新高考一轮复习人教版 二项分布与正态分布 作业

11.3 二项分布与正态分布
基础篇 固本夯基
考点一 条件概率、相互独立事件及二项分布、全概率公式
1.(2022届长沙长郡中学月考,7)某电视台的夏日水上闯关节目一共有三关,第一关与第二关的过关率分别为23,34
,只有通过前一关才能进入下一关,每一关都有两次闯关机会,且通过每关相互独立.一选手参加该节目,则该选手能进人第三关的概率为( ) A.12
B.56
C.89
D.1516
答案 B
2.(2022届武汉部分学校质检,5)在一次试验中,随机事件A,B 满足P(A)=P(B)=23
,则( ) A.事件A,B 一定互斥 B.事件A,B 一定不互斥 C.事件A,B 一定互相独立 D.事件A,B 一定不互相独立 答案 B
3.(2021新高考Ⅰ,8,5分)有6个相同的球,分别标有数字1,2,3,4,5,6,从中有放回地随机取两次,每次取1个球.甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”,乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”,丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”,丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”,则( ) A.甲与丙相互独立 B.甲与丁相互独立 C.乙与丙相互独立 D.丙与丁相互独立 答案 B
4.(2018课标Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 答案 B
5.(2021辽宁丹东质检,2)10张奖券中有4张“中奖”奖券,甲乙两人先后参加抽奖活动,每人从中不放回地抽取一张奖券,甲先抽,乙后抽,在甲中奖的条件下,乙没有中奖的概率为( ) A.35
B.23
C.34
D.
415
6.(2021江苏徐州第三次调研,2)清明节前夕,某校团委决定举办“缅怀革命先烈,致敬时代英雄”主题演讲比赛,经过初赛,共10人进入决赛,其中高一年级2人,高二年级3人,高三年级5人,现采取抽签的方式决定演讲顺序,则在高二年级3人相邻的前提下,高一年级2人不相邻的概率为( ) A.
112 B.13 C.12 D.34
答案 D
7.(多选)(2021福建厦门外国语学校月考,12)甲罐中有4个红球,3个白球和3个黑球;乙罐中有5个红球,3个白球和2个黑球.先从甲罐中随机取出一球放入乙罐,分别以A 1,A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球,白球和黑球的事件;再从乙罐中随机取出一球,以M 表示由乙罐取出的球是红球的事件,下列结论正确的为( ) A.P(M)=12
B.P(M|A 1)=
6
11 C.事件M 与事件A 1不相互独立 D.A 1,A 2,A 3是两两互斥的事件 答案 BCD
8.(2022届山东济宁一中开学考试,14)已知随机变量ξ~B (6,1
3
),则P(ξ=4)= ,D(ξ)= .(用数字作答) 答案
20243;43
9.(2022届山东潍坊10月段考,15)一项过关游戏规则规定:在第n 关要抛掷一颗质地均匀的骰子n 次,如果这n 次抛掷所出现的点数之和大于2n
,则算过关.甲同学参加了该游戏,他连过前两关的概率是 .
答案
59
10.(2020天津,13,5分)已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12
和13
.假定两球是否落入盒子互不影响,则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ;甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 . 答案
16;2
3
11.(2019课标Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是 .
12.(2022届江苏苏州调研,19)某学校实行自主招生,参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选出4个进行作答,至少答对3个才能通过初试.已知甲、乙两人参加初试,在这8个试题中甲能答对6个,乙能答对每个试题的概率为34
,且甲、乙两人是否答对每个试题互不影响. (1)试通过计算,分析甲、乙两人谁通过自主招生初试的可能性更大;
(2)若答对一题得5分,答错或不答得0分,记乙答题的得分为Y,求Y 的分布列及数学期望和方差. 解析 (1)∵在8个试题中甲能答对6个,
∴甲通过自主招生初试的概率P 1=C 63C 21C 84+C 64C 84=11
14
,
又∵乙能答对每个试题的概率为34
, ∴乙通过自主招生初试的概率
P 2=C 4
3(34)314+C 44(34)4=189
256,
∵P 1>P 2,∴甲通过自主招生初试的可能性更大.
