2021_2022学年新教材高中数学第二章导数及其应用3导数的计算课后巩固提升含解析北师大版选择性必

第二章导数及其应用
§3导数的计算
课后篇巩固提升
必备知识基础练
1.若f'(x0)=-2,则lim
k→0f(x0-1
2
k)-f(x0)
k
等于()
B.-1
C.2
D.1
,lim k→0f(x0-1
2
k)-f(x0)
k
=-1
2
lim
k→0
f(x0-1
2
k)-f(x0)
-1
2
k
=-1
2
f'(x0)=1,故选D.
2.下列各式中正确的个数是()
①(x7)'=7x6;②(x-1)'=x-2;③1
√x '=-1
2
x-32;④(√x2
5)'=2
5
x-35;⑤(cos x)'=-sin x;⑥(cos 2)'=-sin 2.
B.4
C.5
D.6
(x-1)'=-x-2,
⑥(cos2)'=0,
∴②⑥不正确.故选B.
3.若函数f(x)=cos x,则f'π
4+fπ
4
的值为()
B.-1
C.1
D.2 解析f'(x)=-sin x,
所以f'π
4+fπ
4
=-sinπ
4
+cosπ
4
=0.
4.已知f(x)=x a,若f'(1)=4,则a的值等于()
B.-4
C.5
D.-5
f'(x)=ax a-1,f'(1)=a(1)a-1=4,
∴a=4.
y=f(x)=2x2+4x在x=3处的导数为.
(3)=lim
Δx→0Δy Δx
=lim Δx→02(3+Δx)2+4(3+Δx)-(2×32+4×3)
Δx
=16.
,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2,则物体的初速度是.
初=s'(0)=lim
Δt→0s(0+Δt)-s(0)
Δt
=lim
Δt→0
(3-Δt)=3.
7.已知f (x )=1x
,g (x )=mx ,且g'(2)=
1
f '(2)
,则m=.
4
,f'(x )=-1
x 2,g'(x )=m.
∵g'(2)=1
f '(2),∴m=-4.
8.设直线y=1
2x+b 是曲线y 1=ln x (x>0)的一条切线,则实数b 的值为.
-1
y 1'=(ln x )'=1
x ,设切点为(x 0,y 0),
由题意,得1x 0
=1
2,所以x 0=2,y 0=ln2,
代入直线方程y=1
2
x+b ,得b=ln2-1.
9.利用导数的定义求函数y=f (x )=x-2
x
的导数.
解由导数定义,得Δy=f (x+Δx )-f (x )=(x+Δx )-2
x+Δx
-x-
2x
,
∴Δy
Δx =1+2
x (x+Δx ),当Δx 趋于0时,得到导数f'(x )=1+2
x 2.
10.用求导数的公式求下列函数的导数.
(1)y=x 8;(2)y=4x ;(3)y=log 3x ;(4)y=sin x+π
2;(5)y=e 2. 解(1)y'=(x 8)'=8x 8-1=8x 7.
(2)y'=(4x )'=4x ln4.
(3)y'=(log 3x )'=
1xln3.
(4)y'=sin x+π
2'=(cos x )'=-sin x.
(5)y'=(e 2)'=0.
关键能力提升练
11.已知函数f (x )在x 0处的导数为f'(x 0),则lim Δx →0
f (x 0)-f (x 0-mΔx )
Δx
等于()
A.mf'(x 0) B .-mf'(x 0) C .-1
m f'(x 0) D .1
m f'(x 0)
,lim
Δx →0
f (x 0)-f (x 0-mΔx )
Δx
=m lim
Δx →0
f (x 0)-f (x 0-mΔx )
mΔx
=mf'(x 0).
12.已知曲线f(x)=x3在点(2,8)处的切线方程为y=kx+b,则k-b等于()
B.-4
C.28
D.-28
点(2,8)在切线上,∴2k+b=8,①
又f'(x)=3x2,f'(2)=3×22=12=k,②
由①②可得k=12,b=-16,
∴k-b=28.
13.设正弦曲线y=sin x上一点P,以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角α的取值X围是()
A.0,π
4∪3π
4
,π B.[0,π)
C.π
4,3π
4
D.0,π
4
∪π
2
,3π
4
答案A
解析∵(sin x)'=cos x,∴k l=cos x,
∴-1≤k l≤1,∴α∈0,π
4∪3π
4
,π.
14.(多选题)以下运算正确的是()
A.1
x '=1
x2
B.(cos x)'=-sin x
C.(2x)'=2x ln 2
D.(tan x)'=1
cos2x
解析1
x '=-1
x2
,所以A不正确;因为(cos x)'=-sin x,故B正确;因为(2x)'=2x ln2,所以C正确;因为
(tan x)'=1
cos2x
,所以D正确.
15.(多选题)已知曲线y=x3在点P处的切线斜率为k,则当k=3时的P点坐标为()
A.(-1,1)
B.(-1,-1)
D.(1,-1)
,y'=3x2,因为k=3,所以3x2=3,所以x=±1,则P点坐标为(-1,-1)或(1,1).
16.设函数f(x)在x=x0处可导,当h趋于0时,对于f(x0+ℎ)-f(x0)
ℎ
的值,以下说法正确的是.(填序号)
①与x0,h都有关;
②仅与x0有关而与h无关;
③仅与h有关而与x0无关;
④与x0,h均无关.
(x)=sin x,f1(x)=f'0(x),f2(x)=f'1(x),…,f n+1(x)=f'n(x),n∈N,则f2 020(x)=.
x
,f1(x)=cos x,f2(x)=-sin x,
f3(x)=-cos x,f4(x)=sin x,f5(x)=cos x,…,依次类推可得,函数呈周期变化,且周期为4,则
f2020(x)=f4(x)=sin x.
18.函数y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2
)处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k+1,其中k ∈N +,若则a 1+a 3+a 5的值是.
y'=2x ,∴y=x 2(x>0)的图象在点(a k ,a k 2)处的切线方程为y-a k 2
=2a k (x-a k ).又该切线与x 轴的
交点坐标为(a k+1,0),∴a k+1=12a k ,即数列{a k }是首项为a 1=16,公比为q=1
2的等比数列,∴a 3=4,a 5=1,
∴a 1+a 3+a 5=21.
19.已知P 为曲线y=ln x 上的一动点,Q 为直线y=x+1上的一动点,则当点P 的坐标为时,PQ 最小,此时最小值为.
√2 ,
当直线l 与曲线y=ln x 相切且与直线y=x+1平行时,切点到直线y=x+1的距离即为PQ 的最小值.易知(ln x )'=1
x ,令1
x =1,得x=1,故此时点P 的坐标为(1,0),所以PQ 的最小值为√2
=√2.
f (x )=x 2,
g (x )=x 3,求适合f'(x 0)+2=g'(x 0)的x 0的值.
(x 0)=2x 0,g'(x 0)=3x 02
.
因为f'(x 0)+2=g'(x 0),
所以2x 0+2=3x 02,即3x 02
-2x 0-2=0,解得x 0=
1-√73
或x 0=
1+√73
.
学科素养创新练
21.设曲线y=x n+1
(n ∈N +)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ,令a n =lg x n ,求a 1+a 2+…+a 99的值.
解由题得y'=(n+1)x n ,故在点(1,1)处的切线斜率k=n+1,所以切线方程为y=(n+1)x-n (n ∈N +),可求得切线与x 轴的交点为
n
n+1
,0,则a n =lg n
n+1=lg n-lg(n+1),n ∈N +,所以a 1+a 2+…+a 99=(lg1-lg2)+(lg2-lg3)+…+(lg99-lg100)=lg1-lg100=-2.。