4-2-2-1等差数列的前n项和公式 课件【共45张PPT】

1．已知 Sn 求 an 利用 an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2， 可由数列的前 n 项和 Sn 求得数列的通项公式 an. 解题过程通常分为四步：第一步，令 n＝1 得 a1；第二步，令 n≥2 得 an；第三步， 在第二步求得的 an 的表达式中取 n＝1，判断其值是否等于 a1；第四步，写出数列 的通项公式(若第三步中 n＝1 时，an 的表达式的值不等于 a1，则数列的通项公式一 定要分段表示)．
(2)由 Sn＝na1＋nn2－1d， 得 Sn＝2n＋nn2－1×2＝n2＋n，所以 bn＝Snn＝n＋1. 易知{bn}为等差数列， 又 b3，b7，b11，…，b4n－1 仍是等差数列，且共有 n 项， 所以 b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1＝nb3＋2b4n－1＝n4＋2 4n＝2n2＋2n.
[解] (1)①∵Sn＝－2n2＋n＋2， ∴当 n≥2 时，Sn－1＝－2(n－1)2＋(n－1)＋2＝－2n2＋5n－1， ∴当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(－2n2＋n＋2)－(－2n2＋5n－1)＝－4n＋3. 又 a1＝S1＝1，不满足 an＝－4n＋3， ∴数列{an}的通项公式是 an＝1－，4nn＝ ＋13， ，n≥2. ②由①知，当 n≥2 时， an＋1－an＝[－4(n＋1)＋3]－(－4n＋3)＝－4， 但 a2－a1＝－5－1＝－6≠－4， ∴{an}不满足等差数列的定义，{an}不是等差数列．
解：(1)因为 Sn＝2n2－30n，所以当 n＝1 时， a1＝S1＝2×12－30×1＝－28， 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32. 验证当 n＝1 时上式成立， 所以 an＝4n－32. (2)由 an＝4n－32，得 an－1＝4(n－1)－32(n≥2)， 所以 an－an－1＝4n－32－[4(n－1)－32]＝4(常数)， 所以数列{an}是等差数列．
提示：(4＋9)×6＝78.
(3)原来有___3_9______根钢管．
提示：12×78＝39.
2．(知识点二)如何用 Sn 和 Sn－1 的表达式表示 an? 提示：an＝SS1n， －nS＝ n－11，，n≥2. 3．(知识点二)等差数列{an}中，若已知 a2＝7，能求出前 3 项和 S3 吗？
方法一：①当 n≤34 时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－32n2＋2205n. ②当 n≥35 时， Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|a34|＋|a35|＋…＋|an|＝(a1＋a2＋…＋a34)－(a35＋a36＋…＋an)＝2(a1 ＋a2＋…＋a34)－(a1＋a2＋…＋an)＝2S34－Sn＝2－32×342＋2205×34－－32n2＋2205n＝32n2 －2205n＋3 502.
类型二 an 与 Sn 的关系的应用
[例 2] (1)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－2n2＋n＋2. ①求{an}的通项公式； ②判断{an}是否为等差数列． (2)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 4Sn＝(2n－1)an＋1＋1(n∈N*)，且 a1＝1. 求证：数列{an}为等差数列． [思路分析] (1)①当 n≥2 时，利用 an＝Sn－Sn－1 计算，当 n＝1 时，利用 S1 ＝a1 求出 a1 的值，再进一步确定 an 的表达式；②使用等差数列的定义进行判定． (2)消去 Sn，将 Sn 转化为 an 的式子，然后进行判断．
(3)方法一：设等差数列的首项为 a1，公差为 d， 则 S5＝5a1＋5×25－1d＝24， 得 5a1＋10d＝24，a1＋2d＝254. ∴a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝2(a1＋2d)＝2×254＝458. 方法二：由 S5＝5a12＋a5＝24，得 a1＋a5＝458. ∴a2＋a4＝a1＋a5＝458.
水平二：利用等差数列的前 n 项和解决实际问题(数学建模).
