高一数学集合练习题及答案(新版)

高一数学集合练习题及答案（新版）
一、单选题
1．已知集合{}
2
20A x x x =--<，(){}
3log 22B x y x ==-，则A B =（ ）
A ．{}12x x -<<
B ．{}12x x <<
C ．{}12x x ≤<
D ．{}02x x ≤<
2．已知集合{}{(3)0},0,1,2,3A x x x B =-<=，则A B =（ ） A ．{1,2}
B ．{0,1,2}
C ．{1,2,3}
D ．{0,1,2,3}
3．已知集合{}21,A y y x x ==-∈Z ，{}
2
5410B x x x =--≤，则A B =（ ）
A ．{}1
B ．{}0,1
C ．{}0,1,2
D ．{}1,3,5
4．设{}13A x x =-<≤，{}B x x a =>，若A B ⊆，则a 的取值范围是（ ） A ．{}3a a ≥ B ．{}1a a ≤-
C ．{}3a a >
D ．{}1a a <-
5．设全集U =R ，已知集合2|4A x x x >={}，|B x y =={，则
()U
A B ⋂=（ ）
A ．[0,4]
B ．(,4]-∞
C ．(,0)-∞
D ．[0,)+∞
6．下列命题说法错误的是（ ）
A ．()2
()lg 23f x x x =-++在(1,1)-上单调递增
B ．“1x =”是“2430x x -+=”的充分不必要条件
C ．若集合{}2
440A x kx x =++=恰有两个子集，则1k =
D ．对于命题:p 存在0R x ∈，使得2
0010x x ++<，则¬
p ：任意R x ∈，均有210x x ++≥ 7．已知A B ⊆R ，则（ ） A ．A B =R B ．()A B ⋃=R R C ．()()A B ⋂=∅R R
D ．(
)A
B =R
R
8．已知集合{}
2
20M x x x =∈-≤Z ，{}N x x a =≥，若M N ⋂有且只有2个元素，则a
的取值范围是( ) A ．(]0,1
B ．[]0,1
C ．(]0,2
D ．(,1]-∞
9．设集合(){}
ln 2A x y x ==-，{}13B x x =≤≤，则A B ⋃=（ ） A ．(]2,3 B ．[)1,+∞ C ．()2,+∞
D ．(],3-∞
10．已知集合()(){}{}1460,7524||A x x x B x x =+--≤=-≤-≤，则A B ⋃=（ ）
A ．1|12
x x ⎧⎫⎨⎬⎩
⎭
≤≤
B ．{}|26x x -≤≤
C ．1|52x x ⎧≤≤⎫⎨⎬⎩⎭
D ．{}|14x x ≤≤
11．已知集合{}ln 0A x x =>，{}
2
21x B x -=<，则A B =（ ）
A ．{}2x x <
B ．{}1x x <
C ．{}02x x <<
D ．{}12x x <<
12．设全集U =R .
集合{A x y ==∣，则U
A
（ ）
A ．()
(),12,-∞-+∞ B ．[]1,2- C ．(][),12,-∞-⋃+∞
D ．()1,2-
13．设集合{}*2
1230,1A x N x x B x R
x ⎧⎫=∈--≤=∈≥⎨⎬⎩
⎭∣∣，则A B =（ ） A ．0,1
B ．{}1
C ．(]0,1
D ．{}0,1
14．已知集合{}21A x x =-<<，{}lg B x y x ==，则()R A B =（ ） A ．(),1-∞
B ．[)1,+∞
C ．(]2,0-
D ．()0,1
15．已知集合{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A =----，2{|9}B x x =<，则A B =（ ） A ．{0,1,2,3,4} B ．{3,2,1,0,1,2,3}--- C ．{2,1,0,1,2}--
D ．()3,3-
二、填空题
16．设集合A 为空间中两条异面直线所成角的取值范围，集合B 为空间中直线与平面所成角的取值范围，集合C 为二面角的平面角的取值范围，则集合A ､B ､C 的真包含关系是___________.
