材料力学-09压杆稳定

其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
EI Fcr 2 ( L)
2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
表10–1 各种支承约束条件下等截面细长压杆临界力的欧拉公 式 两端固定但可沿 支承情况 两端铰支 一端固定 两端固定 一端固定 横向相对移动 另端铰支 另端自由
Fcr
Fcr A cr 2 8.367 10 4 181 .7 10 6 304 kN
安全因数
Fcr 304 n 2.02 P 150
§9–5
压杆的稳定条件:
压杆的稳定校核
Fcr n nst F
n
--压杆工作安全因数
nst --稳定安全因数
例1
空气压缩机的活塞杆由45钢制成，s 350MPa, p 280MPa,
例1 柴油机的挺杆是钢制空心圆管，外径和内径分别为12mm 和10mm，杆长383mm，钢材的E=210MPa.已知挺杆工作时的最 大压力为F=2290N，规定的稳定安全因数为nst=3-5。试校核 挺杆的稳定性 解：挺杆横截面的惯性矩是
I

64
(D d )
4 4

64
(0.012 4 0.014 ) 5.26 10 10 m 4
M P
yccoskxd sinkx
边界条件为:
M0
P P
M0
x0, y y0;xL, y y0
M c ,d 0,k L2n 并 k Ln P
kL2n
为求最小临界力，“k”应取除零以外的最小值，即取：
kL2
所以，临界力为：
4 2 EI 2 EI Pcr 2 L ( L / 2) 2
E 210GPa, l 703mm, d 45mm, 最大压力 Fmax 41.6kN,
规定的稳定安全因数为 nst 8 10, 试校核其稳定性。 解：①计算活塞杆的柔度 活塞杆简化成两端铰支，=1.0 截面为圆形， i
I d A 4

L
i

L4
d
62.5
a4.32cm
求临界力：
0.76 0.76 106 .5 8 i Iz 396 .610 2A1 212 .7410 4
L
2 E 220010 9 p 99 .3 6 P 20010
大柔度杆，由欧拉公式求临界力。
2 EI 2 200 396 .6 10 Fcr 443 .8kN 2 2 ( l ) (00 .7 6)
= 0.5
例2 求下列细长压杆的临界力。 y y x z L1 L2 b z
h
2 EI y b3h 解：①绕 y 轴，两端铰支： =1.0， I y , Fcry 12 L2 2 ②绕 z 轴，左端固定，右端铰支：
=0.7，
③压杆的临界力
bh3 Iz , 12
Fcrz
2 EI z
杆将绕惯性矩最小的轴弯曲。
Fcr
EI
2
L2
Fcr
2 EI
L2
两端铰支压杆临界力的欧拉公式
二、此公式的应用条件： 1.理想压杆； 2.线弹性范围内； 3.两端为球铰支座。
三、其它支承情况下，压杆临界力的欧拉公式
2 EI Fcr ( L) 2
压杆临界力欧拉公式的一般形式
—长度系数（或约束系数）。
a
L C1 z0 y1 z
两根槽钢图示组合之后，
I z 2 I z12198 .3396 .6cm4
I y 2[ I y1 A1 ( z0 a/2) 2 ]
2[25.612.74(1.52a/2) 2 ]
y
即:
189 .325.612.74(1.52a/2) 2 时合理
第九章
§9–1 压杆稳定的概念
压杆稳定
§9–2 两端铰支细长压杆的临界压力 §9–3 其它支座条件下细长压杆的临界压力 §9–4 欧拉公式的适用范围 §9-5 §9-6 压杆的稳定校核 提高压杆稳定性的措施 经验公式
§9–1 压杆稳定的概念
①强度 构件的承载能力： ②刚度 ③稳定性
工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能
长度系数μ
Fcr
2 EI
l2
=1
0.7
=0.5
=2
=1
0.5l
例1试由挠曲线近似微分方程，导出下述两种细长压杆的临
界力公式。 解：变形如图，其挠曲线近似微分方程为： P P M0 x L
EIyM ( x) PyM
P 令:k EI
2
P
x M0
EIyk 2 yk 2
失 稳 时 挠 曲 线 形 状
Fcr B
Fcr
Fcr
Fcr
0.7l l
0.5l
D
l
B
B
l
l
A
C C A A C— 挠曲 C、D— 挠 曲线拐点 线拐点
2l l
C— 挠曲线拐点
2 EI 2 EI 临界力Pcr 2 EI 2 EI F F 2 Fcr 2 Fcr 2 cr 欧拉公式 cr (0.5l ) (0.7l ) (2l ) 2 l
(0.7 L1 ) 2
Fcr min( Pcry , Pcrz )
例3 求下列细长压杆的临界力。 解：图(a) F F
10
5010 3 I min 10 12 4.1710 9 m 4 12
2 I min E 24.17200 Fcr 67.14 kN 2 2 ( 1l ) (0.70.5)
稳 定 过 平 衡
对应的
压力
临界压力:
不 稳 度 定 平 衡 Pcr
§9–2 两端铰支细长压杆的临界压力
一、两端铰支压杆的临界力: 假定压力已达到临界值，杆已经处于微弯状态，如图，
从挠曲线入手，求临界力。
F
x M P
F
①弯矩： M ( x, y) Fy
②挠曲线近似微分方程： M F y y EI EI F y y y k 2 y 0 EI F 2 其中 : k EI
4.大柔度杆的分界：
2E cr 2 P
2E P P
满足 P的杆称为大柔度杆,其临界应力用欧拉公式来求;
P 的杆称为中小柔度杆,其临界应力不能用欧拉公式。
二、中小柔度杆的临界应力计算 1.直线型经验公式 ①P<<S 时：
cr ab
z y
两根角钢图示组合之后 I y I z
I min I y 2 I y1 223.6347.26cm4
I min 47.26 i 1.68cm A 28.367

