专题05 一次函数与方程、不等式关系精讲-八年级数学秘籍之教你与一次函数共振(解析版).pdf

【参考参考参考答案】（1）330,660；（2）（3）见解析.
【解析】解（1）330,660；
（2）设线段 OD 的函数关系式为 y＝kx,
将(17,340)代入得 340＝17k,
解得 k＝20,
∴y＝20x.
根据题意得：线段 DE 的函数关系式为 y＝340－5(x－22),即 y＝－5x＋450.
解得 x≤26. ∴16≤x≤26. 26－16＋1＝11(天), ∴日销售利润不低于 640 元的天数共有 11 天． ∵点 D 的坐标为(18,360), ∴日最大销售量为 360 件,360×2＝720(元), ∴试销售期间,日销售最大利润是 720 元． 题 6. 如图 6-1 所示,在平面直角坐标系中,直线 y＝kx＋b 经过 A(－30,0)和 B(0,15)两点,直线 y＝x＋5 与直线 y＝kx＋b 相交于点 P,与 y 轴交于点 C. (1)求直线 y＝kx＋b 的表达式； (2)求△PBC 的面积； (3)直接写出不等式 kx＋b＜x＋5 的解集．
能快速准确的作出图形.
二、典型习题讲解
题 1. （1）一次函数 y＝ax＋b 交 x 轴于点(－5,0),则关于 x 的方程 ax＋b＝0 的解是(
)
A. x＝5
B. x＝－5
C. x＝0
D. 无法求解
（2）若方程 x-2=0 的解也是直线 y=(2k-1)x+10 与 x 轴的交点的横坐标,则 k 的值为（ ）
y
2
x -1 O
图 1[来源:ZXXK] 方程 2x+2=0 的解 函数 y=2x+2 的函数值为 0 时的自变量 x 值,从图中很清楚看到 x=－1； 方程 2x+2=2 的解 函数 y=2x+2 的函数值为 2 时的自变量 x 值,从图中很清楚看到 x=0； …… 不等式 2x+2>0 的解 函数 y=2x+2 的函数值大于 0 时的自变量 x 范围,即是 x 轴上方部分图象,从图中很 清楚看到 x>－1； 不等式 2x+2<0 的解 函数 y=2x+2 的函数值小于 0 时的自变量 x 范围,即是 x 轴下方部分图象,从图中很 清楚看到 x<－1； …… 再看图 2.
题 2. （1）如图 2-1 所示,函数 y＝2x 和 y＝ax＋4 的图像相交于点 A(m,3),则不等式 2x＜ax＋4 的解集为
(
)
图 2-1
3 A．x＜
2
B．x＜3
3 C．x＞
2
D．x＞3
（2）已知一次函数 y＝－6x＋1,当 2≤x≤3 时,y 的取值范围是
（3）如图 2-2 所示,函数 y1＝－2x 与 y2＝ax＋3 的图象相交于点 A(m,2),则关于 x 的不等式－2x＞ax＋3 的解
一元一次不等式
y=kx+b
kx+b=m
kx+b>m,kx+b<m kx+b≥m,kx+b≤m
上表中,k≠0,b、m 为常数.
从三者的标准形式可以看出,三者的形式类似,区别在于将一次函数中的变量 y 换成了常数.
我们举一个具体的例子来说明问题：
在平面直角坐标系内作出 y=2x+2 的图象,如图 1 所示.
所以 x=－5,故选 B.
（2）因为 x-2=0 的解是直线 y=(2k-1)x+10 与 x 轴的交点的横坐标,
即当 x=2 时,y=0,代入得：k=－2,故选 C.
（3）联立 y1=2x 与 y2=-2x+4,得：x=1,y=2,即 A（1,2）,故①正确、②正确； y1＜y2 时,即 2x<-2x+4,得 x<1,故③正确； 因为 y1=2x 与 y2= -2x+4 相交于一点,所以④错误；故参考参考参考答案为：D. （4）2x＋b＝0 的解是直线 y＝2x＋b 与 x 轴的交点的横坐标,所以 x=2.
①二元一次方程组与一次函数的关系
y y
k1x k2 x
b1 b2
的解是函数
y
k1x
b1
和函数
y
k2 x
b2
的交点坐标.
②一元一次不等式与一次函数关系
k1x b1 k2 x b2 的解集是函数 y k1x b1 的图象在函数 y k2 x b2 的图象上方时自变量 x 的取值范围.
