九年级数学上册专题04 圆(原卷版)

章节复习知识精讲与综合训练
专题04 圆
知识点01 圆的基本概念
1.圆的概念：在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形
叫做圆。

其固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径，以O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”
2.弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径。

3.弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。

以A、B为端点的弧记作AB
̂。

圆的任意一条非直径的弦把圆分成两条不同长的弧，大雨半圆的叫做优弧，一般用三个点表示，如图中的ABC
̂；小于半圆的弧叫做劣弧，如图中的AC
̂，BĈ.
4.半圆：圆的任何一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆。

5.等圆、等弧：能够重合的两个圆叫做等圆。

半径相等的两个圆是等圆。

同理，同圆或等圆的半径相等。

同圆或等圆中能够重合的弧叫做等弧。

6.要点诠释：
（1）确定一个圆的两个因素：圆心和半径。

圆心决定位置，半径决定大小。

（2）半圆既不是优弧，也不是劣弧。

（3）只有在同圆或等圆中才存在等弧，在大小不等的两个圆中不存在等弧。

【例1】如图，⊙O的直径AB与弦CD的延长线交于点E，若DE=OB，∠AOC=84°,则∠E等于（）A. 42° B. 28° C. 21° D. 20°
知识精讲
【例2】如图，⊙O的直径与BA的延长线与弦DC的延长线交于点E，且CE=OB，已知∠DOB=72°，则∠E等
于（）
A. 36°
B. 30°
C. 18°
D. 24°
【例3】如图，点A,D,G,M在半圆O上，四边形ABOC,DEOF,HMNO均为矩形，设BC=a,EF=b,NH=c
则下列各式中正确的是（）
A.a>b>c
B.a=b=c
C.c>a>b
D. D.b>c>a
【例4】如图，AB是⊙O的直径，半径OC⊥AB，点D是弧ACB上的动点（不与A,B,C重合），DE⊥OC,DF⊥AB，
垂足分别是E,F，则EF长度（）
A.变大
B.变小
C.不变
D.无法确定
̂的中点，OE交弦AC于【例5】如图，AB是半圆O的直径，点O是圆心，点C是半圆上一点，点E是AC
点D，若AC=8cm，DE=2cm，则OD的长为___________cm。

【例6】已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C,D
（1）求证：AC=BD
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆心O到AB的距离为6，求AC的长。

【例7】如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，则下列结论中不一定成立的是（）
A.∠COE=∠DOE
B.CE=DE
C.OE=BE
D.BD=DC
【例8】如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，CD⊥AB于E，如果AB=20,CD=16，那么线段OE的长为（）A. 6 B. 8 C.10 D.12
̂=CD̂=DÊ,∠BOC=40°，则∠AOE的度数为（）
【例9】如图，AB是直径，BC
A. 30°
B. 40°
C. 50°
D. 60°
【例10】在以下所给的命题中，正确的个数为（）
（1）直径是弦；（2）弦是直径；（3）半圆是弧，但弧不一定是半圆；（4）半径相等的两个半圆是等弧；（5）长度相等的弧是等弧；（6）相等的圆心角所对的弧相等；（7）劣弧一定比优弧短；（8）直径是圆中最长的弦，且圆有无数条直径。

A. 2个
B. 3个
C.4个
D.5个
1.圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角
β）
2.圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。

（α=1
2
3.圆周角定理的推论：
（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。

反之，也成立。

（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。

【例11】如图，AB是⊙O的直径，点D,C在⊙O上，连接AD,DC,AC，如果∠C=65°，那么∠BAD的度数是（）
A. 15°
B. 20°
C. 25°
D. 30°
1.圆内接四边形：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个
圆叫做四边形的外接圆。

