2024届山东省青岛市青岛实验八年级数学第一学期期末考试试题含解析

2024届山东省青岛市青岛实验八年级数学第一学期期末考试试题
注意事项:
1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（每题4分，共48分）
1．在△ABC 中, 已知AB=4cm, BC=9cm, 则AC 的长可能是（）
A ．5 cm
B ．12 cm
C ．13 cm
D ．16 cm
2．如图，等腰直角三角形纸片ABC 中，∠C=90°，把纸片沿EF 对折后，点A 恰好落在BC 上的点D 处，若CE=1，AB=42，则下列结论一定正确的个数是（ ）
①BC=2CD ；②BD>CE ；③∠CED+∠DFB=2∠EDF ；④△DCE 与△BDF 的周长相等；
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
3．如图，在等边ABC ∆中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD ∆绕点B 逆时针旋转60︒得到BAE ∆，连接ED ，若6BC =，4BD =，则有以下四个结论：①BDE ∆是等边三角形；②//AE BC ；③ADE ∆的周长是10；④ADE BDC ∠=∠．其中正确结论的序号是（ ）
A ．②③④
B ．①③④
C ．①②④
D ．①②③
4．如图所示，四边形ABCD 是边长为2的正方形，AP AC =，则数轴上点P 所表示的数是（ ）
A ．22
B ．22-
C ．221-
D ．122-
5．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图①可以用来解释(a ＋b)2－(a －b)2＝4ab.那么通过图②中阴影部分面积的计算验证了一个恒等式，此等式是( )
A ．a 2－b 2＝(a ＋b)(a －b)
B ．(a －b)2＝a 2－2ab ＋b 2
C ．(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2
D ．(a －b)(a ＋2b)＝a 2＋ab －b 2 6．已知点()13,y - ,()21,y 都在直线13y x b =-
+ 上，则1y ,2y 的值的大小关系是（ ） A ．12y >y B ．12y <y C ．12y =y D ．不能确定
7．如图，△ABC 中，以B 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 、AB 于D ，E 两点，并连接BD ，DE ，若∠A ＝30°，AB ＝AC ，则∠BDE 的度数为（ ）
A ．45
B ．52.5
C ．67.5
D ．75
8．一汽艇保持发动机的功率不变，它在相距30千米的两码头之间流动的河水中往返一次（其中汽艇的速度大于河水流动的速度）所用的时间是t 1，它在平静的河水中行驶60千米所用的时间是t 2，则t 1与t 2的关系是（ ） A ．t 1＞t 2 B ．t 1 ＜t 2 C ．t 1 =t 2 D ．以上均有可能
9．小明对九（1）、九（2）班（人数都为50人）参加“阳光体育”的情况进行了调查，统计结果如图所示.下列说法中正确的是( )
A ．喜欢乒乓球的人数(1)班比(2)班多
B ．喜欢足球的人数(1)班比(2)班多
C ．喜欢羽毛球的人数(1)班比(2)班多
D ．喜欢篮球的人数(2)班比(1)班多
10．11名同学参加数学竞赛初赛，他们的等分互不相同，按从高分录到低分的原则，取前6名同学参加复赛，现在小明同学已经知道自己的分数，如果他想知道自己能否进入复赛，那么还需知道所有参赛学生成绩的（ ）
A ．平均数
B ．中位数
C ．众数
D ．方差
11．若直线1y k x 1=+与2y k x 4=-的交点在x 轴上，那么12k k 等于( ) A ．4 B ．4- C ．14 D ．14
- 12．长度分别为3，7，a 的三条线段能组成一个三角形，则a 的值可以是（ ）
A ．3
B ．4
C ．6
D ．10
二、填空题（每题4分，共24分）
13．如图，在一个规格为612⨯(即612⨯个小正方形)的球台上，有两个小球,A B . 若击打小球A ，经过球台边的反弹后，恰好击中小球B ，那么小球A 击出时，应瞄准球台边上的点______________.
14．已知，如图，ABC ∆中，AB AC =，80BAC ∠=，P 为形内一点，若10PCB ∠=，30PBC ∠=，则APB ∠的度数为__________．
15．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，AB=4，点D 是BC 上一动点，以BD 为边在BC 的右侧作等边△BDE ，F 是DE 的中点，连结AF ，CF ，则AF+CF 的最小值是_____.