17．全集U =R ，集合{}3A x x =≤-，则 U
A =______．
18．设集合{1,2,3,4,6}M =，12,,
,k S S S 都是M 的含有两个元素的子集，则k =______；
若满足：对任意的{,}i i i S a b =,{,}j j j S a b ={}(,,1,2,3,,)i j i j k ≠∈都有,i i j j a b a b <<，且
j
i i j
a a
b b ≠，则k 的最大值是__________． 19．若集合{}{}2
20,10M x x x N x ax =+-==+=，且N M ⊆，则实数a 的取值集合为
____．
20．已知集合{}2,1,2A =-
，}
1,B a =
，且B A ⊆，则实数a 的值是___________．
21．集合*83A x N
N x ⎧⎫
=∈∈⎨⎬-⎩⎭
，用列举法可以表示为A =_________． 22．已知T 是方程(
)
22
040x px q p q ++=->的解集，1379147{{1}}0A B ==，
，，，，，，且T A T B T ⋂=∅⋂=，，则p q +=_____．
23．已知集合{}
{}2
14,0,1,2,4A x x B =≤<=，则A B ⋂=___________．
24．当x A ∈时，若有1x A -∉且1x A +∉，则称x 是集合A 的一个“孤元”，由A 的所有孤元组成的集合称为A 的“孤星集”，若集合{}1,2,3M =的孤星集是M '，集合{}1,3,4P =的孤星集是P '，则M P ''⋂=______.
25．若集合A ={x ∈R|ax 2+ax +1=0}中只有一个元素，则a =________．
三、解答题
26．已知集合*N M ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a ，b ，c ，d ，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{,,,}a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”. (1)分别判断集合{2,4,6,8,10}与{1,2,3,5,8}是“关联的”还是“独立的”？ (2)写出（1）中“关联的”集合的所有的“关联子集”；
(3)已知集合{}12345,,,,M a a a a a =是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的“关联子集”A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是等差数列.
27．设集合{|16}A x x =-≤≤，{|121}B x m x m =-≤≤+，且B A ⊆． (1)求实数m 的取值范围；
(2)当x ∈N 时，求集合A 的子集的个数．
28．已知集合{}
2
320,,A x ax x x R a R =-+=∈∈.
(1)若A 是空集，求a 的取值范围；
(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ； (3)若A 中至少有一个元素，求a 的取值范围.
29．用描述法表示下列集合： (1)所有被3整除的整数组成的集合； (2)不等式235x ->的解集；
(3)方程210x x ++=的所有实数解组成的集合； (4)抛物线236y x x =-+-上所有点组成的集合； (5)集合{}1,3,5,7,9.
30．（1）集合{a, b, c, d }的所有子集的个数是多少？ （2）集合{a 1, a 2, …， an }的所有子集的个数是多少？
【参考答案】
一、单选题 1．B 【解析】 【分析】
求解不等式可得集合A ，根据对数函数的定义可得集合B ，进而求解. 【详解】
因为220x x --<，所以12x -<<，则{}12A x x =-<<， 因为220x ->，所以1x >，则{}1B x x =>， 所以{}12B x A =<<， 故选：B 2．A 【解析】 【分析】
解不等式得A ，由交集的概念运算 【详解】
由(3)0x x -<得03x <<，即(0,3)A =，故{1,2}A B =． 故选：A 3．A 【解析】 【分析】
首先解一元二次不等式求出集合B ，再根据交集的定义计算可得； 【详解】
解：由25410x x --≤，即()()5110x x +-≤，解得1
15
x -≤≤，
所以{}2
15410|15B x x x x x ⎧⎫=--≤=-≤≤⎨⎬⎩⎭
，
又{}{}21,,3,1,1,3,5,A y y x x Z ==-∈=--，
所以{}1A B ⋂=； 故选：A 4．B 【解析】 【分析】
根据集合的包含关系，列不等关系，解不等式即可. 【详解】
由题：(,)B a =+∞，A B ⊆，则1a ≤-. 故选：B 5．D 【解析】 【分析】
化简集合,A B ，先求出A B ，再求出其补集即可得解. 【详解】
2|4A x x x >={}{|0x x =<或4}x >，|B x y ={{|4}x x =≤，
所以{|0}A B x x =<， 所以()U
A B ⋂={|0}x x ≥，即
()U
A B ⋂[0,)=+∞.
