2022年人教版中考模拟考试《数学卷》含答案解析

人教版数学中考综合模拟检测试题
学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在答题卷的答题框中，不选、选错或多选的(不论是否写在括号内)一律得0分．
1.四个有理数﹣2，5，0，﹣4，其中最小的是( ) A. ﹣2
B. 5
C. 0
D. ﹣4
2.以下运算正确的是( ) A. 235a b ab += B. (
)
2
22m m m m -+= C. 3412x x x ⋅=
D. ()2
239x x =
3.由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是( )
A. B. C. D.
4.纳米(nm )是种非常小的长度单位，1nm=910-m ，如果某冠状病毒的直径为110nm ，那么用科学记数法表示该冠状病毒的直径为( ) A. 71.110m -⨯
B. 81.110m -⨯
C. 911010m -⨯
D. 111.110m ⨯
5.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，若∠1＝48°，则∠2度数是( )
A. 64°
B. 65 °
C. 66°
D. 67°
6.为执行”均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，
若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x ，则下列方程正确的是( ) A. 2500(1+2x)=12000 B. 2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000 C. 2500(1+x)2=1200
D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000
7.下表是某班体育考试跳绳项目模拟考试时10名同学的测试成绩(单位：个/分钟) 成绩(个/分钟) 140 160 169 170 177 180 人数 1
1
1
2
3
2
则关于这10名同学每分钟跳绳的测试成绩，下列说法错误的是( ) A. 方差是135
B. 平均数是170
C. 中位数是173.5
D. 众数是177
8.关于x 的一元二次方程24500x ax --=，下列结论一定正确的是( ) A. 该方程没有实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程有两个相等的实数根
D. 无法确定
9.甲、乙两人在一条长为600m 笔直道路上均匀地跑步，速度分别为4/m s 和6/m s ，起跑前乙在起点，甲在乙前面50m 处，若两人同时起跑，则从起跑出发到其中一人先到达终点的过程中，两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是( )
A. B. C. D.
10.如图，在边长为
15
22
的正方形ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 的三等分点，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=55的点P 的个数是( )
A. 0
B. 4
C. 8
D. 16
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.因式分解：39x x -=_________．
12.不等式组233512
2x x x -≥⎧⎪
⎨+>-⎪⎩的解集是_____.
13.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，2AB =，以点A 为圆心，以AC 为半径画弧，交AB 于D ，则扇形CAD 的周长是_____________(结果保留)．
14.对于实数a ，b ，定义新运算” “：ab= ()()2
2a ab a b b ab a b ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩
;若关于x 方程()()211x x t +⊗-=恰好有两个不相等的实根，则t 的值为_________________．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.计算：10
1
8()4cos45(3)2
π-+---．
16.如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点A ，B ，C 在格点(网格线的交点)上．
(1)将ABC 绕点B 逆时针旋转90︒，得到11A BC ，画出11A BC ;
(2)以点A 为位似中心放大ABC ，得到22AB C △，使22AB C △与ABC 的位似比为2：1，请你在网格内画出22AB C △．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住;如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间?房客多少人?