16．比较大小：32_________25
17．如图，已知雷达探测器在一次探测中发现了两个目标A，B，其中A的位置可以表示成（60°，6），那么B可以表示为____________，A与B的距离为____________
18．如图是甲、乙两名跳远运动员的10次测验成绩（单位：米）的折线统计图，观察图形，写出甲、乙这10次跳远
成绩之间的大小关系：2S
甲_____2S
乙
（填“>“或“<”）．
三、解答题（共78分）
19．（8分）如图，，求证：.
20．（8分）从2019年9月1日起，我市积极开展垃圾分类活动，市环卫局准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需540元；购买2个A型垃圾箱比购买3个B型垃圾箱少用
160元．
（1）求每个A 型垃圾箱和B 型垃圾箱各多少元？
（2）该市现需要购买A 、B 两种型号的垃圾箱共30个，设购买A 型垃圾箱a 个，购买A 型垃圾箱和B 型垃圾箱的总费用为w 元，求w 与a 的函数表达式，如果买A 型垃圾箱是B 型垃圾箱的2倍，求出购买A 型垃圾箱和B 型垃圾箱的总费用．
21．（8分）已知12x x
+=，求221x x +，441x x +的值． 22．（10分）用分式方程解决问题:元旦假期有两个小组去攀登- -座高h 米的山,第二组的攀登速度是第- -组的a 倍.
(1)若450, 1.2h a ==,两小组同时开始攀登,结果第二组比第一组早15min 到达顶峰.求两个小组的攀登速度.
(2)若第二组比第一组晚出发30min ,结果两组同时到达顶峰,求第二组的攀登速度比第一组快多少? (用含,a h 的代数式表示)
23．（10分）如图1，已知ABC 中CAB ∠内部的射线AD 与ACB ∠的外角的平分线CE 相交于点P .若
40, 20B CPA ∠=︒∠=︒.
（1）求证：AD 平分CAB ∠；
（2）如图2，点F 是射线AD 上一点，FG 垂直平分BC 于点G ，FH
AB ⊥于点H ，连接FC ，若5,3AB AC ==，
求HB .
24．（10分）已知1a b -=,223a b +=,求下列代数式的值：
（1）ab ;
（2）228a b --.
25．（12分）为中华人民共和国成立70周年献礼，某灯具厂计划加工6000套彩灯，为尽快完成任务，实际每天加工彩灯的数量是原计划的1.5倍，结果提前5天完成任务.求该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量.
26．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝60°，AD ，CE 是角平分线，AD 与CE 相交于点F ，FM ⊥AB ，FN ⊥BC ，垂足分别为M ，N .求证：FE ＝F D ．
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、B
【分析】根据三角形的三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，求出AC 的取值范围，然后逐项判断即可．
【题目详解】4,9AB cm BC cm ==
13,5AB BC cm BC AB cm ∴+=-=
由三角形的三边关系定理得513cm AC cm <<
因此，只有B 选项满足条件
故选：B ．
【题目点拨】
本题考查了三角形的三边关系定理，熟记定理是解题关键．
2、D
【分析】利用等腰直角三角形的相关性质运用勾股定理以及对应角度的关系来推导对应选项的结论即可.
【题目详解】解：由可得AC=BC=4，则AE=3=DE ，由勾股定理可得， ①正确；
1>，②正确；
由∠A=∠EDF=45°，则2∠EDF=90°，∠CED=90°-∠CDE=90°-（∠CDF-45°）= 135°-∠CDF=135°-（∠DFB+45°）= 90°-∠DFB ，故∠CED+∠DFB=90°=2∠EDF ，③正确；
△DCE 的周长，△BDF 的周长，④正确；故正确的选项有4个，故选：D.
【题目点拨】
本题主要考查等腰直角三角形的相关性质以及勾股定理的运用,本题涉及的等腰直角三角形、翻折、勾股定理以及边角关系，需要熟练地掌握对应性质以及灵活的运用.
