偏微分方程数值解

u
(
x
,
0
)
(
x ),
u (0, t )
g 1 (t ),
t 0, 0 x l
u (x)
t t0 u (l,t) g 2 (t)
0 xl 0tT
二、偏微分方程的差分方法 根本思想：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变
化区域用有限离散点〔网格点〕集代替；将问题中出现的连续 变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网 格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解 问题化成只含有限个未知数的代数方程组〔称为差分格式〕。 如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方 程定解问题的解，那么差分格式的解就作为原问题的近似解。 因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问 题： 〔i〕选取网格； 〔ii〕对微分方程及定解条件〔内点与边界点〕选择差分近似， 列出差分格式； 〔iii〕差分格式解的存在唯一性，求解差分格式； 〔iv〕讨论差分格式对于微分方程解的收敛性及误差估计。
3、求 u M使得 A(u, v)
F (v)
0,
v
C
1 0
{v(x,
y) C1(), v
1
0}
变分近似方法 1、Ritz方法 2、Galerk in方法
Matlab解法 Matlab中的偏微分方程（PDE）工具箱是用有限元法寻求典型偏微分方程 的数值近似解，该工具箱求解偏微分方程具体步骤与用有限元方法求解偏 微分方程的过程是一致的，包括几个步骤，即几何描述、边界条件描述、 偏微分方程类型选择、有限元划分计算网格、初始化条件输入，最后给出 偏微分方程的数值解（包括画图）。
uxx u yy f (x, y) u( x, y) ( x, y)，在 1上
u n
k ( x,
y)
(x,
y ),
在 2 上
2、求 u M使得 J (u)
min
vM
J (v)，其中 J (v)
1 2
A(v,v)
F (v)，M
{v( x, y) C1(), v 1
(x, y)}
t 0, x x
混合问题（初边値问题
）
u a t u ( x,0)
2u x 2
(
0 x)
0t T,0 x l
u
(
0
,
t
)
g1 (t ),
u (l , t )
g 2 (t ),
0tT
第三类边界条件
u x
1
(
t
)u
x0
g1 (t ),
0tT
u x
2
(t
)u
xl
f
(x,
y)
u(x, y)|(x,y)(x, y)
(x, y)
第三类边値条件u n
u
(x,
y)(x,
y)
2、抛物型方程〔热传导方程〕 在研究热传导过程，气体扩散现象及电磁场的传播
等随时间变化的非定常物理问题时，常常会遇到抛物型 方程
初值问题（
Cauchy
u ） t
a
2u x 2
0
u ( x ,0 ) ( x )
g 2 (t ),
0tT
3、双曲型方程〔振动方程〕 描述琴弦的振动，鼓面的振动等现象的时候往往会出
现双曲型方程。
初值问题为
2 t u(
u
2
x,
0)
a2
2u x 2
(x)
u
(x)
t t 0
t 0, x x x
初边値问题为
2u
t
2
a2
2u x 2
随时间变化〕过程，都可用椭圆型方程来描述。
Poisson方程
u
2u x2
2u y2
f
(x,
y)，特别别地，f (x,
y)
0时，即为拉普拉(斯 Laplace方) 程，又称为调和方程
u
2u x2
2u y2
0,比如稳定的温度场的布分，不可压缩流体的定稳无旋流动及静电场电的势等。
2u 第一边値问题x2
2u y2
偏微分方程的数值解
含有未知函数及其导数的方程称为微分方程。将只含有一元 函数及其导数的方程，称常微分方程。将只含有多元元函数及其偏 导数的方程，称常微分方程。
1、偏微分方程的根本概念 2、偏微分方程数值解的差分方法 3、偏微分方程数值解的有限元方法
一、 偏微分方程的根本概念 1、椭圆型方程〔位势方程〕 各种物理性质的定常〔即不
(j0,1, ,m1)
对第二、三类边界条件则需用差商近似 。通常有两种方法
（i）在左边界处用向前差商近似偏导数，在右边界处用向后差商近似偏导数，即
u u(1, j)u(0, j) O(h)
x (0, j)
h
u u(n, j)u(n1, j) O(h)
x (n, j)
h
(j0,1, ,m)
u1, j
建立差分格式的两种根本方法 1、用差商代替导数 2、积分插值方法
a、椭圆型方程差分解法 以Poisson方程为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。 Poisson方程的第一边值问题
x2u2 y2u2 f(x,y)
(x,y)
u(x,y)|(x,y)(x,y)
取 h, 分别为x方向和y方向的步长，以两族平行线 xxkk,h yyj j将定解区域剖
y ),
在
2
上，u n
k(x, y) (x, y)
双线性泛函 A(u, v) (u v u v )dxdy kuvds x x y y
2
线性泛函 F (v) fvdxdy vds
2
人们证明了，在 u C 2 ()的条件下，下述三个问 题等价
1、求函数 u C 2 () C1(), 满足微分方程定解问题
2uk, j h2