故选：D
6．C 【解析】 【分析】
A.利用复合函数的单调性判断；
B.利用充分条件和必要条件的定义判断；
C.由方程2440kx x ++=有一根判断；
D.由命题p 的否定为全称量词命题判断.
【详解】
A.令223t x x =-++，由2230x x -++>，解得13x ，
由二次函数的性质知：t 在(1,1)-上递增，在(1,3)上递减，又lg y t =在()0,∞+上递增，由
复合函数的单调性知：()2
lg(23)f x x x =-++在(1,1)-上递增，故正确；
B. 当1x =时，2430x x -+=成立，故充分，当2430x x -+=成立时，解得1x =或3x =，故不必要，故正确；
C.若集合{}
2
440A x kx x =++=中只有两个子集，则集合只有一个元素，即方程
2440kx x ++=有一根，当0k =时，1x =-，当0k ≠时，16160k ∆=-=，解得1k =，所
以0k =或1k =，故错误；
D.因为命题:p .存在0R x ∈，使得2
0010x x ++<是存在量词命题，则其否定为全称量词命
题，即:p ⌝任意R x ∈，均有210x x ++≥，故正确；
故选：C. 7．B 【解析】 【分析】
画出韦恩图，对四个选项一一进行判断. 【详解】
画出韦恩图，显然A B ≠R ，A 错误；
()A B ⋃=R R ，故B 正确， (
)()A B B ⋂=
R
R R
，C 错误；
(
)A
B ≠R
R ，D 错误.
故选：B 8．A 【解析】 【分析】
求出集合M ，根据M N ⋂有且只有2个元素即可求出a 的范围. 【详解】
{}
(){}{}220|200,1,2M x x x x x x =∈-≤=∈-≤=Z Z ，
∵M N ⋂有且只有2个元素，∴0＜a ≤1. 故选：A. 9．B 【解析】 【分析】
根据对数型函数的性质，结合集合并集的定义进行求解即可. 【详解】
因为(2,)A =+∞，{}13B x x =≤≤， 所以A B ⋃=[)1,+∞， 故选：B 10．B 【解析】 【分析】
化简集合A 和B ，根据集合并集定义，即可求得答案. 【详解】
()(){}140|6A x x x =+--≤{}
{}2=|310=|(5)(02)0x x x x x x ---+≤≤
∴{}|25A x x =-≤≤
{}{}|=75241221|B x x x x =-≤-≤-≤-≤-
∴1|62x x B ⎧⎫=≤⎨⎩≤⎬⎭
∴{}{}1|25|6=|262A B x x x x x x ⎧⎫
-≤⎨⎬⋃=≤≤⋃≤-≤⎩≤⎭
故选：B. 11．D 【解析】 【分析】
解指数和对数不等式可求得集合,A B ，由交集定义可得结果. 【详解】
{}{}ln 01A x x x x =>=>，{}
{}{}221202x B x x x x x -=<=-<=<，
{}12A B x x ∴⋂=<<.
