七年级数学上 数轴、相反数、绝对值教案

一. 教学内容：
数轴、相反数、绝对值
1. 什么叫数轴，怎样正确地画出一条数轴；如何把有理数在数轴上表示出来．
2. 什么叫相反数，相反数的表示方法．
3. 什么叫绝对值，正数、0、负数的绝对值分别是什么．
4. 两个有理数如何比较大小．
5. 体会数形结合的思想方法，进而初步认识事物之间的联系性．
二. 知识要点：
1. 一般地，在数学中人们用画图的方式把数“直观化”，通常用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴．
如：
（1）在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；
（2）规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；
（3）选取适当的长度为单位长度．
注：
①数轴的定义包含三层涵义：第一层涵义是说数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；第二层涵义是说数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；第三层涵义是说原点的选定、正方向的选取、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的．
②所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来．正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示．
2. （1）关于相反数可以有两种定义方法．
①代数定义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数，也称这两个数互为相反数，0的相反数是０；（“０的相反数是０”是相反数定义的一部分，千万不能漏掉；“只有符号不同”指的是除符号不同以外，其他完全相同，不能理解为只要符号不同的两个数就是互为相反数，例如：－2和＋3符号不同，但它们不是互为相反数）
②几何定义：在数轴上位于原点的两旁，并且与原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数．
＋3和－3，＋4.4和－4.4互为相反数．
注：相反数是成对出现的，不能单独存在，例如，＋3和－3互为相反数，是说－3是＋3的相反数，＋3是－3的相反数，单独一个不能说是相反数．
（2）相反数的表示方法：
一般地，数a的相反数是－a，这里a是任意的有理数，可以是正数、负数或零．
例如：当a＝6时，－a＝－6，6是－6的相反数；当a＝－2时，－a＝－（－2），因为－2的相反数是2，所以－（－2）＝2；当a＝0时，－a＝0，0的相反数是0，因此－0＝0．
3. 一般地，数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值，记作︱a ︱．
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0． （1）a 是正数时，︱a ︱＝__________； （2）a 是0时，︱a ︱＝__________； （3）a 是负数时，︱a ︱＝__________． 4. 两个有理数如何比较大小．
-15
-10-551015200
和温度计类似，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大，于是： （1）正数大于0，0大于负数，正数大于负数； （2）两个负数，绝对值大的反而小．
2
-2
5
6
-3-5
注：异号两数比较大小，要考虑它们的正负； 同号两数比较大小，要考虑它们的绝对值．
三. 重点难点：
1. 重点：①正确画数轴的方法（三要素）；②相反数、绝对值的相关问题；③两个有理数如何比较大小．
2. 难点：比较两个负数的大小；根据相反数的定义进行多重符号的化简；从分类讨论的角度去认识“已知一个数的绝对值，求这个数”的二重性．
【典型例题】
例1. 指出数轴上A 、B 、C 、D 、E 、F 各点分别表示什么数？
43210-2-156
-3-4-5-6
分析：根据各点距原点多少个单位长度；在原点的左边为负数，在原点的右边为正数，在原点的是“零”．
解：A 表示4；B 表示2.5；C 表示1；D 表示：0；E 表示－1.5；F 表示：－3．