(2)由题意可知,乙答对题的个数X 的可能取值为0,1,2,3,4,X~B (4,34
), P(X=k)=C 4k (
34
)k (14)4−k
(k=0,1,2,3,4)且Y=5X, 故Y 的分布列为
∴E(Y)=E(5X)=5E(X)=5×4×34
=15, D(Y)=D(5X)=52
D(X)=25×4×34×(1−
34)=754
. 13. (2022届山东潍坊阶段测,20)智能体温计测温方便、快捷,已经逐渐代替水银体温计应用于日常体温测量.调查发现,使用水银体温计测温结果与人体的真实体温基本一致,而使用智能体温计测量体温可能会产生误差.对同一人而言,如果用智能体温计与水银体温计测温结果相同,我们认为智能体温计“测温准确”;否则,我们认为智能体温计“测温失误”.现在某社区随机抽取了20人用两种体温计测量体温,数据如下:
(1)试估计用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率;
(2)从该社区中任意抽查3人用智能体温计测量体温,设随机变量X 为使用智能体温计“测温准确”的人数,求X 的分布列与数学期望.
解析 (1)题表20人的体温数据中,用智能体温计与水银体温计测温结果相同的序号是01,04,06,07,09,12,13,14,16,18,19,20,共有12个, 由此估计所求概率为
1220=35
. (2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
由(1)可知,用智能体温计测量该社区1人“测温准确”的概率为3
5
. 所以P(X=0)=C 30(35)0(1−35)3=8
125
, P(X=1)=C 31(35)1(1−35)2=36125, P(X=2)=C 3
2(35)2(1−35)1=54125, P(X=3)=C 33(
35)3(1−35)0=27125
, 所以X 的分布列为
故X 的数学期望E(X)=0×
8125+1×36125+2×54125+3×27125=225125=95
. 14.(2019课标Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打了X 个球该局比赛结束. (1)求P(X=2);
(2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5.
(2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分.
因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
考点二 正态分布
1.(2022届河北邢台9月联考,6)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),若P(ξ>2c+1)=P(ξ<2c-1),则c 的值为( )
A.3
2 B.2 C.1 D.12
答案 A
2.(2021广东深圳一模,5)已知随机变量ξ~N(μ,σ2
),有下列四个命题: 甲:P(ξ<a-1)>P(ξ>a+2). 乙:P(ξ>a)=0.5. 丙:P(ξ≤a)=0.5.
丁:P(a<ξ<a+1)<P(a+1<ξ<a+2).
如果只有一个假命题,则该命题为( ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 答案 D
3.(2020广东深圳七中月考,5)某班有60名学生,一次考试后数学成绩符合ξ~N(110,σ2
),若P(100≤ξ≤110)=0.35,则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案 B
4.(2021江苏七市第二次调研,13)已知随机变量X~N(2,σ2
),P(X>0)=0.9,则P(2<X ≤4)= . 答案 0.4
5.(2021广东韶关一模,20)在一次大范围的随机知识问卷调查中,通过随机抽样,得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如下表所示:
(1)由频数分布表可以大致认为,此次问卷调查的得分ξ~N(μ,196),μ近似为这100人得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的左端点值作代表). ①求μ的值;
②若P(ξ>2a-5)=P(ξ<a+3),求a 的值;
(2)在(1)的条件下,为此次参加问卷调查的市民制订如下奖励方案:
①得分不低于μ的可以获赠2次随机话费,得分低于μ的可以获赠1次随机话费; ②每次获赠的随机话费和对应的概率为:
现有市民甲参加此次问卷调查,记X(单位:元)为该市民参加问卷调查获赠的话费,求X 的分布列与数学期望.
解析 (1)①由题意得
30×2+40×13+50×21+60×25+70×24+80×11+90×4
100
=60.5,∴μ=60.5.
②由题意得2a-5+a+3=2×60.5,解得a=41.