故选：D. 12．D 【解析】 【分析】
根据二次根式的性质，结合一元二次不等式的解法、补集的定义进行求解即可. 【详解】
因为{[2,)(,1]A x y ===+∞-∞-∣， 所以
U
A
()1,2-，
故选：D 13．B 【解析】 【分析】
先求出结合,A B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果. 【详解】
因为{}
{}{}*2*
N 230N 131,2,3A x x x x x =∈--≤=∈-≤≤=∣
， {}1101B x x x x ⎧
⎫=∈≥=∈<≤⎨⎬⎩
⎭R R
所以{}1A B =. 故选：B. 14．B 【解析】 【分析】
求出定义域得到集合B ，从而求出补集和交集. 【详解】
{}()212,1A x x =-<<=-，{}()00,B x x ∞=>=+，所以
(][),21,R
A =-∞-⋃+∞，所以
(
)[)1,R
A B ∞⋂=+.
故选：B. 15．C 【解析】 【分析】
求得集合{|33}B x x =-<<，结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】
由题意，集合2{|9}{|33}B x x x x =<=-<<， 又由集合{4,3,2,1,0,1,2,3,4}A =----， 所以A B ={2,1,0,1,2}--. 故选：C.
二、填空题
16．A B C ##C B A 【解析】 【分析】
根据空间中两条异面直线所成角的范围求出A ，根据空间中直线与平面所成角的取值范围求出B ，根据二面角的平面角的取值范围求出C ，根据A 、B 、C 角的范围即可判断它们的包含关系． 【详解】
集合A 为空间中两条异面直线所成角的取值范围，
π
(0,]2
A ∴=，
集合B 为空间中直线与平面所成角的取值范围，
π
[0,]2
B ∴=，
集合C 为直角坐标平面上直线的倾斜角的取值范围，
[0,π]C ∴=，
∴集合A 、B 、C 的真包含关系为：A B C ．
故答案为：A B C ．
17．{}3x x >-
【解析】 【分析】
直接利用补集的定义求解
【详解】
因为全集U =R ，集合{}3A x x =≤-， 所以
U
A ={}3x x >-，
故答案为：{}3x x >- 18． 10 6 【解析】 【分析】
列举M 的2个元素子集数个数即可；利用,i i j j a b a b << ，再结合j
i i j
a a
b b ≠进行排除其他的即为答案. 【详解】
M 的两元素子集有{1,2}{1,3}{1,4}{1,6}{2,3}{2,4}{2,6}{3,4}{3,6}{4,6}、
、、、、、、、、，所以共有10个，因此k =10；
因为前面的列举方式已经保证,i i j j a b a b <<，只需要再增加条件
j
i i j
a a
b b ≠即可，所以{1,2}{2,4}、、{3,6}保留一个，{1,3}{2,6}、保留一个，{2,3}{4,6}、
只能保留一个，所以以上10个子集需要删去4个，还剩下6个，所以则k 的最大值是6.故max 6k .
故答案为：10;6.
19．10,1,2⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭
【解析】 【详解】
先求出集合M ，然后分N =∅和N ≠∅两种情况求解 【点睛】
由220x x +-=，得(1)(2)0x x -+=，解得1x =或2x =-， 所以{}1,2M =-，
当N =∅时，满足N M ⊆，此时0a = 当N ≠∅时，即0a ≠，则1N a ⎧⎫
=-⎨⎬⎩⎭，
因为N M ⊆，所以1
M a
-∈，
所以11a -
=或1
2a
-=-， 解得1a =-或1
2
a =， 综上，1
2
a =
，或1a =-，或0a =， 所以实数a 的取值集合为10,1,2⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭，
故答案为：10,1,2⎧
⎫-⎨⎬⎩
⎭
20．1 【解析】 【分析】
由子集定义分类讨论即可. 【详解】
因为B A ⊆，所以a A ∈1A ∈，
当2a =-1无意义，不满足题意；
当1a =12=，满足题意；
当2a =11=，不满足题意. 综上，实数a 的值1. 故答案为：1 21．{1,2}##{2,1} 【解析】 【分析】
根据集合元素属性特征进行求解即可. 【详解】 因为
8
3N x
*∈-，所以31,2,4,8-=x ，可得2,1,1,5=--x ，因为x N ∈，所以1,2x =，集合{1,2}A =．
故答案为：{1,2}
22．26
【解析】 【分析】
由题知{}4,10T =，再结合韦达定理求解即可. 【详解】
解：因为240p q ->，
所以方程()
22
040x px q p q ++=->的解集有两个不相等的实数根，
因为1379147{{1}}0A B ==，
，，，，，，且T A T B T ⋂=∅⋂=，， 所以{}4,10T =
所以由韦达定理得14p =-，40q = 所以26p q += 故答案为：26
23．{}1
【解析】 【分析】
根据集合的交集的定义进行求解即可
【详解】
当0x =时，不等式214x ≤<不成立，
当1x =时，不等式214x ≤<成立，
当2x =时，不等式214x ≤<不成立，
当4x =时，不等式214x ≤<不成立，
所以{}1A B ⋂=，
故答案为：{}1
24．∅
【解析】
【分析】
根据集合的新定义求解出集合M '和P '，再求解交集可得出答案.
