2019-2020学年度北京东城第一学期期中高三理科数学试题及答案评分标准(14页)
东城区2019-2020第一学期期末数学答案(终稿)(1)
高三数学参考答案及评分标准
2020.1
一、选择题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
（1）D
（2）C
（3）B
（5）B
（6）C
（7） A
二、填空题（共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分）
（9） 4
（11） 0 （答案不唯一） （13） 2 或10
3
...................................................................................................7 分
（Ⅱ）由正弦定理得 sin B= b sin C 2
3 2
1,
c
23 2
又因为 0 B ， 3
则切线 l
方程为
y
1 3
x03
x02
3ax0
( x02
2x0
3a)(x
x0 ) .
又直线 l
过
P(1, b)
，有 b
1 3
x03
x02
3ax0
( x02
2x0
3a)(1
x0 )
，
即
2 3
x03
2 x02
+2x0
3a
b
0
.
设 g(x) 2 x3 2x2 2x 3a b ， 3
g '(x) 2x2 4x 2 2(x 1)2 0 .
（4）A （8）C
（10） 1 45 24
（12） 4 （14）②
三、解答题（共 6 小题，共 80 分） （15）（共 13 分）
2019-2020学年度高三(上)理科数学期中考试试卷+解析答案+评分标准
2019—2020学年度上期高2020届高三半期考试数学试卷(理科)考试时间：120 分钟满分：150 分一. 选择题(本大题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分. 在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的)1.设集合{}2log (1)A x y x ==-，{}2B y y x ==，则AB =()A. (0,2]B. (1,2)C.D. (1,2]2. 已知i 为虚数单位，若复数(13)i z i +=-,则z =()A . 1B . 2:D 3. 若a >b ，则下列不等式恒成立的是()A.22ab> B.ln()0a b -> C.1133a b > D.a b >4. 已知点A (-1,1),B (1,2),C (-2,-1),D (3,4)，则向量CD 在AB 方向上的投影为()A.2B. C.2-D.-5. 成都七中星期一至星期五每天上午共安排五节课，每节课的时间为40分钟，第一节课 上课的时间为7： 55〜8： 35,课间休息10分钟.某同学请假后返校，若他在8： 55〜9： 35 之间随机到达教室，则他听第二节课的时间不少于20分钟的概率为( )A.15 B.14 C.13 D.126. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，则{}n a 是等差数列〃是“n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列〃的() A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件7. 已知.，2πϕ<，()f x 是偶函数，直线2y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π，则( )A.()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 B.()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C. 在0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增 D.()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增8. 已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且132a ,34a ，2a 成等差数列，则20191817a a a a +=+（） A. 9 B. 6C. 3D. 19. 椭圆22:193x y C +=与双曲线2222:1(0,0)x y Q m n m n-=>>焦点相同，当这两条曲线的 离心率之积为1时，双曲线Q 的渐近线斜率是（ ）A. 2±C.12± D.2± 10. 已知函数，()g x 为一次函数，若对，有，当[1,1]x ∈时，函数(2()log 2()f x x g x =+的最大值与最小值之和是（）A. 10B. 8C. 7D. 611.在中，点P 满足3BP PC =,过点P 的直线与,AB AC 所在的直线分别交于点M N ，,若AM AB λ=,(0,0)AN AC μλμ=>>,则λμ+的最小值为（）1+ B.12+ C.32D.5212.函数()f x =是定义在R 上的函数，且满足3(2)()2f x f x +=，当[1,1)x ∈时，2()1f x x =-+，则方程29()log 08f x x -=在（0,5］的根的个数为（）A. 3B. 4C. 5D. 6二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.命题“2000,21x R x x ∃∈->”的否定是____________________________________14.2019年20月2日，我国在天安门广场举行盛大的建国70周年阅兵典礼.能被邀请到现场观礼是无比的荣耀.假设如图，在坡度为 15.的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60和30,且第一排和最后一排的距离为则旗杆的高度为米.15.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，平面α与正方体每条棱所成的角均相等，则 平面截正方体所形成的三角形截面中，截面面积最大值为 ______________ . 16.已知函数32()3f x x x bx c =-++有极值,且导函数'()f x 的极值点是()fx 的零点，给岀命题:①1c >-;②若0c >，则存在00x <，使得0()f x ;③()f x 与'()f x 所有极值之和一定小于0 ;④若1 0c -<<,且y kx =是曲线:()(0)C y f x x =<的一条切线，则k 的取值范围是27,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭则以上命题正确序号是 _____________ .三. 解答题（本大题共7 小题，17-21题各 12分，22或 23题 10分. 解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤）17. 己知函数2())4sin 26f x x x π=-+-（1）用“五点作图法”作岀()f x 在一个周期内的图像；（2）在ABC ∆中，若函数()f x 在角A 处取得最大值，且BC =，求ABC ∆周长的最大值。
2020届高三数学(理)上学期期中试题+参考答案+评分标准
2020届高三数学(理)上学期期中试题完卷时间：120 分钟 满分：150 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）1. 复数z 满足()132z i i -=+，则复数z ＝( )A ．1322i + B ．1322i - C ．1522i - D ．1522i +2. 已知集合{|A x y ==， {|31,}B x x n n N +==-∈，则A B =I （ ）A ．{2}B ．{}2,5C ．{}2,5,8D ．{}1,2,5,8-3. 已知命题2:,10p x R x x ∀∈-+>；命题:q a b >是11a b>的充要条件，则下列为真命题的是（ ）A ．p q ∧ B.p q ⌝∨ C ．p q ∧⌝ D ．p q ⌝∧⌝4. 已知数列{}n a 为等差数列，且满足251115a a a ++=，则数列{}n a 的前11项和为（ ）A ．40B ．45C ．50D ．555. 已知函数(1)f x +是偶函数，函数()f x 在(]1-∞，上单调递增，0.512(4),(log 4)a f b f ==，(3)c f =，则（ ）A. b c a <<B.a c b <<C.c a b <<D. a b c << 6. 将函数2()cos(2)cos 23f x x x π=-+的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是( )A.6πB.3πC.23π D.56π 7. 若1x =是函数21()(1)x f x x ax e-=+-的极值点，则()f x 的极大值为（ ）A. 1-B. 32e --C. 35e -D. 18. 函数22sin 22()(,00,)133x x f x x x ππ⎡⎫⎛⎤=∈-⋃⎪ ⎢⎥+⎣⎭⎝⎦的图像大致为（ ）A B C D9.已知向量ar，br的夹角为135o，且1a=r，2b=rmu r满足4a mb m⋅=⋅=r u r r u r，则mu r= ( )A. 22B. 5C. 42D. 510. 已知函数()2018,2020,412022,2020,2019xm xf x mx x-⎧≥⎪=⎨⎛⎫+-<⎪⎪⎝⎭⎩数列{}n a满足(),na f n n N*=∈，且{}na是单调递增函数，则实数m的取值范围是（）A.(]1,3 B.()1,+∞ C.[)3,+∞ D.()3,+∞11. 已知函数()2sin cos(0,0)6f x x a x aπωωω⎛⎫=++>>⎪⎝⎭对任意12,x x R∈都有()()1243f x f x+≤，若()f x在[0,]π上的值域为[3,23]，则实数ω的取值范围为( )A．12,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B．11,63⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．1,6⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦12. 对于任意的实数[]1,x e∈，总存在三个不同的实数[]1,4y∈-，使得21ln0yy xe ax x---=成立，则实数a的取值范围是（）A．3160,e⎛⎤⎥⎝⎦B．23163,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C．23161,ee e⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D．3163,e e⎡⎫⎪⎢⎣⎭二、填空题：本大题共4题，每小题5分共20分，把答案填在答题卡相应位置上。
2019-2020学年度北京市东城区高三第一学期试卷
2019-2020学年度北京市东城区高三第一学期试卷以下数据可供解题时参考：相对原子质量：H 1 C 12 O 16 Na 23 Al 27 S 32 Cl 35.5 Fe 56 Cu 64第I卷（选择题，共48分）一、选择题（本题包括9小题，每小题2分，共18分，每小题只有一个选项符合题意）1．下列各组中互为同位素的是A.O2和O3B. H2和D2C. CH4和C3H8D. 2He和3He2. 下列关于胶体的叙述正确的是A．电泳现象可证明胶体属于电解质溶液 B．胶体可以透过半透膜C．利用丁达尔效应可以区分溶液和胶体 D．直径介于1～20200 nm之间的微粒称为胶体3．下列各组物质气化或熔化时，所克服的粒子间的作用力属于同种类型的是A．二氧化硅和生石灰的熔化 B．氯化钠和铁的熔化C．碘和干冰的升华 D．氯化铵受热气化和苯的气化4．下列关于电解的叙述中不正确的是A．电解池的阳极发生氧化反应，阴极发生还原反应B．电解饱和食盐水时，阳极得到氢氧化钠溶液和氢气C．电解法精炼粗铜，用纯铜作阴极D．在镀件上电镀锌时，用锌作阳极5．CH4的燃烧热为890kJ·mol-1。
下列热化学方程式正确的是A. CH4(g) + 2O2(g) = 2H2O(g) + CO2(g); △H=+890kJ·mol-1B. CH4 + 2O2 = 2H2O + CO2; △H= -890kJ·mol-1C. CH4(g) + 2O2(g) = 2H2O(l) + CO2(g); △H= -890kJ·mol-1D. CH4(g) + 2O2(g) = 2H2O(g) + CO2(g); △H= -890kJ·mol-16. （NH4）2PtCl6晶体受热分解，生成氮气、氯化氢、氯化铵和金属铂。
在此分解反应中，氧化产物与还原产物的物质的量之比是A．2∶3 B．3∶2 C．4∶3 D．1∶37. 某有机物的结构简式为。
2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷含解析
