时程分析法

1.运动方程
(t ) [ K (t )]x(t ) [ M ]1 [M ] x(t ) [C(t )]x xg
f I (t ) f D (t ) fs (t ) P(t )
[C ], [ K ] 为常数矩阵 线性问题：
（1 ）
xi 2
t
（8 ）
位移增量为：
ti xi x ti t x ti x
x t t
i
2
t
2

பைடு நூலகம்
xi 6
t
2
（7 ）
速度增量为：
i x ti t x ti x ti t x
时程分析法概念
时程分析法是对结构物的运动微分方程直接进行逐步积 分求解的一种动力分析方法。由时程分析可得到各质点随 时间变化的位移、速度和加速度动力反应，并进而可计算 出构件内力的时程变化关系。由于此法是对运动方程直接 求解，又称直接动力分析法。 直接动力分析包括确定性动力分析与非确定性动力分 析两大类，即确定性动力分析中的时程分析法与非确定性 分析的随机振动分析法，这里主要介绍时程分析法。 《抗震规范》规定，重要的工程结构，例如：大跨桥梁， 特别不规则建筑、甲类建筑，高度超出规定范围的高层建 筑应采用时程分析法进行补充计算。
df c t D dx
f D (t t )
fD
斜率c(t )
f D (t )
x
(t ) x
f D
df D x dx
(t ) x (t t ) x
f I (t ) f D (t ) f s (t ) P(t )
df k t s dx t
(t ) x (t t ) x
df s x dx
f s 斜率k (t )
f s (t t ) f s (t )
x
x (t )
f s
结构在t时刻的刚度矩阵 由t时刻结构各构件的切线刚度确定
x(t t )
x (t )
ti t 时刻的位移向量为：
t x t t x t x
i i i
x t t
i
2
t
2

xi 6t
2
t
3
位移增量为：
ti xi x ti t x ti x
i t M 1 i
（11）
P t t f
ti t f s ti t
f I (t ) f D (t ) fs (t ) P(t )
（1 ）
总平衡方程
从而可以得出 ti t 时刻的位移，速度和加速度向量
f s / x k tg
fs

fD
c tg fD / x
[C ], [ K ] 为时变矩阵 非线性问题：
x (t )

(t ) x
fD
fs
(t ) x
x (t )
2.增量平衡方程
f I (t ) f D (t ) fs (t ) P(t )
（11）
P t t f
ti t f s ti t
6
不采用
x ti t x ti xi x ti
t
xi 2
6 ti 3 x x ti t
df c t D t dx
f D (t t )
fD
斜率c(t )
f D (t )
x
(t ) x
f D
df D x dx
f s (t ) f s (t t ) f s (t ) [ K (t )]x(t )
3.线性加速度法 假定t时间间隔内加速度线性变化 在 间间隔内 t时刻的加速度为 ti 至 ti t
x t x t
i
xi t
xi t
t ti
x t
（4 ）
对(4)式积分求t时刻的速度：
x d x t d
令
x(t t ) x(t ) [M ] x(t ) fI (t ) f I (t t ) f I (t ) [M ]
f D (t ) f D (t t ) f D (t ) (t ) [C (t )]x
t t ti ti i t ti
ti d
2 t ti 2
xi
t i t ti t
x
t ti
x ti t ti
xi 2t
ti
xi 2t xi 2t
t x ti x ti t ti x t x ti x ti t ti x
xi 2t
（5 ）
对(5)式积分求t时刻的位移： x ti xi 2 3 x t x t x t t t t t t t i i （6 ） i i i
2 6t
xi 2
t
（8 ）
在分析中，将x作为基本变量，由式(7)得
xi 6
t
xi 2
6 ti 3 x x ti t
（9 ）
将(9)式代入(8)得
i x
将(9)和(10)代入增量方程(3)解得位移增量xi
t ti t ti
2
（5 ）
t时刻的加速度：
x t x t
i
xi t
t ti
t ti
2
（4 ）
t时刻的速度：
t x ti x ti t ti x
x t
t x x t
i
t x ti xi 3 t i 2 x ti x ti x t 2
D
i t x ti xi
i t M 1 i
t x t t x t x t x t t x t x
{x t } {x(t t )} {x(t )}
P(t ) P(t t ) P(t )
x(t t ) x(t ) [M ] x(t ) fI (t ) f I (t t ) f I (t ) [M ]
f D (t ) f D (t t ) f D (t ) (t ) [C (t )]x
2 6t
ti t 时刻的速度向量为：
ti t x ti x ti t x
xi 2t
t
2
速度增量为：
i x ti t x ti x ti t x
从而可以得出 ti t 时刻的位移，速度和加速度向量
x t
t x x t
i
t x ti xi 3 t i 2 x ti x ti x t 2
D
i t x ti xi
x t t
i
2
t
xi 6
t
2
（7 ）
t时刻的加速度：
x t x t
i
xi t
t ti
2t
（4 ）
t时刻的速度：
t x t x t t t x
(t ) [ K (t )]x(t ) P(t ) [M ] x(t ) [C(t )]x ----增量方程(3)
3 t ti x ti xi 3 x t 2
（10）
6 6 t 3 [M ] x x t 3 x t [ C ( t )] x 3 x t x t i i i i i [ K (ti )] xi P(t i ) i i t 2 t 2 t 6 3 t 6 ti 3 ti [M ] [C (ti )] [ K (ti )] xi P(ti ) [ M ] x x ti [ C( ti )] 3 x x ti 2 t 2 t t
* * 等效刚度→ K t x P t ←等效荷载
K* P*
i x
3 t ti x ti xi 3 x t 2 6 6 ti 3 x x x x ti i i 2 t t
i i i
xi
t ti
2
（5 ）
对(5)式积分求t时刻的位移： x ti xi 2 3 x t x t x t t t t t t t （6 ） i i i i i
(t ) [ K (t )]x(t ) P(t ) [M ] x(t ) [C(t )]x
----增量方程(3)
方程左边的力增量表达式是近似的！
Newmark－β法 线性加速度法： t时间间隔内加速度线性变化假定 平均加速度法： t时间间隔内加速度为常数假定 非线性地震反应分析的逐步积分法 Wilson－θ法
t t 时刻：
（1）
f I (t t ) f D (t t ) f s (t t ) P(t t ) f I (t ) f D (t ) f s (t ) P(t )
（2 ）
将(1),(2)两式相减：