3、D
【分析】先由△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，可知：BD=BE ，∠DBE=60°，则可判断△BDE 是等边三角形；根据等边三角形的性质得BA=BC ，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，再根据旋转的性质得到∠BAE=∠BCD=60°，从而得∠BAE=∠ABC=60°，根据平行线的判定方法即可得到AE ∥BC ；根据等边三角形的性质得∠BDE=60°，而
∠BDC>60°，则可判断∠ADE≠∠BDC ；由△BDE 是等边三角形得到DE=BD=4，再利用△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，则AE=CD ，△AED 的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=1．
【题目详解】∵△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，
∴BD=BE ，∠DBE=60°，
∴△BDE 是等边三角形，
∴①正确；
∵△ABC 为等边三角形，
∴BA=BC ，∠ABC=∠C=∠BAC=60°，
∵△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，
∴∠BAE=∠BCD=60°，
∴∠BAE=∠ABC ，
∴AE ∥BC ，
∴②正确；
∵△BDE 是等边三角形，
∴DE=BD=4，
∵△BCD 绕点B 逆时针旋转60°，得到△BAE ，
∴AE=CD ，
∴△AED 的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=BC+BD=6+4=1，
∴③正确；
∵△BDE 是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
∵∠BDC=∠BAC+∠ABD ＞60°，
∴∠ADE=180°-∠BDE-∠BDC ＜60°，
∴∠ADE≠∠BDC ，
∴④错误．
故选D ．
【题目点拨】
本题主要考查旋转得性质，等边三角形的判定和性质定理，掌握旋转的性质以及等边三角形的性质定理，是解题的关键．
4、D
【分析】连接AC,根据勾股定理求出其长度, AP AC =,再减1求相反数即为点P 表示的数.
【题目详解】解:如图,连接AC,
在Rt ABC ∆中, 22222222AC AB BC +=+=所以22AP AC ==所以221OP =,
所以P 点表示的数为1-故选:D.
【题目点拨】
本题主要考查在数轴上用勾股定理求无理数长度的线段,熟练掌握该方法是解答关键.
5、B
【解题分析】图（4）中，
∵S 正方形=a 1-1b （a-b ）-b 1=a 1-1ab+b 1=（a-b ）1，
∴（a-b ）1=a 1-1ab+b 1．
故选B
6、A
【分析】根据两点的横坐标-3<1,及k 的值即可得到答案.
【题目详解】∵k=13-<0，
∴y 随x 的增大而减小，
∵-3<1，
∴12y >y ，
故选：A.
【题目点拨】
此题考查一次函数的增减性，熟记函数的性质定理即可正确解题.
7、C
【解题分析】试题分析：根据AB=AC ，利用三角形内角和定理求出∠ABC 的度数，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠DBC=30°，然后即可求出∠BDE 的度数：
∵AB=AC ，∴∠ABC=∠ACB.
∵∠A=30°，∴∠ABC=∠ACB=()118030752
︒-︒=︒. ∵以B 为圆心，BC 长为半径画弧，∴BE=BD=BC ．∴∠BDC=∠ACB=75°.
∴∠CBD 180757530=︒-︒-︒=︒.∴∠DBE=75°-30°=45°.
∴∠BED=∠BDE=
()11804567.52
︒-︒=︒. 故选C.
考点: 1.等腰三角形的性质;2.三角形内角和定理.
8、A
【分析】设汽艇在静水中的速度为a 千米/小时，水速为b 千米/小时，根据题意列出算式，然后再比较大小即可．
【题目详解】汽艇在静水中所用时间t 160a =
． 汽艇在河水中所用时间 t 13030a b a b
=++-． ∵ t 1－t 1=2
30306060b a b a b a a b a b a
＞（）（）+-=+-+-0，∴303060a b a b a ++-＞，∴t 1＞t 1． 故选A ．
【题目点拨】
本题考查了分式的减法，根据题意列出汽艇在静水中和河水中所用时间的代数式是解题的关键．
9、C
【解题分析】根据扇形图算出（1）班中篮球，羽毛球，乒乓球，足球，羽毛球的人数和（2）班的人数作比较，（2）班的人数从折线统计图直接可看出．
【题目详解】解：A 、乒乓球：(1)班50×16%=8人，(2)班有9人，8<9，故本选项错误；
B 、足球：(1)班50×14%=7人，(2)班有13人，7<13，故本选项错误；
C 、羽毛球：(1)班50×40%=20人，(2)班有18人，20>18，故本选项正确；
D 、篮球：(1)班50×30%=15人，(2)班有10人，15>10，故本选项错误.
故选C.
【题目点拨】
本题考查扇形统计图和折线统计图，扇形统计图表现部分占整体的百分比，折线统计图表现变化，在这能看出每组的人数，求出(1)班喜欢球类的人数和(2)班比较可得出答案．
10、B
【解题分析】试题分析：由于总共有11个人，且他们的分数互不相同，第6的成绩是中位数，要判断是否进入前6名，知道中位数即可．故答案选B ．
考点：中位数.