2019届北京市高三上学期期中考试数学理试卷数学试卷（理工类）第I卷（选择题, 共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确答案）在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的，选出正确的选项并将该选项在答题卡上涂黑。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先把集合A解出来，然后求A∪B即可．【详解】因为集合合，所以，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的交集，属于基础题．2.执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. -10B. -2C. 2D. 10【答案】C【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【详解】模拟程序的运行过程，第一次运行：，第二次运行：第三次运行：第四次运行：此时，推出循环，输出输出.故选C.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．3.设平面向量，，，，则实数的值等于（）A. B. C. 0 D.【答案】A【解析】【分析】根据平面向量的坐标运算与共线定理，列方程求出k的值．【详解】向量，，，∴=故选A.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算与共线定理的应用问题，是基础题．4.已知，则下列不等关系中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用指函数的单调性得出结论．【详解】A. ，显然不成立；B. 错误，因为函数在上为增函数，由，可得；同理C. ，因为函数在上为增函数，由，可得；D. ，正确，因为函数在上为减函数，由，可得；故选D.【点睛】本题考查函数单调性的应用，属基础题.5.“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】观察两条件的互推性即可求解．【详解】由“”可得到“”，但“”不一定得到“”，故“”是“”的充分而不必要条件.故応A.6.已知函数，若（），则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由，可知由可得根据基本不等式可求的取值范围.【详解】若由，则与矛盾；同理也可导出矛盾，故而即【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式的应用，属中档题.7.已知函数当时，方程的根的个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】画出函数的图像，由图像可得结论.【详解】画出函数的图像，有图可知方程的根的个数为3个.故选C.【点睛】本题考查分段函数的性质、方程的根等知识，综合性较强，考查利用所学知识解决问题的能力，是中档题．8.将正奇数数列1,3,4,5,7,9，…依次按两项、三项分组，得到分组序列如下：，，，，…，称为第1组，为第2组，依此类推，则原数列中的2019位于分组序列中（）A. 第404组B. 第405组C. 第808组D. 第809组【答案】A【解析】【分析】求出2019为第1010个证奇数，根据富足规则可得答案.【详解】正奇数数列1,3,4,5,7,9，的通项公式为则2019为第1010个奇数，因为按两项、三项分组，故按5个一组分组是有202组，故原数列中的2019位于分组序列中第404组【点睛】本题考查闺女是推理，属中档题.第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）9.已知，，则_________，__________．【答案】(1). (2). --【解析】【分析】利用同角三角函数基本关系式和诱导公式可解.【详解】由题，，则即答案为(1). (2).【点睛】本题考查同角三角函数基本关系式和诱导公式，属基础题.10.已知，满足则的最大值为__________．【答案】【解析】【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的△ABC及其内部，再将目标函数z=x+2y对应的直线进行平移，可得当x=3，y=1时，z=x+2y取得最大值为5．【详解】作出不等式组表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中A（1，1），B（-2，-2），C（4，-2）设z= x+2y，将直线l：z=x+2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值∴z最大值= 3故答案为：3【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=x+2y的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．11.已知函数满足下列条件：①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，写出函数的一个表达式__________．【答案】【解析】【分析】利用已知条件，直接推出结果即可．【详解】①定义域为；②函数在上单调递增；③函数的导函数有且只有一个零点，满足条件一个函数可以为：．或+2等等．故答案为：．（答案不唯一）【点睛】本题考查函数的简单性质的应用，函数的解析式的求法，考查判断能力．12.如图，在平行四边形中，，分别为边，的中点，连接，，交于点，若（，），则__________．【答案】【解析】【分析】根据平行线分线段成比例解答即可.【详解】根据平行线分线段成比例可得而故即答案为.【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，属中档题.13.海水受日月的引力，在一定的时候发生的涨落现象叫潮.港口的水深会随潮的变化而变化.某港口水的深度（单位：米）是时刻（，单位：小时）的函数，记作.下面是该港口某日水深的数据：经长期观察，曲线可近似地看成函数（，）的图象，根据以上数据，函数的近似表达式为__________．【答案】【解析】【分析】设出函数解析式，据最大值与最小值的差的一半为A；最大值与最小值和的一半为h；通过周期求出ω，得到函数解析式．【详解】根据已知数据数据可以得出A=3，b=8，T=12，φ=0，由，得ω=，所以函数的近似表达式即答案为【点睛】本题考查通过待定系数法求函数解析式、属基础题.14.从标有数字，，，（，且，，，）的四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，那么这4个小球上的不同的数字恰好有__________个；试写出满足条件的所有组，，，__________．【答案】(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【解析】【分析】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，在逐一分析可得满足条件的所有组，，，.【详解】由，且个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得4种不同的结果；将其上的数字相乘，可得3种不同的结果，则必有两个数字相等，分析可得4个小球上的不同的数字恰好有3个，若两个相等的数为1，如1，1,2，4，则四个小球中任选两个不同的小球，将其上的数字相加，可得3种不同的结果，不符合题意，若若两个相等的数为2，则符合题意的为1,2,2,4;推理可得1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9符合题意.即答案(1). 3 (2). 1,2,2,4;1,3,3,9;2,4,4,8;4,6,6,9【点睛】本题考查归纳推理，属难题.三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.设（）是各项均为正数的等比数列，且，.（I）求的通项公式；（II）若，求.【答案】（I），.（II）【解析】【分析】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，即可得到的通项公式；（II）因为，利用分组求和法即可得到.【详解】（I）设为首项为，公比为（），则依题意，，解得，，所以的通项公式为，.（II）因为，所以【点睛】本题考查等比数列的基本量计算，以及分组求和法属基础题.16.已知函数.（I）求的最小正周期及单调递增区间；（II）若对任意，（为实数）恒成立，求的最小值.【答案】（I）最小正周期为,单调递增区间为，.（II）的最小值为2【解析】【分析】（I）根据二倍角公式及辅助角公式求得f（x）的解析式，根据正弦函数的性质即可求得f （x）的最小正周期及其单调递增区间；II）由.可得.由此可求的最小值.【详解】（I）由已知可得.所以最小正周期为.令，.所以，所以，即单调递增区间为，.（II）因为.所以，则，所以，当，即时，.因为恒成立，所以，所以的最小值为2【点睛】本题考查三角恒等变换，正弦函数的单调性及最值，考查转化思想，属于中档题．17.在中，角，，的对边分别为，，，，，.（I）求；（II）求的面积.【答案】证明见解析（II）【解析】【分析】（Ⅰ）利用同角三角函数基本关系式求得.，利用正弦定理可求；；（II）在中，由知为钝角，所以.利用，可求求的面积.【详解】证明：（I）因为，即，又，为钝角，所以.由，即，解得.（II）在中，由知为钝角，所以.，所以所以【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．18.已知函数（）（I）当时，求在区间上的最大值和最小值；（II）求证：“”的“函数有唯一零点”的充分而不必要条件.【答案】（I）；.（II）“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【解析】【分析】（Ⅰ）先求导，再由导函数为0，求出极值，列表解得即可；（Ⅱ）根据（Ⅰ）分类讨论，分别利用导数和函数的零点的关系以及充分不必要条件的定义即可证明．【详解】（I），当时，，当在内变化时，，的变化如下表：当时，；.（II）若，.当变化时，，的变化如下表：，因为，所以.即.且，所以有唯一零点.所以“”是“有唯一零点”的充分条件.又时，当变化时，，的变化如下表：又，，.所以此时也有唯一零点.从而“”是“有唯一零点”的充分不必要条件【点睛】本题考查了导数和函数的极值和零点的关系，考查了学生的运算能力和转化能力，属于难题．19.已知函数（）.（I）求曲线在点处的切线方程；（II）试判断函数的单调性并证明；（III）若函数在处取得极大值，记函数的极小值为，试求的最大值.【答案】（I）.（II）函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）函数的最大值为.【解析】【分析】函数的定义域为，且.（I）易知，，代入点斜式即可得到曲线在点处的切线方程；（II）令，得，，分类讨论可得函数的单调性，（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.，利用导数可求的最大值.【详解】函数的定义域为，且.（I）易知，所以曲线在点处的切线方程为.即.（II）令，得，①当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.②当时，恒成立.所以函数在上单调递增.③当时，.当变化时，，变化情况如下表：所以函数在和上单调递增，在上单调递减.（III）由（II）可知，要使是函数的极大值点，需满足.此时，函数的极小值为.所以.令得.当变化时，，变化情况如下表：所以函数的最大值为.【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．20.设，为正整数，一个正整数数列，，…，满足，对，定义集合，数列，，…，中的（）是集合中元素的个数.（I）若数列，，…，为5,3,3,2,1,1，写出数列，，…，；（II）若，，，，…，为公比为的等比数列，求；（III）对，定义集合，令是集合中元素的个数.求证：对，均有.【答案】（I）数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）（III），【解析】【分析】（I）根据数列，，…，数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2，利用反证法证明；（III）对，表示，，…，中大于等于的个数，首先证明.再证对，即可.【详解】（I）解：数列，，…，是6,4,3,1,1.（II）由题知，由于数列，，…，是项的等比数列，因此数列，，…，为，，…，2下面证明假设数列中有个，个，…，个2，个1，显然所以.由题意可得，，，…，，…，.所以故即（III）对，表示，，…，中大于等于的个数由已知得，，…，一共有项，每一项都大于等于1，故，由于故由于，故当时，即.接下来证明对，，则，即1,2，…，，从而故，从而1,2，…，，故，从而，故有设，即，根据集合的定义，有.由知，1,2，…，，由的定义可得，而由，故因此，对，【点睛】本题考查新定义数列的理解与求法，考查不等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意反证法的合理运用．属难题.。