18.如图，正方形ABCD 内部有若干个点，则用这些点以及正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 、D 把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：
(1)填写下表： 正方形
ABCD 内
点个数
1
2
3
4
．．．
n
分割成三
角形的个
数
4
6
_____
_____
．．．
_____
(2)原正方形能否被分割成2021个三角形?若能，求此时正方形ABCD 内部有多少个点?若不能，请说明理由．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了一个测速观察点，现测得测速点的西北方向有一辆小型轿车从B 处沿西向正东方向行驶，2秒钟后到达测速点北偏东60︒的方向上的C 处，如图．
(1)求该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是多少千米/时(精确到1千米/时)? (参考数据：2 1.43 1.7≈≈，)
(2)我国交通法规定：小轿车在高速路行驶，时速超过限定速度10%以上不到50%的处200元罚款，扣3分;时速超过限定速度50%以上不到70%的处1500元罚款，扣12分;时速超过限定时速70%以上的处1500元罚款，扣12分．若该高速路段限速120千米/时，你认为该小轿车驾驶员会受到怎样的处罚．
20.如图，反比例函数1k
y x
=
和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A ，()3,B a -． (1)求一次函数和反比例函数解析式;
(2)连接OA ，试问在x 轴上是否存在点P ，使得OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P 的坐标;若不存在，说明理由．
六、(本题满分12分)
21.张老师把微信运动里”好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表： 组别 步数分组 频率 A x ＜6000 0.1 B 6000≤x ＜7000 0.5 C 7000≤x ＜8000 m D x ≥8000 n 合计
1
根据信息解答下列问题：
(1)填空：m ＝ ，n ＝ ;并补全条形统计图;
(2)这20名朋友一天行走步数的中位数落在 组;(填组别)
(3)张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．
七、(本题满分12分)
22.某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN 、AM (AN ＝32m ，AM ＝10m ，∠MAN ＝45°)，用8m 长的渔网搭建了一个养殖水域(即四边形ABCD )，圩梗边不需要渔网，AB ∥CD ，∠C ＝90°．设BC ＝xm ，四边形ABCD 面积为S (m 2)． (1)求出S 关于x 的函数表达式及x 的取值范围;
(2)x 为何值时，围成的养殖水域面积最大?最大面积是多少?
八、(本题满分14分)
23.如图，在ABC ∆中，AB<AC ，点D 、F 分别为BC 、AC 的中点，E 点在边AC 上，连接DE ，过点B 作DE 的垂线交AC 于点G ，垂足为点H ，且CDE ∆与四边形ABDE 的周长相等，设AC=b ，AB=c ． (1)求线段CE 的长度; (2)求证：DF=EF ; (3)若BDH EGH S S ∆∆=，求
b c
的值．
答案与解析
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)每小题都给出A 、B 、C 、D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在答题卷的答题框中，不选、选错或多选的(不论是否写在括号内)一律得0分．
1.四个有理数﹣2，5，0，﹣4，其中最小的是( ) A. ﹣2 B. 5 C. 0 D. ﹣4
【答案】D 【解析】 【分析】
将各数按照从小到大顺序排列，找出最小的数即可． 【详解】根据题意得：﹣4＜﹣2＜0＜5，则最小的数是﹣4． 故选：D ．
【点睛】本题考查了有理数的大小比较，正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数，两个负数，绝对值大的反而小.
2.以下运算正确的是( ) A. 235a b ab += B. (
)
2
22m m m m -+= C. 3412x x x ⋅= D. ()2
239x x =
【答案】D 【解析】 【分析】
根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则，逐一判断选项，即可得到答案． 【详解】A. 2,3a b 不是同类项，不能合并，故本选项错误， B. (
)
2
2
22m m m m -+=，故本选项错误， C. 347x x x ⋅=，故本选项错误， D. ()2
239x x =，故本选项正确， 故选D ．
【点睛】本题主要考查合并同类项法则，同底数幂的乘法法则以及积的乘方法则，熟练掌握上述运算法则，是解题的关键．
3.由4个完全相同的小正方体组成的立体图形如图所示，则该立体图形的俯视图是( )
A. B. C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】
直接从上往下看，看到平面图形就是俯视图，选择正确选项即可．
【详解】根据题意，从上面看原图形可得到在水平面上有一个由两个小正方形和两个小长方形组成的长方形． 故选B ．
【点睛】此题考查简单组合体的三视图，解题关键在于掌握俯视图是从上往下看得到的平面图形． 4.纳米(nm )是种非常小的长度单位，1nm=910-m ，如果某冠状病毒的直径为110nm ，那么用科学记数法表示该冠状病毒的直径为( ) A. 71.110m -⨯ B. 81.110m -⨯
C. 911010m -⨯
D. 111.110m ⨯
【答案】A 【解析】 【分析】
先进行单位换算，再根据科学记数法的定义，写成科学记数法，即可． 【详解】110nm =110×910-m =71.110m -⨯． 故选A ．
【点睛】本题主要考查科学记数法的定义，掌握科学记数法的形式：10n a ⨯(110a ≤<，n 为整数)是解题的关键．
5.如图，已知AB ∥CD ，直线EF 分别交AB ，CD 于点E ，F ，EG 平分∠BEF ，若∠1＝48°，则∠2的度数是( )
A. 64°
B. 65°
C. 66°
D. 67°
【答案】C
【解析】
【分析】
根据平行线的性质和角平分线的定义求解．
【详解】∵AB∥CD，
∴∠BEF＝180°﹣∠1＝180°﹣48°＝132°，
∵EG平分∠BEF，
∴∠BEG＝132°÷2＝66°，
∴∠2＝∠BEG＝66°．
故选C．
【点睛】此题主要考查平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补;两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义．
6.为执行”均衡教育”政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是( )
A. 2500(1+2x)=12000
B. 2500+2500(1+x)+2500(1+2x)=12000
C. 2500(1+x)2=1200
D. 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000
【答案】D
【解析】
【分析】
设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，根据题意可得，2017年投入教育经费+2017年投入教育经费×(1+增长率)+2017年投入教育经费×(1+增长率)2=1.2亿元，据此列方程．
【详解】设每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，
由题意得, 2500+2500(1+x)+2500(1+x)2=12000
故选D.