11、D
【解题分析】分别求出两直线与x 轴的交点的横坐标，然后列出方程整理即可得解．
【题目详解】解：令y 0=，则1k x 10+=， 解得1
1x k =-， 2k x 40-=，
解得24x k =， 两直线交点在x 轴上，
12
14k k ∴-=， 12k 1k 4
∴=-． 故选：D ．
【题目点拨】
考查了两直线相交的问题，分别表示出两直线与x 轴的交点的横坐标是解题的关键．
12、C
【分析】根据三角形的三边关系：①两边之和大于第三边，②两边之差小于第三边即可得到答案．
【题目详解】解：7−3＜x ＜7＋3，
即4＜x ＜10，
只有选项C 符合题意，
故选：C ．
【题目点拨】
此题主要考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系定理．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、P 1
【分析】认真读题，作出点A 关于P 1P 1所在直线的对称点A ′，连接A ′B 与P 1P 1的交点即为应瞄准的点．
【题目详解】如图，应瞄准球台边上的点P 1．
故答案为：P 1.
【题目点拨】
本题考查了生活中的轴对称现象问题；解决本题的关键是理解击球问题属于求最短路线问题．
14、150
【分析】在BC 下方取一点D ，使得三角形ACD 为等边三角形，连接DP 、BD ．根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理证明△BDC ≌△BPC 和60DBP ∠=︒，从而可证明△BPD 为等边三角形，根据等边三角形的性质可得∠BPD=60°，BP=DP ，证明△ABP ≌△ADP ，从而可得3602
BPD APB APD ︒-∠∠=∠=． 【题目详解】解：如下图在BC 下方取一点D ，使得三角形ACD 为等边三角形，连接DP 、BD ．
∴AD=AB=AC ，∠ADC=∠CAD=60°，
∵∠BAC=80°，AB=AC ，
∴∠DAB=∠BAC-∠CAD=20°，∠ABC=∠ACB=50°，
∴∠ABD=∠ADB=80°，
∴∠BDC=∠ADB+∠ADC=140°，∠DBC=∠ABD-∠ABC=30°，
∵10PCB ∠=︒，30PBC ∠=︒，
∴180140BPC PCB PBC ∠=︒-∠-∠=︒，PBC DBC ∠=∠，
∴BPC BDC ∠=∠，
又∵BC=BC
∴△BDC ≌△BPC ，
∴BD=BP ，
∵60DBP PBC DBC ∠=∠+∠=︒，
∴△BPD 为等边三角形，
∴∠BPD=60°，BP=DP ，
在△ABP 和△ADP 中， ∵AB AD AP AP BP PD =⎧⎪=⎨⎪=⎩
∴△ABP ≌△ADP ，
∴3603606015022
BPD APB APD ︒-∠︒-︒∠=∠===︒．
故答案为：150°．
【题目点拨】
本题主要考查对等腰三角形的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理．作辅助线得到全等三角形是解此题的关键，此题在证明三角形全等时用到了角度之间的计算，有一定的难度．
15、27．
【分析】以BC 为边作等边三角形BCG ，连接FG ，AG ，作GH ⊥AC 交AC 的延长线于H ，根据等边三角形的性质
得到DC=EG ，根据全等三角形的性质得到FC=FG ，于是得到在点D 的运动过程中，AF+FC=AF+FG ，而AF+FG≥AG ，
当F 点移动到AG 上时，即A ，F ，G 三点共线时，AF+FC 的最小值=AG ，根据勾股定理即可得到结论．
【题目详解】以BC 为边作等边三角形BCG ，连接FG ，AG ，
作GH ⊥AC 交AC 的延长线于H ，
∵△BDE 和△BCG 是等边三角形，
∴DC=EG ，
∴∠FDC=∠FEG=120°，
∵DF=EF ， ∴△DFC ≌△EFG （SAS ），
∴FC=FG ，
∴在点D 的运动过程中，AF+FC=AF+FG ，而AF+FG≥AG ，
∴当F 点移动到AG 上时，即A ，F ，G 三点共线时，AF+FC 的最小值=AG ，
∵BC=CG=12
AB=2，3 在Rt △CGH 中，∠GCH=30°，CG=2，
∴GH=1，3，
∴22GH AH +21(233)++7，
∴AF+CF 的最小值是7．
【题目点拨】
此题考查轴对称-最短路线问题，等边三角形的性质，直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．
16、＜
【分析】将两数平方后比较大小，可得答案.