2019-2020年高三上学期期中测试数学(理)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期中测试数学（理）试题含答案本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷从第 1页至第2页；第Ⅱ卷从第3页至第4页；答题纸从第1页至第6页.共150分，考试时间120分钟.请在答题纸第1,3,5页左侧密封线内书写班级、姓名、准考证号.考试结束后，将本试卷的答题纸和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（共40分）第Ⅱ卷（共110分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）三、解答题：（本大题共6小题，共80分）15．（本小题共13分）在锐角中，且.（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，求的值.15.解：（Ⅰ）由正弦定理可得 ----------2分因为所以 ------------------------5分在锐角中， ---------------------------7分（Ⅱ）由余弦定理可得 -------------------------9分又因为，所以，即 -------------------------11分解得， ---------------------------12分经检验，由可得，不符合题意，所以舍去. --------------------13分16.（本小题满分13分）已知向量，，，其中．（Ⅰ）当时，求值的集合；（Ⅱ）当时，求的最大值．16．解：（Ⅰ）由，得，即……4分则，∵,得或，．……………………………5分∴ 或为所求．………………………………6分（Ⅱ），………10分∵，∴，由图象性质，当即时，有最大值为12，有最大值为．……………………13分17.（本小题满分13分）某工厂生产某种产品，每日的成本（单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式 已知每日的利润，且当时，.（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值.17.解：（Ⅰ）由题意可得： …………2分因为时，，所以. ……………………………………4分所以. ……………………………………5分（Ⅱ）当时，.18182818=[2(8)]1818688L x x x x =-++--++-=--（）≤. ……………………………………9分 当且仅当，即时取得等号.……………………………………10分当时，. ……………………………………12分所以当时，取得最大值.所以当日产量为5吨时，每日的利润可以达到最大值6万元. …………………13分18.（本小题满分13分） 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记．（Ⅰ）若，求；（Ⅱ）分别过作轴的垂线，垂足依次为．记△ 的面积为，△的面积为．若，求角的值．解：（Ⅰ）由三角函数定义，得 ，…………2分因为 ，，所以 ． ………………3分所以 21cos()cos 32x π=+==αα-α （Ⅱ）解：依题意得 ，．所以 ， ………………7分2221112||[cos()]sin()sin(2)223343S x y πππ==-+⋅+=-+ααα ……9分 依题意得 ，整理得 ． ………………11分因为 ， 所以 ，所以 ， 即 ． ………………13分19.（本小题满分14分）已知函数，.（Ⅰ）若，求函数的极值；（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；（Ⅲ)若在区间（）上存在一点，使得成立，求的取值范围.19. 解：（Ⅰ）∵，∴，定义域 ，减 增∴无极大值， ……3分（Ⅱ）， 定义域 ，∴ ………4分①当时，在上恒成立，∴在上递增； ………6分②当时，令得，减 增∴在上递减，在上递增； …………8分（Ⅲ）∵区间上存在一点，使得成立，即： 在上有解，即：当时， …………9分由（Ⅱ）知①当时，在上增，∴；……10分②当时，在上递减，在上递增（ⅰ）当即时， 在上增， ∴， ∴无解 ……11分（ⅱ）当即时， 在上递减∴2min 11()01a e h h e e a a e e ++==-+<⇒>- ∴ …………12分 （ⅲ）当即时， 在上递减，在上递增∴， 令2ln(1)2()1ln(1)a a a F a a a a+-+==+-+，则 ∴在递减 ∴ ∴无解即无解 ………14分综上：或20．（本小题满分14分）已知是定义在R 上的函数，其图象交x 轴于A 、B 、C 三点.若点B 的坐标为（2，0），且上有相同的单调性，在[0，2]和[4，5]上有相反的单调性.（Ⅰ）求c 的值；（Ⅱ）在函数的图象上是否存在一点在点M 处的切线斜率为3b ？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由；（Ⅲ）求的取值范围.20．解：（Ⅰ） ……………………………………2分依题意上有相反的单调性.所以的一个极值点.故 ………………4分（Ⅱ）令，由（Ⅰ）得………………………2分因为上有相反的单调性，所以上有相反的符号.故………………………………………………7分假设存在点使得在点M 处的切线斜率为3b ，则即 因为),9(4364)3(34)2(22+=+=-⨯-=∆ab ab ab b b a b 且、b 异号.所以故不存在点使得在点M 处的切线斜率为3b .………………10分（Ⅲ）设),)(2)(()(),0,(),0,(βαβα---=x x x a x f C A 依题意可令即]2)22()2([)(23αβαββαβα-+++++-=x x x a x f .2)22()2(23αβαββαβαa x a x a ax -+++++-=所以即…………………………12分所以因为max 63,6,b b AC a a-≤≤-=-=所以当时当………………………14分。
北京市东城区二十二中2020届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含解析
北京市东城区二十二中2020届高三上学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1. 已知集合，，则（）．A. B. C. D.2. 下列函数为奇函数的是（）．A. B. C. D.3. 设，，．若，则实数的值等于（）．A. B. C. D.4. 若，满足，则的最大值为（）．A. B. C. D.5. 若，是两个非零的平面向量，则“”是“”的（）．A. 充分且不必要条件B. 必要且不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是（）．A. B. C. D.7. 已知函数，若，，，是互不相同的正数，且，则的取值范围是（）．A. B. C. D.8. 一位手机用户前四次输入四位数字手机密码均不正确，第五次输入密码正确，手机解锁，事后发现前四次输入的密码中，每次都有两个数字正确，但它们各自的位置均不正确．已知前四次输入密码分别为，，，，则正确的密码中一定含有数字（）．A. ，B. ，C. ，D. ，第Ⅱ卷二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9. 已知抛物线的方程，则其焦点到准线的距离为___________．10. 若，，则__________．11. 设，，，则，，的大小关系是___________．（从小到大用“”连接）12. 如图，在矩形中，，，点为的中点，点在边上，若，则的值是__________．13. 已知数列的前项和为，，，则___________．14. 设函数．（）如果，那么实数____________．（）如果函数有且仅有两个零点，那么实数的取值范围是___________．三、解答题（本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15. 已知函数的部分图象如图所示．（）求函数的解析式．（）求函数在区间上的最大值和最小值．16. 在锐角中，、、分别为角、、所对的边，且．（）确定角的大小．（）若，且的面积为，求的值．17. 已知等差数列满足：，．的前项和为．（）求及．（）若，，求数列的前项和．18. 在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，，，平面，，．（）求证：平面．（）求二面角的余弦值．（）在线段（含端点）上，是否存在一点，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．19. 已知函数．（）当时，求此函数对应的曲线在处的切线方程．（）求函数的单调区间．（）对，不等式恒成立，求的取值范围．20. 已知集合，集合且满足：，，与恰有一个成立．对于定义．（）若，，，，求的值及的最大值．（）取，，，中任意删去两个数，即剩下的个数的和为，求证：．（）对于满足的每一个集合，集合中是否都存在三个不同的元素，，，使得恒成立，并说明理由．北京市东城区二十二中2020届高三上学期期中考试数学（理）试题参考答案第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合要求的．选出符合要求的一项填在答题卡上．）1. 已知集合，，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意,，故选B。
【精品高三数学试卷】2019-2020北京高三(上)期中+答案
2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A ={x|x 2−2x ＞0}，B ={x|−√5＜x ＜√5}，则（ ） A ．A ∪B ＝RB ．A ∩B ＝∅C ．B ⊆AD ．A ⊆B2．（5分）化简AB →+BC →−AD →等于（ ） A ．CD →B ．DC →C ．AD →D ．CB →3．（5分）函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f （x ）＝（ ） A ．e x +1B ．e x ﹣1C ．e﹣x +1D ．e﹣x ﹣14．（5分）“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（5分）函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．6．（5分）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m ﹣1＝﹣2，S m ＝0，S m +1＝3，则m ＝（ ） A ．3B ．4C ．5D ．67．（5分）函数y ＝f （x ）的图象如图所示，在区间[a ，b ]上可找到n （n ≥2）个不同的数x 1，x 2，…，x n ，使得f(x 1)x 1=f(x 2)x 2=⋯=f(x n )x n，则n 的取值范围是（ ）A ．{3，4}B ．{2，3，4}C ．{3，4，5}D ．{2，3}8．（5分）已知函数f （x ）=sinxx，下列四个命题正确的序号是（ ） ①y ＝f （x ）是偶函数；②f （x ）＜1；③当x =3π2时，y ＝f （x ）取得极小值 ④满足f （nπ6）＜f （n+16π）的正整数n 的最小值为9A ．①②③B ．①③④C ．①②D ．①②④二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．（5分）函数f （x ）＝sin (π2x −π4)，在区间[0，1]上的最小值是 ． 10．（5分）若等比数列{a n }，满足a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60，则公比q ＝ ．11．（5分）在平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，则点Q 的坐标是 ．12．（5分）已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，则向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为 ．13．（5分）已知函数f （x ）={x 2−2x(x ≤0)e x −1(x ＞0)，若对∀x ∈R ，不等式f （x ）≥ax 成立，则a的取值范围是 ．14．（5分）设Q 为平面直角坐标系xOy 中的点集，从Q 中的任意一点P 作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为M ，N ，记点M 的横坐标的最大值与最小值之差为x （Q ），点N 的纵坐标的最大值与最小值之差为y （Q ）．若Q 是边长为1的正方形，给出下列三个结论： ①x （Q ）的最大值为√2②x （Q ）+y （Q ）的取值范围是[2，√2] ③x （Q ）﹣y （Q ）恒等于0． 其中所有正确结论的序号是 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤）15．