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课堂篇·互动学习
检测篇·达标小练
课时作业
展视野•思维升华
课前篇·自主预习
知识点一 倒序相加法
如果一个数列{an}中，与首末项等距离的两项之和等于首末两项之和，可把正着 写和倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为 __倒__序__相__加__法___
解答等差数列综合问题的策略 1灵活应用等差数列的定义构成新的等差数列. 2以“基本量法”为根本，重视公差和首项的计算. 3树立“目标意识”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意解题的目标. 4重视方程、分类讨论等思想在解决数列综合问题中的应用.
[变式训练 3] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝－32n2＋2025n，求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.
第四章 数列
4.2 等差数列
4．2.2 等差数列的前n项和公式
第1课时 等差数列的前n项和公式
[课标解读]1.探索等差数列前 n 项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前 n 项和 公式并应用公式解决实际问题．
[素养目标] 水平一：掌握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn 的关系，并进 行计算(数学运算)．
a1，d，n 称为等差数列的三个基本量，an 和 Sn 都可以用这三个基本量来表示， 五个量 a1，d，n，an，Sn 中可知三求二，即等差数列的通项公式及前 n 项和公式“知 三求二”的问题，一般是通过通项公式和前 n 项和公式联立方程组来求解.这种方 法是解决数列运算的基本方法，在具体求解过程中应注意已知与未知的联系及整体 思想的运用.
(2)证明：令 n＝1，则 a2＝4S1－1＝3； 令 n＝2，则 3a3＝4S2－1＝15，所以 a3＝5. ∵4Sn＝(2n－1)an＋1＋1， ∴当 n≥2 时，4Sn－1＝(2n－3)an＋1， 两式相减得(2n＋1)an＝(2n－1)an＋1. 证法一：由(2n＋1)an＝(2n－1)an＋1， 得2ann＋＋11＝2na－n 1，且a53＝a32＝a11＝1，
解：a1＝S1＝－32×12＋2205×1＝101.
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝－32n2＋2205n－ －32n－12＋2205n－1＝－3n＋104. ∵n＝1 也适合上式，∴数列通项公式为 an＝－3n＋104. 由 an＝－3n＋104≥0 得 n≤3423， 即当 n≤34 时，an>0；当 n≥35 时，an<0.
类型三 等差数列的综合问题
[例 3] 已知等差数列{an}的前三项为 a－1,4,2a，记前 n 项和为 Sn. (1)设 Sk＝2 550，求 a 和 k 的值； (2)设 bn＝Snn，求 b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1 的值． [思路分析] (1)利用已知等差数列的前三项求出 a1 和 d，再利用 Sk＝2 550 求 出 k 的值． (2)通过 Sn 的表达式求出数列{bn}的通项公式，确定首项与公差，再进一步求 解．
一、答一答 1．(知识点一)如图，某仓库堆放的一堆钢管，最上面的一层有 4 根钢管，下面 的每一层都比上一层多一根，最下面的一层有__9__根．
(1)共有六层，图形的横截面是等腰梯形．
(2) 假 设 在 这 堆 钢 管 旁 边 再 倒 放 上 同 样 一 堆 钢 管 ， 如 图 所 示 ， 则 这 样 共 有 ____7_8_____根钢管．
[解] (1)由已知，得 S8＝8a12＋a8＝84＋2 a8＝172，解得 a8＝39， 又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
an＝a1＋n－1d， (2)由Sn＝na1＋nn－ 2 1d，
a1＋2n－1＝11， 得na1＋nn2－1×2＝35， 解方程组得na＝ 1＝53， 或na＝ 1＝7－，1.
