第5节子群

近世代数
典型子群的实例:中心C
定义2.2 设G为群,令 C={a| a∈G∧x∈G(ax=xa)}， 则C是G的子群，称为G的中心. 证 e∈C. C是G的非空子集. 任取a,b∈C，只需证明 ab1与G中所有的元素都可交换. x∈G，有 (ab1)x = ab1x = ab1(x1)1 = a(x1b)1 = a(bx1)1 = a(xb1) = (ax1)b1 = (xa)b1 = x(ab1) 由判定定理二可知C≤G. 注：对于阿贝尔群G，因为G中所有的元素互相都可 交换，G的中心就等于G. 但是对某些非交换群G，它 9/14 的中心是{e}.
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子群判定定理2
定理2.2 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab1∈H. 证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得 a(b1) 1∈H，即ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
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5.2 子群与生成子群
子群的定义 子群的性质 子群的判别 生成子群Байду номын сангаас
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子群
定义2.1 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子 群, 记作H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群， 记作H(G). 例如: nZ (n是自然数) 是整数加群(Z,+) 的子群.
则G关于矩阵乘法构成群. 找出G的所有子群.
解 令A, B, C, D分别为
1 0 i 0 0 1 0 i 0 1 ， 0 i , 1 0 , i 0
G的子群有6个，即 平凡子群：(A) = {A}, G 2 阶子群：(-A) = {A, -A}, 4 阶子群：(B) = {A,B,-A,-B}, (C) = {A,C,-A,-C}, (D) = {A,D,-A,-D},
A -A B -B C -C D -D
A A -A B -B C -C D -D
-A -A A -B B -C C -D D
B B -B -A A -D D C -C
-B -B B A -A D -D -C C
C C, -C D -D -A A -B B
-C -C C -D D A -A B -B
D -D D -D -D D -C C C -C B -B -B B -A A A -A 13/14
分析： 证明子群可以用判定定理，特别是判定定理二. 证明的步骤是： 验证 H 非空 任取 x, yH，证明xy1H
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练习2
2．设 i 为虚数单位，即 i 2 = 1, 令
1 0 i 0 0 1 0 i G 0 1 ， 0 i , 1 0 , i 0
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典型子群的实例:换位子群
定义2.4 设G为群，a和b是G的任意两个元素， aba-1b-1称为a与b的换位子。 G的所有换位子的集合所生成的子群，称为G的 换位子群。 G为交换群当且仅当单位元e是G的唯一换位子。
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练习1
1．设G为群，a是G中的2 阶元，证明G中与a可交换 的元素构成G的子群.
近世代数 主要内容 子群的判别定理 基本要求
总 结
能够证明G的子集构成G的子群
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近世代数114第5节有限群子群生成子群近世代数21451有限群的定义及性质定义11设g是一个非空有限集合元代数运算称为乘法
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第5节 有限群、子群
有限群的定义及性质 子群的定义 子群的性质 子群的判别 生成子群
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5.1 有限群的定义及性质
定义1.1 设G是一个非空有限集合， “∘”是G上的 二 元代数运算，称为乘法。如果下列两个条件成立， 则称G关于乘法“∘”作成一个有限群. (1) 乘法“∘”满足结合律； (2)乘法“∘”满足(左、右)消去律. 问题：一个无限集及其上的二元运算若满足上述两 个条件能作成一个群吗？ 考虑(Z\{0},*) 性质1.1 有限群的每个元素的阶均为有限且不超过群 2/14 的阶。
证 令H= { x | xG xa = ax}, 下面证明H是G的子群. 首先e属于H，H是G的非空子集. 任取x, y H，有 (xy1) a = x(y1a ) = x(a1y)1 = x(ay)1 = x(ya)1 = xa1y1 = xay1 = axy1 = a(xy1) 因此 xy1属于H. 由判定定理命题得证.
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典型子群的实例:生成子群
定义2.3 设G为群，M是G的非空子集，G的所有包含 M的子群的交集称为由 M 生成的子群，记作(M). 设G为群，a∈G，令H={ak| k∈Z}，则H是G的子 群，称为由a 生成的子群，记作(a). 实例： (1)整数加群，由2生成的子群是 (2)={2k | k∈Z}=2Z (2)(Z6, )中，由2生成的子群(2)={0,2,4} (3)Klein四元群 G = {e,a,b,c}的所有生成子群是： (e)={e}, (a)={e,a}, (b)={e,b}, (c)={e,c}.
当n≠1时,nZ是Z的真子群. 对任何群G都存在子群. G和{e}都是G的子群，称为 G的平凡子群. 4/14
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子群的性质
性质2.1 设G是群， H≤G，则H的单位元必是G单位 元；H的元素a在H中的逆元也是a在G中的逆元. 性质2.2 设G是群，H,K是G的子群，则 (1) H∩K也是G的子群；进而G任意多个子群的交集 还是G的子群. (2) H∪K是G的子群当且仅当 HK 或 KH. (3) 任一群不能是其两个真子群的并集.
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子群的判定
定理2.1（判定定理一） 设G为群，H是G的非空子集，则H是G的子群 当且仅当 (1) a,b∈H有ab∈H (2) a∈H有a1∈H. 证 必要性是显然的. 为证明充分性，只需证明e∈H. 因为H非空，存在a∈H. 由条件(2) 知a1∈H，根据 条件(1) aa1∈H，即e∈H.
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子群判定定理3
定理2.3 （判定定理三） 设G为群，H是G的非空有 限子集，则H是G的子群当且仅当 a,b∈H有ab∈H. 证 必要性显然. 为证充分性，只需证明 a∈H有a1∈H. 任取a∈H, 若a = e, 则a1 = e∈H. 若a≠e，令S={a,a2,…}，则SH. 由于H是有穷集，必有ai = aj（i<j）. 根据G中的消去律得 aji = e，由a ≠ e可知 ji>1， 由此得 a ji1a = e 和 a a ji1 = e 8/14 1 j i 1 从而证明了a = a ∈H.