2020年中考数学一轮专项复习——等腰三角形与直角三角形(含解析)

2020年中考数学一轮专项复习——等腰三角形与直角三角形
基础过关
1. (2018滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( ) A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
2. 已知一个等腰三角形的内角是50°，则等腰三角形的底角是( ) A. 50°
B. 80°
C. 50°或80°
D. 50°或65°
3. 如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，如果CE ＝8，则ED 的长为( )
A. 2
B. 3
C. 4
D. 6
第3题图
4. (2019张家界)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，DC ＝13AD ，BD 平分∠ABC ，则点D 到AB
的距离等于( )
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
第4题图
5. (2019天水)如图，等边△OAB 的边长为2，则点B 的坐标为( ) A. (1，1) B. (1，3) C. (3，1)
D. (3，3)
第5题图
6. (2019宁夏)如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，点D 和E 分别在AB 和AC 上，且AD ＝AE .连接DE ，过点A 的直线GH 与DE 平行，若∠C ＝40°，则∠GAD 的度数为( )
A. 40°
B. 45°
C. 55°
D. 70°
第6题图
7. (2019衢州)“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”，它能三等分任一角，这个三等分角仪由两根有槽的棒OA ，OB 组成，两根棒在O 点相连并可绕O 转动，C 点固定，OC ＝CD ＝DE ，点D ，E 可在槽中滑动，若∠BDE ＝75°，则∠CDE 的度数是( )
A. 60°
B. 65°
C. 75°
D. 80°
第7题图
8. (2019湘西州)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，连接BD ，若cos ∠BDC ＝5
7
，则BC 的长是( )
A. 10
B. 8
C. 4 3
D. 2 6
9. (2019黄石)如图，在△ABC中，∠B＝50°，CD⊥AB于点D，∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点E，F为边AC的中点，CD＝CF，则∠ACD＋∠CED＝()
A. 125°
B. 145°
C. 175°D．190°
第9题图
10. (2019大连)如图，△ABC是等边三角形，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD，若AB＝2，则AD的长为________．
第10题图
11. (2019东营)已知等腰三角形的底角是30°，腰长为23，则它的周长是________．
12. (2019株洲)如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CM是斜边AB上的中线，E、F分别为MB、BC的中点，若EF＝1，则AB＝________．
第12题图
13. (2019盐城)如图，在△ABC中，BC＝6＋2，∠C＝45°，AB＝2AC，则AC的长为________．
14. (人教八上P93第13题改编)如图，△ABC是等边三角形，BD是△ABC的高，延长BC至点E，使CE＝CD.
(1)判断△DBE的形状，并说明理由；
(2)过点A作AF∥BC，交ED的延长线于点F，连接BF，求证：AB垂直平分DF.
第14题图
能力提升
1. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有()
A．2个B．3个C．4个D．5个
第1题图
2. (2019枣庄)把两个同样大小含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个三角尺的直角顶点重合于点A，且另外三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB＝2，则CD＝________．
第2题图
3. (2020原创)如图，在Rt△ACB中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，AC＝3，点D在线段AB上，点E在线段AB的延长线上，且BE＝AD，则CE＋CD的最小值是________．
第3题图
满分冲关
1.如图，一块含有45°角的直角三角板，外框的一条直角边长为10 cm，三角板的外框线和与其平行的内框线之间的距离均为 2 cm，则图中阴影部分的面积为________cm
2.(结果保留根号)
第1题图
2. (2019大庆改编)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，BC＝10 cm，AC＝6 cm，若动点D从B出发，沿线段BA运动到点A为止(不考虑D与B、A重合的情况)，运动速度为2 cm/s，过点D作DE∥BC交AC 于点E，连接BE，设动点D运动的时间为x(s)，AE的长为y(cm)．
(1)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；
(2)当x为何值时，△BDE的面积S有最大值？最大值为多少？
第2题图
参考答案
基础过关
1. A
2. D
3. C 【解析】∵DE 垂直平分BC ，∴BE ＝CE ＝8，在Rt △BED 中，∵∠B ＝30°，BE ＝8，∴ED ＝1
2BE
＝4.
4. C 【解析】如解图，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，∵DC ＝13AD ，∴DC ＝14AC ，∵AC ＝8，∴DC ＝1
4×8
＝2.∵∠C ＝90°，∴BC ⊥CD ，又∵BD 平分∠ABC ，∴DE ＝DC ＝2.