（13分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别是a 、b 、c ，且cos A =13． （1）求sin 2B+C 2+cos2A 的值；（2）若a =√3，求△ABC 面积的最大值．16．（13分）已知等比数列{a n }满足：a 3﹣a 2＝10，a 1a 2a 3＝125． （Ⅰ）求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）是否存在正整数m ，使得1a 1+1a 2+⋯+1a m≥1？若存在，求m 的最小值；若不存在，请说明理由．17．（13分）小波以游戏方式决定参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以原点O 为起点，再丛A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8，（如图）这8个点中任取（两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X ．若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．（Ⅰ）求小波参加学校合唱团的概率； （Ⅱ）求X 的分布列和数学期望．18．（14分）在四棱锥P ﹣ABCD 中，△P AB 为正三角形，四边形ABCD 为矩形，平面P AB ⊥平面ABCD ，AB ＝2AD ，M ，N 分别为PB ，PC 中点． （Ⅰ）求证：MN ∥平面P AD ； （Ⅱ）求二面角B ﹣AM ﹣C 的大小；（Ⅲ）在BC 上是否存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ？若存在，求BE BC的值；若不存在，请说明理由．19．（14分）已知函数f （x ）＝a （x −1x ）﹣2lnx ，其中a ≥0． （Ⅰ）若a ＝2，求曲线f （x ）在x ＝1处的切线方程；（Ⅱ）设函数g （x ）=−ax若至少存在一个x 0∈[1，e ]，使得f （x 0）＜g （x 0）成立，求实数a 的取值范围．20．（13分）将所有平面向量组成的集合记作R 2，f 是从R 2到R 2的映射，记作y →=f （x →）或（y 1，y 2）＝f （x 1，x 2），其中x 1，x 2，y 1，y 2都是实数．定义映射f 的模为：在|x |＝1的条件下|y →|的最大值记做∥f ∥．若存在非零向量x →∈R ，及实数λ使得f （x →）＝λx →，则称λ为f 的一个特征值．（Ⅰ）若f （x 1，x 2）＝（12x 1，x 2）求∥f ∥；（Ⅱ）如果f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2），计算f 的特征值，并求相应的x →；（Ⅲ）试找出一个映射f ，满足以下两个条件：①有唯一特征值λ，②||f ∥＝|λ|．（不需证明）2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：由A 中不等式变形得：x （x ﹣2）＞0， 解得：x ＜0或x ＞2，即A ＝{x |x ＜0或x ＞2}， ∵B ＝{x |−√5＜x ＜√5}，∴A ∩B ＝{x |−√5＜x ＜0或2＜x ＜√5}，A ∪B ＝R ， 故选：A ．2．【解答】解：AB →+BC →−AD →=AC →−AD →=DC →． 故选：B ．3．【解答】解：函数y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象的函数解析式为y ＝e ﹣x ，而函数f （x ）的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 的图象关于y 轴对称， 所以函数f （x ）的解析式为y ＝e ﹣（x +1）＝e﹣x ﹣1．即f （x ）＝e﹣x ﹣1．故选：D ．4．【解答】解：若存在λ∈R ，使得a →=λb →”，则向量a →与向量b →共线，即必要性成立， 当b →为零向量时，a →为非零向量时，满足向量a →与向量b →共线”但不存在λ∈R ，使得a →=λb →”成立，即充分性不成立，故“向量a →与向量b →共线”是“存在λ∈R ，使得a →=λb →”的必要不充分条件， 故选：B ．5．【解答】解：对于函数f （x ）＝（1x −x ）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f （﹣x ）＝（−1x +x ）cos x ＝﹣f （x ），故函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称． 故排除A 、B ．当x ＝π，f （x ）＜0，故排除C ， 但是当x 趋向于0时，f （x ）＜0，故选：D ．6．【解答】解：a m ＝S m ﹣S m ﹣1＝2，a m +1＝S m +1﹣S m ＝3， 所以公差d ＝a m +1﹣a m ＝1， S m =m(a 1+a m )2=0， m ﹣1＞0，m ＞1，因此m 不能为0， 得a 1＝﹣2，所以a m ＝﹣2+（m ﹣1）•1＝2，解得m ＝5， 另解：等差数列{a n }的前n 项和为S n ，即有数列{S n n}成等差数列，则S m−1m−1，S m m，S m+1m+1成等差数列，可得2•S m m=S m−1m−1+S m+1m+1，即有0=−2m−1+3m+1， 解得m ＝5．又一解：由等差数列的求和公式可得12（m ﹣1）（a 1+a m ﹣1）＝﹣2，12m （a 1+a m ）＝0，12（m +1）（a 1+a m +1）＝3，可得a 1＝﹣a m ，﹣2a m +a m +1+a m +1=6m+1+−4m−1=0， 解得m ＝5． 故选：C ．7．【解答】解：令y ＝f （x ），y ＝kx ， 作直线y ＝kx ，可以得出2，3，4个交点， 故k =f(x)x （x ＞0）可分别有2，3，4个解． 故n 的取值范围为2，3，4． 故选：B ．8．【解答】解：由定义域关于原点对称，且f （﹣x ）＝f （x ），f （x ）是偶函数，①对， 当x ＞0时，sin x ＜x ，所以f （x ）＜1，因为偶函数，所以当x 不等于0时，f （x ）＜1故②成立， f '（x ）=xcosx−sinx x 2，f '（3π2）不等于0，故③错，函数y ＝sin π6x ，上的横坐标为正数的整点分别为x ＝1，2，3，4，…对应的点为（1，12），（2，√32），（3，1），（4，√32），（5，12），（6，0），（7，−12），（8，−√32），（9，﹣1）…f （x ）=sinxx =sinx−0x−0，即表示点（x ，sin x ）与原点（0，0）的斜率， f （nπ6）＜f （n+16π）正整数n 的最小值，表示斜率变小时最小的n ，观察图象，红色的直线表示（10，−√32），（0，0）连线，斜率开始变大，而前面n ＝1到9，斜率由大变小，故满足条件的最小的n ＝9，④成立．故选：D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 9．【解答】解：∵x ∈[0，1]，∴π2x ∈[0，π2]，∴π2x −π4∈[−π4，π4]，∴sin (π2x −π4)∈[−√22，√22]，∴函数f （x ）＝sin (π2x −π4)在区间[0，1]上的最小值是−√22， 故答案为：−√22．10．【解答】解：由a 2+a 4＝20，a 4+a 6＝60， ∴20q 2＝60，解得q =±√3．故答案为：±√3．11．【解答】解：∵平面直角坐标系中，点0（0，0），P （1，√3），则|OP |＝2． 将向量OP →绕点O 顺时针方向旋转弯π2后，得到向量OQ →，设OP →=（1，√3）＝（2cos θ，2sin θ），故 cos θ=12，sin θ=√32．设点Q 的坐标为（ x ，y ），则x ＝2cos （θ+π2）＝2sin θ=√3，y ＝2sin （θ+π2）＝2cos θ＝1，故点Q 的坐标为（ √3，1）， 故答案为：（ √3，1）．12．【解答】解：∵已知e 1→、e 2→是夹角为60°的两个单位向量，∴e 1→•e 2→=1×1×cos60°=12． 设向量2e 1→+e 2→与向量2e 2→−3e 1→的夹角为θ，θ∈[0，π]．∵（2e 1→+e 2→）•（2e 2→−3e 1→）=e 1→⋅e 2→−6e 1→2+2e 2→2=12−6+2=−72， |2e 1→+e 2→|=√(2e 1→+e 2→)2=√4+4×12+1=√7，|2e 2→−3e 1→|=√(2e 2→−3e 1→)2=√4−12×12+9=√7，故cos θ=(2e 1→+e 2→)⋅(2e 2→−3e 1→)|2e 1→+e 2→|⋅|2e 2→−3e 1→|=−727⋅7=−12，∴θ=2π3， 故答案为：2π3．13．【解答】解：当x ≤0，f （x ）＝x 2﹣2x ≥ax ，得x 2﹣x （a +2）＝x [x ﹣（a +2）]≥0， x ≤a +2，即a ≥x ﹣2，a ≥﹣2，当x ＞0时，f （x ）＝e x ﹣1，f '（x ）＝e x ，f '（0）＝1，所以过（0，0）的切线为y ＝x ，f （x ）≥ax ，则a ≤1， 故a ∈[﹣2，1]， 故答案为：[﹣2，1]．14．【解答】解：∵正方形的边长为1， ∴正方形的对角线√2，故x （Ω）的最大值√2，故①正确； 如图：当正方形的对角线在x 轴上时， 此时x （Ω）=√2，y （Ω）=√2，此时x （Ω）+y （Ω）＝2√2最大，当正方形的边长有一边位于坐标轴上时，如图， 此时x （Ω）＝1，y （Ω）＝1， 此时x （Ω）+y （Ω）＝2为最小值．故x （Ω）+y （Ω）的取值范围是[2，2√2]，故②错误；由于x （Ω）＝y （Ω）恒成立，故x （Ω）﹣y （Ω）恒等于0，故③正确； 故所有正确结论的序号是①③ 故答案为：①③．三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程成演其步骤） 15．【解答】解：（1）sin 2B+C 2+cos2A ＝sin 2π−A 2+2cos 2A ﹣1＝cos 2A2+2cos 2A ﹣1=1+cosA2+2cos 2A ﹣1 =1+132+2×19−1=−19；（2）cos A =13，可得sin A =√1−19=2√23， 由余弦定理可得a 2＝b 2+c 2﹣2bc cos A ＝b 2+c 2−23bc ≥2bc −−23bc =43bc ，即有bc ≤34a 2=94，当且仅当b ＝c =32，取得等号． 则△ABC 面积为12bc sin A ≤12×94×2√23=3√24．即有b＝c=32时，△ABC的面积取得最大值3√24．16．【解答】解：（I）设等比数列{a n}首项为a1，公比为q，则a3−a2=a1q2−a1q=10⋯⋯①，则a1a2a3=a1⋅a1q⋅a1q2=(a1q)3=125⋯⋯②，解①②得：q＝3，从而a1=5 3．∴数列{a n}的通项公式a n=a1q n−1=53×3n−1=5×3n−2．（II）假设存在正整数m，使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1．∵a n=5×3n−2，∴1a n =15×(13)n−2，从而数列{1a n}是首项为35，公比为13的等比数列，从而得1a1+1a2+⋯+1a m=35[1−(13)m]1−13=910(1−13m)≥1，从而解得32﹣m≤﹣1，显然不成立，因此不存在这样的整数m使得使得1a1+1a2+⋯+1a m≥1成立．17．【解答】解：（Ⅰ）从8个点中任意取两点为向量的终点的不同取法共有C82=28种，X＝0时，两向量夹角为直角共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P（X＝0）=828=27；（Ⅱ）两向量数量积X的所有可能取值为﹣2，﹣1，0，1．X＝﹣2时有两种情形，X＝1时有8种情形，X＝﹣1时有10种情形，X＝0时有8种情形，所以X的分布列为X﹣2﹣101P 1145142727∴E（X）＝（﹣2）×114+（﹣1）×514+0×27+1×27=−314．18．【解答】（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）∵M，N分别是PB，PC中点∴MN是△ABC的中位线∴MN ∥BC ∥AD又∵AD ⊂平面P AD ，MN ⊄平面P AD所以MN ∥平面P AD ．…．（4分）解：（Ⅱ）过点P 作PO 垂直于AB ，交AB 于点O ，因为平面P AB ⊥平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABCD ，如图建立空间直角坐标系，设AB ＝2，则A （﹣1，0，0），C （1，1，0），M （12，0，√32）， B （1，0，0），N （12，12，√32）， 则AC →=(2，1，0)，AM →=(32，0，√32)设平面CAM 法向量为n 1→=(x 1，y 1，z 1)，由{n 1→⋅AC →=0n 1→⋅AM →=0，得{2x 1+y 1=032x 1+√32z 1=0， 令x 1＝1，则y 1=−2，z 1=−√3，即n 1→=(1，−2，−√3)平面ABM 法向量n 2→=(0，1，0)所以，二面角B ﹣AM ﹣C 的余弦值|cosθ|=n 1→⋅n 2→|n 1→||n 2→|=√22 因为二面角B ﹣AM ﹣C 是锐二面角，所以二面角B ﹣AM ﹣C 等于45°…．