第九章 混料试验设计

二、单形混料设计

1、单形混料设计的定义及特点 在混料试验设计方法中，单纯形格子设计是最 早出现的，是Scheffe于1958年提出的。它是 混料试验设计中最基本的方法，其它一些方法 都要用到单纯形格子设计。

在混料问题中，各分量 xi (i=1, 2, „ , p) 的变化范围受混料条件式 p （1）的制约。在几何上，称 xi 1 i 1 为p维平面，而（x1, x2, „, xp）为p 维平面上点的坐标。在p维平面上满足

2、特点 混料试验设计，不同于以前所介绍的各种试验 设计。混料试验设计的试验指标只与每种成分 的含量有关，而与混料的总量无关，且每种成 分的比例必须是非负的，且在0~1之间变化， 各种成分的含量之和必须等于1（即100%）。 也就是说，各种成分不能完全自由地变化，受 到一定条件的约束。

设：y为试验指标，x是第i种成分的含量， 则混料问题的约束条件，即混料条件为：
0 x1 , x2 ,, x p 1
的区域构成一个图形称为单形（或单 纯形）。


单形上的点，若其p个坐标中有一个坐标 xi=1 , 而其余的p-1个坐标xj=0(j≠i), 则这种点称为 单形的顶点。因此，在p因子混料试验中，单 形的顶点有p个。 例如，p=3时，单形的三个顶点为（1，0，0）、 （0，1，0）和（0，0，1）。所以单型的图形 为一等边三角形。

3、单形格子混料设计 3.1、单纯形格子设计法 对于由混料条件式（1）构成的正规单（纯） 形因素空间，当采用式（5）、式（6）等完全 型规范多项式回归模型时，试验点可以取在正 规单（纯）形格子点上，构成单（纯）形格子 设计。

对于三因素（p=3时）的格子点集，其单形是 一个高为1的等边三角形，它的三个顶点的全 体称为一阶格子点集，记为{3，1}，如图。
i 1 h 1 i 2
(3)

比较式（2）和式（3）可知，Scheffe多项式 没有常数项和平方项。这是因为，将约束条 件代入式（2），即可推导得到式（3）。
x
i 1
3
i
1
x1 x2 x3 1 得出 a 0 a 0 x1 a 0 x2 a 0 x3
2 x1 x1 x1 x2 x1 x3





显然，单形重心设计的全部点的坐标不依赖于 d。 当p=3时，单形重心设计的试验点数目=23-1=7， 包括： 以（1，0，0）为代表的C1p= C13 =3个点； 以（1/2,1/2,0）为代表的C2p= C23 =3个点； 以（1/3,1/3,1/3）为代表的C3p= C33 =1个点。 所以，总的试验点数目为N= C13+C23+C33=7
i 1 i j p

三次式（d=3）：
p
y bi xi bij xi x j rij xi x j ( xi x j )
i 1 i j i j

i j k
b
ijk i
x x j xk

由此看来，混料试验设计的(p,d)的Scheffe多 项式回归方程中，待估计的回归系数的个数， 比一般的p因素d次多项式回归方程要少。例如， 对于混料试验设计（p,2）的回归方程式，无 常数项和二次项。于是，减少了p+1个回归系 数，所以至少可以少做p+1次试验。
x2 2 x 2 x 2 x1 x 2 x3
2 x3 x3 x3 x1 x3 x2
(5)

假定混料问题的三分量二次回归方程为一般 式：
3 2 3 3
y a 0 a i x i a hi x h x i a ii x i2
i 1 h 1 i 2 i 1


（2）、试验点的成分与模型的次数（或阶数） d有关，我们约定每一成分xi取值为1/d的倍数， 即xi=0,1/d,2/d,„,d-1/d。并且在设计中因素 成分量的各种配合都使用到。 单（纯）形格子设计的试验点数，与相应的完 全型规范多项式回归方程的阶数（或次数）d 的关系，见下表。
单（纯）形格子设计的试验点数（Cdp+d-1）

单形格子设计具有以下两个特点： （1）、每个{p，d}设计所要做的试验次数为 Cdp+d-1，恰好等于完全型规范多项式回归方程 中的回归系数的个数。因而单形格子设计是饱 和设计，是一种优化设计。代表试验的点对称 地排列在单形上，构成单形的一个格子，称为 {p，d}格子。每一点的p个坐标代表p个因素的 成分值，它们加起来的和等于1；
p xi x1 x2 x p 1 i 1 xi 0, i 1,2,, p (1)


其中xi称为混料成分或混料分量，即混料 试验中的试验因素。


混料试验设计是一种受特殊条件约束的回归设 计，它是通过合理地安排混料试验，以求得各 种线性或非线性回归方程的技术方法。它具有 试验点数少、计算简便、容易分析、迅速得到 最佳混料条件等优点。 混料条件（1）决定了混料试验设计不能采用 一般多项式作为回归模型，否则会由于混料条 件的约束而引起信息矩阵的退化。混料试验设 计常采用Scheffe多项式回归模型。
y12 b1x1 b2 x 2 b3 x 3 b12 x1x 2 b13 x1x 3 b 23 x 2 x 3 b123 x1x 2 x 3 1 1 1 1 y12 y1 y 2 b12 2 2 2 2 b12 4y12 2( y1 y 2 )