【详解】
根据“孤星集”的定义，1,112,2A A ∈+=∈ 所以1不是集合M '的元素
同理2，3也都不是集合M '的元素
M ∴'=∅，同理可得 {}1P '=
所以M P '⋂'=∅.
故答案为：∅.
25．4
【解析】
【分析】
集合A 只有一个元素，分别讨论当0a =和0a ≠时对应的等价条件即可
【详解】
解：2{|10}A x R ax ax =∈++=中只有一个元素，
∴若0a =，方程等价为10=，等式不成立，不满足条件．
若0a ≠，则方程满足0∆=，即240a a -=，解得4a =或0a =（舍去）．
故答案为：4
三、解答题
26．(1){2,4,6,8,10}是“关联的”，{1,2,3,5,8}是“独立的”；
(2){2,4,6,8}，{2,4,8,10}，{4,6,8,10}；
(3)证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据给定定义直接判断作答.
（2）由（1）及所给定义直接写出“关联子集”作答.
（3）写出M 的所有4元素子集，再利用反证法确定“关联子集”，然后推理作答.
(1)
集合{2,4,6,8,10}中，因2846+=+，所以集合{2,4,6,8,10}是“关联的”，
集合{1,2,3,5,8}中，不存在某两个数的和等于另外两个数的和，所以集合{1,2,3,5,8}是“独立的”.
(2)
由（1）知，有2846+=+，21048+=+，41068+=+，
所以{2,4,6,8,10}的“关联子集”有：{2,4,6,8}，{2,4,8,10}，{4,6,8,10}.
(3)
集合M 的4元素子集有5个，分别记为：1234521345{,,,},{,,,}A a a a a A a a a a ==， 312454123551234{,,,},{,,,},{,,,}A a a a a A a a a a A a a a a ===，因此，集合M 至多有5个“关联子集”，
若21345{,,,}A a a a a =是“关联子集”，则12345{,,,}A a a a a =不是“关联子集”，否则12a a =，矛盾，
若21345{,,,}A a a a a =是“关联子集”，同理可得31245{,,,}A a a a a =，41235{,,,}A a a a a =不是“关联子集”，
因此，集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾，
于是得21345{,,,}A a a a a =一定不是“关联子集”，同理41235{,,,}A a a a a =一定不是“关联子集”，
即集合M 的“关联子集”至多为12345{,,,}A a a a a =，31245{,,,}A a a a a =，51234{,,,}A a a a a =， 若12345{,,,}A a a a a =不是“关联子集”，则集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾，
若31245{,,,}A a a a a =不是“关联子集”，则集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾，
若51234{,,,}A a a a a =不是“关联子集”，则集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾，
因此，12345{,,,}A a a a a =，31245{,,,}A a a a a =，51234{,,,}A a a a a =都是“关联子集”， 即有25345432a a a a a a a a +=+⇔-=-，15245421a a a a a a a a +=+⇔-=-，
14234321a a a a a a a a +=+⇔-=-，
从而得54433221a a a a a a a a -=-=-=-，
所以1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是等差数列.