（10分）（Ⅲ）存在点E ，使得EN ⊥平面AMN …．（11分）设E （1，λ，0），则EN →=(−12，12−λ，√32)，由{EN →⋅AM →=0EN →⋅MN →=0可得λ=12， 所以在BC 存在点E ，使得EN ⊥平面AMN ，此时BE BC =12．…．（14分）19．【解答】解：（Ⅰ）当a＝2时，f(x)=2(x−1x−lnx)，f(1)=0，f′(x)=2(1+1x2−1x)，∴f′（1）＝2，即切线斜率为2，故由点斜式方程可得切线方程为y＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣2＝0；（Ⅱ）原问题等价于至少存在一个x∈[1，e]，使得f（x）﹣g（x）＜0成立，令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ax﹣2lnx，x∈[1，e]，则ℎ′(x)=a−2x=ax−2x，①当a＝0时，ℎ′(x)=−2x＜0，则函数h（x）在[1，e]上单调递减，故h（x）min＝h （e）＝﹣2＜0，符合题意；②当a＞0时，令h′（x）＜0，解得0＜x＜2a，则函数h（x）在(0，2a)上单调递减，令h′（x）＞0，解得x＞2a，则函数h（x）在(2a，+∞)单调递增，（i）当2a≤1，即a≥2时，h（x）min＝h（1）＝a＜0，此时无解；（ii）当1＜2a＜e，即2e＜a＜2时，ℎ(x)min=ℎ(2a)=2−2ln2a＜0，解得0＜a＜2e，此时无解；（iii）当2a≥e，即0＜a≤2e时，h（x）min＝h（e）＝ae﹣2＜0，解得0＜a＜2e，此时0＜a＜2 e．综上，实数a的取值范围为[0，2e )．20．【解答】解：（Ⅰ）由于此时y12+y22=14x12+x22，又因为是在x12+x22=1的条件下y12+y22=14x12+x22═14+34x22≤1（x2＝±1时取最大值），所以此时有||f ||＝1；（Ⅱ）由f （x 1，x 2）＝（x 1+x 2，x 1﹣x 2）＝λ（x 1，x 2），可得{x 1+x 2=λx 1x 1−x 2=λx 2：， 解此方程组可得：（λ﹣1）（λ+1）＝1，从而λ＝±√2． 当λ=√2时，解方程组{x 1+x 2=√2x 1x 1−x 2=√2x 2，此时这两个方程是同一个方程， 所以此时方程有无穷多个解，为x →=m(√2+1，1)，其中m ∈R 且m ≠0．当λ=−√2时，同理可得相应的x →=m(1−√2，1)，其中m ∈R 且m ≠0．（Ⅲ）由方程组{a 1x 1+a 2x 2=λx 1b 1x 1+b 2x 2=λx 2，可得x 1（a 1﹣λ，b 1）+x 2（a 2，﹣b 1﹣λ）＝0 从而向量（a 1﹣λ，b 1）与（a 2，﹣b 1﹣λ）平行， 从而有a 1，a 2，b 1，b 2应满足：(a 1−b 1)2+4a 2b 1=0； 当f （λ→ ）＝λx → 时，f 有唯一的特征值，且||f ||＝|λ|， 故f(λ→)=λx →．。
2020东城区高三上学期数学试卷及答案_202001082023094
东城区2019-2020 学年度第一学期期末教学统一检测高三数学2020.1本试卷共4页，共150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将答题卡一并交回。
第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
(1)已知集合A{x|x≤1}，B{x|x2x1 0}，那么BA(A){x|1 x2}(B){x|1x1}≤(C){x|1≤x 2} (D){x|1 x≤1}(2)复数z=i(i1)在复平面内对应的点位于(A) 第一象限(B)第二象限(C)第三象限(D)第四象限(3)下列函数中，是偶函数，且在区间(0，+)上单调递增的为(A) y 1(B) y lnx x(C) y2x(D) y 1x(4)设a,b为实数，则“ab0”是“ a b”的(A) 充分而不必要条件(B)必要而不充分条件(C) 充分必要条件(D)既不充分也不必要条件(5)设,是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，则下列结论中正确的是(A) 若m ，m n，则n∥(B)若，m ，n ，则m n(C)若n∥，m n，则m (D)若∥，m ，n ，则m∥n(6)从数字1,2,3,4,中5，取出3个数字(允许重复)，组成三位数，各位数字之和等于 6，这样的三位数的个数为(A) 7 (B) 9 (C)10 (D)13(7)设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是(A)若，则sin sin22(C)若，则sin sin1(B) 若，则cos cos22(D) 若，则cos cos12 2(8)用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家Dandelin创立的双球实验证明了上述结论.如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切.给出下列三个结论：①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距 O1O24，球的半径为3，则所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大.其中，所有正确结论的序号是(A) ①(B)②③(C)①②(D)①②③第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题 5分，共 30分。
北京市东城区普通校2019届高三上学期期中联考数学(理)试题
东城区普通校2019学年第一学期联考试卷高三数学(理科)命题校：北京市第二十二中学2019年11月本试卷分第I 卷(选择题)和第n 卷(非选择题)两部分，共 俚分，考试用时 1?0分钟。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分•在每小题列出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1 •若集合 M ={x x —2 =0} , N ={x (x —3)(x —1)c 0}，则 M 门 N =(A) {x2c x c 3} ( B ) {xx c 1} (C ) {xx >3} (D ) {x1c x c 2}2. 命题"若a b ，贝U a 1 b ”的逆否命题是(A )若 a • 1 _ b ，则 a b(C )若 a ，1 _b ，则 a _b 3. “ x 2 ”是“ x 2 4 ”的(A )充分不必要条件 (C )充要条件4. 已知数列 a 1 为等差数列■，且a<i =2,a ?(A ) 40(B ) 425. 下列函数中，图象关于坐标原点对称的是 (A ) y = lg x(B ) y 二 cosx1 36. 曲线y x 3在x=1处切线的倾斜角为3(A ) 1 ( B )——4JI7.要得到函数y 二sin(2x)的图象，只要将函数 y 二sin2x 的图象 4nn(C ) 43(D ) 45(C ) y=|x|(D ) y 二 sinx71/、5兀(C )-(D )44(B )若 a • 1 ：：： b ，则 ab(D )若 a • 1 ：：： b ，则 a■： b(B )必要不充分条件 (D )既不充分也不必要条件(A )向左平移一单位(B )向右平移一单位4 43(C )向右平移二单位8(D )向左平移.单位8&下列函数中，在(-1, 1)内有零点且单调递增的是(B) a ：：： c ：：：b (D) b ：：：a:::c y 二f (x )的导函数f (x )的图象，则下面判断正确的是(A )在区间(—2,1 )上 f (X )是增函数(B )在(1,3)上f (X )是减函数 (0在(4,5)上f (X )是增函数(D )当X = 4时，f (X )取极大值11•已知数列｛a n ｝为等比数列，a 4 a^ 2 , a 5 a^ -8，则a 1 - a 10的值为I(A ) 7( B ) - 5 (C ) 5( D ) - 7f 2(x) =log 1 x-(」)X 的零点分别为22(A ) o ：：: x 1x 2 1(B )X 1X 2 =1(C ) 1 ：：： ^x 2 ：：： 2 (D )^x 2 _ 2第口卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.(A) y= log ! X2(B )y= 2X - 1(C ) y= x 1 2--2(D) y = - x9.设 a =log 1 2 ,31 0.3 b = log 23 , c =()，则2 (A) a ::: b ::: c (C) b ::: c ::: a10.如图，是函数X 1,X 2，则13.函数f(x) = lg( x - 1)的定义域是 ______________________ .3314. 已知sin ，且〉为第二象限角，则tan〉的值为53 2 1 115. 若曲线y x x 的某一切线与直线y X 3垂直，则切点坐标为416.在占ABC 中，若a = J3, b = 3，Z B = ^—，则c =317. _______________________ 已知函数y= f(x) (x€ R)满足f(—x + 2) = f( —x)，当x€ ［—1,1］时，f(x)= |x|，贝U y= f(x)与y= log7X 的交点的个数为.18. ①命题对任意的x€ R，x3—x2+ KO'的否定是存在x€ R，x3—x2+ 1>O”；x 2②函数f(x)=2 -x的零点有2个；③若函数f(x)= x2—|x+ a|为偶函数，则实数a= 0;n④函数y = sin x(x・丨-二芒I)图象与x轴围成的图形的面积是S sinxdx;"-nT 5(x>6 )⑤若函数f(x) = a在R上是单调递增函数，贝V实数a的取值范围为(1,8).1(4 -办+426)其中真命题的序号是 ____________________________ (写出所有正确命题的编号)三、解答题：本大题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.19. (本小题满分14分)已知函数f (x)二3sin xcosx「cos2 x .(I)求f (x)的最小正周期；JI(n)当［0,—］时，求函数f (x)的最大值及相应的x的值.220. (本小题满分14分)3 在锐角「ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知cos2C - - 3.4(I)求sinC ；(n)当c = 2a，且b = 3、. 7 时，求a.21. (本小题共14分)在公差不为0的等差数列3討中，a4=10，且a3，a6，q0成等比数列(I)求数列a / 的通项公式；(n)设0 = 2an (n • N*)，求数列b』的前n项和公式•22. (本小题共18分)已知函数f (x) = xln x .(I)求函数f (x)在[1,3]上的最小值；1(n)若存在x・[-,e] ( e为自然对数的底数，且e= 2.71828川)使不等式e2f(x) _ -x2，ax-3成立，求实数a的取值范围；(川)若F(x)的导函数为f (x)，试写出一个符合要求的F(x)(无需过程).东城区普通校2019学年第一学期联考试卷答题纸高三数学(理科)命题校：北京市第二十二中学2019 年11月第I卷1______ 2______ 3 _____ 4 ______ 5 _______ 6 _______7______ 8______ 9 _____ 10 _____ 11 ______ 12 ______第n卷13 ___________________________ 14 __________________________________15 ___________________________ 16 _________________________________17 ___________________________ 18 __________________________________19 解：20. 解：21•解:名• 6•高三数学（理科）• 10 •22.解:东城区普通校2019学年第一学期联考答案• 11 •参考答案(以下评分标准仅供参考，其它解法自己根据情况相应地给分)命题校：北京市第二十二中学 2019 年11月•选择题所以sin C 二」44因为 ABC 是锐角三角形，所以 cosC -，COS A = H_24 87 C 8B 9 B 11D 12A 二.填空题13. {x | x >1 } 14. -- 15. (1，2)42分，写错一个不得分)三.解答题19.解：(I)因为 f (x)-^sin 2x -1 cos2 2 2 x —丄=sin(2x) _丄 2 6 r所以T ，故 f (x)的最小正周期为(n)因为 jr2x < 6 6 5■:所以当 y?，即x Y 时, f (x)有最大值-214分 20.解：( I)由已知可得1 -2si n 2C 3 2.所以sin 2C4 因为在 ABC 中，sinC 0 ,(n)因为c = 2a ，所以sin 1A sin C 216. 17. 