【题目详解】∵(2=18，(2=20，18＜20
∴
故填：＜.
【题目点拨】
本题考查比较无理数的大小，无理数的比较常用平方法.
17、(150,4)
︒
【分析】按已知可得，表示一个点，距离是自内向外的环数，角度是所在列的度数，据此进行判断即可得解．
【题目详解】∵（a，b）中，b表示目标与探测器的距离；a表示以正东为始边，逆时针旋转后的角度，
∴B可以表示为(150,4)
︒．
∵A、B与雷达中心的连线间的夹角为150°-60°=90°，
∴
故填：(1). (150,4)
︒(2).
【题目点拨】
本题考查了坐标确定位置，解题时由已知条件正确确定A、B的位置及勾股定理的应用是解决本题的关键．
18、＜
【分析】方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，判断即可．
【题目详解】解：由图可得，甲10次跳远成绩离散程度小，而乙10次跳远成绩离散程度大，
∴2S
甲＜2S
乙
，
故答案为：＜.
【题目点拨】
本题考查方差的定义与意义，方差反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
三、解答题（共78分）
19、见解析.
【解题分析】先证明CB=FE，再加上条件AB=DE，AC=DF，可利用SSS判定△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性
质可得∠B=∠DEF ，∠ACB=∠F ，再根据同位角相等，两直线平行可得结论．
【题目详解】证明： ∵
， ∴
∴， ∵在△ABC 和△DEF 中，
∴
， ∴
, ， ∴
. 【题目点拨】 考查了全等三角形的判定与性质，关键是熟练掌握三角形的判定定理：SSS 、SAS 、ASA 、AAS ．证明三角形全等必须有边相等的条件．
20、（1）每个A 型垃圾箱100元，每个B 型垃圾箱120元；（2）w 与a 的函数表达式为：203600w a =-+（016a ≤≤且a 为整数），若A 型垃圾箱是B 型垃圾箱的2倍，总费用为3200元．
【分析】（1）设每个A 型垃圾箱x 元，每个B 型垃圾箱y 元，根据“购买3个A 型垃圾箱和2个B 型垃圾箱共需540元；购买2个A 型垃圾箱比购买3个B 型垃圾箱少用160元”列出方程组解答即可；
（2）根据（1）中的单价可列出w 与a 的函数表达式，由A 型垃圾箱是B 型垃圾箱的2倍得出a 的值，代入函数表达式计算即可．
【题目详解】解：（1）设每个A 型垃圾箱x 元，每个B 型垃圾箱y 元，则
3254032160x y y x +=⎧⎨-=⎩ ，解得：100120x y =⎧⎨=⎩
∴每个A 型垃圾箱100元，每个B 型垃圾箱120元．
（2）购买A 型垃圾箱a 个，则B 型垃圾箱(30)a -个，
∴100120(30)203600w a a a =+-=-+（016a ≤≤且a 为整数）
若A 型垃圾箱是B 型垃圾箱的2倍，
则2(30)a a =-，
∴20a =，
∴202036003200w =-⨯+=
故总费用为3200元．
【题目点拨】
本题考查了二元一次方程组的应用及函数表达式的应用，根据题意列出方程组及函数表达式是解题的关键．
21、2，2
【分析】将已知的等式左右两边分别平方，再展开求得． 【题目详解】解：∵12x x +
=， ∴221()2x x +=， ∴22124x x ++
=， ∴2212x x +
=． ∴2222
1()2x x +=， ∴4412+4x x
+=， ∴4412x x
+=． 【题目点拨】
本题考查了完全平方公式，关键是把所求代数式整理为与所给等式相关的形式或与得到结果相关的形式．
22、（1）第一组5/m min ，第二组6/m min ；（2）()
21/30h a m min a -.
