河南省洛阳市2021届高三上学期期中考试 数学(理)(含答案)

洛阳市2020—2021学年高中三年级期中考试
数学试卷（理）
本试卷分第I卷(选择题）和第II卷(非选择题)两部分.第I卷1至2页，第n卷3至4页.共150分.考试时间120分钟.
第I卷(选择题，共60分)
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考号填写在答题卡上.
2. 考试结束，将答题卡交回.
一、选择题:本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若复数则|
A. 1
B.
C.
D. 2
2.已知集合 A = { | }，B = {x| }，则 AB =
A. (0,1)
B. (0,3)
C. (1,3)
D. (3,+}
3. 已知向量均为非零向量，且| | =丨| = | 一|，则与的夹角为
A. B. C. D.
4. 执行如图所示的算法，若输出的结果y 2,则输人的x满足
A. x 4
B. x 1
C. x 或x 4
D. - 1 x 4
5. 已知等差数列{}的前n项和为, = ，则 =
A. 2
B. 3
C.
D.
6. 7. 已知四个命题:
;
以下命题中假命题是
A. V
B. V
C. V
D. V
7. 若a,b,c 满足= 4, = 3，c = ,则
A. b < a < c
B. b < c < a
C. a < b < c
D. a < c < b
8. 函数的图象大致为，
9. 已知F1F2是双曲线C:= 1的两个焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与C相交于A，B两点，则△ABF2的内切圆的半径为
A. B. C. D.
10. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA丄平面ABC，AB =，BC = 1,PA = AC = 2,则球O的表面积为
A.2
B. 8
C.
D.
11. 已知函数= Sin( >0, | |<)，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且函数是偶函数，下列判断正确的是
A.函数的最小正周期为2；
B.函数的图象关于点(，0)对称
C.函数在[，]上单调递增
D.函数的图象关于直线-对称
12. 如图，△ABC为等边三角形，D，E, F分别为AB,AC,BC的中点，
AFDE = G，
以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A'的位置，下列命题中，错
误的是
A. 动点A'在平面ABC上的射影在线段AF上
B. 恒有平面A'GF丄平面BCDE
C 三棱锥A'- EFD的体积有最大值
D. 异面直线A'E与BD不可能垂直
第II卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.
13. 已知下x，y满足不等式组，则z= 的最大值为_______.
14. 已知直线y=2x + 1与曲线切于点（1，3)，则=_____.
15. 抛物线C:x2 = 8y的焦点为F，过F且倾斜角为的直线l与抛物线C交于A，B两点，点D为抛物线C上的动点，且点D在l的右下方，则△DAB面积的最大值为________.
16. 设a > 2，，有下列结论:①有两个极值点；②
有三个零点；③的所有零点之和为0.其中正确的结论是________ .(填序号）
三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分12分）
已知等比数列{}的前项和=.
(1) 求r的值，并求出数列的通项公式；
(2) 令，求数列{}的前n 项和
18. (本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，B，c，若= sinC tanA-
cosC.
(1)求A;
(2)若b= 3，c = 2,点D 为BC 中点，求a 及AD.
19. (本小题满分12分）
如图四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为矩形，PA丄底面ABCD.PA =AB
=，点E，F分别是棱PB，PC的中点.
(1)求证PB丄AF；
(2)若AD = 1,求二面角A —EC —D的平面角的余弦值。

20.(本小题满分12分)
已知椭圆C:十- 1(a >b>0)人心率为其左,右焦点分别是F1,F2,椭圆上的4个点A,B,M,N满足：直线AB过左焦点F1，直线AM过坐标原点O，直线AN的斜率为，且△AB F2的周长为8.
(1) 求椭圆C的方程；
(2) 求△AMN面积的最大值.
21. (本小题满分12分）
已知函数= lnx + ax2 + (a + 2)x +1(a R).
(1) 讨论函数的单调性；
(2) 若a=-2,证明：当x>0 时>0.
请考生在第22、23题中任选一做答，如果多做，则按所做的第一题计分,做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑
22. (本小题满分10分）选修4 一4极坐标和参数方程
在平面直角坐标系xOy中，已知A(0，1),曲线的参数方程为为参数).以坐标原点O为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为).
(1) 把的参数方程化为极坐标方程；
(2) 设分别交，于点P，Q，求△APQ的面积.
23. (本小题满分10分）选修4 — 5 :不等式选讲
已知函数M为不等式<2的解集.
⑴求M;
(2)证明：当a,b M 时，| a + b|<丨1 + ab I.