6 18. ①③(写对一个给所以sin B 二sin( A C)二sin AcosC cos Asin CJ4 .2 5、2 .14 3「7=-一x +——x -一 =—^—8 4 8 4 814分由正弦定理可得：王7 a，所以a八14 . .........sin B sin A21.解：(I)设数列:a/f的公差为d，又a^10,可得a3=10-d，a6=10 2d，a10=10 6d .由a3, a s, a10成等比数列得a3a1^ a6,即(10-d)(10 6d) =(10 2d)2,整理得10d2-10d =0 ,解得d =0或d =1 .由d = 0,可得d =1 .a1=a4-3d=10-3 1=7,所以a n 二 & (n - 1)d 二n 6 .(n)由b n= 2% (n • N*) , a* = n ■ 6，可得= 2n 6.所以b, = 2I 6 =128.I当x (_, ：：)时，f (x) 0, f(x)单调递增.e-14 •所以数列「bj 是首项为128，公比为2的等比数列.所以 也匚的前n 项和公式为S n 二128(1= 2n 7 T28 . 1-222.解：(I)由 f (x) = xln x ，可得「x = In x • 1,_ 1 .当 x • (0, -)时，f (x) ::: 0, f (x)单调递减；e因为也bn2n =2 ,14分-15 •112.设函数 f^x) = log 2 x-(—)x ,2所以函数f(x)在［1,3］上单调递增. 又 f (1)=1 n1 =0,所以函数f(x)在［1,3］上的最小值为0 . ..................... 7分 2 3 (n)由题意知， 2xln x ：-x 2 ax 「3,则 a < 2ln x • x • x 1 _ _ 2 - 右存在x • [- ,e]使不等式2 f (x) _ -x • ax - 3成立， e 3 只需a 小于或等于2ln x • x 的最大值. x 3 2 设 hx=2 In x x x 0，则 h x 1 x x X 3 x-1 2 x 1 当［一,1)时，h x :: 0,h x 单调递减; e 当x (1,e ］时，h x i ，0,h x 单调递增. 由 h(〔)= -2 - 3e , h(e) =2 e 3 e e e 1 2 h( ) -h(e) =2e- -4 0, e e 1 可得 h(—) h(e). e 1 1 1 所以，当x ・[ —,e]时，h(x)的最大值为h(—)=-2 •—，3e . e e e 1 故 a _ -2 3e . e x 2In 2 x 24 14分 18分。
【精品高三数学试卷】2019-2020北京高三(上)期中+答案
2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）集合M ＝{x |x 2﹣1＝0}，集合N ＝{x |x 2﹣3x +2＝0}，全集为U ，则图中阴影部分表示的集合是（ ）A ．{﹣1，1}B ．{﹣1}C ．{1}D ．∅2．（5分）已知函数f （x ）＝|x ﹣2|，g （x ）＝kx ，若方程f （x ）＝g （x ）有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(0，12)B ．（0，1）C ．（﹣1，0）D ．（1，+∞）3．（5分）直线y ＝2x +1和圆x 2+y 2＝1交于A ，B 两点，以x 轴的正方向为始边，OA 为终边（O 是坐标原点）的角为α，OB 为终边的角为β，则sin （α+β）＝（ ）A ．45B ．−45C ．35D ．−354．（5分）若A ，B 是锐角△ABC 的两个内角，则点P （cos B ﹣sin A ，sin B ﹣cos A ）在（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限5．（5分）已知函数f （x ）＝（12）x ，a ，b ∈R +，A ＝f （a+b 2），B ＝f （√ab ），C ＝f （2ab a+b），则A 、B 、C 的大小关系为（ ） A ．A ≤B ≤CB ．A ≤C ≤BC ．B ≤C ≤AD ．C ≤B ≤A6．（5分）已知R 上可导函数f （x ）的图象如图所示，则不等式（x 2﹣2x ﹣3）f ′（x ）＞0的解集为（ ）A ．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣2）∪（1，2）C ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）∪（2，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）7．（5分）设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．（5分）设l 1，l 2，l 3为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线．给出下列三个结论：①∃A i ∈l i （i ＝1，2，3），使得△A 1A 2A 3是直角三角形； ②①∃A i ∈l i （i ＝1，2，3），使得△A 1A 2A 3是等边三角形；③三条直线上存在四点A i （i ＝1，2，3，4），使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体． 其中，所有正确结论的序号是（ ） A ．①B ．①②C ．①③D ．②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．（5分）函数f （x ）＝1﹣2sin 22x 的最小正周期是 ．10．（5分）曲线y ＝3（x 2+x ）e x 在点（0，0）处的切线方程为 ． 11．（5分）已知正方体的外接球的体积为4√3π，则该正方体的体积为 ．12．（5分）设a →，b →是两个非零向量，且|a →|＝|b →|＝|a →+b →|，则向量b →与a →−b →的夹角为 ． 13．（5分）设函数f(x)=sin(ωx +2π3)(ω＞0)，已知f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f （x ）在（0，2π）上可能有3个极大值点； ②f （x ）在（0，2π）上可能有3个极小值点； ③f （x ）在(0，5π18)单调递减；其中所有正确结论的编号是 ．14．（5分）设函数f （x ）的定义域为R ，满足f （x +1）＝3f （x ），且当x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）．若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣2，则m 的取值范围是 ． 三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）设锐角三角形ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝2b sin A ． （Ⅰ）求B 的大小； （Ⅱ）求sinC cosA的取值范围．16．（14分）某食品厂为了检查一条自动自装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为样本，称出它们的重量（单位：克）重量的分组区间为（490，495]，（495，500]，…，（510，515]．由此得到样本的频率分布直方图，如图所示． （Ⅰ）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量；（Ⅱ）从流水线上（可视为独立重复试验）抽取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率；（Ⅲ）在上述抽取的40件产品中任取2件，设X 为重量超过505克的产品数量，求X 的分布列和期望．17．（13分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，AD ⊥CD ，AD ∥BC ，P A ＝AD ＝CD ＝3，BC ＝4，E 为PD 的中点，点F 在PC 上，且PF PC=13；（Ⅰ）求证：CD ⊥平面P AD ； （Ⅱ）求二面角F ﹣AE ﹣P 的余弦值 （Ⅲ）设点G 在PB 上，且PG PB=23．判断直线AG 是否在平面AEF 内，说明理由．18．（13分）已知函数f （x ）＝6lnx （x ＞0）和g （x ）＝ax 2+8x ﹣b （a ，b 为常数）的图象在x ＝3处有公切线． （1）求实数a 的值；（2）求函数F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）的极大值和极小值； （3）关于x 的方程f （x ）＝g （x ）有几个不同的实数解？19．（14分）已知椭圆C ：x 2a2+y 2=1(a ＞1)的上顶点为A ，左右焦点分别为F 1、F 2，直线AF 2与圆M ：x 2+y 2﹣6x ﹣2y +7＝0相切． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若椭圆C 内的动点P ，使|PF 1|，|PO |，|PF 2|成等比数列（O 为坐标原点，）求PF 1→⋅PF 2→的取值范围．20．（13分）已知集合A n ＝{（x 1，x 2，…，x n ）|x i ∈{﹣1，1}（i ＝1，2，…，n ）}．x ，y ∈A n ，x ＝（x 1，x 2，…，x n ），y ＝（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}（i ＝1，2，…，n ）．定义x ⊙y ＝x 1y 1+x 2y 2+…+x n y n ．若x ⊙y ＝0，则称x 与y 正交． （Ⅰ）若x ＝（1，1，1，1），写出A 4中与x 正交的所有元素； （Ⅱ）令B ＝{x ⊙y |x ，y ∈A n }．若m ∈B ，证明：m +n 为偶数；（Ⅲ）若A ⊆A n ，且A 中任意两个元素均正交，分别求出n ＝8，14时，A 中最多可以有多少个元素．2019-2020学年北京高三（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【解答】解：由x 2﹣1＝0，解得x ＝﹣1或1， 则M ＝{1，﹣1}；由x 2﹣3x +2＝0， 解得x ＝1或2，则N ＝{1，2}，则图中阴影部分表示的集合是C U N∩M ＝{﹣1}．故选：B ．2．【解答】解：∵f （x ）＝g （x ）有两个不相等的实数根， ∴f （x ）＝|x ﹣2|和g （x ）＝kx 的图象有两个不同的交点． 画出f （x ），g （x ）的图象如下：∴0＜k ＜1． 故选：B ．3．【解答】解：联立y ＝2x +1与x 2+y 2＝1，解得：{x =0y =1，{x =−45y =−35，可得A （0，1），B （−45，−35）， ∴cos α＝0，sin α＝1，cos β=−45，sin β=−35，∴sin （α+β）＝sin αcos β+cos αsin β＝1×（−45）+0×（−35）=−45， 故选：B ．4．【解答】解：∵△ABC 为锐角三角形， ∴A +B ＞π2．∴A ＞π2−B ，B ＞π2−A ．∵在[0，π2]上y ＝sin x 为增函数，∴sin A ＞sin （π2−B ），sin B ＞sin （π2−A ）．∴sin A ＞cos B ，sin B ＞cos A ∴cos B ﹣sin A ＜0，sin B ﹣cos A ＞0 ∴P 在第二象限． 故选：B ． 5．【解答】解：∵a+b 2≥√ab ≥2aba+b ，又∵f （x ）＝（12）x 在R 上是单调减函数， ∴f （a+b 2）≤f （√ab ）≤f （2aba+b）．故选：A ．6．【解答】解：由图象可得：当f ′（x ）＞0时，函数f （x ）是增函数，所以f ′（x ）＞0的解集为（﹣∞，﹣1），（1，+∞），当f ′（x ）＜0时，函数f （x ）是减函数，所以f ′（x ）＜0的解集为（﹣1，1）． 所以不等式f ′（x ）＜0即与不等式（x ﹣1）（x +1）＜0的解集相等．由题意可得：不等式（x 2﹣2x ﹣3）f ′（x ）＞0等价于不等式（x ﹣3）（x +1）（x +1）（x ﹣1）＞0，所以原不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，1）∪（3，+∞）， 故选：D ．7．【解答】解：点A ，B ，C 不共线，“AB →与AC →的夹角为锐角”⇒“|AB →+AC →|＞|BC →|”， “|AB →+AC →|＞|BC →|”⇒“AB →与AC →的夹角为锐角”，∴设点A ，B ，C 不共线，则“AB →与AC →的夹角为锐角”是“|AB →+AC →|＞|BC →|”的充分必要条件． 故选：C ．8．【解答】解：我们不妨先将 A 、B 、C 按如图所示放置．容易看出此时BC＜AB＝AC．现在，我们将A和B往上移，并且总保持AB＝AC（这是可以做到的，只要A、B的速度满足一定关系），而当A、B移得很高很高时，不难想象△ABC将会变得很扁，也就是会变成顶角A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ABC成为直角三角形（而且还是等腰的）．这样，就得到①和②都是正确的．至于③，如图所示．为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为⊤．