图 3-1 【参考参考参考答案】见解析. 【解析】解：设直线 y＝－2x＋4 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、C, 可得：C(0,4)、B(2,0), 又因为 y＝kx＋b 过点 A（－2,0）, 所以－2k+b=0,即 b=2k, 即 y=kx+2k, 由题意分析可知：当 y＝kx＋b 在直线 AB、AC 之间时,保证交点在第一象限, 将 C(0,4)、B(2,0)代入 y=kx+ 2k,得：k=2,k=0 所以 k 的范围是：0<k<2. 题 4. 在平面直角坐标系 xOy 中,点 A、B 的坐标分别为(3,m)、(3,m＋2),直线 y＝2x＋b 与线段 AB 有大众点, 则 b 的取值范围为__________(用含 m 的代数式表示). 【参考参考参考答案】m－6≤b≤ m－4. 【解析】解：当直线 y＝2x＋b 分别过点 A、B 时是其两个临界点, 将(3,m)、(3,m＋2)代入 y＝2x＋b 得：
专题 05 一次函数与方程、不等式关系精讲
函数描述的是变量的关系,方程是定量的关系,不等式则是函数变量关系的具体体现.
本专题从一次函数图象为出发点,谈一次函数与方程（一元一次方程）与不等式（一元一次不等式）间的关
系.进而拓展至二元一次方程（组）及较复杂一元一次不等式.
一、知识点综述与分析
一次函数
一元一次方程
中很清楚看到 x>－0.5；
不等式 2x+2<－1 的解 函数 y=2x+2 的函数值小于－1 时的自变量 x 范围,即是直线 y=－1 下方部分图
象,从图中很清楚看到 x<－1.5；
……
简要总结：
一次函数
一元一次方程
y=kx+b
kx+b=m
方程 kx+b=m 的解即是函数值为 m 时的自变量 x 的取值
m 6b,m2 6b,
得：b=m－6,b=m－4,而 m－6< m－4, 所以 m－6≤b≤ m－4. 题 5. 某公司开发出一款新的节能产品,该产品的成本价为 6 元/件,该产品在正式投放市场前通过代销点进行 了为期一个月(30 天)的试销售,售价为 8 元/件,工作人员对销售情况进行了跟踪记录,并将记录情况绘成图象
y
y =k 1x+b1
1
x -0.5 O
y =k 2x+b2
图3
如图
3
所示,
y y
k1x k2 x
b1 b2
的解是
x=－0.5,y=1,
k1x b1 k2 x b2 的解集是：x<－0.5；
k1x b1 k2 x b2 的解集是：x≥－0.5.
这就是我们数学上由数及形,数形结合的方法. 图象是学习函数的核心,同学们要对函数的图象烂熟于心,且
（5）如图 2-4 所示,直线 y=3x 和 y=kx+2 相交于点 P（a,3）,则关于 x 不等式（3﹣k）x≤2 的解集为 ．
图 2-4 【参考参考参考答案】（1）A；（2）-17≤y≤-11；（3）D；（4）C；（5）x≤1. 【解析】解：(1)因为函数 y＝2x 和 y＝ax＋4 的图像相交于点 A(m,3),
一次函数
一元一次不等式
kx+b>m[来源:ZXXK]
kx+b<m[来源:]
y=kx+b
kx+b>m 的解集即是函数 y=kx+b kx+b<m 的解集即是函数 y=kx+b 的图象在直线 y=m 上方部分的自 的图象在直线 y=m 下方部分的自
变量 x 的取值范围
变量 x 的取值范围
在上面总结的基础上,我们可以得到：
所以 3=3a,即 a=1, 所以 3=k+2,得：k=1, 则关于 x 不等式（3﹣k）x≤2 可化为： 2x≤2,解得：x≤1,故参考参考参考答案为：x≤1. 题 3. 如图 3-1 所示,已知直线 l1：y＝－2x＋4 与直线 l2：y＝kx＋b(k≠0) 在第一象限交于点 M.若直线 l2 与 x 轴的交点为 A(－2,0),求 k 的取值范围.
y 20x
联立
y
5x
450
,
x 18
解得：
y
360
.