评析：找出数轴上的点对应的有理数的步骤是：①确定点与原点的位置关系（负左，右正，零原点）；②确定点距原点的距离．
例2. 对下列带有多重符号的数进行化简．
（1）－[－（－213）] （2）＋[－（－31
2
）]
（3）－{－[＋（－2）]} （4）＋[－（＋41
2
）]
（5）＋{－[－（－1
3）]} （6）－{＋[－（＋1）]}
分析：根据多重符号的化简规则和方法化简． 解：对各数化简结果如下：
（1）－[－（－213）]＝－21
3
（2）＋[－（－312）]＝31
2
（3）－{－[＋（－2）]}＝－2 （4）＋[－（＋412）]＝－41
2
（5）＋{－[－（－13）]}＝－1
3
（6）－{＋[－（＋1）]}＝1
评析：多重符号的化简方法：多重符号的结果是由“－”号的个数决定的，与“＋”号无关，如果“－”号的个数是奇数个，则结果为“－”，如果“－”号的个数为偶数个，则结果为“＋”．
例3. 已知a ＝－5，︱a ︱＝︱b ︱，则b 的值等于（ ）．
A. ＋5
B. －5
C. 0
D. ±5
分析：因为a ＝－5，所以︱a ︱＝5，所以︱b ︱＝5，所以b ＝±5． 解：D
评析：本题常见的思维误区是由︱a ︱＝︱b ︱推出a ＝b ，错选B ．事实上，由︱a ︱＝︱b ︱，可得b ＝±a ，所以b ＝a 或b ＝－a ，即b ＝5或b ＝－5．
例4. 预计
则以上六国服务出口额的增长率由高到低的顺序中，排在第三位的国家是__________． 分析：本题所列的这些有理数有正数也有负数，比较大小时，要先将正数和负数分类，然后分别将每一类用“＜”连接起来，最后把连接好的正数放在右边，把连接好的负数放在左边，－7.3%＜－5.3%＜－3.4%＜－0.9%＜2.8%＜7.3%．
解：德国
评析：两个负数的大小比较可以用求绝对值的方法来进行，也可以用数轴来比较，用绝对值比较两个数的大小步骤：①先求各数的绝对值，②比较绝对值的大小，③根据“两个负数，绝对值大的反而小”比较原数的大小．
例5.已知：绝对值小于a（a＞0）的整数有9个．
（1）a是什么整数．
（2）求这9个整数的绝对值的和．
分析：从绝对值的定义入手：“一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离”．画出数轴，从特例出发，开展探究．
-4
-3
-6
-2-156
-5
4
3
2
1
①绝对值小于1的数在－1和1之间，整数只有0
②绝对值小于2的数在－2和2之间，整数只有0，±1
③绝对值小于3的数在－3和3之间，整数只有0，±1，±2
④绝对值小于4的数在－4和4之间，整数只有0，±1，±2，±3
⑤绝对值小于5的数在－5和5之间，整数只有0，±1，±2，±3，±4
……
从上面的探究我们已经知道，当a为5时，满足条件的整数有9个．
解：（1）满足条件的整数a为5
（2）这9个整数是：0，±1，±2，±3，±4
故它们的绝对值的和为：︱0︱＋︱1︱＋︱2︱＋︱3︱＋︱4︱＋︱－1︱＋︱－2︱＋︱－3︱＋︱－4︱＝20
评析：绝对值的定义是依据数轴给出的，因此，在研究绝对值的有关问题时，可以利用数轴来帮助思考，使问题通过图形直观化．这种利用数形结合来研究问题的思想，人们称之为数形结合思想．
如：︱x︱＜5，转化为几何意义是有理数x在数轴上表示的点到原点的距离小于5，这时的x就在－5和5之间．
又如：︱x︱＞5，这时的x为x＞5或x＜－5．
【方法总结】
1. 引入数轴后，把有理数转化为数轴上的点的数形结合的方法．
2. 已知︱x︱＝3，求x．我们采用分类讨论的方法求解，当x＞0时，x＝3；当x＜0时，x ＝－3
【模拟试题】（答题时间：60分钟）
一、选择题
1. （2007年河北）－7的相反数是 （ ）
A. 7
B. －7
C. 17
D. －1
7
2. 零是（ ）
A. 最大的负整数
B. 最小的负整数
C. 最小的自然数
D. 以上都不对
3. 如果两个数的绝对值相等，这两个数 （ ） A. 相等 B. 互为相反数 C. 相等或互为相反数 D. 都是0
4. 数轴上点A 到原点的距离是51
3
，点A 表示的数是 （ ）
A. 513
B. －13
C. 513或－513
D. 不能确定
5. 若︱a ︱＝－a ，则a 一定是 （ ） A. 负数 B. 正数 C. 负数或零 D. 正数或零
6. 下列说法正确的是 （ ） A. 在0和＋1之间没有正数
B. 在0和＋1之间的有理数有无穷多个
C. 在－1和＋1之间没有负数