假设A是⊤，那么由AD⊥AB，AD⊥AC知L3⊥△ABC，从而△ABC三边的长就是三条直线的距离4、5、6，这就与AB⊥AC矛盾．同理可知D是⊤时也矛盾；假设C是⊤，那么由BC⊥CA，BC⊥CD知BC⊥△CAD，而l1∥△CAD，故BC⊥l1，从而BC为l1与l2的距离，于是EF∥BC，EF＝BC，这样就得到EF⊥FG，矛盾．同理可知B是⊤时也矛盾．综上，不存在四点A i（i＝1，2，3，4），使得四面体A1A2A3A4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．故选：B．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.9．【解答】解：函数f （x ）＝1﹣2sin 22x ＝cos4x 的最小正周期是2π4=π2，故答案为：π2．10．【解答】解：∵y ＝3（x 2+x ）e x ， ∴y '＝3e x （x 2+3x +1）， ∴当x ＝0时，y '＝3，∴y ＝3（x 2+x ）e x 在点（0，0）处的切线斜率k ＝3， ∴切线方程为：y ＝3x ． 故答案为：y ＝3x ．11．【解答】解：设正方体的棱长为a ，且正方体外接球的直径为2R ， 则（2R ）2＝3a 2， 解得R =√32a ；所以外接球的体积为 V 球=4π3•R 3=√32πa 3＝4√3π， 解得a 3＝8，所以该正方体的体积为 V 正方体＝a 3＝8． 故答案为：8．12．【解答】解：∵|a |＝|b |＝|a +b |，由向量加法平行四边形法则得到由两个向量为邻边组成的四边形是菱形， 菱形的一条对角线同边相等∴则向量b →与a →−b →的夹角为5π6故答案为：5π6．13．【解答】解：∵0≤x ≤2π， ∴0≤ωx ≤2ωπ，2π3≤ωx +2π3≤2ωπ+2π3， 若f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点，则5π≤2ωπ+2π3＜6π，得136≤ω＜83， 则此时f （x ）在（0，2π）上只有2个极大值点，故①错误， 当11π2＜2ωπ+2π3＜6π时，f （x ）在（0，2π）上可能有3个极小值点，故②正确， 当0＜x ＜5π18，∴0＜ωx ≤5ωπ18，2π3＜ωx +2π3≤5ωπ18+2π3， 当ω=83时，5ωπ18+2π3=3π2，此时2π3＜ωx +2π3＜3π2， 此时函数f （x ）为减函数，故③正确， 故正确的命题是②③， 故答案为：②③14．【解答】解：∵f （x +1）＝3f （x ）， ∴f （x ）＝3f （x ﹣1），∵x ∈（0，1]时，f （x ）＝x （x ﹣1）∈[−14，0]，∴x ∈（1，2]时，x ﹣1∈（0，1]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝3（x ﹣1）（x ﹣2）∈[−34，0]； ∴x ∈（2，3]时，x ﹣1∈（1，2]，f （x ）＝3f （x ﹣1）＝9（x ﹣2）（x ﹣3）∈[−94，0]； 当x ∈（2，3]时，由9（x ﹣2）（x ﹣3）＝﹣2，解得x =73或x =83；若对任意x ∈（﹣∞，m ]，都有f （x ）≥﹣2，则m ≤73． 故答案为：m ≤73．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．【解答】解：（I ）∵a ＝2b sin A ， 由正弦定理可得，sin A ＝2sin B sin A ， ∵sin A ≠0， ∴sin B =12， ∵B 为锐角， ∴B =π6，（II ）由（1）可知C =5π6−A ， ∵{0＜A ＜12π0＜5π6−A ＜12π，∴13π＜A ＜12π，∴tan A ＞√3，∴sinC cosA=sin(5π6−A)cosA=12cosA+√32sinA cosA=12+√32tanA ＞2． 16．【解答】解：（1）依题意，重量超过505克的产品的频率为：（0.05+0.01）×5＝0.3， 所以重量超过505克的产品数量为40×0.3＝12件； （2）由（1）知，抽到的产品重量超过505克的概率为0.3，所以抽取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率P =C 52(0.3)2×(0.7)3=0.3087；（3）依题意40件产品中重量超过505克的产品数量为 12件，重量不超过505克的产品数量为28件，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，对应概率如下：P （X ＝0）=C 282C 402=63130，P （X ＝1）=C 121C 281C 402=2865，P （X ＝2）=C 122C 402=11130， 所以随机变量X 的分布列如下：X0 1 2 P63130 2865 11130 所以E （X ）＝0×63130+1×2865+2×11130=35． 17．【解答】证明：（Ⅰ）∵P A ⊥平面ABCD ，∴P A ⊥CD ，∵AD ⊥CD ，P A ∩AD ＝A ，∴CD ⊥平面P AD ．解：（Ⅱ）以A 为原点，在平面ABCD 内过A 作CD 的平行线为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴，建立空间直角坐标系，A （0，0，0），E （0，32，32），F （1，1，2）， P （0，0，3），B （3，﹣1，0），AE →=（0，32，32），AF →=（1，1，2）， 平面AEP 的法向量n →=（1，0，0），设平面AEF 的法向量m →=（x ，y ，z ），则{m →⋅AE →=0m →⋅AF →=0，即{y +z =0x +y +2z =0，取x ＝1，得m →=（1，1，﹣1）， 设二面角F ﹣AE ﹣P 的平面角为θ，则cos θ=|m →⋅n →||m →||n →|=3=√33． ∴二面角F ﹣AE ﹣P 的余弦值为√33． （Ⅲ）直线AG 在平面AEF 内，理由如下：∵点G 在PB 上，且PG PB =23．∴G （2，﹣1，1）， ∴AG →=（2，﹣1，1），∵平面AEF 的法向量m →=（1，1，﹣1），m →•AG →=2﹣1﹣1＝0，故直线AG 在平面AEF 内．18．【解答】解：（1）f ′（x ）=6x，g ′（x ）＝2ax +8，根据题意，得f ′（3）＝g ′（3）解得a ＝﹣1；（2）F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）＝6lnx +x 2﹣8x +b ．令F ′（x ）=6x +2x ﹣8，得x ＝1，3．∵0＜x ＜1时，F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增；1＜x ＜3时，F ′（x ）＜0，F （x ）单调递减；x ＞3时，F ′（x ）＞0，F （x ）单调递增．∴F （x ）的极大值为F （1）＝﹣7+b ，F （x ）的极小值为F （3）＝﹣15+6ln 3+b ；（3）∵F （x ）的极大值为F （1）＝﹣7+b ＜0，F （x ）的极小值为F （3）＝﹣15+6ln 3+b ＜0，∴b ≥7，关于x 的方程f （x ）＝g （x ）无解；15﹣6ln 3＜b ＜7，有1个不同的实数解；b ≥15﹣6ln 3无解．19．【解答】解：（1）将圆M ：x 2+y 2﹣6x ﹣2y +7＝0化为标准方程（x ﹣3）2+（y ﹣1）2＝3， 圆M 的圆心为M （3，1），半径为r =√3，（2分）由A(0，1)，F 2(c ，0)，(c =√a 2−1)得直线AF 2：x c +y ＝1，即x +cy ﹣c ＝0（3分） 直线AF 2与圆M ：相切得√c 2+1=√3，c =√2，c =−√2（舍去）（5分） 当c =√2时，a 2＝c 2+1＝3，故椭圆C 的方程为x 23+y 2=1（6分）（2）由（1）得，F 1(−√2，0)，F 2(√2，0)，设P （x ，y ），由题意得|PO |2＝|PF 1||PF 2|，即(√x 2+y 2)2=√(x +√2)2+y 2•√(x −√2)2+y 2化简得：x 2﹣y 2＝1 （9分）PF 1→⋅PF 2→=x 2−2+y 2=2x 2−3（10分）∵点P 为椭圆内的动点，∴1≤x 2＜32（12分）∴﹣1≤PF 1→⋅PF 2→＜0（13分）20．【解答】解：（Ⅰ）A 4中所有与x 正交的元素为（﹣1，﹣1，1，1）（1，1，﹣1，﹣1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，1，1，﹣1），（1，﹣1，﹣1，1），（1，﹣1，1，﹣1）． …（3分）（Ⅱ）对于m ∈B ，存在x ＝（x 1，x 2，…，x n ），x i ∈{﹣1，1}，y ＝（y 1，y 2，…，y n ），其中x i ，y i ∈{﹣1，1}；使得x ⊙y ＝m ．令λ1={1(x i =y i )0(x i ≠y i )，k =∑ n i=1λi ；当x i ＝y i 时，x i y i ＝1，当x i ≠y i 时，x i y i ＝﹣1． 那么x ⊙y =∑ n i=1x i y i =k −(n −k)=2k −n ．所以m +n ＝2k ﹣n +n ＝2k 为偶数．…（8分）（Ⅲ）8个，2个n ＝8时，不妨设x 1＝（1，1，1，1，1，1，1，1），x 2＝（﹣1，﹣1，﹣1，﹣1，1，1，1，1）． 在考虑n ＝4时，共有四种互相正交的情况即：（1，1，1，1），（﹣1，1，﹣1，1），（﹣1，﹣1，1，1），（1，﹣1，﹣1，1）分别与x 1，x 2搭配，可形成8种情况．所以n ＝8时，A 中最多可以有8个元素．…（10分）N ＝14时，不妨设y 1＝（1，1…1，1），（14个1），y 2＝（﹣1，﹣1…﹣1，1，1…1）（7个1，7个﹣1），则y 1与y 2正交．令a ＝（a 1，a 2，…a 14），b ＝（b 1，b 2，…b 14），c ＝（c 1，c 2，…c 14）且它们互相正交． 设 a 、b 、c 相应位置数字都相同的共有k 个，除去这k 列外a 、b 相应位置数字都相同的共有m 个，c 、b 相应位置数字都相同的共有n 个．则a ⊙b ＝m +k ﹣（14﹣m ﹣k ）＝2m +2k ﹣14．所以m +k ＝7，同理n +k ＝7．可得m ＝n ．由于a⊙c＝﹣m﹣m+k+（14﹣k﹣2m）＝0，可得2m＝7，m=72∉N矛盾．所以任意三个元素都不正交．综上，n＝14时，A中最多可以有2个元素．…（13分）。
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2019−2020学年北京东城第一学期期中高三理科数学试题年级: 高三 科目: 数学(理) 考试时间: 120分钟, 满分: 150分一、选择题 (本大题共8小题, 每小题5分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的)1. 已知m , n ∈R , 集合A = {2, log 7m }, 集合B = {m , n }, 若A ∩B = {0}, 则m + n = ( ) A. 0B. 1C. 7D. 82. 已知抛物线x y C 8:2=的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上,且||2||AF AK =，则AFK Δ的面积为( )A. 4B. 8C. 16D. 323. “0x >”是“+sin 0x x >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4. 函数 f (x ) = ⎝ ⎛⎭⎪⎫x − 1x cos x (−π ≤ x ≤ π且x ≠ 0) 的图象可能为( )A. B. C. D.5. 在△ABC 中, M 是BC 的中点, AM = 3, 点P 在AM 上, 且满足 AP → = 2PM → , 则 P A → ∙ (PB → + PC →) 的值为 ( )B. 2C. −2D. −46. 如图，点O 为坐标原点，点(1,1)A . 若函数x y a =（0a >，且1a ≠）及log b y x =（0b >，且1b ≠）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则,a b 满足（ ） A.1a b <<B. 1b a <<C. 1b a >>D. 1a b >>7. 已知11, 1,()ln , 01,x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨⎪<<⎩若函数k kx x f x g +-=)()(只有一个零点，则k 的 取值范围是（ ） A. (,1)(1,)-∞-+∞UB. (1,1)-C. [0,1]D. (,1][0,1]-∞-U8.设()sin 2cos 2f x a x b x =+，其中,,0a b ab ∈≠R ，若()()6f x f π≤对一切x ∈R 恒成立，则下列结论正确的是 ( )① 11()012f π=； ② 既不是奇函数也不是偶函数；③ ()f x 的单调递增区间是2,()63k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z ； ④ 存在经过点(,)a b 的直线与函数()f x 的图象不相交. A. ①② B . ①③ C. ②③ D. ②④二、填空题 (本大题共6小题, 每小题5分, 共30分)9. 