【分析】（1）设第一组的速度为/xm min ，则第二组的速度为1.2/xm min ，根据两个小组同时开始攀登，第二组比第一组早15min ，列方程求解．
（2）设第一组的速度为/ym min ，则第二组的速度为/aym min ，根据两个小组去攀登另一座hm 高的山，第二组比第一组晚出发30min ，结果两组同时到达顶峰，列方程求解．
【题目详解】解：（1）设第一组的速度为/xm min ，则第二组的速度为1.2/xm min ， 由题意得，450450151.2x x
-=， 解得：5x =，
经检验：5x =是原分式方程的解，且符合题意，
则1.26x =．
答：第一组的攀登速度5/m min ，第二组的攀登速度6/m min ；
（2）设第一组的平均速度为/ym min ，则第二组的平均速度为/aym min ，
由题意得，30h h y ay -=， 解得：30ah h y a
-=， 经检验：30ah h y a
-=是原分式方程的解，且符合题意， 则22303030ah h ah h a h ah h ay y a a ---+-=-=()2130h a a
-=， 答：第二组的平均攀登速度比第一组快
()21/30h a m min a -． 【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列分式方程求解，注意检验．
23、（1）详见解析；（2）1.
【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的外角性质进行计算和代换即可.
（2）连接FB ，过F 作FI AC ⊥垂足为I ，根据AF 是角平分线可得FI FH =，FG 垂直平分BC 可得FC FB =，从而可得()FIC FHB HL ≅，再由()FAI FAH AAS ≅，可得AH AI =，从而可得2HB AB AC =-，即可得1HB =.
【题目详解】（1）证明：设QCE x ∠=，
CP 平分QCB ∠，
QCP ECB x ∴∠=∠=，
QCE CPA CPA ∠=∠+∠，20CPA ∠=，
20CAP x ∴∠=-
QCB QAB B ∠=∠+∠，40B ∠=，
240CAB x ∴∠=-，
又20CAP x ∠=-， ∴12
CAP CAB ∠=∠，即AD 平分CAB ∠. （2）解：连接FB ，过F 作FI AC ⊥垂足为I ，
由（1）可知AF 平分CAB ∠，
又∵,FI AC FH AB ⊥⊥，
FI FH ∴=，
FG 垂直平分BC 于点G
FC FB ∴=，
在Rt FIC 与Rt FHB 中，
FC FB FI FH =⎧⎨=⎩
， ()FIC FHB HL ∴≅，
∴HB CI =，
FAI 与FAH 中， FIA FHA FAI FAH AF AF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
()FAI FAH AAS ∴≅，
∴AH AI =，即AB HB AC IC -=+，
2532HB AB AC =-=-=，
1HB ∴=.
【题目点拨】
本题考查了全等三角形综合，涉及了三角形角平分线性质、线段垂直平分线性质，（1）解答的关键是沟通三角形外角和内角的关系；（2）关键是作辅助线构造全等三角形转化线段和差关系.
24、（1）1；（28或8．
【分析】（1）把1a b -=两边平方，展开，即可求出ab 的值；
（2）先求出2()a b +的值，再开方求得a b +的值，再对原式分解因式，再整体代入求出即可．
【题目详解】（1）∵1a b -=，223a b +=，
∴2()1a b -=，
∴2221a ab b -+=，
∴2132ab -=-=-，
∴1ab =；
（2）∵1a b -=，1ab =，
∴a b +=
=
=
=
228a b --
()()8a b a b =+--
8=-
8或8．
【题目点拨】
本题考查了完全平方公式和平方差的应用，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
25、原计划每天加工400套
【分析】该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，由题意列出方程即可求解．
【题目详解】解：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为x 套，则实际每天加工彩灯的数量为1.5x 套， 由题意得：6000600051.5x x
-= 解得：x ＝400，
经检验，x＝400是原方程的解，且符合题意；
答：该灯具厂原计划每天加工这种彩灯的数量为400套．
【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用以及分式方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，根据题意列出方程是解题的关键．26、证明见解析
【分析】连结BF，根据角平分线的性质定理可到FM=FN，再求得∠NEF=75°=∠MDF，即可证明△EFM≌△DFN，根据全等三角形的性质可得FE=FD．
【题目详解】解：连结BF .
∵F是∠BAC与∠ACB的平分线的交点，
∴BF是∠ABC的平分线．
又∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，∠EMF＝∠DNF＝90°.
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠DAC＝1
2
∠BAC＝15°，
∴∠CDA＝75°.
易得∠ACE＝45°，
∴∠CEB＝∠BAC＋∠ACF＝75°，即∠NDF＝∠MEF＝75°.
在△DNF和△EMF中，
∵
DNF EMF
NDF MEF
NF MF
∠=∠
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△DNF≌△EMF(AAS)．∴FE＝F D.
【题目点拨】
本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的判定和性质，利用所给的条件证得三角形全等是解题的关键．。