模拟高通带通滤波器设计

①低通滤波器通带截止频率 p 1/ p ；
②低通滤波器阻带截止频率 s 1/ s ；
③通带最大衰减仍为 p ，阻带最小衰减仍为 s 。
(3)设计归一化低通滤波器G(p)。 (4)设计归一化高通滤波器G(q)。
p1 q
(5)求模拟高通的H(s)。 去归一化，将 q s 代入G(q)中
C
H (s) G( p) pc s
上式是直接由归一化低通转换成带阻的频率变换公式。
H(s) G( p)
p
s2
sB 02
下面总结设计带阻滤波器的步骤：
(1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即：
下通带截止频率 l ,上通带截止频率 u
阻带下限频率
，阻带上限频率
s1
s2
阻带中心频率 02 lu，阻带宽度 B u l
它们相应的归一化边界频率为
4.模拟滤波器的频率变换——模拟高通、带通、带阻滤波器的 设计
1) 低通到高通的频率变换
λ和η之间的关系为
1
如 果 已 知 低 通 G(jλ) ， 高 通 H(jη)则用下式转换：
H ( j) G( j) 1
模拟高通filter的设计方法
H (s) G( p) pc s
转换关系
模拟高通滤波器指标
其中：num,den为低通原型的分子分母系数 OmegaZ,B 为带阻的中心频率Ωz和阻带宽度B numT,denT为带阻滤波器的分子分母系数
数字高通、带通和带阻滤波器的另一种设计
转换关 系
数字滤波器的指标 2 tan 1 T2
模拟滤波器指标 ALF的指标
数字低通H(Z) 双线性变换法
低通Ha(s)
p2 2p 1
去归一化，将p=s/Ωc代入上式得到：
G(s)
2c
s2 2cs c2
(5) 将模拟低通转换成模拟高通。将G(s)
的变量换成1/s，得到模拟高通Ha(s)：
Ha
(s)
G(1) s
2c s2
2c s2 2cs
1
(6)用双线性变换法将模拟高通H (s)转换成数字高
通H(z)：
H(z)
(4) 直接将G(p)转换成带阻滤波器H(s)。
H(s) G( p)
p
s2
sB 02
例6.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为：
Ωl=2π×905rad/s,
Ωs1=2π×980rad/s,
Ωs2= 2π×1020rad/s, Ωu=2π×1105rad/s,
αp=3dB,αs=25dB。试设计巴特沃斯带阻滤波器。
解 (1)数字带通滤波器技术指标为
通带上截止频率ωu=0.4πrad 通带下截止频率ωl=0.3πrad
阻带上截止频率
ωs2=0.5πrad
阻带下截止频率
ωs1=0.2πrad
通带内最大衰减αp=3dB，阻带内最小衰减αs=18dB。
(2) 模拟带通滤波器技术指标如下：
设T=1，则有
u
2 tan
1 2
(4) 直接将G(p)转换成带通H(s)。
模拟带通filter的设计方法 低通与带阻滤波器的频率变换
3) 低通到带阻的频率变换
通带中心频率 02 lu ，通带宽度 B u l
为低通到带阻的频率变换公式：
2
02
p=jλ，并去归一化 s/B，可得
p
sB s2 02
s(u l ) s2 ul
H a (s)
s
21 1
z 1 z 1
实际上(5)、(6)两步可合并成一步，即
H(z) G(s)
s
1 2
1 1
z z
1 1
H (z)
1.624
0.106(1 z1)2 1.947z1 0.566
z
2
1
0.0653(1 z1)2 1.199z1 0.349
z
2
例6.5.2设计一个数字带通滤波器，通带范围为0.3πrad 到 0.4πrad ， 通 带 内 最 大 衰 减 为 3dB ， 0.2πrad 以 下 和 0.5πrad以上为阻带，阻带内最小衰减为18dB。采用巴 特沃斯型模拟低通滤波器。
N lg 0.127 1.940, N 2 lg 2.902
查表6.2.1，得到归一化低通传输函数G(p),
G( p)
1
p2 2p 1
(5) 将归一化模拟低通转换成模拟带通：
Ha (s) G( p) p s2 02 s(u l )
(6)通过双线性变换法将Ha(s)转换成数字带通滤波 器H(z)。下面将(5)、(6)两步合成一步计算：