【点睛】
关键点睛：涉及集合新定义问题，关键是正确理解给出的定义，然后合理利用定义，结合相关的其它知识，分类讨论，进行推理判断解决.
27．(1){|2m m <-或502
m ≤≤
} (2)128
【解析】
【分析】
（1）按照集合B 是空集和不是空集分类讨论求解；
（2）确定集合A 中元素（个数），然后可得子集个数．
(1)
当121m m ->+即2m <-时，B =∅，符合题意；
当B ≠∅时，有12111216m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得502m ≤≤． 综上实数m 的取值范围是{|2m m <-或50}2
m ≤≤；
(2)
当x ∈N 时，{0,1,2,3,4,5,6}A =，所以集合A 的子集个数为72128=个．
28．(1)9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ (2)当0a =时集合23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当98a =时集合43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
； (3)9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ 【解析】
【分析】
（1）利用A 是空集，则Δ00a <⎧⎨≠⎩
即可求出a 的取值范围； （2）对a 分情况讨论，分别求出符合题意的a 的值，及集合A 即可； （3）分A 中只有一个元素和有2个元素两种情况讨论，分别求出参数的取值范围，即可得解．
(1)
解： A 是空集，
0a ∴≠且∆<0，
9800
a a -<⎧∴⎨≠⎩，解得98a >， a ∴的取值范围为：9,8⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
； (2)
解：①当0a =时，集合2{|320}3A x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭
， ②当0a ≠时，0∆=，
980a ∴-=，解得98a =，此时集合43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
， 综上所求，当0a =时集合23A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，当98a =时集合43A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
； (3)
解：A 中至少有一个元素，则当A 中只有一个元素时，0a =或98
a =；
当A 中有2个元素时，则0a ≠且0∆>，即9800
a a ->⎧⎨≠⎩，解得98a <且0a ≠； 综上可得98a ≤时A 中至少有一个元素，即9,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝
⎦ 29．(1){|3,Z}x x k k =∈ (2){}4,R x x x ∈
(3)2{|10,R}x x x x ++=∈
(4)()2{,|36}x y y x x =-+-
(5){|21,15x x n n =-≤≤且*N }n ∈
【解析】
【分析】
根据题设中的集合和集合的表示方法，逐项表示，即可求解.
(1)
解：所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：{|3,Z}x x k k =∈
(2)
解：不等式235x ->的解集，用描述法可表示为：{}4,R x x x ∈.
(3)
解：方程210x x ++=的所有实数解组成的集合，
用描述法可表示为：2{|10,R}x x x x ++=∈.
(4)
解：抛物线236y x x =-+-上所有点组成的集合，
用描述法可表示为：()2{,|36}x y y x x =-+-.
(5)
解：集合{}1,3,5,7,9，用描述法可表示为：{|21,15x x n n =-≤≤且*N }n ∈. 30．（1）16；（2）2n
【解析】
【分析】
设集合A 为集合的子集，利用分步计数原理分析每个元素出现的情况，即得解
【详解】
（1）由题意，若A 为集合{a, b, c, d }的子集
则集合A 中的元素只能从a, b, c, d 中选择，每个元素出现或者不出现有两种可能 故集合A 的不同情形有222216⨯⨯⨯=种情况
故集合{a, b, c, d }的所有子集的个数是16
（2）由题意，若A 为集合{a 1, a 2, …， an }的子集
则集合A 中的元素只能从a 1, a 2, …， an 中选择，每个元素出现或者不出现有两种可能 故集合A 的不同情形有22...22n ⨯⨯⨯=种情况
故集合{a 1, a 2, …， an }的所有子集的个数是2n。