【点睛】此题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题关键在于根据题意列出方程.
7.下表是某班体育考试跳绳项目模拟考试时10名同学的测试成绩(单位：个/分钟)
则关于这10名同学每分钟跳绳的测试成绩，下列说法错误的是( ) A. 方差是135 B. 平均数是170
C. 中位数是173.5
D. 众数是177
【答案】A 【解析】 【分析】
根据平均数、方差、中位数和众数的定义，分别进行求解，进而即可得到答案． 【详解】这组数据的平均数=(140+160+169+170×2+177×3+180×2)÷10=170; 这组数据的方差=
1
10
[(140−170)2+(160−170)2+(169−170)2+2×(170−170)2+3×(177−170)2+2×(180−170)2]=134.8; ∵共有10个数，
∴中位数是第5个和6个数的平均数， ∴中位数是：(170+177)÷
2=173.5; ∵177出现了三次，出现的次数最多， ∴众数是177; ∴说法错误的是A ． 故选A ．
【点睛】本题主要考查平均数、方差、中位数和众数的定义，熟练掌握上述定义和计算公式，是解题的关键．
8.关于x 的一元二次方程24500x ax --=，下列结论一定正确的是( ) A. 该方程没有实数根 B. 该方程有两个不相等的实数根 C. 该方程有两个相等的实数根 D. 无法确定
【答案】B 【解析】 【分析】
根据一元二次方程根的判别式，即可得到答案． 【详解】∵关于x 的一元二次方程24500x ax --=，
∴∆=22()44(50)8000a a --⨯⨯-=+>，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选B ．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的值与根关系，是解题的关键．
9.甲、乙两人在一条长为600m 的笔直道路上均匀地跑步，速度分别为4/m s 和6/m s ，起跑前乙在起点，甲在乙前面50m 处，若两人同时起跑，则从起跑出发到其中一人先到达终点的过程中，两人之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是( ) A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
甲在乙前面50m 处，若两人同时起跑，在经过25秒，乙追上甲，则相距是0千米，相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是100秒，则相遇以后两人之间的最大距离是150米，据此即可作出判断．
【详解】甲在乙前面50m 处，若两人同时起跑，经过50÷(6−4)=25秒，乙追上甲，则相距是0千米，故A 、 B 错误;
相遇以后乙在前边，相距的距离每秒增加2米，乙全程用的时间是600÷6=100秒，故B.、D 错误; 相遇以后两人之间的最大距离是：2×(100−25)=150米．
故选C .