(2)由题意知P(ξ<μ)=P(ξ≥μ)=1
2
,获赠话费X(单位:元)的可能取值为20,40,50,70,100, P(X=20)=12×34=38
,P(X=40)=12×34×34=932,P(X=50)=12×14=1
8
,
P(X=70)=12×34×14+12×14×34=
3
16,
P(X=100)=12×14×14=
1
32
,∴X 的分布列为
∴E(X)=20×38
+40×
932+50×18+70×316+100×132=1654
. 综合篇 知能转换
考法一 条件概率的求法
1.(2021广东二模,3)2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识,弘扬宪法精神”的知识竞赛活动.甲同学答对第一道题的概率为23
,连续答对两道题的概率为12
.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”,事件B 表示“甲同学答对第二道题”,则P(B|A)=( ) A.1
3
B.12
C.23
D.34
答案 D
2.(2022届全国学业质量检测,9)某公司为方便员工停车,租了6个停车位,编号如图所示,
公司规定:每个车位只能停一辆车,每个员工只允许占用一个停车位,记事件A 为“员工小王的车停在编号为奇数的车位上”,事件B 为“员工小李的车停在编号为偶数的车位上”,则P(A|B)=( ) A.16
B.
310 C.12 D.35
答案 D
3.(多选)(2021江苏海安高级中学月考,7)已知A ,B 分别为随机事件A,B 的对立事件,P(A)>0,P(B)>0,则下列说法正确的是( ) A.P(B|A)+P(B |A)=P(A) B.P(B|A)+P(B |A)=1
C.若A,B 独立,则P(A|B)=P(A)
D.若A,B 互斥,则P(A|B)=P(B|A) 答案 BCD
考法二 n 重伯努利试验及二项分布问题的求解方法
1.(2021广东深圳外国语学校月考,5)某同学进行3分投篮训练,若该同学投中的概率为12
,他连续投篮n 次至少得到3分的概率大于0.9,那么n 的最小值是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 答案 B
2.(2020辽宁葫芦岛兴城高级中学模拟)一个袋中有大小、形状相同的小球,其中红球1个、黑球2个,现随机等可能取出小球,当有放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ1;当无放回依次取出两个小球时,记取出的红球数为ξ2,则 ( ) A.E(ξ1)<E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) B.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) C.E(ξ1)=E(ξ2),D(ξ1)<D(ξ2) D.E(ξ1)>E(ξ2),D(ξ1)>D(ξ2) 答案 B
3.(多选)(2022届山东济宁一中开学考,11)某单位举行建党100周年党史知识竞赛,在必答题环节共设置了5道题,每道题答对得20分,答错扣10分(每道题都必须回答,但相互不影响).设某选手每道题答对的概率均为23
,其必答题环节的总得分为X,则( ) A.该选手恰好答对2道题的概率为49
B.E(X)=50
C.D(X)=
100
3
D.P(X>60)=
112
243
答案 BD
4.(2017课标Ⅱ,13,5分)一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机取一件,有放回地抽取100次,X 表示抽到的二等品件数,则DX= . 答案 1.96
5.(2022届山东济宁一中开学考试,21)由于抵抗力差的人感染新冠肺炎的可能性相对更高,特别是老年人群体,因此某社区在疫情控制后,及时给老年人免费体检,通过体检发现“高血糖,高血脂,高血压”,即“三高”老人较多.为此社区根据医生的建议为每位老人提供了一份详细的健康安排表,还特地建设了一个老年人活动中心,老年人每天可以到该活动中心去活动,以增强体质.通过统计每周到活动中心运动的老年人的活动时间,得到了以下频率分布直方图.
(1)从到活动中心参加活动的老年人中任意选取5人.
①若将频率视为概率,求至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率;
②若抽取的5人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为2人,从5人中选出3人进行健康情况调查,记3人中每周活动时间在[8,11](单位:h)的人数为ξ,求ξ的分布列和期望;
(2)将某人的每周活动时间量与所有老年人的每周平均活动时间量比较,当超出所有老年人的每周平均活动时间量不少于0.74h 时,称该老年人为“活动爱好者”,从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到k 人为“活动爱好者”的可能性最大,试求k 的值.(每组数据以区间的中点值为代表)
解析 (1)由题图可知,从到活动中心参加活动的老年人中任意选取1人,每周活动时间在[8,9)(单位:h)的概率为2
5
.
