冀教版八年级上册数学第13章 全等三角形 全章热门考点整合应用
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的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测到了河 的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边B点，选对岸 正对的一棵树A；②沿岸边直走20步有一 棵树C，继续前行20步到达D处；③从D处 沿与岸边垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E 处时停止行走；④测得DE的长就是河宽AB.请你证明他们做 法的正确性．
冀教版八年级上
第十三章全等三角形
集训全课堂章 热 门 考 点 整 合 应 用
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1 下列说法正确的是( A ) A．每一个命题都有逆命题 B．每一个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．真命题的逆命题一定是假命题
AP＝AP， ∴△ABP≌△AMP(SAS)，∴PB＝PM. 在△PCM 中，CM>PM－PC， ∴AM－AC>PB－PC.∴AB－AC>PB－PC.
9 如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝10，AC＝ 5，求AD的取值范围．
解：如图，延长AD至点E，使DE＝ AD，连接BE，则AE＝2AD.
3 如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪 开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：
A与________对应；B与________对应； C与___M_____对应；D与____N____对应．
Q
P
4 如图，已知△ABE与△ADC全等，∠1＝∠2，∠B＝ ∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．
7 如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC 上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.
证明：过B，C分别作CA，BA延长线的垂线，垂足分别为 F，G.
∠AFB＝∠AGC＝90°， 在△ABF 和△ACG 中，∠FAB＝∠GAC，
AB＝AC， ∴△ABF≌△ACG(AAS)．
∴BF＝CG，AF＝AG.又∵CD＝BE，
∵D为BC的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴AC＝EB. 在△ABE中，AB－EB<AE<AB＋EB， ∴AB－AC<2AD<AB＋AC. 又∵AB＝10，AC＝5， ∴5<2AD<15，∴2.5<AD<7.5.
10 【教材P56复习题A组T3变式】如图，某段河流的两岸是平行
(2) 已 知 DE ＝ 35cm ， 请 你 帮 小 明 求 出 砖 块 的 厚 度 a 的 大 小 (每块砖的厚度相等)．
解：由题意，得AD＝4a，BE＝3a. 由(1)得△ADC≌△CEB， ∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，∴DE＝DC＋CE＝7a. ∵DE＝35cm，∴a＝5cm. 答：砖块的厚度a为5cm.
解：如图所示． 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°. ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC， 即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD≌△EAB. ∴BE＝CD.
(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外 作 正 方 形 ABFD 和 正 方 形 ACGE ， 连 接 BE ， CD ， 猜 想 BE与CD有什么数量关系？并说明理由．
证明：由做法可知， ∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC 和△EDC 中，BC＝DC， ∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)． ∴AB＝ED， 即他们的做法是正确的．
11 如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD 的中点，则AF平分∠BAE，为什么？
解：连接 BF，EF.∵点 F 是 CD 的中点，∴CF＝DF.
解：作出的△ABC如图所示．
∴易得△BEF 可看成是由△CDG 翻折得到的，即△CDG
经翻折后可与△BEF 重合．∴∠AEB＝∠ADC.
【点拨】 判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确 定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件， 再去证什么条件．
8 如图，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P为AD上任 意一点．求证：AB－AC>PB－PC.
在△BCF 和△EDF 中，
BC＝ED， ∠C＝∠D，∴△BCF≌△EDF(SAS)．∴BF＝EF.
CF＝DF，
AB＝AE，
在△ABF 和△AEF 中，BF＝EF，∴△ABF≌△AEF(SSS)．
AF＝AF，
∴∠BAF＝∠EAF.∴AF 平分∠BAE.
12 如图，已知线段a，∠α，求作△ABC，使AB＝2a， ∠A＝∠α，∠B＝2∠α.(不写作法，但要保留作图痕迹)
解：BE＝CD.理由如下： ∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°. ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD≌△EAB. ∴BE＝CD.
6 课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉 到两堆砖块之间，如图所示．
(1)求证：△ADC≌△CEB；
证明：由题意，得AC＝BC， ∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.
∠ADC＝∠CEB， 在△ADC 和△CEB 中，∠CAD＝∠BCE，
AC＝CB， ∴△ADC≌△CEB(AAS)．
解：AB与AC，AE与AD，BE与 CD是对应边；∠B与∠C，∠2与 ∠1，∠BAE与∠CAD是对应角．
5 【中考·天水】(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为 边 分 别 向△ABC外 作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，连接BE，CD，请你完成图形(尺规作图，不写 作法，保留作图痕迹)，并证明BE＝CD.
2 已知下列命题：①若a＞b，则c－a＜c－b；②若a＞0， 则|a|＝a；③两直线平行，内错角相等；④对顶角相
等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
C
【点拨】 ①原命题是真命题，逆命题：若c－a＜c－b，则a＞b，也 是真命题；②原命题是真命题，逆命题：若|a|＝a，则a＞0， 是假命题；③原命题是真命题，逆命题：内错角相等，两 直线平行，是真命题；④原命题是真命题，逆命题：相等 的角是对顶角，是假命题．
证法一(截长法)：如图①，在 AB 上截取 AN＝AC，连接 PN. AN＝AC，
在△APN 和△APC 中，∠1＝∠2， AP＝AP，
∴△APN≌△APC(SAS)．∴PN＝PC. 在△BPN 中，PB－PN<BN， ∴PB－PC<AB－AN.∴AB－AC>PB－PC.