第4题解图
5. B 【解析】如解图，过点B 作BD ⊥OA 于点D ，∵△OAB 为等边三角形，边长为2，∴∠BOA ＝60°，OA ＝OB ＝2.∴OD ＝1，BD ＝OB · sin60°＝2×
3
2
＝ 3.∴点B 的坐标为(1，3)．
第5题解图
6. C 【解析】∵AC ＝CB ，∠C ＝40°，∴∠BAC ＝∠B ＝1
2(180°－40°)＝70°，∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝
∠AED ＝1
2
(180°－70°)＝55°，∵GH ∥DE ，∴∠GAD ＝∠ADE ＝55°.
7. D 【解析】设∠O ＝x ，∵OC ＝CD ，∴∠CDO ＝∠O ＝x .∴∠ECD ＝2∠O ＝2x .∵CD ＝DE ，∴∠CED ＝∠ECD ＝2x ，∵∠BDE ＝75°，∠BDE ＝∠O ＋∠CED ，∴3x ＝75°，解得x ＝25°.∴∠ECD ＝∠CED ＝50°，∴∠CDE ＝180°－2∠ECD ＝80°.
8. D 【解析】∵cos ∠BDC ＝5
7
，∴设DC ＝5x ，BD ＝7x ，又∵EF 是线段AB 的垂直平分线，∴AD ＝
DB ＝7x ，又∵AC ＝12，∴5x ＋7x ＝12，解得x ＝1，在Rt △BDC 中，CD ＝5，DB ＝7，BC ＝BD 2－CD 2＝72－52＝2 6.
9. C 【解析】如解图，连接DF ，∵CD ⊥AB ，F 为边AC 的中点，∴DF ＝1
2AC ＝CF ，又∵CD ＝CF ，
∴CD ＝DF ＝CF ，∴△CDF 是等边三角形，∴∠ACD ＝60°，∵∠B ＝50°，∴∠BCD ＋∠BDC ＝130°，∵∠BCD 和∠BDC 的角平分线相交于点E ，∴∠DCE ＋∠CDE ＝65°.∴∠CED ＝115°，∴∠ACD ＋∠CED ＝60°＋115°＝175°.
第9题解图
10. 23 【解析】∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝∠BAC ＝∠ACB ＝60°，∵CD ＝AC ，∴∠CAD ＝∠D ，∵∠ACB ＝∠CAD ＋∠D ＝60°，∴∠CAD ＝∠D ＝30°，∴∠BAD ＝90°，∴AD ＝AB tan 30°＝23
3
＝2 3.
11. 6＋43 【解析】∵底角为30°，腰长为23，∴底边的一半为3，∴底为6，则周长为6＋23＋23＝6＋4 3.
12. 4 【解析】在Rt △ABC 中，∵∠ACB ＝90°，CM 是斜边AB 上的中线，∴AB ＝2MC ，∵E 、F 分别为MB 、BC 的中点，∴EF 是△CMB 的中位线．又∵EF ＝1，∴MC ＝2EF ＝2，∴AB ＝2MC ＝4.
13. 2 【解析】如解图，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，设AD ＝x ，∵∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝x ，AC ＝2x ，∴AB ＝2AC ＝2x ，在Rt △ABD 中，BD ＝AB 2－AD 2＝（2x ）2－x 2＝3x ，∴BC ＝BD ＋CD ＝3x ＋x ＝(3＋1)x ＝6＋2＝2(3＋1)，解得x ＝2，∴AC ＝2.
第13题解图
14. (1)解：△BDE 是等腰三角形，理由如下： ∵△ABC 是等边三角形，BD 是高， ∴∠ABC ＝∠ACB ＝60°，∠DBC ＝30°.
又∵CE ＝CD ，
∴∠CDE ＝∠CED ＝1
2∠BCD ＝30°.
∴∠DBC ＝∠DEC . ∴DB ＝DE .