u k 1, j
0
u k , j1 u k , j1 2
a u k 1, j
2uk, j h2
u k 1, j
0
其次需对定解条件进行离散化。 对初始条件及第一类边界条件，可直接得到
uk,0u(xk,0)k
(k 0 , 1 , 或 k 0 ,1 , ,n )
u0,j u(0,tj ) gij un,j u(l,tj ) g2j
u0, j h
1 ju0, j
g1j
un, j
un1, j h
2 jun, j
g2 j
(j0,1, ,m)
（ii）用中心差商近似，即
u u(1, j)u(1, j) O(h2)
x (0, j)
2h
u u(n1, j)u(n1, j) O(h2)
x (n, j)
2h
u1, j u1, j 2h
分成矩形网格。节点的全体记为 R {xk (,yj)|xkk,h yjj,i,j为} 整 。定数 解区域内部的
节点称为内点，记内点集为 h 。边界与网格线的交点称为边界点，边界点全体记
为 h 。与节点沿x方向或y方向只差一个步长的点和称为节点的相邻节点。如果一 个内点的四个相邻节点均属于区域和边界，称为正则内点，正则内点的全体记为 ， (1) 至少有一个相邻节点不属于的内点称为非正则内点，非正则内点的全体记为 (2) 。我
将方程中的 u 分别用向前、向后、中 t
心差商， 2 u 用二阶中心差商表示， x 2
u (k ,
j
1)
u (k ,
j)
a
u(k
1,
,
j)
O (
h2)
u (k ,
j)
u(k,
j
1)
a
u(k
1,
j)
2u (k , h2
j)
u(k
1,
j)
O (
u 1j 0, j
g1j
un1, j un1, j
2h
u 2 j n, j
g2 j
课堂练习
建立双曲型方程的一些差分格式
(j0,1, ,m) (j0,1, ,m)
用积分插值法构造差分格式 用差商代替导数来构造差分格式是最根本的方法，用积分插值法构造差
分格式有很多的优点，比方对表示某守恒律的微分方程用积分插值法构造 的差分格式任然保持该物理量的守恒定律。而且，很多时候构造的系数矩 阵对方程组的求解更方便。
们的问题是要求出边値问题在全体内点上的数值解。
记(k, j) (xk, yj ),u(k, j) u(xk, yj ), fk, j f (xk, yj )
用二阶中心差商 2u x2 (k,
j)
u(k
1,
j) 2u(k, h2
j) u(k
1,
j)
O(h2)
2u y2
(k,
j)
u(k,
j
1) 2u(k,
2
j) u(k,
j
1)
O( 2)
替换方程中的偏u导(k数 1,
j)
2u(k, h2
j)
u(k
1,
j)
u(k,
j
1)
2u(k,
2
j)
u(k,
j
1)
fk, j O(h2 2)
略去高阶无穷小u，k1有 , j 2uk, j h2
uk1, j
uk,
j1
2uk,
2
j
uk, j1
fk, j
所给出的差分格式称为五点菱形格式，实际计算时经常取 h，此时五点
我们以椭圆型方程 2u x2
2u y2
f
(x,
y)为例来说明用积分插 法值 构造差分格式
假设在区域 上已经布好矩形网格 为， 简单起见，网格是 匀均 的，步长分别h,是
将方程两端同时在任 的意 边界光滑的区D域积分。由Gree公 n 式，有
(ux cosn(,x)uy cosn(, y))ds
h2)
u (k ,
j
1) u (k , 2
j
1)
a
u(k
1,
j)
2u (k , h2
j)
u(k
1,
j)
O (
h2)
去掉截断误差，分别得 到热传导方程的差分近 似
u k , j1 u k , j
a u k 1, j
2uk, j h2
u k 1, j
0
uk, j
u k , j1
a u k 1, j
f (x, y)dxd,y或 uds n
f (x, y)dxdy
D
D
D
D
取D｛(x,
y) xi
h 2
x
xi
h, 2
yj
2
y
yj
｝
2
对所有的定积分用矩 公形 式近似计算，用差 代商 替导数，去掉截断 差误 以后得到差分格式
hui1,
j
hui.
j1
hui1,
j
hui,
j1
2
2 h2
h
uij
hfij
三、偏微分方程的有限元方法
t t j j ( j 0 ,1,2 , )分 xt 平面为矩形网格，节点
为 ( x k , t j )( k 0 , 1, 2 , , j 0 ,1,2 , )，
记 ( k , j ) ( x k , y j )， u ( k , j ) u ( x k , y j )， k ( x k )， g 1 j g 1 (t j )， g 2 j g 2 (t j )， 1 j 1 (t j )， 2 j 2 (t j )。
差分法通常采取直交网格，很难适应区域形状的任意性，不易编制通用 的计算软件，有限元方法可以用多种多样的网格对区域多剖分，可以根据 解的性质疏密有致的布置节点，可以适应各种形状的区域。
设为平面上的有界区域， 其边界 1 2充分光滑
椭圆方程 uxx
u yy
f
(
x,
y )，在
1上，
u
(
x,
y)
(
x,
菱形格式可化为
h 1 2( u k 1 ,j u k 1 ,j u k ,j 1 u k ,j 1 4 u k ,j) fk ,j
b、抛物型方程的差分解法
u t
a
2u t 2
0
(a 0)
剖分，分别取 h ,为 x方向与 y方向的步长，用平行直
线 x x k kh ( k 0 , 1, 2 , )