s1
s1 B
,s2
s2 B
,l
l B
u
u B
,02
lu
以及通带最大衰减 p 和阻带最小衰减 s 。
(2) 确定归一化模拟低通技术要求，即：
p
1, s
s1
2 s1
02
, s
s2
2 s2
02
取λs和λs的绝对值较小的λs；通带最大衰减
为 ，p 阻带最小衰减为 。s
(3) 设计归一化模拟低通G(p)。
G( p)
1
p2 2p 1
(4) 带阻滤波器的H(s)为
H(s) G( p)
p
s2
sB 02
s4
s4 202s2 04 2Bs2 (B2 202 )s2 2B02s 04
6.5 数字高通、带通和带阻滤波器的设计
数字滤波器的指标 2 tan 1 T2
H(Z) 双线性变换法
模拟滤波器指标 ALF的指标
2 02
指标转换公式：边界频率转换成低通的边界频率。
2 02
λp对应ηu λs对应ηs2
p
u2 02 u
u
l
1
s
2 s2
02
s2
模拟带通filter的设计方法
模拟带通滤波器指标
ALF的指标
Ha(s)
转换关系
2 02
低通归一化的系统函数G（p）
p q2 02
q
高通归一化的系统函数H(q)
(2) 模拟高通的技术指标
令T=1，则有
p
2 tan
1 2
p
6.155rad
/
s, p
3dB
s
2 tan
1 2
s
1.655rad
/
s,s
3dB
(3)转化为模拟低通滤波器的技术指标：
p
1 6.155
0.16
1 1.655
0.604rad
/
s,s
15dB
将Ωp和Ωs对3dB截止频率Ωc归一化，这里Ωc=Ωp
η20=ηlηu=25 (2) 归一化低通的技术要求：
p
1, s
s2
2 s1
02
4.95,
p 3dB,s 25dB
s 4.95
(3)设计归一化低通滤波器G(p):
ksp
100.1 p 100.1s
1 1
0.0562
sp
s p
4.95
N lg ksp 1.8, N 2
lg sp
q=s/B
p s2 lu s(u l )
H (s) G( p) p s2lu s(u l )
总结模拟带通的设计步骤：
(1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即：
带通上限频率 u ，带通下限频率 l 下阻带上限频率 s1 ,上阻带下限频率 s 2
通带中心频率 02 lu ，通带宽度 B u l
例6.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特 性 单 调 下 降 ， fp 处 最 大 衰 减 为 3dB ， 阻 带 最 小 衰 减 αs=15dB。
①高通技术要求：
fp=200Hz, αp=3dB;
fs=100Hz, αs=15dB
归一化频率
p
fp fc
1,s
fs fc
Ha(s)
转换关系 低通归一化的系统函数G(p)
转换 关系
例6.5.1 设计一个数字高通滤波器，要求通带截止频
率ωp=0.8πrad，通带衰减不大于3dB，阻带截止频率 ωs=0.44πrad, 阻带衰减不小于15dB。希望采用巴特 沃斯型滤波器。
(1)数字高通的技术指标为
ωp=0.8πrad, αp=3dB; ωs=0.44πrad, αs=15dB
ηs2=4.608, ηs1=1.498;
η0=2.804 (3) 模拟归一化低通滤波器技术指标：
归一化阻带截止频率
s
2 s2
02
s2
2.902
归一化通带截止频率
λp=1 αp=3dB,αs=18dB
(4) 设计模拟低通滤波器：
ksp
100.1 p 100.1s
1 1
0.127
sp
s p
2.902
p
1, s
s p
3.71
(4)设计归一化模拟低通滤波器G(p)。模拟低通滤 波器的阶数N计算如下：
N lg ksp
lg sp
ksp
100.1 p 100.1s
1 1
0.1803
sp
s p
3.71
N 1.31, N 2
查表6.2.1，得到归一化模拟低通传输函数G(p)为
G( p)
1
解
(1) 模拟带阻滤波器的技术要求：
Ωl=2π×905, Ωu=2π×1105; Ωs1=2π×980, Ωs2=2π×1020; Ω20=ΩlΩu=4π2×1000025, B=Ωu Ωl=2π×200;