2.性质：圆内接四边形的对角互补。

（外角等于内对角）
如图，A,B,C,D四点都在圆上，则∠A+∠C=180°,∠B+∠D=180°
【例12】如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=160°，则∠BCD的度数是（）A. 60° B. 80° C. 100° D. 120°
知识点02 圆的位置关系
1.点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d
（1）点P在⊙O外⟺d>r
（2）点P在⊙O上⟺d=r
（3）点P在⊙O内⟺d<r
【例1】已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（）
A. 在⊙O上
B. 在⊙内
C. 在⊙O外
D. 在⊙O上或在⊙O内
【例2】在数轴上，点A所表示的实数为5，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为3，要使点B在⊙A内时，实数a的取值范围是（）
A. a>2
B. a>8
C. 2<a<8
D. a<2或a>8
【例3】在∆ABC中，已知AB=AC=5cm，BC=8cm，D是BC的中点，以D为圆心作一个半径为3cm的圆，则下列说法正确的是（）
A. 点A在⊙D外
B. 点A在⊙D上
C. 点A在⊙D内
D. 无法确定
【例
4】已知⊙O 的直径为4，点O 到直线l 的距离为2，则直线l 与⊙O 的位置关系是（ ）
A. 相交
B. 相切
C. 相离
D. 无法判断
【例5】已知⊙O 的直径为8，直线l 与⊙O 有两个交点，则圆心O 到直线l 的距离d 满足（ ）
A. 0<d <4
B. 0≤d <4
C. 0<d ≤4
D. 0≤d ≤4
【例6】如图，AB 是⊙O 的直径，PB 是⊙O 的切线，PA 交⊙O 于点C ，AB=3，PB=4，则BC 的长为（ ）
A. 4
B. 3√2
C. 12
5
D. 5
1. 切线判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。

2. 切线性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。

3. 切线长：经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长
4. 切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，
这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。

（如图，AP=BP ，OP 平分∠APB 。

）
【例7】如图，AB 是⊙O 的切线，AC 为弦，连接CB 交⊙O 于点D ，若CB 经过圆心O ，∠ACB = 28°，则∠B 的
度数为（）
A. 33°
B. 34°
C. 56°
D. 28°
【例8】如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B=25°，则∠P的度
数为（）
A. 25°
B. 40°
C. 45°
D. 50°
̂的中点，∠ACB= 120°，OC的延长线与AD交于点D，且∠D=∠B.【例9】如图，在⊙O中，点C为AB
（1）求证：AD与⊙O相切
（2）若CE=4，求弦AB的长。

【例10】如图，已知AB=AC，BD=CD，点D在BC上，以A为圆心的圆恰好经过点D，求证：BC为⊙A切
线。

【例11】如图，在Rt∆ABC中，∠BAC=90°，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙D与AC相
交于点E。

（1）求证：BC是为⊙D切线。

（2）若AB=5，BC=13，求CE的长。

1.圆和圆的位置关系：设两圆的半径分别为R和r（R>r），圆心距为d。

（1）两圆外离⟺ d>R+r
（2）两圆外切⟺ d=R+r
（3）两圆相交⟺ R−r<d<R+r
（4）两圆内切⟺ d=R−r
（5）两圆内涵⟺ d>R−r
2.要点诠释：判断两圆位置关系的步骤：
（1）先算两圆的半径和与半径差。

（2）然后确定圆心距跟半径和半径差的关系，进而确定两圆位置关系。

【例12】已知⊙O1与⊙O2的半径分别是2和4，O1O2=5，则⊙O1与⊙O2的位置关系是（）A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切
【例13】两圆的半径分别为2和3，圆心距为7，则这两个圆的位置关系为（）
A. 外离
B. 外切
C. 相交
D. 内切
【例14】两圆的半径分别为2和5，当两圆相切时，圆心距是（）A. 3 B. 7 C. 3或7 D. 4或6
知识点03 正多边形和圆
1.正多边形的有关概念：一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多
边形的半径，正多边形的每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角，中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距。

2.正多边形的有关计算：设正多边形的边数为 n ，半径为 R，边心距为 d，边长为 a，则有：
（1）正多边形的内角：(n−2)·180°
n =180°−360°
n
（2）正多边形的中心角:360°
n
（3）正多边形的半径: R2=d2+(a
2
)2（4）正多边形的周长: C=n·a
（5）正多边形的面积：S=n·1
2ad=1
2
C·d
【例1】在下列正多边形中，其内角是中心角2倍的是（）A. 正四边形 B. 正五边形 C. 正六边形 D. 正七边形
【例2】半径为1的圆内接正三角形的边心距为__________。

【例3】中心角为45°的正多边形的边数是___________。

【例4】正六边形的边心距为√3，则该正六边形的边长是（）A. √3 B. 2 C. 3 D.2√3
知识点04 弧长与扇形面积 1. 弧长公式：在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C =2πR ，所以n °的圆心角所对的弧长是 l =2πR ·n
360，即 l =nπR
360
2. 扇形面积：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形。

在半径为R 的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S =πR 2，所以n °的圆心角所对的扇形面积是 S 扇=nπR 2360=1
2·nπR
180·R =1
2lR
【例1】 已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（ ）
A. 3π
4 B. 2π
C. 3π
D. 12π 【例2】 已知半径为2的扇形，面积为 2π3，则它的圆心角的度数为__________°。