得出 y (a0 a i a ii )x i (ahi - a hh - a ii )x h x i (6)
i 1 h 1 i 2 3 2 3
令 b i a 0 a i a ii b hi a hi - a hh - a ii 得出 y b i x i b hi x h x i
P 2 3 4
5 6 8 10
d 3 10 20
35 56 120 220
4 15 35
70 126 330 715
6 10
15 21 36 55
{3，2}（三因素二阶格子）试验计划表
试验号
1
X1
1
x2
0
x3
0
观测值
Y1
2
3 4
0
0 1/2
1
0 1/2
0
1 0
Y2
Y3 Y4
5
6
1/2
0
0
1/2
1/2

混料试验就是通过实物试验或非实物试验，考 察各种混料成分与试验指标之间的关系。例如， 人们吃的糕点是将面粉、水、油、糖发酵及某 些香料混合后经烘烤制成的，考察这些成分对 糕点的柔软性、口味等试验指标的影响所进行 的试验就是混料试验。应该指出，混料试验中 的混料成分至少应有三种，并且混料成分中的 不变成分不应作为混料成分。
(4)
y a 0 a 1 x1 a 2 x 2 a 3 x 3 a12 x1x 2 a13 x1x 3 a 23 x 2 x 3 a x a 22 x a 33 x
2 11 1 2 2 2 3

y a 0 x1 a 0 x 2 a 0 x 3 a 1x1 a 2 x 2 a 3 x 3 a12 x1x 2 a13 x1x 3 a 23 x 2 x 3 a11x1 a11x1 x 2 a11x1 x 3 a 22 x 2 a 22 x 2 x1 a 22 x 2 x 3 a 33 x 3 a 33 x 3 x1 a 33 x 3 x 2
试验方案
试验点 x1 x2 x3 y
顶点重心
1 2 3
1 0 0
1/2 1/2 0 1/3
0 1 0
1/2 0 1/2 1/3
0 0 1
0 1/2 1/2 1/3
y1 y2 y3
y12 y13 y23 y123
二顶点重心 4 5 6 三顶点重心 7

{3，3}单形重心设计即三元三次回归方程 （p=3和d=3时）的回归方程为：
第九章 混料试验设计
一、混料试验设计的概念及特点

1、概念 日常生活中和工业生产上经常遇到配方配比一 类的问题，即所谓混料问题。这里所说的混料 是指由若干不同成分的元素混合形成一种新的 物品。由不同成分组成的钢、铁、铝、药方、 饲料以及燃料等都是混料，某些分配问题，如 企业的材料、资金、设备和人员等的分配也可 看着混料问题。


对于三因子混料试验，这个试验的单形是一个 等边三角形，其三个顶点分别为A（1，0，0）、 B（0，1，0）和C（0，0，1）。 设P（x1、x2、x3）为这单形的内点，定义x1表 示P点到边BC的距离，x2为P点到边AC的距离， x3为P点到边AB的距离。为简单起见，使用时不 再画出三个坐标轴，只画出一个等边（正）三 角形。

2、单形重心混料设计 在p维单形中，任意两个顶点组成一条棱边， 棱的中点表示其重心，称为两顶点重心；任意 三个顶点组成一个正三角形，该三角形的中心 即是其重心，单个顶点的重心就是顶点本身， 称为顶点重心。






在一个p因子单形重心设计中，试验点数目是2p-1，包 括： p个顶点（1，0，„，0），„，（0，0，„，1），共 有c1p个点； 两个顶点的重心点（1/2,1/2,0,„,0），„， （0,0,„,1/2,1/2），共有c2p个点； 三个顶点的重心点（1/3,1/3,1/3,0,„,0），„， （ 0,0,„,1/3,1/3,1/3），共有c3p个点； „„„„ p个顶点的重心点（1/p,1/p,„,1/p），共有cpp个点。
1/2
Y5
y6

回归方程为：
3 3
ˆ bi xi bij xi x j y
i 1 i j


取此等边（正）三角形的高为1，则由初等几何学可知， ABC内任一点P到三个边的距离之和为1，即x1+x2+x3=1。 所以，三因子混料试验可以用等边三角形这样一个单 形上的点表示。 一般情况下，对p因子混料试验，其p个顶点分别为A1 （1，0，0，„，0）、A2（0，1，0，„，0）、„、 Ap（0，0，0，„，1）。设P（x1,x2,„,xp）为单形的 内点，定义x1，x2，„，xp分别表示P点到A2„Ap面的距 离、A1A3„Ap面的距离、„、A1„Ap-1面的距离，并取 p-1维空间内正多边形的高为1，于是，我们就建立了p 因子混料试验的单形坐标系。三角形内的点P （x1,x2,xp）表示三分量的混料的具体比例。
y bi xi bij xi x j b123 x1 x2 x3
i 1 i j 3

上式中回归系数的计算公式为
bij 4 yij 2( yi y j ), (i, j 1,2,3, i j ) b123 27 y123 3( y1 y2 y3 ) 12( y12 y13 y23 ) bi yi , (i 1,2,3)

将高为1的等边三角形的三条边各二等分，则 该三角形的三个顶点与三条边的中点的全体称 为二阶格子行三等分，对应分点连 成与各边平行的直线，在等边三角形上形成许 多格子，则这些格子顶点的全体称为三阶格子 点集，记为{3，3}，如图，其中共有10个点。
i 1 h 1 i 2 3 2 3
(i 1,2,3,h i)


通常，混料试验设计的p分量d次多项式回 归方程，其Scheffe多项式（或称为规范多 项式）为 一次式（d=1）：
y bi xi
i 1 p

二次式（d=2）：
y bi xi bij xi x j

例如，一般的三元二次回归方程为
y b0 bi x i b hi x h x i bii x i2
i 1 h 1 i 2 i 1

3
2
3
3
(2)

而混料试验设计中，三分量二次回归方程应为
3 2 3
y bi x i b hi x h x i