①记“至少有3人每周活动时间在[8,9)(单位:h)”为事件A, 则
P(A)=C 53·
(25)3·(1−25)2+C 54·(25)4·(1−25)+C 55(25)5=9923 125.
②随机变量ξ所有可能的取值为0,1,2,
P(ξ=0)=C 33C 53=110,P(ξ=1)=C 32C 21C 53=35,P(ξ=2)=C 31C 22
C 3=3
10
,则ξ的分布列如下:
故E(ξ)=0×
110+1×35+2×310=6
5
. (2)老年人的每周活动时间的平均值为6.5×0.06+7.5×0.35+8.5×0.4+9.5×0.15+10.5×0.04=8.26(h),则老年人中“活动爱好者”的活动时间为[9,11](单位:h),参加活动的老年人中为“活动爱好者”的概率为p=0.19,
若从参加活动的老年人中随机抽取10人,且抽到X 人为“活动爱好者”,则X~B(10,0.19), 若k 人的可能性最大,则P(X=k)=C 10k p k
(1-p)10-k
,k=0,1,2,3, (10)
由题意有{P(X =k)≥P(X =k −1),P(X =k)≥P(X =k +1),
即{C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k−1(0.19)k−1
(0.81)11−k ,C 10k (0.19)k (0.81)10−k ≥C 10k+1(0.19)
k+1
(0.81)9−k , 解得1.09≤k ≤2.09,由k ∈N *
,得k=2.
6.(2022届广东汕头金山中学期中,19)如图,李先生家住H 小区,他工作在C 科技园区,从家开车到公司上班路上有L 1、L 2两条路线,L 1路线上有A 1、A 2、A 3三个路口,各路口遇到红灯的概率均为12
;L 2路线上有B 1、B 2两个路口,各路口遇到红灯的概率依次为34,3
5
.
(1)若走L 1路线,求最多遇到1次红灯的概率; (2)若走L 2路线,求遇到红灯次数X 的数学期望;
(3)按照“平均遇到红灯次数最少”的要求,请你帮助李先生从上述两条路线中选择一条较好的上班路线,并说明理由.
解析 (1)设“走L 1路线最多遇到1次红灯”为事件A,则P(A)=C 30×(12)3+C 31×12×(1−12)2=12
, 所以走L 1路线,最多遇到1次红灯的概率为1
2
. (2)依题意,X 的可能取值为0,1,2. P(X=0)=(1−
34)×(1−35)=110,P(X=1)=34×(1−35)+(1−34)×35=920,P(X=2)=34×35=9
20
. 随机变量X 的分布列为
所以E(X)=0×
110+1×920+2×920=27
20
. (3)设选择L 1路线遇到红灯次数为Y,随机变量Y 服从二项分布Y~B (3,12),所以E(Y)=3×12=3
2
. 因为E(X)<E(Y),所以选择L 2路线上班较好.
7.(2019天津,16,13分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为2
3
.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(1)用X 表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量X 的分布列和数学期望;
(2)设M 为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件M 发生的概率.
解析 (1)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为2
3
,故X~B (3,
23),从而P(X=k)=C 3k ·(23
)k (13)3−k ,k=0,1,2,3. 所以,随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望E(X)=3×23
=2.
(2)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为Y,则Y~B (3,
2
3
),且M={X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0}. 由题意知事件{X=3,Y=1}与{X=2,Y=0}互斥,且事件{X=3}与{Y=1},事件{X=2}与{Y=0}均相互独立, 从而由(1)知P(M)=P({X=3,Y=1}∪{X=2,Y=0})=P(X=3,Y=1)+P(X=2,Y=0)=P(X=3)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=0)=
827
×29+49×127=20243
. 8.(2018课标Ⅰ,20,12分)某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是不是不合格品相互独立.