∴交点 D 的坐标为(18,360)．
∴y 与 x 之间的函数关系式为：
y
20x 5x
450
0 x 18 18 x 30
(3)当 0≤x≤18 时,(8－6)×20x≥640,
解得 x≥16；
当 18＜x≤ 30 时,(8－6)×(－5x＋450)≥640,
y 2
y=1
-1.5
x
-0.5 O
y=－1
图2
方程 2x+2=1 的解 函数 y=2x+2 的函数值为 1 时的自变量 x 值,从图中很清楚看到 x=－0.5；
方程 2x+2=－1 的解 函数 y=2x+2 的函数值为－1 时的自变量 x 值,从图中很清楚看到 x=－1.5；
……
不等式 2x+2>1 的解 函数 y=2x+2 的函数值大于 1 时的自变量 x 范围,即是直线 y=1 上方部分图象,从图
3 所以 3=2m,即 m= 2 ,
3 所以由图可知：不等式 2x＜ax＋4 的解集为 x＜ ,故参考参考参考答案为 A.
2 （2）在 y＝－6x＋1 中,因为－6<0,所以 y 随 x 增大而减小, 当 2≤x≤3 时,-17≤y≤-11. （3）因为函数 y1＝－2x 与 y2＝ax＋3 的图象相交于点 A(m,2), 所以 2=－2m,得：m=－1, 根据图象可知：－2x＞ax＋ 3 的解集是 x＜－1,故参考参考参考答案为：D. （4）因为一次函数 y＝3x＋b 和 y＝ax－3 的图象交点为 P(－2,－5), 由图象知与 y 轴交于负半轴的函数图象为 y＝ax－3,与 y 轴交于正半轴的是 y＝3x＋b, 则不等式 3x＋b ＞ax－3 的解集是 x>－2,故参考参考参考答案为：C. （5）因为直线 y=3x 和 y=kx+2 相交于点 P（a,3）,
集是( )
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞－1 D．x＜－1
图 2-2
（4）一次函数 y＝3x＋b 和 y＝ax－3 的图象如图 2-3 所示,其交点为 P(－2,－5),则 不等式 3x＋b ＞ax－3
的解集在数轴上表示正确的是(
)
图 2-3
A
B
C D
(如图 5-1),图中的折线 ODE 表示日销售量 y(件)与销售时间 x(天)之间的函数关系,已知线段 DE 表示的函数
关系中,时间每增加 1 天,日销售量减少 5 件．
(1)第 24 天的日销售 量是
件,日销售利润是
元；
(2)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围；
(3)日销售利润不低于 640 元的天数共有多少天？试销售期间,日销售最大利润是多少元？
【参考参考参考答案】见解析.
图 6-1
【解析】解：（1）直线 y＝kx＋b 经过 A(－30,0)和 B(0,15)两点 ,
0 30k b 所以 b 15
k 1 2 解得： b 15
y 1 x 15
即直线 y＝kx＋b 的表达式为： 2
；
（2）在 y＝x＋5 中,令 x=0,得 y=5,即 C 点坐标为（0,5）,
所以 BC=10,
y 1 x 15
联立 y＝x＋5 和 2
,
解得：x=20,y=25,
即 P 点坐标为（20,25 ）,
1 10 20 100Leabharlann 所以△PBC 的面积等于 2
；
（3）由图象可知,kx＋b＜x＋5 的解集为：x>20.
题 7. 已知直线 y1=2x-7 和 y2=-3x+8,当 x>3 时,y1>y2;当 x<3 时,y1<y2,则直线 y1=2x-7 与 y2=-3x+8 的交点 坐标 为 .
）
A. ①③④
B. ②③
C. ①②③④
D. ①②③
（4）直线 y＝ 2x＋b 与 x 轴的交点坐标是(2,0),则关于 x 的方程 2x＋b＝0 的解是__________．
【参考参考参考答案】（1）B;（2）C；（3）D；（4）x=2.
【解析】解：（1）因为一次函数 y＝ax＋b 交 x 轴于点(－5,0),则 ax＋b＝0 的解即是函数值为 0 时的 x 值,
A.2
B.0
C.-2
D. ±2
（3）已知直线 y1=2x 与直线 y2= -2x+4 相交于点 A.有以下结论：①点 A 的坐标为 A(1,2);②当 x=1 时,两个函
数值相等；③当 x＜1 时,y1＜y2；④直线 y1=2x 与直线 y2=-2x+ 4 在平面直角坐标系中的位置关系是平行.其
中正确的是（