单位脉冲函数详解

2. 单位脉冲序列
离散时间单位脉冲序列定义为
1 (k ) 0
k 0 k 0
1
( (k t)
－3－2－1 0 1
2
3
k
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
因为只有当 k=0 时 δ(k) 的值为 1 ，而当 k≠0 时 δ(k) 的值均为
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
冲激信号与阶跃信号的 t 0 (t 0)
( x ) dt 关系： 1 (t 0)

(t ) lim p (t ) lim d (t ) d lim (t ) 0 0 dt 0 dt d t2 (t ) 1 e dt 函 (t ) lim 0 数
t0 0t t
(b )
图 1.4-1 单位阶跃信号
电子与通信工程系 Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
应用单位阶跃信号可以简化某些时域信号的表示。例如：
f1 (t) 1 sin 0 t 1 f2 (t) sin 0 t 1 f3 (t)
o －1
t
o －1
t0
t
－2 －1 0 －1
(n)
而其奇阶导数是 显然， 当n为偶数时， 有 t 的奇函数。
(t ) (t )
(n) (n)
n 0,2,4, n 1,3,5,
电子与通信工程系 Feng
当n为奇数时，有
(t ) (t )
(n) (n)
2019/4/4
第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 – 2 计算下列各式：
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.3 广义函数和δ
常规函数，在间断点处的导数是不存在的；除间断点外，
自变量t在定义域内取某值时，函数有确定的值。
单位阶跃信号ε(t) 在间断点处的导数为单位冲激信号、冲
激信号δ(t)在t=0点处的值为无穷大。------不是常规函数
奇异函数（或广义函数）：非常规函数。
(t ) (t )dt (0)


上式说明： δ函数与试验函数φ(t)作用后，能指定φ(t)在t＝0处的值 φ(0)。 或者说，广义函数δ(t) 的作用效果是从φ(t) 中筛选出数 值φ(0)。
通常称此性质为δ 函数的筛选性质。
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
t
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念 δ函数和单位冲激偶δ’(t)的积分为：
当t，由上面两式可得
单位冲激偶 的性质之一
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念 性质2 δ函数与普通函数f(t)相乘
普通函数 f(t)与广义函数δ(t)的乘积，有 :
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4 阶跃信号和冲激信号
阶跃信号和冲激信号是描述一类特定物理现象的数学模型， t t0 0 ( t 0 ) 0 它们在信号与系统分析中具有重要意义。 (t ) lim (t ) (t t )
上次课程回顾
1.0信号与系统 信号、系统的概念 1.1信号的描述和分类 确定信号与随机信号；连续信号与离散信 号；周期信号与非周期信号；能量信号 与功率信号 1.2信号的基本特性 时间、频率、能量和信息特性
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
上次课程回顾
1.3信号的基本运算 相加和相乘 翻转、平移和 (0)




f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
2.对于(at+b)形式的冲激信号，要先利用冲激信号的 展缩特性将其化为1/|a| (t+b/a)形式后，方可利用 冲激信号的取样特性与筛选特性。
2019/4/4
电子与通信工程系
3. δ 性质1 δ函数的微分和积分



(t ) (t )dt (1) (t ) (t )dt (0)

式中，φ’(0)是φ(t)的一阶导数在 t=0 时的值。
通常称δ’(t)为单位冲激偶，用下图所示的图形符号表示。
′(t )
(1)
o (－1 )
2019/4/4
Feng
电子与通信工程系
第 1 章 信号与系统的基本概念 性质4 设常数a≠0，按照广义函数尺度变换和微分运算的定义，可 将δ(n)(at)表示为
根据广义函数相等的定义， 可得到

(n)
1 1 (n) (at) n (t ) a a 1 1 ' (at) ' (t ) a a
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念 根据广义函数相等的定义， 有
f (t ) ' (t ) f (0) ' (t ) f ' (0) (t )
对上式两边在(-∞, ∞)区间取积分



f (t ) '(t )dt f (0) ' (t )dt f ' (0) (t )dt f ' (0)
(t )
(1)
t
t0
(t t 0 )
(1)
t
3)冲激信号实例 单位阶跃信号加在电容两端，流过电容的电流 i C (t)=C du(t)/dt可用冲激信号表示。
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
说明： (1)冲激信号具有强度： 其强度就是冲激信号对时间的定积分值。 在图中用括号注明，以区分信号的幅值。
δ 的 其 他 定 义 ：

(t )
δ函数的积分为单 位阶跃信号


阶跃信号的导 数为δ函数
sin( t / ) (t ) lim 0 t (取样函数序列)
(高斯函数序列 ）
1 (t ) lim e 0 2

t
(双边指数函数序列)
电子与通信工程系 Feng
2019/4/4
1
2
3
t
(a )
(b )
(c)
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.2 连续时间冲激信号
(t ) lim p (t )
0
1 d p ( t ) ( t ) dt 0
0t 其他
2019/4/4
图 1.4-3 单位冲激信号 （δ函数） 电子与通信工程系


f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)


