河南省郑州市2014-2015学年上期期末高二数学(文)试题卷(含答案)

郑州市2014-2015学年上期期末考试
高 二 数 学（文）试 题 卷
考试时间120分钟
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 抛物线22x y = 的焦点坐标是
A. 1(,0)2
B. 1(0,)2
C. (1,0)
D. (0,1) 2. 设,a b R ∈ ，则“a b > ”是“2()0a b b -> ”的 A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.不等式2
201420150x x +->的解集为
A. {20151}x x -<<
B. {12015}x x x ><-或
C. {12015}x x -<<
D. {-12015}x x x 或<>
4. 等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且336,0S a ==，则公差d 等于 A. 1- B. 1 C.2 D. 2-
5.如图所示，为了测量某障碍物两侧,A B 间的距离，给定下列四组数据，不能确定,A B 间距离的是
A.,,a b α
B.,,a αβ
C. ,,a b γ
D.,,b αβ
6.如图所示，是古希腊人用小石子在沙滩上摆成的星星图案，它构成一个数列，该数列的一
个通项公式是
A. 21n a n n =-+
B. (1)
2
n n n a -=
C. (1)2n n n a +=
D. (2)
2
n n n a +=
7.设变量,x y 满足约束条件3
123x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪-≤⎩
，则目标函数23z x y =+ 的最小值为
γβ
α
C
B
A
A. 6
B. 7
C.8
D.23 8.已知0,0a b >> ，且2是2a 与b 的等差中项 ，则1
ab
的最小值为 A.
14 B. 1
2
C. 2
D.4 9.已知点2,1（）和-1,3（）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是
A. 49a -<<
B. 94a -<<
C. 4a <- 或 9a >
D. 9a <- 或 4a >
10. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为7112a a +的最小值为
A.16
B. 4
C.
D.8 11.已知2()2(1)f x x xf '=+，则(0)f '等于
A.0
B. 2-
C. 4-
D.2 12.已知方程
sin x
k x
=在(0,)+∞上有两个不同的解,()αβαβ<，则下面结论正确的是 A. sin cos ααβ=- B. sin cos ααβ= C. cos sin αββ= D. sin sin ββα= 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 命题2
:0,0p x x ∃<>的否定是_______________ 14.若2,,,,9a b c 成等差数列，则_______c a -=
15.在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若sinA 30,2b ===， 则边长______c =
16.现有甲、乙两人相约到登封爬嵩山，若甲上山的速度为1v ，下山的速度为212()v v v ≠，乙上山和下山的速度都是
12
2
v v +（甲、乙两人中途不停歇且下山时按原路返回），则甲、乙两人上下山所用的时间12,t t 的大小关系为________
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.（本小题满分10分）
设等差数列{}n a 满足3105,9a a ==- （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求{}n a 的前n 项和n S 的最大值
18.（本小题满分12分）
命题p ：关于x 的不等式2
240x ax ++>，对一切x R ∈恒成立。

命题q ：抛物线24y ax
=的焦点在(1,0)的左侧，若p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，求实数a 的取值范围
19. （本小题满分12分）
在锐角ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c 2csin B = （1）求角C 的大小；
（2）若2
2
()6c a b =-+，求ABC ∆的面积
20. （本小题满分12分）
汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”。

刹车距离是分析事故的一个重要因素。

某市的一条道路在一个限速为40/km h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了。

事后现场勘查测得甲车刹车距离刚好12m ，乙车刹车距离略超过10m 。

又知甲、乙两种车型的刹车距离()S m 与车速(/)x km h 之间分别有如下关系：2
2
0.10.010.050.005S x x S x x =+=+甲乙，。

