2020届安徽省合肥市高三年级二模数学(理科)试卷及答案

（1）试判断图（2）中直线 CD 与 AB 的位置关系，并说明理由；
（2）求平面 ADF 和平面 DEF 所成锐角二面角的余弦值．
19．（12 分）已知椭圆 C 的方程为 x2 y2 1 ，斜率为 1 的直线与椭圆 C 交于 A ， B 两点，
43
2
点 P(1, 3) 在直线 l 的左上方． 2
-1-
魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问的一般解法： 如图 1，用对角线将长和宽分别为 b 和 a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分 成一个内接正方形（黄 ) 和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得 到如图 2 所示的矩形，该矩形长为 a b ，宽为内接正方形的边长 d ．由刘徽构造的图形可 以得到许多重要的结论，如图 3．设 D 为斜边 BC 的中点，作直角三角形 ABC 的内接正方形 对角线 AE ，过点 A 作 AF BC 于点 F ，则下列推理正确的是 ( )
故选： B ．
D． 2
2x y 4 0
3．（5
分）若实数
x
，
y
满足约束条件
x
y
4 0
，则 z 2x y 的最小值是 (
)
3x 2 y 3 0
A． 5
B． 4
C．7
D．16
-6-
【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分）， 由 z 2x y ，得 y 2x z ， 平移直线 y 2x z ，由图象可知当直线 y 2x z 经过点 A(0, 4) 时，直线 y 2x z 的截距
4 sin 9 sin
5
(
为参数）．以
坐标原点 O 为极点， x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为
sin( ) 3 ． 3
（1）曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；
（2）若直线 l 与曲线 C 交于 P ， Q 两点， M (2, 0) ，求 | MP | | MQ | 的值．
回报率进行了调研，编制出如表：
市场销售状态
畅销
平销
滞销
市场销售状态概率 (0 p 1)
2p
1 3p
p
-4-
预期平均年利润
方案 A
700
400
400
（单位：万元）
方案 B
600
300
100
（1）以预期平均年利润的期望值为决策依据，问：该企业应选择哪种方案？
（2）记该生产线升级后的产品（以下简称“新产品）的年产量为 x （万件），通过核算，实
e 2 4.8)
请考生在第 22、23 题中任选一题作答注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的
第一个题目计分，作答时，请用 2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑.[选修 4-4：
坐标系与参数方程]
22．（10
分）在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
x y
3cos 12 cos 5
A．1
B． 2 2
C． 3 2
【解答】解：由 ei cos i sin ，得 ei cos i sin 1 ，
则由 (ei i)z i ，得 z i i(1 i) 1 1 i ， 1 i (1 i)(1 i) 2 2
| z | (1 )2 ( 1 )2 2 ．
2
22
联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足 (ei i)z i ，
则 | z | ( )
A．1
B． 2 2
C． 3 2
D． 2
2x y 4 0
3．（5
分）若实数
x
，
y
满足约束条件
x
y
4 0
，则 z 2x y 的最小值是 (
)
3x 2 y 3 0
A． 5
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若集合 A {x | x2 2x 30} ， B {x | 2x 2} ，则 A B (
)
A． [1 ,3] 2
B．[1 ,1] 2
C．[3, 1] 2
D．[2 ， 3]
2．（5 分）欧拉公式 ei cos i sin 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数 cos 和 sin
12．（5 分）在三棱锥 P ABC 中，二面角 P AB C 、P AC B 和 P BC A 的大小均等
于 ，AB : AC : BC 3 : 4 : 5 ，设三棱锥 P ABC 外接球的球心为 O ，直线 PO 与平面 ABC 交 3
于点 Q ，则 PO (
)
OQ
A． 1 4
（1）若以 AB 为直径的圆恰好经过椭圆 C 的右焦点 F2 ，求此时直线 l 的方程；
（2）求证： PAB 的内切圆的圆心在定直线 x 1 上． 20．（12 分）某企业拟对某条生产线进行技术升级，现有两种方案可供选择：方案 A 是报废 原有生产线，重建一条新的生产线；方案 B 是对原有生产线进行技术改造，由于受诸多不 可控因素的影响，市场销售状态可能会发生变化．该企业管理者对历年产品销售市场行情及
B． 4
C．7
D．16
4．（5 分）已知 f (x) 为奇函数，当 x 0 时， f (x) ex ex2 (e 是自然对数的底数），则曲线
y f (x) 在 x 1 处的切线方程是 ( )
A． y ex e C． y ex e
B． y ex e
D． y (2e 1)x 2e 1
B．函数 f (x) 图象的对称中心为 (k , 0)(k Z ) 6
C．函数 f (x) 的图象可由 y tan 2x 的图象向左平移 得到 6
D．函数 f (x) 的递增区间为 ( k , k )(k Z ) 2 32 6
7．（5 分）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”
行方案
A
时新产品的年度总成本
y1
（万元）为
y1
1 3
x3
8x2
10x
160
，实行方案
B
时新
产品的年度总成本
y2 （万元）为
y2
1 3
x3
3x2
20x
100
．已知
p
0.2
， x20
．若按（1）
的标准选择方案，则市场行情为畅销、平销和滞销时，新产品的单价 （t 元 ) 分别为 60，60 3 x ， 4
若 | FA | | FB |
13 ，则 FAFB (
)
A． 9