l 150
89.3c 123 i 1.68
所以，应由抛物线公式求临界压力。
2 89.3 2 cr s [10.43( ) ]235[10.43( ) ]18.7 MPa c 123
1.临界应力：压杆处于临界状态时横截面上的平均应力。
cr

Fcr A
Fcr 2 EI 2E 2E 2.细长压杆的临界应力： cr 2 2 2 A ( L) A ( L / i )
2E 即： cr 2
3.柔度：
I i — —惯性半径。 A
L — —杆的柔度（或长细比） i
④稳定性校核
n Fcr 478 11 .5 nst Fmax 41 .6
所以满足稳定性要求计算临界应力
例2 图示立柱，L=6m，由两根10号槽钢组成，下端固定，上端为 球铰支座，试问 a=？时，立柱的临界压力最大，值为多少？ P
解：对于单个10号槽钢，形心在C 1 点。
A1 12 .74 cm 2 ,z0 1.52 cm, I z1 198 .3cm 4 ,I y1 25 .6cm 4
c 时，由此式求临界应力 。
②s< 时：
cr s
例4 一压杆长L=1.5m，由两根 56568 等边角钢组成，两 端铰支，压力F=150kN，角钢为A3钢，试用欧拉公式或 抛物线公式求临界压力和安全系数。 解：一个角钢：
A1 8.367 cm2 , I y1 23.63cm4
cr ab s

s a
b
s
s P 的杆称为中柔度杆,其临界应力用经验公式。
②S< 时：
cr s
S 的杆为小柔度杆，其临界应力为屈服极限。
cr
S
P
cr ab
③临界应力总图
2E cr 2
L
30
L
L z y
图(b)
I min I z 3.8910 8 m 4
(4545 6) 等边角钢
图(a)
图(b)
2 I min E 20.389200 Fcr 76.8kN 2 2 ( 2l ) (20.5)
§9–4 欧拉公式的适用范围 经验公式
一、 基本概念
由压杆临界力欧拉公式
Fcr
2 EI
L
2

2 (210 109 ) (5.26 1010 )
(0.383)
2
7400 N
压杆的工作安全因数
n Fcr 7400 3.23 nst 3 5 F 2290
挺杆满足稳定性要求
§9–3 其它支座条件下细长压杆的临界压力
安全可靠地工作。
P
一、稳定平衡与不稳定平衡 ： 1. 不稳定平衡
2. 稳定平衡
3. 稳定平衡和不稳定平衡
二、压杆失稳与临界压力 ： 1.理想压杆：材料绝对理想；轴线绝对直；压力绝对沿 轴线作用。 2.压杆的稳定平衡与不稳定平衡：