D. 在－1和＋1之间的有理数只有0
7. 下列四组数中，不相等的是 （ ） A. －（＋3）和＋（－3） B. ＋（－5）和－5 C. ＋（－7）和－（－7） D. －（－1）和1 8. －2
3的相反数是 （ ）
A. 32
B. －32
C. 23
D. －23 9. ︱－（＋2）︱的值是 （ ）
A. －2
B. 2
C. 12
D. －1
2
10. （2007年湖南怀化）2008年8月第29届奥运会在北京开幕，5个城市的国际标准时间
（单位：时）在数轴上表示如图所示，那么北京时间2008年8月8日20时应是（ ）
A. 伦敦时间2008年8月8日11时
B. 巴黎时间2008年8月8日13时
C. 纽约时间2008年8月8日5时
D. 汉城时间2008年8月8日19时
二、填空题
1. （2007年太原）比较大小：－3__________－2．
2. （2007年广州）化简︱－2︱＝__________．
3. 绝对值等于3
4
的数是__________，__________的绝对值等于它本身．
4. 绝对值小于4的整数是__________．
5. （2006年盐城）数轴上到原点的距离为2的点所表示的数是_________．
6. （2007年吉林）写出一个比－1小的数__________．
7. 一个数的绝对值的相反数等于它本身，这个数是__________． 8. 数轴上有三点A 、B 、C ，它们分别是－3，1，2，则此三点到原点的距离之和是__________． 9. （2008年趣味数学技能展示预赛）如图，点A 、B 在数轴上对应的有理数分别为m 、n ，则A 、B 两点间的距离是__________．（用含m 、n 的式子表示）
10. 与表示－1的点相距3个单位长度的点所表示的数是__________．
三、解答题 1. 化简．
（1）－[＋（－8）]
（2）－[－（＋1
2
）]
（3）－{＋[－（－6）]} （4）－{－[－（a ＋b ）]}
2. 如图，在数轴上描出－a ，－b 所表示的点，比较a ，－a ，0，b ，－b 的大小，并用“＜”连接起来．
3. 在数轴上表示下列各数：
︱－12︱，＋（－3），0，－（－2.5），4，－112
．
4. 已知有理数a 在数轴上对应点为A ，将点A 向左平移3个单位长度后，再向右平移2个
单位长度得到点B ，点B 对应的数是－1，有理数a 是多少？ 5. 在数轴上点A 表示7，点B 、C 所表示的数互为相反数，且C 与A 间的距离为2，求点B 、C 对应的数．
6. 比较数的大小：
（1）－2
7
和－0.28
（2）－︱－1112︱与－（＋8
9）
四、探究题
阅读下面的文字并回答问题：
13的相反数是－13，则13＋（－1
3）＝0； 15的相反数是－15，则15＋（－1
5
）＝0； 0的相反数是0，则0＋0＝0； 13＋15的相反数是－（13＋15），则13＋15＋[－（13＋15
）]＝0． 所以若a 和b 互为相反数，则a ＋b ＝0； 若a ＋b ＝0，则a 和b 互为相反数．
这说明____________________________，相反地，____________________________．
试题答案
一、选择题
1. A
2. C
3. C
4. C
5. C
6. B
7. C
8. C
9. B 10. B
二、填空题 1. ＜ 2. 2
3. ±3
4；正数和零
4. 0，±1，±2，±3
5. ±2
6. －2等（答案不唯一）
7. 0或负数
8. 6
9. n －m 10. 2或－4
三、解答题
1. （1）8 （2）1
2 （3）－6 （4）－（a ＋b ）
2. 在数轴上描出－a ，－b 所表示的点，如图所示：
它们的大小关系是：－b ＜a ＜0＜－a ＜b 3. 如图所示：
4
︱－12
︱
－11
2
－（＋3）
－（－ 2.5）
4. 提示：将A 向左平移3个单位后，再向右平移2个单位得到点B ，点B 对应的数是－1。

反过来，把B 点向左移回2个单位对应的数是－3，再向右平移3个单位回到点A ，对应的数是0。

所以a ＝0。

5. 因为点A 表示7，C 与A 间的距离是2，所以点C 对应的数是9或5。

又因为B 与C 互为相反数，所以当点C 表示9时，点B 表示－9；当点C 表示5时，点B 表示－5。

6. （1）－27＜－0.28 （2）－︱－1112︱＜－（＋8
9）
四、互为相反数的两个数之和为0
若两个数之和为0，则这两个数互为相反数。