在极坐标系中, 圆ρ = 2的圆心到直线ρ cos θ + ρ sin θ = 2的距离为________.10. 若双曲线221y x m-=的一条渐近线的倾斜角为60︒，则m = .11. 已知直线1:(2)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=. 若12l l ⊥，则实数a=12. 若直线2y x =上存在点(,)x y 满足约束条件30,230,,x y x y x m +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩则实数m 的取值范围为 . 13. 如图，线段2AB =，点,A B 分别在x 轴和y 轴的非负半轴上运动．以AB 为一边，在第一象限内作矩形ABCD ，1BC =．设O 为原点，则OC OD ⋅u u u r u u u r的取值范围是______.14.对于函数()y f x =，若在其定义域内存在0x ，使得00()1x f x =成立，则称函数()f x 具有性质P .（1）下列函数中具有性质P 的有 .①()222f x x =-+ ②()sin f x x =([0,2])x π∈③1()f x x x=+，((0,))x ∈+∞ ④()ln(1)f x x =+（2）若函数()ln f x a x=具有性质P ，则实数a 的取值范围是 .三、解答题 (本大题共6小题, 共80分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤 ) 15. (本小题满分13分)某中学高一年级共8个班，现从高一年级选10名同学组成社区服务小组，其中高一（1）班选取3名同学，其它各班各选取1名同学．现从这10名同学中随机选取3名同学，到社区老年中心参加“尊老爱老”活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学来自不同班级的概率；（Ⅱ）设X 为选出同学中高一（1）班同学的人数，求随机变量X 的分布列和数学期望．16. (本小题满分13分)函数π()cos(π)(0)2f x x ϕϕ=+<<的部分图象如图所示.（Ⅰ）写出ϕ及图中0x 的值；（Ⅱ）设1()()()3g x f x f x =++，求函数()g x 在区间11[,]23-上的最大值和最小值.17. (本小题满分13分)已知抛物线C: y2 = 4x, 其焦点为F, 直线l过点P(−2, 0).（Ⅰ）若直线l与抛物线C有且仅有一个公共点, 求l的方程;（Ⅱ）若直线l与抛物线交于不同的两点A、B, 求||F A+ ||FB 的取值范围.18. (本小题满分14分)已知函数f (x) = x e−x (x∈R)（Ⅰ）求函数f (x)的单调区间和极值;（Ⅱ）若x∈ (0, 1), 求证: f (2 − x) > f (x);（Ⅲ）若x1∈ (0, 1), x2∈(1, +∞), 且f (x1) = f (x2), 求证: x1 + x2 > 2.19. (本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>上的点到它的两个焦点的距离之和为4，以椭圆C的短轴为直径的圆O经过这两个焦点，点A，B 分别是椭圆C的左、右顶点.（Ⅰ）求圆O和椭圆C的方程；（Ⅱ）已知P ，Q 分别是椭圆C 和圆O 上的动点（P ，Q 位于y 轴两侧），且直线PQ 与x 轴平行，直线AP ，BP 分别与y 轴交于点M ，N .求证：∠MQN 为定值.20. (本小题满分13分)将所有平面向量组成的集合记作2R ,f是从2R 到2R 的映射, 记作()y f x =u r r或1212(,)(,)y y f x x =,其中1212,,,x x y y 都是实数. 定义映射f 的模为: 在1x =r 的条件下yu r 的最大值, 记做f. 若存在非零向量2x R ∈r,及实数λ使得()f x x λ=r r ,则称λ为f 的一个特征值.（Ⅰ）若12121(,)(,)2f x x x x =, 求f;（Ⅱ）如果121212(,)(,)f x x x x x x =+-, 计算f 的特征值, 并求相应的x r ;（Ⅲ）试找出一个映射f , 满足以下两个条件: ①有唯一的特征值λ, ②f λ=. (不需证明)2019 − 2020学年度第一学期期中试题答案1.B2.B3.C4.D5.D6.A7.D8.A9. 2 10.3 11. 95-或95-12. (],1-∞ 13. [1,3] 14. ①①①，0a a e >≤-或15. 解：（Ⅰ）设“选出的3名同学来自不同班级”为事件A ，则1203373731049().60C C C C P A C ⋅+⋅== 所以选出的3名同学来自班级的概率为4960． ……………………………5分 （Ⅱ）随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3，则03373107(0)24C C P X C ⋅===； 123731021(1)40C C P X C ⋅===； 21373107(2)40C C P X C ⋅===； 30373101(3)120C C P X C ⋅===． 所以随机变量X 的分布列是随机变量X 的数学期望721719()012324404012010E X =⨯+⨯+⨯+⨯=． ………………13分16.解：（Ⅰ）ϕ的值是π6. ………………2分0x 的值是53. ………………5分（Ⅰ）由题意可得：11ππ()cos(π())cos(π)sin π3362f x x x x +=++=+=-. ………7分 所以 1π()()cos(π)sin π36f x f x x x ++=+-ππcos πcos sin πsin sin π66x x x =-- ………………8分1cos πsin πsin π22x x x =--3ππsin ππ)23x x x =-=+. ………………10分 因为 11[,]23x ∈-，所以 ππ2ππ633x -≤+≤.所以 当ππ03x +=，即13x =-时，()g x ；当π2ππ33x +=，即13x =时，()g x 取得最小值 ……13分17.(Ⅰ) 1° 当l ⊥y 轴时, 显然l : y = 0符合题意; ………………………………2分2° 当l 与y 轴不垂直时, 可设l : x = my − 2联立⎩⎨⎧x = my − 2y 2 = 4x, 消x , 得: y 2 − 4my + 8 = 0(*) ……………………3分∴ ∆ = 16m 2 − 32 = 0 ∴ m = ± 2 ∴ x = ± 2 y − 2综上, 满足题意的l 方程为: y = 0 或 x ± 2 y + 2 = 0 …………………6分(Ⅱ) 显然l 与y 轴不垂直, 故可设l : x = my − 2 ∵ l 与C 交于不同的两点 ∴ 如(1) 中联立后, (*)中, ∆ > 0 ⇔ m 2 > 2 ……………………………8分 由韦达, 可知y 1 + y 2 = 4m ∴ x 1 + x 2 = m (y 1 + y 2) − 4 = 4m 2 − 4由抛物线定义知: ||F A + ||FB = x 1 + 1 + x 2 + 1 = 4m 2 − 2 ……………11分∵ m 2 > 2 ∴ 4m 2 − 2 > 6 ∴||F A + ||FB 的取值范围为 (6, +∞) …………………………………13分18. (Ⅰ) 解:'()(1)x f x x e -=- …………………………………………………1分令'()0f x =,解得x = 1当x 变化时, '()f x , ()f x 的变化情况如下表∴()f x 在(,1-∞)内是增函数, 在(1,+∞)内是减函数. …………………3分函数()f x 在1x =处取得极大值(1)f 且1(1)f e= …………………………4分(Ⅱ) 证明: 令()()(2)F x f x f x =-- …………………………5分即2()(2)x x F x xe x e --=+-于是22'()(1)(1)x x F x x e e --=-- ……………………7分 当01x <<时, 220x -<,从而2210x e --<0x e ->又 '()0F x >,从而函数()F x 在(0,1)是增函数. ……………………………8分 当01x <<时, ()(1)0F x F <=,()(2)f x f x <- ……………………………10分 (Ⅲ) 证明: ∵101x << ∴121x -> 由(Ⅱ) 得:11()(2)f x f x <- ……………………………12分∵12()()f x f x = ∴21()(2)f x f x <-∵()f x 在(1,+∞)内是减函数 ∴212x x >-即122x x +> ……………………………14分19.解：（Ⅰ）依题意得22224,,.a c b a b c ⎧=⎪=⎨⎪-=⎩解得：2a =，b c == ………………3分所以圆O 的方程为222x y +=，椭圆C 的方程为22142x y +=. ………………5分 （Ⅱ）解法一：如图所示，设00(,)P x y （00y ≠），0(,)Q Q x y ，则22002201,422,Qx y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩即220022042,2.Qx y x y ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩ ……7分又由00:(2)2y AP y x x =++得002(0,)2y M x +. 由00:(2)2y BP y x x =--得002(0,)2y N x --. ………………10分所以 0000002(,)(,)22Q Q y x yQM x y x x x =--=--++uuu r ,0000002(,)(,)22Q Q y x y QN x y x x x =---=----uuu r所以222222000002200(42)2042Q x y y y QM QN x y x y -⋅=+=-+=--uuu r uuu r . 所以QM QN⊥，即90MQN ∠=︒. ………14分（Ⅱ）解法二：如图所示，设00(,)P x y ，:(2)AP y k x =+（0k ≠）.由221,42(2)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222(21)8840k x k x k +++-=.所以 20284221k x k --=+，即2022421k x k -=+.所以 02421ky k =+，即222244(,)2121k k P k k -++.所以 直线BP 的斜率为2224121242221kk k kk +=---+.所以 1:(2)2BP y x k=--. 令0x =得:(0,2)M k ，1(0,)N k. ……10分设0(,)Q Q x y ，则0(,2)Q QM x k y =--uuu r ，01(,)Q QN x y k=--uuu r .所以 22220000121(2)()2Q Q k QM QN x k y y x y y k k+⋅=+--=++-⋅uuu r uuu r . 因为 2200242,21Q kx y y k +==+， 所以 0QM QN ⋅=u u u r u u u r.所以 QM QN ⊥，即90MQN ∠=︒. ………………14分20. (Ⅰ) ∵此时2221222141x x y y +=+,又∵ 是在12221=+x x 的条件下, 有14341412222212221≤+=+=+x x x y y (21x =±时取最大值) , ∴ 此时有1=f . ……………………4分 (Ⅱ) 由),(),(),(21212121x x x x x x x x f λ=-+=,可得: 121122x x x x x x λλ+=⎧⎨-=⎩, 解此方程组可得: 1)1)(1(=+-λλ, 从而2±=λ.1° 当2=λ时,解方程121122x x x x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩, 此时这两个方程是同一个方程,∴此时方程有无穷多个解, 为)1,12(+=m (写出一个即可) , 其中R m ∈且m 0≠.2° 当2-=λ时, 同理可得, 相应的)1,21(-=m (写出一个即可) ,其中R m ∈且m 0≠ …………………………10分 (Ⅲ) 解方程组()()1122111122211222,,0a x a x x x a b x a b b x b x x λλλλ+=⎧⇒-+--=⎨+=⎩∴ 向量() 11,b a λ-与()22,a b λ--平行, ∴ 有2121,,,b b a a 应满足: 04)(12221=+-b a b a .当f λ=)(时, f 有唯一的特征值, 且λ=f . 具体证明为:由f的定义可知: 对任意的12(,)x x x =v有:),(),(),(212121x x x x x x f λλλ==,∴λ为特征值. 此时λλ====2121,0,0,b b a a . 满足:04)(12221=+-b a b a ,∴ 有唯一的特征值.在12221=+x x 的条件下22221)()(λλλ=+x x , 从而有λ=f . ……………13分。