(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f(p)的最大值点p 0.
(2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p 0作为p 的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 解析 (1)20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)=C 202p 2
(1-p)18
.
因此f'(p)=C 202[2p(1-p)18
-18p 2
(1-p)17
]=2C 202p(1-p)17
(1-10p).
令f'(p)=0,得p=0.1,当p ∈(0,0.1)时,f'(p)>0; 当p ∈(0.1,1)时,f'(p)<0. 所以f(p)的最大值点为p 0=0.1. (2)由(1)知,p=0.1,
(i)令Y 表示余下的180件产品中的不合格品件数,依题意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y, 所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.
(ii)如果对余下的产品作检验,则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX>400,故应该对余下的产品作检验.
考法三 正态分布问题的求解方法
1.(2022届江苏苏州调研,3)已知随机变量ξ服从正态分布N(0,1),如果P(ξ≤1)=0.84,则P(-1<ξ≤0)=( )
A.0.34
B.0.68
C.0.15
D.0.07 答案 A
2.(2022届江苏徐州期中,5)某单位招聘员工,先对应聘者的简历进行评分,评分达标者进入面试环节,现有1000人应聘,他们的简历评分X 服从正态分布N(60,102
),若80分及以上为达标,则估计进入面试环节的人数为( )
(附:若随机变量X~N(μ,σ2
),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973)
A.12
B.23
C.46
D.159 答案 B
3.(多选)(2022届湖南湘潭9月模拟,10)已知随机变量X 服从正态分布N(0,22
),则( ) A.X 的数学期望为E(X)=0 B.X 的方差为D(X)=2 C.P(X>0)=12
D.P(X>2)=1
2 答案 AC
4.(2022届河北9月开学摸底联考,7)含有海藻碘浓缩液的海藻碘盐,是新一代的碘盐产品.海藻中的碘80%为无机碘,10%~20%为有机碘,海藻碘盐兼备无机碘和有机碘的优点.某超市销售的袋装海藻碘食用盐的质量X(单位:克)服从正态分布N(400,4),某顾客购买了4袋海藻碘食用盐,则至少有2袋的质量超过400克的概率为( ) A.
1116 B.34 C.58 D.516
答案 A
5.(2022届(新高考)第一次月考,19)数学建模是高中数学核心素养的一个组成部分,数学建模能力是应用意识和创新意识的重要表现.为全面推动数学建模活动的开展,某学校举行了一次数学建模竞赛活动,已知该竞赛共有60名学生参加,他们成绩的频率分布直方图如图.
(1)为了对数据进行分析,将60分以下的成绩定为不合格,60分以上(含60分)的成绩定为合格.为科学评估该校学生数学建模水平,决定利用分层随机抽样的方法从这60名学生中选取10人,然后从这10人中抽取4人参加座谈会.记ξ为抽取的4人中,成绩不合格的人数,求ξ的分布列和数学期望;
(2)已知这60名学生的数学建模竞赛成绩X 服从正态分布N(μ,σ2
),其中μ可用样本平均数近似代替,σ2
可用
样本方差近似代替(每组数据以区间的中点值作代表),若成绩在46分以上的学生均能得到奖励,本次数学建模竞赛满分为100分,试估计此次竞赛受到奖励的人数.(结果根据四舍五入保留到整数位)
若随机变量X~N(μ,σ2
),则P(μ-σ<X ≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X ≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X ≤μ+3σ)≈
0.9973.
解析 (1)由题中频率分布直方图和分层随机抽样的方法,可知抽取的10人中合格的人数为(0.01+0.02)×20×10=6,不合格的人数为10-6=4. 因此,ξ的可能值为0,1,2,3,4,
P(ξ=0)=C 6
4C 104=114,P(ξ=1)=C 41C 63C 104=821,P(ξ=2)=C 42C 62C 104=37,P(ξ=3)=C 43C 61
C 104=435,P(ξ=4)=C 4
4C 104=1210
.