【例3】 已知扇形的半径是30cm ，圆心角是60°，则该扇形的弧长为____________cm 。

（结果保留π）
【例4】 若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为___________。

【例5】 已知圆锥的底面直径为20cm ，母线长为90cm ，则圆锥的表面积是___________cm 2.(结果保留π)
【例6】 用一个圆心角为120°，半径为3的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为( )
A.1
2B.1 C.3
2
D.2
【例7】已知圆锥的母线长为3，底面的半径为2，则圆锥的侧面积是( )
A.4π
B.6π
C.10π
D.12π【例8】如图，圆锥的侧面积为15π，底面积半径为3，则该圆锥的高AO为( )
A.3
B.4
C.5
D.15
综合训练
一、选择题
1.下列语句中不正确的有()
①相等的圆心角所对的弧相等；②平分弦的直径垂直于弦；③圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；④长度相等的两条弧是等弧．
A．3个B．2个C．1个D．0个
2.如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD＝58°，则∠BCD等于
()
A．116° B．32° C．58° D．64°
3.如图，AB是⊙O的直径，CD切⊙O于点C，若∠BCD＝25°，则∠B等于()
A．25° B．65° C．75° D．90°
4.如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝8，O为BC的中点，以点O为圆心作圆，使它与AB，
AC都相切，切点分别为点D，E，则⊙O的半径为()
A．8 B．6 C．5 D．4
5.如图，在⊙O中，AB，AC为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为点D，E，若
AC＝2 cm，则⊙O的半径为()
A．1 cm B．2 cm C. 2 cm D．4 cm
6.已知正六边形的边心距为3，则它的周长是()
A．6 B．12 C．6 3 D．123
7. 如图，圆锥形的烟囱帽底面半径为15 cm ，母线长为20 cm ，制作这样一个烟囱帽所需要的铁皮面积至
少是( )
A ．1 500π cm 2
B ．300π cm 2
C ．600π cm 2
D ．150π cm 2
8. 如图，在△ABC 中，AB ＝10，AC ＝8，BC ＝6，以边AB 的中点O 为圆心，作半圆与AC 相切，点P ，
Q 分别是边BC 和半圆上的动点，连接PQ ，则PQ 长的最大值与最小值的和是( )
A ．6
B ．213＋1
C ．9
D .322
9. 如图，直线y ＝33
x ＋3与x 轴，y 轴分别相交于A ，B 两点，圆心P 的坐标为(1，0)，⊙P 与y 轴相切于点O ，若将⊙P 沿x 轴向左平移，当⊙P 与该直线相交时，横坐标为整数的点P 的个数是( )
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
10. 如图，AB 是⊙O 的直径，点E 是BC 的中点，AB ＝4，∠BED ＝120°，则图中阴影部分的面积之和为( )
A ．1
B .
32
C . 3
D ．23 二、解答题 1. 已知AB 是半径为1的圆O 直径，C 是圆上一点，D 是BC 延长线上一点，过点D 的直线交AC 于
E 点，
且△AEF 为等边三角形．
(1)求证：△DFB 是等腰三角形；
(2)若DA ＝7AF ，求证：CF ⊥AB.
2. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 为圆周上的一点，过点C 的直线MN 满足∠MCA ＝∠CBA.
(1)求证：直线MN是⊙O的切线；
(2)过点A作AD⊥MN于点D，交⊙O于点E，已知AB＝6，BC＝3，求阴影部分的面积．
3.如图①，两同心圆的圆心为O，大圆的弦AB与小圆相切于点P，已知两圆的半径分别为2和1.
(1)用阴影部分的扇形围成一个圆锥(OA与OB重合)，求该圆锥的底面半径．
(2)用余下部分再围成一个圆锥(如图②所示)，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，求小虫爬行的最短路线的长．
4.如图，已知直线PA交⊙O于A，B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，
过点C作CD⊥PA，垂足为点D.
(1)求证：CD为⊙O的切线；
(2)若DC＋DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．
5.如图，AB为⊙O的直径，AD与⊙O相切于点A，DE与⊙O相切于点E，点C为DE延长线上一点，
且CE＝CB.
(1)求证：BC为⊙O的切线；
(2)连接AE并延长与BC的延长线交于点G(如图所示)，若AB＝25，AD＝2，求线段BC和EG的长．。