【点睛】本题主要考查函数的图象，理解函数图象上点的坐标的实际意义，掌握行程问题中的基本数量关系：速度×时间=距离，是解题的关键．
10.1522
的正方形ABCD 中，点E ，F 是对角线AC 的三等分点，点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=55P 的个数是( )
A. 0
B. 4
C. 8
D. 16
【答案】B
【解析】
【分析】
作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于点P，则PE+PF的最小值为EM，由对称性可得CM=5，∠BCM=45°，根据勾股定理得EM=5
【详解】作点F关于BC的对称点M，连接EM交BC于点P，则PE+PF的最小值为EM．
∵正方形ABCD 15
2
2
，
∴15
2
2
2=15，
∵点E，F是对角线AC的三等分点，
∴EC=10，FC=AE=5，
∵点M与点F关于BC对称，
∴CF=CM=5，∠ACB=∠BCM=45°，
∴∠ACM=90°，
∴2222
10555
EC CM
+=+=
∴在BC边上，只有一个点P满足PE+PF=5
同理：在AB，AD，CD边上都存在一个点P，满足PE+PF=55∴满足PE+PF=55P的个数是4个．
故选B．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，勾股定理，轴对称的性质，熟练掌握利用轴对称的性质求两线段和的最小值，是解题的关键．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)
11.因式分解：39x x -=_________．
【答案】()()33x x x +-
【解析】
【分析】
原式提取x ，再利用平方差公式分解即可．
【详解】39x x -=()
29x x -＝()()33x x x +-， 故答案为：()()33x x x +-．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
12.不等式组233512
2x x x -≥⎧⎪⎨+>-⎪⎩的解集是_____. 【答案】71x -<≤-
【解析】
【分析】
根据一元一次不等式组的解法求解即可．
【详解】解：由不等式23x -≥可得1x ≤- ; 由不等式35122
x x +>-可得7x >-; 故不等式组的解集是71x -<≤-
故答案为：71x -<≤-.
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组的解法是解题的关键．
13.如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =，2AB =，以点A 为圆心，以AC 为半径画弧，交AB 于D ，则扇形CAD 的周长是_____________(结果保留)．
【答案】3
π+2 【解析】
【分析】
根据勾股定理求出AC 的长，再确定∠A 的度数，然后利用弧长公式求得弧长，加上两个半径，即可求得扇形CAD 的周长．
【详解】∵在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3BC =2AB =，
∴221AB BC -=，
∴∠B=30°，∠A=60°， ∴CD 的长=6080
11π⨯=3π， ∴扇形CAD 的周长=
3π+2， 故答案为：3
π+2． 【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，勾股定理以及弧长公式，掌握弧长公式是解题的关键．
14.对于实数a ，b ，定义新运算” “：ab= ()()22a ab a b b ab a b ⎧-≤⎪⎨->⎪⎩
;若关于x 的方程()()211x x t +⊗-=恰好有两个不相等的实根，则t 的值为_________________．
【答案】2.25或0
【解析】
【分析】
令y=()()211x x +⊗-，并画出函数的图象，根据函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，即可得到直线y=t 与函数y 的图象的位置关系，进而即可求解．
【详解】∵
当()()211x x +≤-时，即：2x -≤时，()()()()()2221121211252x x x x x x x +⊗-=+-+-=++，
当()()211x x +>-时，即：2x >-时，()()()()()2
221112112x x x x x x x +⊗-=--+-=--+， ∴令y=()()211x x +⊗-=()()
22222252x x x x x x ⎧≤-⎪⎨--+>-++⎪⎩， 画出函数图象，从图象上观察当关于x 的方程()()211x x t +⊗-=恰好有两个不相等的实根时，函数y 的图象与直线y=t 有两个不同的交点，即直线y=t 过抛物线y=22x x --+的顶点或直线y=t 与x 轴重合． ∴t=2.25或t=0．
故答案是：2.25或0．
【点睛】
本题主要考查函数图象的交点与方程的根的关系，掌握二次函数的图象和性质，学会画二次函数的图象，理解函数图象的交点个数就是对应的方程根的个数，是解题的关键．
三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15.1018()4cos45(3)2π---．
【答案】1
【解析】
分析：
代入45°角余弦函数值，结合”零指数幂的意义”、”负整数指数幂的意义”和”二次根式的相关运算法则”计算即可.