δ函数的筛 选性质

[ f (t ) (t (t ( )dt tt )0 )) dt f (0) (0) f)] ( t ) t t0 ) f(( )f(t () t (t0
电子与通信工程系 Feng
当n=0和1时，分别有
1 (at) (t ) a
2019/4/4
第 1 章 信号与系统的基本概念
性质5 奇偶性
在尺度变换式中，若取 a= -1， 则:
(n) n

(n)
1 1 (n) (at) n (t ) a a
( t ) ( 1 ) ( t ) 表明：单位冲激函数δ(t)的偶阶导数是 t 的偶函数，
1 ( t 0 ) 1.4.1 连续时间阶跃信号
0
0
1 t t0
注意： 信号ε(t) 在 t=0 处和ε ( (tt )-t0) 在 t=t0 处都是不连续的。 (t－t0 ) Δ (t )
1 1 1
o
Δ
t
o
t
o
t0 (c)
t
0 (a ) 1 (t ) t 1 2019/4/4



g (t ) (t )dt N g [ (t )]
广义函数与普通函数的对应关系
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念 广义函数的基本运算： (1) 相等 若
N g1[ (t )] N g 2[ (t )],
则定义
g1 (t ) g 2 (t )
(2)冲激信号的物理意义： f ( t ) f ( ) ( t ) d f ( k ) ( t k ) 表征作用时间极短，作用值很大的物理现象的数学模型

k

(3)冲激信号的作用： A. 表示其他任意信号； B. 表示信号间断点的导数。
零，所以任一序列 f(k) 与δ(k)相乘时，结果仍为脉冲序列，其 幅值等于 f(k) 在 k=0 处的值，
f (k ) (k ) f (0) (k )
而当 f(k)与δ(k-m) 相乘时，有
单位脉冲序列 的筛选性质
f (k ) (k m) f (m) (k m)
根据定义，可看出ε(k)与δ(k) 之间满足以下关系：
xnt则可将它们看成是矢量xt的各个分量称xt为状态矢量记为例155对于图示的二阶电路系统由节点a写出的方程为对回路l写出kvl方程当选取i1ul和ic作为系统输出时其表达式可写成可以选择uct和ilt作为该电路系统的状态变量即1513状态方程状态变量一阶导数与状态变量和输入之间的关系
第 1 章 信号与系统的基本概念

同理， 将δ’(t)换成δ’(t-t0)， 重复上述推导过程
f (t ) ' (t t0 ) f (t0 ) ' (t t0 ) f ' (t0 ) (t t0 )

2019/4/4


f (t ) '(t t0 )dt f ' (t0 )
单位冲激偶 的性质之二
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
1)冲激信号的定义
(t ) lim p (t )
0
(t)=0 , t0 表明δ函数除原点以 狄拉克(Dirac)定义式： (t)= , t=0 外，处处为零，但 其面积为1。 ( t ) dt = 1
2) 冲激信号的图形表示
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
1.4.4 阶跃序列和脉冲序列
1. 单位阶跃序列 离散时间单位阶跃序列定义为
1 (k ) 0
k0 k0
1
(k )
… －2－1 0 1 2 3 4 k
Feng
2019/4/4
电子与通信工程系
第 1 章 信号与系统的基本概念
第 1 章 信号与系统的基本概念 例 1.4 –1 试化简下列各信号的表达式。
f (t ) (t ) f (0) (t )
2019/4/4
f (t ) (t t0 ) f (t0 ) (t t0 )
电子与通信工程系 Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
性质3 δ’(t)函数与普通函数 f(t) 相乘
后向差分
(k ) (k ) (k 1) (k )
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念 1. 普通函数 y=f(t)：对定义域中的每个自变量t， 按一定的 运算规则 f 指定一个数值 y 的过程; 广义函数 g(t)：对试验函数集 {φ(t)}中的每个函数 φ(t)，按 一定运算规则 Ng 分配(或指定)一个数值 Ng[φ(t)] 的过程。 广义函数g(t)的定义为:
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念 解：
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念
注意：
1.在冲激信号的取样特性中，其积分区间不一定都是 (，+)，但只要积分区间不包括冲激信号(tt0) 的t=t0时刻，则积分结果必为零。
(2) 相加 若 N g [ (t )] N g1[ (t )] N g 2 [ (t )],则定义 (3) 尺度变换
g (t ) g1 (t ) g 2 (t )
(4) 微分
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng
第 1 章 信号与系统的基本概念 2. δ函数的广义函数定义 按广义函数理论，δ函数定义为

f(t )f (0) (t ) (t )dt f (0f)( ( tt) ( t) dt t ) ( t ) dt 0 0

根据广义函数相等的定义，得:
f (t ) (t ) f (0) (t )
2019/4/4
电子与通信工程系
Feng