ηl=Ωl/B=4.525, ηu=Ωu/B=5.525;
ηs1=Ωs1/B=4.9,
ηs2=5.1;
s
2
1 1
z 1 z 1
将上式代入(5)中的转换公式，得
p
s2 02 s(u l )
s21 1
z z
1 1
4(1 z1)2 02 (1 z1)2 2(1 z2 )(u l )
5.48 4.5z1 7.481z2 0.868(1 z2 )
6.313 5.18z1 80619z2 1 z2
转换关系 低通归一化的系统函数G(p)
模拟低通滤波器变换成数字带通滤波器
由低通模拟原型到模拟高通的变换关系为
s
c
s2 1h s(h 1)
根据双线性变换，模拟带通与数字带通之间的S平面与Z平面的
关系仍为
s
2 T
1 1
z 1 z 1
s
c
2 T
1 1
z 1 z 1
2
1h
2 T
1 1
z 1 z 1
ALF的指标
Ha(s)
转换关系
1
低通归一化的系统函数G(p)
p1 q
高通归一化的系统函数H(q)
s q
C
模拟高通滤波器的设计步骤：
(1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率 p ，阻
带上限频率 ，通s 带最大衰减 ，阻带最p小衰减
。
s
(2)确定相应低通滤波器的设计指标：将高通滤波器的
边界频率转换成低通滤波器的边界频率
通带最大衰减为 p ，阻带最小衰减为 s ：
与以上边界频率对应的归一化边界频率如下：
s1
s1 B
,s2
s2 B
,l
l B
u
u B
,02
lu
(2) 确定归一化低通技术要求：
p
1, s
2 s2
02
s2
, s
2 s1
02
s1
通带最大衰减仍为αp，阻带最小衰减亦为αs。
(3) 设计归一化低通G(p)。
(1）通带为10Hz的低通滤波器；（2）通带下边频为10Hz 的高通滤波器；（3）中心频率为10Hz，带宽为2Hz的 带通滤波器；（4）中心频率为10Hz，带宽为2Hz的带 阻滤波器；又设采样周期为0.01秒，求相应的数字滤 波器。
u
1.453rad
/
s
l
2 tan
1 2
l
1.019rad
/
s
s2
2 tan
1 2
s
2
2rad
/
s
s1
2
tan
1 2
s1
0.650rad
/
s
0 ul 1.217rad / s (通带中心频率) B u l 0.434rad / s (带宽)
将以上边界频率对带宽B归一化，得到
ηu=3.348, ηl=2.348;
将上面的p等式代入G(p)中，得
H
(
z)
1
1.491z
0.021(1 1 2.848z
2z2 z4 ) 2 1.68z3
1.273z
4
MATLAB提供了四个函数lp2lp, lp2hp, lp2bp, lp2bs来完 成这些频带变换。
以lp2bs（低通到带阻）为例，调用格式为： [numT,denT] = lp2bs(num,den,OmegaZ,B)
(h
1)
模拟低通滤波器变换成数字带阻滤波器
由模拟低通原型到模拟带阻的变换关系为
s
c
s(h 1) s2 1h
根据双线性变换，模拟带阻与数字带阻之间的S平面与Z平面的
关系仍为
s
2 T
1 1
z 1 z 1
s
c
2 T
1 1
z 1 z 1
(h
1)
2 T
1 1
z 1 z 1
2
1h
设已根据指标要求，设计好了归一化低通滤波器为三 阶巴特沃斯型，其传递函数为试设计下列模拟滤波器：
0.5,
②低通技术要求：
p
1, s
1
s
2
p 3dB,s 15dB
③ 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，
ksp
100.1 p 100.1s
1 1
0.18
sp
s p
2
N lg ksp 2.47, N 3
lg sp
G( p)
p3
1 2p2 2p 1
④ 求模拟高通H(s)：
s3
H(s) G( p)
p c s
s3 2cs2 22c s 3c
2 f
模拟带通filter的设计方法 带通滤波器的指标要求
B u l
s1 s1 / B,s2 s2 / B l l / B,u u / B 02 lu
带通滤波器频率特性是正负对称的，故 这个变换必须是一对二的映射，它应该 是Ω的二次函数