详解： 原式2222412
=-⨯-，
222221=+--，
1=．
故答案为1．
点睛：熟记”45°角的余弦函数值”、”零指数幂的意义：01?(0)a a =≠“及”负整数指数幂的意义：1p p a a
-=(0a p ≠，为正整数)”是正确解答本题的关键. 16.如图所示，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，ABC 的顶点A ，B ，C 在格点(网格线的交点)上．
(1)将ABC 绕点B 逆时针旋转90︒，得到11A BC ，画出11A BC ;
(2)以点A 为位似中心放大ABC ，得到22AB C △，使22AB C △与ABC 的位似比为2：1，请你在网格内画出22AB C △．
【答案】(1)见详解;(2)见详解
【解析】
【分析】
(1)分别作出点A 、C 绕点B 逆时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接，即可;
(2)分别作出点B 、C 变换后的对应点，再顺次连接，即可．
【详解】(1)如图所示, 11A BC 即为所求;
(2)如图所示，22AB C △即为所求．
【点睛】本题主要考查图形的旋转变换以及位似变换，掌握旋转变换和位似变换的定义和性质，是解题的关键．
四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17.我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每间客房住7人，那么有7人无房可住;如果每间客房住9人，那么就空出一间房.求该店有客房多少间?房客多少人?
【答案】客房8间,房客63人
【解析】
【分析】
设该店有间客房，以人数相等为等量关系列出方程即可.
【详解】设该店有间客房,则
+=-
x x
7799
x=
解得8
x+=⨯+=
7778763
答:该店有客房8间,房客63人.
【点睛】本题考查的是利用一元一次方程解决应用题，根据题意找到等量关系式是解题的关键．
18.如图，正方形ABCD内部有若干个点，则用这些点以及正方形ABCD的顶点A、B、C、D把原正方形分割成一些三角形(互相不重叠)：
(1)填写下表：
正方形
ABCD内 1 2 3 4 ．．．n
(2)原正方形能否被分割成2021个三角形?若能，求此时正方形ABCD内部有多少个点?若不能，请说明理由．
【答案】(1)8，10，2n+2;(2)原正方形不能被分割成2021个三角形，理由见详解．
【解析】
分析】
(1)由图形中三角形的个数，观察发现，每多一个点，三角形的个数增加2，然后据此规律填表即可;
(2)根据(1)中规律，列式求解，如果n是整数，则能分割，如果不是整数，则不能分割．
【详解】(1)有1个点时，内部分割成4个三角形;
有2个点时，内部分割成4+2=6个三角形;
有3个点时，内部分割成4+2×2=8个三角形;
有4个点时，内部分割成4+2×3=10个三角形;
…
以此类推，有n个点时，内部分割成4+2×(n−1)=(2n+2)个三角形，
填表如下：
故答案是：8，10，2n+2;
(2)不能，理由如下：
理由如下：由(1)知2n+2=2021，
解得：n=1009.5，不是整数，不符合题意，
∴原正方形不能被分割成2021个三角形．
【点睛】本题主要考查几何图形规律探索，找出图形变化的规律，用代数式来表示规律，是解题的关键．
五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19.很多交通事故是由于超速行驶导致的，为集中治理超速现象，高速交警在距离高速路40米的地方设置了
一个测速观察点，现测得测速点的西北方向有一辆小型轿车从B 处沿西向正东方向行驶，
2秒钟后到达测速点北偏东60︒的方向上的C 处，如图．
(1)求该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是多少千米/时(精确到1千米/时)?