B． 11
C． 12
D． 2 3
11．（5 分）若关于 x 的不等式 ax 2a 2x lnx 4 有且只有两个整数解，则实数 a 的取值范
围是 ( )
A． (2 ln3 ， 2 ln2] B． (, 2 ln2)
C． ( ， 2 ln3] D． (, 2 ln3)
是虚轴的一个端点，
点 P 为双曲线 C 左支上一个动点，若 BPF 周长的最小值等于实轴长的 4 倍，则双曲线 C 的
渐近线方程为 ．
16．（5 分）已知 ABC 三个内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，若 sin A ， sin B ，
-3-
sin C 成等比数列， sin(B A) ， sin A ， sin C 成等差数列，则： （1） C ； （2） tan A ．
最大，此时 z 最小． 此时 z 的最小值为 z 0 2 4 4 ， 故选： B ．
4．（5 分）已知 f (x) 为奇函数，当 x 0 时， f (x) ex ex2 (e 是自然对数的底数），则曲线
A．24 种
B．16 种
C．10 种
D．8 种
9．（5 分）某几何体是由一个半球挖去一个圆柱形成的，其三视图如图所示．已知半球的半
径为 6 ，则当此几何体的体积最小时，它的表面积为 ( )
-2-
A． 24
B． (18 3 3)
C． 21
D． (18 4 2)
10．（5 分）已知抛物线 C : y2 4x 的焦点为 F ，过点 D(3, 0) 的直线交抛物线 C 于点 A ， B ，
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．（5 分）若集合 A {x | x2 2x 30} ， B {x | 2x 2} ，则 A B (
)
A． [1 ,3] 2
B．[1 ,1] 2
C．[3, 1] 2
【解答】解： A {x | 1x3}, B {x | x 1} ， 2
（2）若数列 {cn} 满足 cn bn cos(an ) ，求数列 {cn} 的前 2n 项和 T2n ． 18．（12 分）如图（1），在矩形 ABCD 中， E ， F 在边 CD 上， BC CE EF FD 沿 BE ， AF 将 CBE 和 DAF 折起，使平面 CBE 和平面 DAF 都与平面 ABEF 垂直，如图（2）．
A
B
[1 2
, 3]
．
故选： A ．
D．[2 ， 3]
2．（5 分）欧拉公式 ei cos i sin 把自然对数的底数 e ，虚数单位 i ，三角函数 cos 和 sin
联系在一起，充分体现了数学的和谐美，被誉为“数学的天桥”若复数 z 满足 (ei i)z i ，
则 | z | ( )
B．2
C．3
D．4
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分.第 16 题第一空 2 分，第二空 3 分.
把答案填在答题卡上的相应位置.
13．（5
分）已知向量
a
和
b
满足
|
a
||
a
2b
|
2
，
|
a
b
|
1 ，则
ab
．
14．（5 分）三人制足球（也称为笼式足球）以其独特的魅力，吸引着中国众多的业余足球
60 x ，且生产的新产品当年都能卖出去试问：当 x 取何值时，新产品年利润的期望取得最
大值？并判断这一年利润能否达到预期目标．
21．（12 分）已知函数 f (x) ex sin x(e 是自然对数的底数）．
（1）求 f (x) 的单调递减区间；
（2）记 g(x) f (x) ax ，若 0 a 3 ，试讨论 g(x) 在 (0, ) 上的零点个数．（参考数据
[选修 4-5：不等式选讲]
23．已知不等式 | x 1| | 3x 5 | m 的解集为 ( 3 , n) ． 2
（1）求 n 的值；
（2）若三个正实数 a ， b ， c 满足 a b c m ，证明： b2 c2 c2 a2 a2 b2 2 ．
a
b
c
-5-
2020 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
爱好者，在某次三人制足球传球训练中， A 队有甲、乙、丙三名队员参加．甲、乙丙三人
都等可能地将球传给另外两位队友中的一个人．若由甲开始发球（记为第一次传球），则第
4 次传球后，球仍回到甲的概率等于 ．
15．（5
分）已知双曲线
C
:
x2 a2
y2 b2
1(a 0,b 0) 的右焦点为点 F
，点 B
e
e
5．（5 分）若 m cos80 3 tan10 1 ，则 m ( )
A．4
B．2
C． 2
D． 4
6．（5
分）已知函数
f
(x)
tan( x
)(
0, 0
)
的图象关于点
(
, 0)
成中心对称，且
2
6
与直线 y a 的两个相邻交点间的距离为 ，则下列叙述正确的是 (
)
2
A．函数 f (x) 的最小正周期为
①由图 1 和图 2 面积相等可得 d ab ；②由 AE AF 可得 a2 b2 a b ；
ab
2
2
③由 AD AE 可得
a2 b2 2 ； 2 11
ab
A．①②③④
B．①②④
④由 AD AF 可得 a2 b2 2ab ．
C．②③④
D．①③
8．（5 分）为了实施“科技下乡，精准脱贫”战略，某县科技特派员带着 A ， B ， C 三个农业
扶贫项目进驻某村，对该村仅有的甲、乙、丙、丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调
研得知，这四个贫困户选择 A ， B ， C 三个扶贫项目的意向如表：
扶贫项目
A
B
C
贫困户
甲、乙、丙、丁
甲、乙、丙
丙、丁
若每个贫困户只能从自己已登记的选择意向项目中随机选取一项，且每个项目至多有两个贫
困户选择，则不同的选法种数有 ( )
5分为了实施科技下乡精准脱贫战略某县科技特派员带着abc三个农业扶贫项目进驻某村对该村仅有的甲乙丙丁四个贫困户进行产业帮扶经过前期实际调研得知这四个贫困户选择abc三个扶贫项目的意向如表
2020 年安徽省合肥市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只
tan B 三、解答题：本大题共 5 小题，满分 60 分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤. 17 ．（ 12 分 ） 已 知 等 差 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， a2 1 ， S7 14 ， 数 列 {bn} 满 足
n2 n
b1b2 b3 bn 2 2 ． （1）求数列{an} 和 {bn} 的通项公式；