∴△DBE 是等腰三角形； (2)证明：∵AF ∥BE ， ∴∠AFD ＝∠CED ， ∵BD 是△ABC 的高， ∴AD ＝DC ， ∵∠ADF ＝∠CDE ， 在△AFD 和△CED 中， ⎩⎪⎨⎪
⎧∠AFD ＝∠CED ，∠ADF ＝∠CDE ，AD ＝CD ，
∴△AFD ≌△CED (AAS)，
∴AF ＝CE ＝CD ＝AD ，DF ＝DE ＝BD ， ∵∠FDB ＝∠DBE ＋∠E ＝60°， ∴△BDF 是等边三角形， ∴BF ＝BD ， 又∵AF ＝AD ， ∴AB 垂直平分DF .
能力提升
1. D 【解析】①∵AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形；②∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝72°，
∵BD 是△ABC 的角平分线，∴∠ABD ＝∠DBC ＝1
2∠ABC ＝36°，∴∠A ＝∠ABD ＝36°，∴BD ＝AD ，∴△ABD
是等腰三角形；③在△BCD 中，∵∠BDC ＝180°－∠DBC －∠C ＝180°－36°－72°＝72°，∴∠C ＝∠BDC ＝72°，∴BD ＝BC ，∴△BCD 是等腰三角形；④∵BE ＝BC ，∴BD ＝BE ，∴△BDE 是等腰三角形；⑤∵∠BED ＝(180°－36°)÷2＝72°，∴∠ADE ＝∠BED －∠A ＝72°－36°＝36°，∴∠A ＝∠ADE ，∴DE ＝AE ，∴△ADE 是等腰三角形．综上可得，图中的等腰三角形有5个．
2. 6－2 【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF .在Rt △ABC 中，AB ＝AC ＝2，∴BC ＝2 2.∴AF ＝BF ＝CF ＝ 2.∵两个三角尺大小相同，∴AD ＝BC ＝22，在Rt △ADF 中，FD ＝AD 2－AF 2＝（22）2－（2）2＝ 6.∴CD ＝FD －FC ＝6－ 2.
第2题解图
3. 3＋1 【解析】当点D 为AB 的中点时，CE ＋CD 的值最小．∵∠BCA ＝90°，∠A ＝30°，AC ＝3，∴AB ＝2，BC ＝1，∠DBC ＝60°，当D 为AB 的中点时，CD ＝AD ＝BD ＝1，∴∠DCA ＝∠DAC ＝30°，∵BE ＝AD ＝1，∴DE ＝2，∴∠BEC ＝∠BCE ＝1
2∠DBC ＝30°，∵∠BCD ＋∠DCA ＝90°，∠DCA ＝30°，∴∠BCD
＝60°，∴∠ECD ＝∠BCE ＋∠BCD ＝30°＋60°＝90°，在Rt △DCE 中，∵DE ＝BD ＋BE ＝2，∠DEC ＝30°，∴CE ＝3，∴CE ＋CD ＝3＋1.
满分冲关
1. 14＋162 【解析】如解图，过点A 作AH ⊥BC 于H ，交EF 于G ，过点D 作DM ⊥AB 于M ，∵三角板ABC 是含45°角的直角三角板，∴△ABC 关于AH 所在直线对称，又∵外框和内框之间的距离均为 2 cm ，∴点D 在AH 上，且DM ＝GH ＝ 2 cm ，∠MAD ＝45°，∴AD ＝2MD ＝2 cm ，∴DG ＝AH －AD －GH ＝
2
2
AB －2－2＝(42－2) cm ，∴EF ＝2DG ＝(82－4) cm ，∴S 阴影
＝S △ABC －S △DEF ＝12AB ·AC －
1
2
EF ·DG ＝12×10×10－1
2
(82－4)·(42－2)＝(14＋162)cm 2.
第1题解图
2．解：(1)在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝BC 2－AC 2＝8 cm ，根据题意可知AD ＝2x cm ，
且点D 运动到点A 需要82
＝4 s ， ∵DE ∥BC ，
∴△ADE ∽△ABC ，
∴AD AB ＝AE AC
， 即
8－2x 8＝y 6， ∴y ＝－32
x ＋6(0<x <4)； (2)根据题意得，
S ＝12BD ·AE ＝12×2xy ＝xy ＝x (－32x ＋6)＝－32
x 2＋6x (0<x <4)， ∵－32
<0， ∴当x ＝－62×（－32）＝2时，S 最大＝－32×22＋6×2＝6. 即当x ＝2时，△BDE 的面积有最大值，最大值为6.。