(参考数据：2 1.43 1.7≈≈，)
(2)我国交通法规定：小轿车在高速路行驶，时速超过限定速度10%以上不到50%的处200元罚款，扣3分;时速超过限定速度50%以上不到70%的处1500元罚款，扣12分;时速超过限定时速70%以上的处1500元罚款，扣12分．若该高速路段限速120千米/时，你认为该小轿车驾驶员会受到怎样的处罚．
【答案】(1)197千米/时;(2)小轿车的驾驶员会受到1500元罚款，扣12分的处罚．
【解析】
【分析】
(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD=40m ，通过解直角三角形，求出BD ，CD 的长，从而求出BC 的长，进而即可求出速度;
(2)求出小轿车的超速范围，即可得到结论．
【详解】(1)过点A 作AD ⊥BC 于点D ，则AD=40m ，
∵∠BAD=45°，
∴∠ABD=45°，
∴BD=AD=40m ，
∵∠DAC=60°，
∴CD=AD ×tan60°3，
∴3≈109.28m ，
∴小轿车速度=109.281001972
3600
≈(千米/小时)， 答：该小型轿车在测速过程中的平均行驶速度约是197千米/时;
(2)(197-120)÷120≈0.64=64％，
∵50％＜64％＜70％，
∴小轿车的驾驶员会受到1500元罚款，扣12分的处罚．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际应用，掌握三角函数的定义，是解题的关键．
20.如图，反比例函数1k y x
=和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A ，()3,B a -． (1)求一次函数和反比例函数解析式;
(2)连接OA ，试问在x 轴上是否存在点P ，使得OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形，若存在，直接写出满足题意的点P 的坐标;若不存在，说明理由．
【答案】(1)13y x
=
，22y x =+;(2)(2，0) 或10，0)或10，0)． 【解析】
【分析】 (1)根据图象上点的坐标特征，以及待定系数法，即可得到答案;
(2)设P(t ，0)，根据两点间的距离公式，分别表示出OA ，AP ，OP 的长，结合OA=AP 或OA=OP ，列出方程，即可得到答案．
【详解】(1)∵反比例函数1k y x =
和一次函数2y mx n =+相交于点()1,3A ，()3,B a -， ∴k=1×
3=3， ∴13y x
=， ∴-3a=3，解得：a=-1，
∴B(-3，-1)，
∴331m n m n +=⎧⎨-+=-⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩
， ∴22y x =+;
(2)设P(t ，0)，
∵()1,3A ，
∴=OP=t ，
∵OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形，
∴OA=AP 或OA=OP ，
当OA=AP 时，22(1)9t -+=，解得：1220t t ==，(不符合题意，舍去)，
∴P(2，0);
当OA=OP 时，t ，解得：t=±，
∴，0)或，0)，
综上所述：存在点P ，使OAP ∆为以OA 为腰的等腰三角形，点P 坐标为：(2，0) 或，0)或，0)．
【点睛】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，涉及待定系数法，图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，掌握两点间的距离公式以及方程思想，分类讨论思想是解题的关键．
六、(本题满分12分)
21.张老师把微信运动里”好友计步榜”排名前20的好友一天行走的步数做了整理，绘制了如下不完整的统计图表：
B 6000≤x＜7000 0.5
C 7000≤x＜8000 m
D x≥8000n
合计 1
根据信息解答下列问题：
(1)填空：m＝，n＝;并补全条形统计图;
(2)这20名朋友一天行走步数的中位数落在组;(填组别)
(3)张老师准备随机给排名前4名的甲、乙、丙、丁中的两位点赞，请求出甲、乙被同时点赞的概率．
【答案】(1)0.3;0.1;条形统计图如图见解析;(2)B;(3)P(甲、乙被同时点赞)＝1
6
．
【解析】
【分析】
(1)用A组的频数除以它的频率得到调查的总人数，再分别用C组、D组的频数除以总人数得到m、n的值，然后画条形统计图;
(2)利用中位数的定义进行判断;
(3)画树状图展示12种等可能的结果数，找出甲、乙被同时点赞的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】(1)2÷0.1＝20，
m＝6
20
＝0.3，n＝
2
20
＝0.1;
故答案为0.3;0.1; 条形统计图如图
(2)这20名朋友一天行走步数的中位数落在B组;
故答案为B;
(3)画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中甲、乙被同时点赞的结果数为2，
∴P(甲、乙被同时点赞)＝
2
12
＝
1
6
．
【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．也考查了统计图．
七、(本题满分12分)
22.某市政府为了扶贫，鼓励当地农民养殖小龙虾，如图：张叔叔顺着圩梗AN、AM(AN＝32m，AM＝10m，∠MAN＝45°)，用8m长的渔网搭建了一个养殖水域(即四边形ABCD)，圩梗边不需要渔网，AB∥CD，∠C ＝90°．设BC＝xm，四边形ABCD面积为S(m2)．
(1)求出S关于x的函数表达式及x的取值范围;
(2)x为何值时，围成的养殖水域面积最大?最大面积是多少?