所以数列2na－n 1是常数列，
又2na－n 1＝2×a11－1＝1，所以 an＝2n－1. 又 an＋1－an＝2(n＋1)－1－(2n－1)＝2， 故数列{an}是首项为 1，公差为 2 的等差数列． 证法二：由(2n＋1)an＝(2n－1)an＋1， 得(2n＋3)an＋1＝(2n＋1)an＋2， 两式相减得 an＋an＋2＝2an＋1，且 a1＋a3＝2a2， 即 an＋2－an＋1＝an＋1－an＝…＝a3－a2＝a2－a1. 所以数列{an}为等差数列．
2．已知 Sn 与 an 之间的关系式求 an 解决此类问题通常有两种途径：(1)由关系式消去 Sn 建立 an 与 an－1(或 an＋1)之 间的关系式求 an；(2)由关系式消去 an，建立 Sn 与 Sn－1 之间的关系式求 Sn，进而求 an.
[变式训练 2] 设 Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn＝2n2－30n. (1)求 a1 及 an； (2)判断这个数列是否是等差数列．
[变式训练 1] 已知等差数列{an}中． (1)a1＝32，d＝－12，Sm＝－15，求 m 及 am； (2)a1＝1，an＝－512，Sn＝－1 022，求 d； (3)S5＝24，求 a2＋a4.
解：(1)∵Sm＝m×32＋mm2－1×－12＝－15， 整理得 m2－7m－60＝0， 解得 m＝12 或 m＝－5(舍去)， ∴am＝a12＝32＋(12－1)×－12＝－4. (2)由 Sn＝na12＋an＝n·－5212＋1＝－1 022，得 n＝4. 又由 an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得 d＝－171.
课堂篇·互动学习
类型一 等差数列的前 n 项和公式的基本运算
[例 1] 在等差数列{an}中． (1)a1＝4，S8＝172，求 a8 和 d； (2)已知 d＝2，an＝11，Sn＝35，求 a1 和 n. [思路分析] (1)利用前 n 项和公式求得 a8，在利用通项公式求公差 d. (2)利用已知条件建立关于 a1 与 n 的方程组求解．
解：(1)∵等差数列{an}中，a4＝2，a8＝10. ∴aa11＋＋73dd＝＝120，， 解得da＝1＝2－，4， ∴an＝－4＋(n－1)×2＝2n－6. ∴数列{an}的通项公式为 an＝2n－6. (2)∵a1＝－4，d＝2， ∴数列{an}的前 n 项和为 Sn＝－4n＋nn2－1×2＝n2－5n.
解析：设等差数列{an}的公差为 d，由已知得 4a1＋4×2 3d＝20，即 4×12＋4×2 3d＝ 20，解得 d＝3，
∴S6＝6×12＋6×2 5×3＝3＋45＝48.
3．已知等差数列{an}中，a4＝2，a8＝10. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前 n 项和 Sn.
提示：S3＝3a12＋a3＝3a2＝21.
二、练一练 1．在等差数列{an}中，已知 a2＝2，a8＝10，则前 9 项和为( A ) A．54 B．44 C．56 D．46
解析：由等差数列前 n 项和公式得，S9＝a1＋2a9×9＝a2＋2a8×9＝54.故选 A.
2．设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 a1＝12，S4＝20，则 S6＝__4_8_______.
知识点二 等差数列的前 n 项和公式 1．等差数列{an}的前 n 项和公式
已知量 首项 a1、末项 an 与项数 n
求和公式
na1＋an Sn＝_____2_____
Hale Waihona Puke Baidu
首项 a1、公差 d 与项数 n
Sn＝__n_a_1＋__n__n_2－__1__d___
2.两个公式的关系：把 an＝a1＋(n－1)d 代入 Sn＝na12＋an中，就可以得到 Sn ＝____n_a_1_＋__n__n_2－__1_d_______
[解] 设{an}的公差为 d，因为 a1＝a－1，a2＝4，a3＝2a. 又 2a2＝a1＋a3，所以 8＝a－1＋2a，即 a＝3， 所以 a1＝2，d＝a2－a1＝2. (1)由 Sk＝ka1＋kk－2 1d＝2 550， 得 2k＋kk－2 1×2＝2 550， 即 k2＋k－2 550＝0，解得 k＝50 或 k＝－51(舍去)， 所以 a＝3，k＝50.