问：甲、乙两车有无超速现象？
21. （本小题满分12分）
已知函数()2(x f x e x e =-为自然对数的底数） （1）求函数()f x 的单调区间
（2）若存在．．1[,2]2
x ∈使不等式()f x mx <成立，求实数m 的取值范围
22. （本小题满分12分）
已知圆2
2
:3C x y +=的半径等于椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的短半轴长，椭圆E 的右
焦点F 在圆C
内，且到直线:l y x =
2
-
，点M 是直线l 与圆C 的公共点，设直线l 交椭圆E 于不同的两点1122(,),(,)A x y B x y （1）求椭圆E 的方程
（2）求证：AF BF BM AM -=-
F M y
x
O
B
A
2014—2015学年上期期末学业水平测试
高中二年级 数学（文科） 参考答案
一、选择题
1.B ；
2.B ；
3.B ；
4.D ；
5.A ；
6. C ；
7. B ；
8. B ；
9. A ；10. D ；11.；C ；12.A. 二、 填空题
13. 20,0;x x ∀<≤ 14. 7;2
15.2； 16. t 1＞t 2 . 三、解答题
17. 解：（1）由1(1)n a a n d =+-,及35a =，109a =-得 1125,
99,
a d a d +=⎧⎨
+=-⎩ …………4分
解得19,2.a d =⎧⎨=-⎩
数列{n a }的通项公式为112n a n =-. …………6分 (2)由(1) 知21(1)102
n n n S na d n n -=+
=-.
…………8分 因为2(5)25n S n =--+.
所以n =5时，n S 取得最大值25. …………10分 18.解：设2()24,g x x ax =++
由于关于x 的不等式2240x ax ++>对一切R x ∈恒成立，
故2
4160a ∆=-<，∴ 22a -<<. (2)
分
又∵抛物线24y ax =的焦点在()1,0的左侧，
∴a <1. 0.a ≠ …………4分 又由于p 或q 为真，p 且q 为假，可知p 和q 一真一假．…6分 (1)若p 真q 假，则22,
1,
a a -<<⎧⎨
≥⎩∴12a ≤<；或0.a =………8分
(2)若p 假q 真，则22,
1,
a a a ≤-≥⎧⎨
<⎩或∴2a ≤-. …………10分
综上可知，所求实数a 的取值范围为12a ≤<，或2a ≤-.或0.a =12分 19.解：（1） 由正弦定理
.sin sin sin a b c
A B C
== ………2分
2sin sin .B C B =
得：sin C =
………4分 又C 为锐角，∴ 60.C = …………6分
（2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-2().a b ab =-+ ……8分 又22()6c a b =-+，6,ab ∴= …………10分
∴ △ABC
的面积为1sin 2ab C =
. …………12分 20．解：由题意知,对于甲车,有20.10.0112.x x += 即2
1012000x x +-=, …………2分 解得3040x x ==-或 (40x =-不符合实际意义,舍去). ……4分
这表明甲车的车速为30km/h .
甲车车速不会超过限速40km/h . ………6分
对于乙车,有2
0.050.00510x x +>,
即2
1020000x x +->, ………8分
解得4050x x ><-或 (50x <-不符合实际意义,舍去). …10分 这表明乙车的车速超过40km/h ,超过规定限速. ………12分 21. 解：（Ⅰ）()2x f x e '=-. …………2分 令()0f x '=，即2=0x e -，解得ln 2x =. …………4分
(ln 2)x ∈-∞，时，()0f x '<，(ln 2)x ∈+∞，时，()0f x '>， 此时()f x 的单调递减区间为(ln 2)-∞，
，
单调递增区间为(ln 2)+∞，. …………6分
（Ⅱ）由题意知1
[2]2
x ∃∈，
使()f x mx <成立， 即1[2]2x ∃∈，使2x e x m x
->成立； …………8分 所以2x e x m x
->（）的最小值.
令()2x e g x x =-，2
(1)()x
x e g x x -'=， …………10分 所以()g x 在1
[1]2
，上单调递减，在[12]，上单调递增，
则min ()(1)2g x g e ==-，所以(2)m e ∈-+∞，
. …………12分 22. 解：（Ⅰ）设点()(),00F c c >，则F 到直线l 的距离为
…………2分 ，因为F 在圆C 内，所以，故1c =；……4分 因为圆C 的半径等于椭圆E 的短半轴长，所以23b =，
…………6分
（Ⅱ）因为圆心O 到直线l 的距离为
所以直线l 与圆C 相切，M 是切点，故AOM △为直角三角形，
，又因为直线l 过点（0
，且斜率为1
…………8分
10分
，同理可得||||2
+=，
BF BM
12分。