【答案】(1)S＝﹣1
2
x2+8x，0＜x≤3;(2)当x＝3时时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是
39
2
2
m．
【解析】
【分析】
(1)过D作DE⊥AB于E，根据矩形的性质得到DE＝x，求得AE＝x，根据三角形和矩形的面积公式即可得
到结论;
(2)根据二次函数的性质，即可得到结论．
【详解】(1)过D 作DE ⊥AB 于E ，
∵BC ＝xm ，
∴DE ＝xm ，
∵∠A ＝45°，
∴AE ＝xm ，
∴S ＝S △AED +S 矩形DEBC ＝12x 2+(8﹣x )•x ＝﹣12
x 2+8x ， ∵AB ＝AE +EB ＝x +(8﹣x )＝8m ，
∴B 点为定点，
∴DE 最大为3m ，
∴0＜x ≤3;
(2)∵S ＝﹣12x 2+8x ＝﹣12
(x ﹣8)2+32， ∴当x ＜8时，S 随x 的增大而增大，
∵0＜x ≤3，
∴当x ＝3时，S 取得最大值，S 最大＝﹣12
×(3﹣8)2+32＝392， 答：当x ＝3m 时，围成的养殖水域面积最大，最大面积是
3922m ．
【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的增减性，是解题的关键．
八、(本题满分14分)
23.如图，在ABC ∆中，AB<AC ，点D 、F 分别为BC 、AC 的中点，E 点在边AC 上，连接DE ，过点B 作DE 的垂线交AC 于点G ，垂足为点H ，且CDE ∆与四边形ABDE 的周长相等，设AC=b ，AB=c ．
(1)求线段CE 的长度;
(2)求证：DF=EF ;
(3)若BDH EGH S S ∆∆=，求b
c 的值．
【答案】(1)
2b c +;(2)见详解;(3)53
【解析】
【分析】 (1)根据题意得：AE+AB=CE ，结合AB+AC=b+c ，进而即可求解;
(2)根据中位线的性质和定义得DF =
12c ，CF=12
b ，结合CE=2b
c +，可得EF 的长，进而即可得到结论; (3)连接BE 、DG ，设BG ，DF 交于点M ，易得BE ∥DG ，从而得△ABE ∽△FDG ，进而得FG=14(b−c)，再证∠EGH=∠ABG ，从而得AB=AG=c ，结合CF=FG+CG ，得到关于b ，c 的等式，即可得到结论．
【详解】(1)∵CDE ∆与四边形ABDE 的周长相等，点D 为BC 的中点，
∴AE+AB=CE ，
∵AE+AB+CE=AB+AC=b+c ，
∴CE=2
AE AB CE ++=2b c +; (2)∵点D 、F 分别为BC 、AC 的中点，
∵DF 是△CAB 的中位线，
∴DF=
12AB=12c ，AF=CF=12AC=12
b ， ∵CE=2
b c +， ∴EF=CE-CF=2b c +−12b =12c ， ∴DF=EF;
(3)连接BE 、DG ，设BG ，DF 交于点M ，
∵S △BDH =S △EGH ，
∴S △BDG =S △DEG ，
∴BE ∥DG ，
∴∠EBC=∠GDC ，
∵DF 是△CAB 的中位线，
∴DF ∥AB ，
∴∠ABC=∠FDC ，∠A=∠DFC ，
∴∠ABC-∠EBC=∠FDC-∠GDC ，即：∠ABE=∠FDG ，
∴△ABE ∽△FDG ， ∴21AB AE DF FG ==， ∵AE=AC-CE=b-
2b c +=12
(b−c) ∴FG=12AE=12×12(b−c)=14(b−c)， ∵DF=EF ，
∴∠FED=∠FDE ，
∵BG ⊥DE ，
∴∠FED+∠EGH=∠FDE+∠DMH=90°，
∴∠EGH=∠DMH ，
又∵∠DMH=∠FMG ，
∴∠EGH=∠FMG ，
又∵∠FMG=∠ABG ，
∴∠EGH=∠ABG ，
∴AB=AG=c ，
∴CG=b−c ，
∴CF=12b=FG+CG=14
(b−c)+(b−c)， ∴3b=5c ，
∴b c =53
． 点睛】
本题主要考查三角形的中位线的性质定理，等腰三角形的性质定理以及相似三角形的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造相似三角形，是解题的关键．。