故ξ的分布列为
所以ξ的数学期望E(ξ)=0×
114+1×821+2×37+3×435+4×1210=85
. (2)由题意可知,μ=(30×0.005+50×0.015+70×0.02+90×0.01)×20=64,σ2
=(30-64)2
×0.1+(50-64)2
×0.3+(70-64)2
×0.4+(90-64)2
×0.2=324,所以σ=18.
由X 服从正态分布N(μ,σ2
),得P(64-18<X ≤64+18)=P(46<X ≤82)≈0.6827,则
P(X>82)=12
(1-0.6827)=0.15865,P(X>46)=0.6827+0.15865=0.84135,60×0.84135≈50,所以估计此次竞赛受到奖励的人数为50.
6.(2022届辽宁渤海大学附中考试,20)随着我国国民消费水平的不断提升,进口水果受到了人们的喜爱,世界各地鲜果纷纷从空中、海上汇聚中国:泰国的榴莲、山竹、椰青,厄瓜多尔的香蕉,智利的车厘子等水果走进了千家万户.某种水果按照果径大小可分为五个等级:特等、一等、二等、三等和等外.某水果进口商从采购的一批水果中随机抽取500个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:
(1)若将样本频率视为概率,从这批水果中随机抽取6个,求恰好有3个水果是二等级别的概率; (2)若水果进口商进口时将特等级别与一等级别的水果标注为优级水果,则用分层随机抽样的方法从这500个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,Y 表示抽取的优级水果的数量,求Y 的分布列及数学期望E(Y).
解析 (1)设从500个水果中随机抽取一个,抽到二等级别水果的事件为A,则P(A)=250500=1
2
, 随机抽取6个,设抽到二等级别水果的个数为X,则X~B (6,1
2
), 所以恰好抽到3个二等级别水果的概率为
P(X=3)=C 6
3(12)3(12)3=516.
(2)用分层随机抽样的方法从500个水果中抽取10个, 其中优级水果有3个,非优级水果有7个. 则Y 所有可能的取值为0,1,2,3.
P(Y=0)=C 7
3C 103=724,P(Y=1)=C 72C 31
C 103=21
40,
P(Y=2)=C 71C 32C 103=740,P(Y=3)=C 3
3C 103=1120
.
所以Y 的分布列为
所以E(Y)=0×
724+1×2140+2×740+3×1120=9
10
.
7.(2017课标Ⅰ,19,12分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线在正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2).
(1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥
1)及X的数学期望;
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
(i)试说明上述监控生产过程方法的合理性;
(ii)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸:
9.9510.12
9.9
69.9
6
10.
01
9.92
9.9810.04
10.
269.9
1
10.
13
10.02
9.2210.04
10.
059.9 5
经计算得x=1
16∑
i=1
16
x i=9.97,s=√
1
16
∑
i=1
16
(x i−x)2=√
1
16
(∑
i=1
16
x i2−16x2)≈0.212,其中x i为抽取的第i个零件的
尺寸,i=1,2, (16)
用样本平均数x作为μ的估计值μ^,用样本标准差s作为σ的估计值σ^,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查.剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^)之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01).
附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.
0.997416≈0.9592,√0.008≈0.09.
解析(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为0.0026,故X~B(16,0.0026).
因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.
X的数学期望为EX=16×0.0026=0.0416.
(2)(i)如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种情况,就有
理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的.
(ii)由x =9.97,s ≈0.212,得μ的估计值为μ^=9.97,σ的估计值为σ^
=0.212,由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在(μ^-3σ^,μ^+3σ^
)之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^
)之外的数据9.22,剩下数据的平均数为1
15
×(16×9.97-9.22)=10.02,因此μ的估计值为10.02.∑i=1
16
x i 2=16×0.2122
+16×9.972
≈1591.134,
剔除(μ^-3σ^,μ^+3σ^
)之外的数据9.22,剩下数据的样本方差为115
×(1591.134-9.222-15×10.022
)≈0.008, 因此σ的估计值为√0.008≈0.09.。