洛阳市2020—2021学年高中三年级期中考试
数学试卷参考答案(理）
一、选择题
1-5 BCBCA 6-10 DADBB 11-12 CD
二、填空题
13. 3 14. 2 15. 16 16.①②③
三、解答题
17.解：（1) ∵= ，
∴当n = 1 时, = = 4 — r.
当n 时, = =
∵{}是等比数列，∴= 4 — r ∴r = 2,
∴= ( ).
(2) ∵
∴
=
=1-
18.解：（1)由正弦定理，原式可化为
sinC—sinB = sinA(sinCtanA - cosC)，
即sinC — sin(A + C) = sinA(sinCtanA — cosC)，
∴sinC — sinAcosC — cosAsinC = sinC—sinAcosC.
sinC, + cosA =，
即+ A = cosA，
cosA =，
又0<A<，∴ A=
(2)由余弦定理可得
∴a = ,
∵D是BC的中点，∴BD=
又cosB=
∴AD2=AB2+ BD2 - 2AB • BD • cosB=
∴AD=
19.解：∵PA 丄底面ABCD,BC 平面ABCD，∴PA 丄BC.
而BC 丄AB，PA AB = A，∴BC 丄平面PAB，又PB平面PAB，
∴ BC丄PB.
连结EF，∵E,F点分别是棱PB,PC的中点，
∴EF 为△PBC 的中位线，∴EF // BC，
∴EF 丄PB.
又△PAB为等腰直角三角形，E为斜边的中点，
∴AE 丄 PB
而EF平面AEF，AE平面AEF，EF AE = E，
∴PB 丄平面AEF.
又AF平面AEF，∴PB 丄AF.
(2) 如图，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线为x轴，y轴,z轴建立空间直角坐标系.
则D(0，1，0)，C(，1，0)，B(，0,0)，P(0,0, )，
∴E(,) ……7 分
∴= ( , 1 , 0) , = (,)，
设平面ACE的法向量为= (,，
则取=-1，
则, 1 ，9 分
设平面DCE的法向量为= (,)，
而=(，0,0)，= (,).
则
取= 1，则= (0，1，).
∴11分
∴二面角A — EC — D的平面角的余弦值为
20. (1)由椭圆的定义知4a = 8. ∴ a = 2.
∵
从而b2 = a2— c2 = 3.
椭圆C的方程为十
(2)设直线AN:y=-代入曲线C:十
化简得3x2— 3tx— 3=0
设A(,)，N(,)，
由△> 0 得：t2 < 1 + =t • =……6分
lAN|= - = •
=•
点O到直线AN的距离d =
∵直线AM过坐标原点，
∴ =
(当且仅当，即= 6 时，取“ = ”）.
∴△AMN面积的最大值为.
21. (1) ∵= lnx + ax2 + (a + 2)x +1(a R).，
∴
=
①若a 0,则> 0，在(0, + )上单调递增；
②若a<0,由>0得0<x<-；
由得x >-.
∴函数在(0, -）上单调递增，在(-，+ )上单调递减.
综上，当a 0时，则在(0, + )上单调递增；
当a < 0时，在(0, -）上单调递增，在(-，+ )上单调递减
⑵由⑴可知，当a =-2时，在(0，)上单调递增，在(，+ )上单调递减，
= =ln 6 分
∴ = lnx — 2x2 + 1 < 0, - xlnx >— 2x3 + x,
∵可化为
∴.
记h(x) = (x> 0)，则h’(x) =
记= ，则=，
由=,得
当(0，ln2)时，< 0,当(ln2, +)时，> 0，
∵函数在(0，ln2)上单调递减，在(ln2, +)上单调递增，
∴= = = 4 – 2ln2 > 0,
∴> 0,即h’(x) > 0,故函数h(x)在(0, +)上单调递增.
∴h(x)> h(0) == 0,即, > 0,
∴> 0.
22. 解:（1)由为参数），消去参数t得，
即g的普通方程为.
∴,
∴的极坐标方程为,,即= 4cos.
(2)设点P，Q的极坐标分别为()，Q(.
将代入,得.
将代入，得= 1_
所以I PQ | = |=2 -1.
所以点A(0，1)到曲线的距离d = | OA | sin
所以= |PQ|•d = (2 -1 ) • =
23. 解:⑴当<- 时，=，
则由< 2 得-1 < x <- ;
当时，= = 1<2恒成立；
当> 时，;，由< 2 得，.
综上可得，M=
⑵当a，b (- 1，1)时，有( — 1)( — 1) >0，
即+1>+，
则+2ab + 1 > +2ab +, 则(ab + 1)2 > (a + b)2，即|a + b|<| ab + 1|.。