分别是 F1(0，-c) ，F2 (0,c)