证法二(补短法)：如图②，延长 AC 至点 M，使 AM＝AB， 连接 PM. 在△ABP 和△AMP 中，A∠B1＝＝A∠M2，，
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第十三章全等三角形
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1 下列说法正确的是( A ) A．每一个命题都有逆命题 B．每一个定理都有逆定理 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．真命题的逆命题一定是假命题
AP＝AP， ∴△ABP≌△AMP(SAS)，∴PB＝PM. 在△PCM 中，CM>PM－PC， ∴AM－AC>PB－PC.∴AB－AC>PB－PC.
9 如图，在△ABC中，D为BC的中点．若AB＝10，AC＝ 5，求AD的取值范围．
解：如图，延长AD至点E，使DE＝ AD，连接BE，则AE＝2AD.
3 如图，将标号为A，B，C，D的正方形沿图中的虚线剪 开后，得到标号为N，Q，M，P的四个图形，填空：
A与________对应；B与________对应； C与___M_____对应；D与____N____对应．
Q
P
4 如图，已知△ABE与△ADC全等，∠1＝∠2，∠B＝ ∠C，指出全等三角形中的对应边和对应角．
7 如图，∠BAC是钝角，AB＝AC，D，E分别在AB，AC 上，且CD＝BE.求证：∠AEB＝∠ADC.
证明：过B，C分别作CA，BA延长线的垂线，垂足分别为 F，G.
∠AFB＝∠AGC＝90°， 在△ABF 和△ACG 中，∠FAB＝∠GAC，
AB＝AC， ∴△ABF≌△ACG(AAS)．
∴BF＝CG，AF＝AG.又∵CD＝BE，
∵D为BC的中点，∴CD＝BD. 又∵AD＝ED，∠ADC＝∠EDB， ∴△ADC≌△EDB(SAS)．∴AC＝EB. 在△ABE中，AB－EB<AE<AB＋EB， ∴AB－AC<2AD<AB＋AC. 又∵AB＝10，AC＝5， ∴5<2AD<15，∴2.5<AD<7.5.
10 【教材P56复习题A组T3变式】如图，某段河流的两岸是平行
(2) 已 知 DE ＝ 35cm ， 请 你 帮 小 明 求 出 砖 块 的 厚 度 a 的 大 小 (每块砖的厚度相等)．
解：由题意，得AD＝4a，BE＝3a. 由(1)得△ADC≌△CEB， ∴DC＝BE＝3a，CE＝AD＝4a，∴DE＝DC＋CE＝7a. ∵DE＝35cm，∴a＝5cm. 答：砖块的厚度a为5cm.
解：如图所示． 证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝60°. ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC， 即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD≌△EAB. ∴BE＝CD.
(2)如图②，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外 作 正 方 形 ABFD 和 正 方 形 ACGE ， 连 接 BE ， CD ， 猜 想 BE与CD有什么数量关系？并说明理由．
证明：由做法可知， ∠ABC＝∠EDC＝90°，
在△ABC 和△EDC 中，BC＝DC， ∠ACB＝∠ECD，
∴△ABC≌△EDC(ASA)． ∴AB＝ED， 即他们的做法是正确的．
11 如图，已知AB＝AE，∠C＝∠D，BC＝ED，点F是CD 的中点，则AF平分∠BAE，为什么？
解：连接 BF，EF.∵点 F 是 CD 的中点，∴CF＝DF.
解：作出的△ABC如图所示．
∴易得△BEF 可看成是由△CDG 翻折得到的，即△CDG
经翻折后可与△BEF 重合．∴∠AEB＝∠ADC.
【点拨】 判定两个三角形全等时，先根据已知条件或求证的结论确 定三角形，再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件， 再去证什么条件．
8 如图，在△ABC中，AB>AC，∠1＝∠2，P为AD上任 意一点．求证：AB－AC>PB－PC.
在△BCF 和△EDF 中，
BC＝ED， ∠C＝∠D，∴△BCF≌△EDF(SAS)．∴BF＝EF.
CF＝DF，
AB＝AE，
在△ABF 和△AEF 中，BF＝EF，∴△ABF≌△AEF(SSS)．
AF＝AF，
∴∠BAF＝∠EAF.∴AF 平分∠BAE.
12 如图，已知线段a，∠α，求作△ABC，使AB＝2a， ∠A＝∠α，∠B＝2∠α.(不写作法，但要保留作图痕迹)
解：BE＝CD.理由如下： ∵四边形ABFD和四边形ACGE都是正方形， ∴AD＝AB，AC＝AE，∠BAD＝∠CAE＝90°. ∴∠BAD＋∠BAC＝∠CAE＋∠BAC，即∠CAD＝∠EAB. ∴△CAD≌△EAB. ∴BE＝CD.
6 课间，小明拿着老师的等腰直角三角尺玩，不小心掉 到两堆砖块之间，如图所示．
(1)求证：△ADC≌△CEB；
证明：由题意，得AC＝BC， ∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE， ∴∠ADC＝∠CEB＝90°，∠ACD＋∠BCE＝90°， ∴∠ACD＋∠CAD＝90°，∴∠BCE＝∠CAD.
∠ADC＝∠CEB， 在△ADC 和△CEB 中，∠CAD＝∠BCE，
AC＝CB， ∴△ADC≌△CEB(AAS)．
解：AB与AC，AE与AD，BE与 CD是对应边；∠B与∠C，∠2与 ∠1，∠BAE与∠CAD是对应角．
5 【中考·天水】(1)如图①，已知△ABC，以AB，AC为 边 分 别 向△ABC外 作等边三角形 ABD和等边三角形 ACE，连接BE，CD，请你完成图形(尺规作图，不写 作法，保留作图痕迹)，并证明BE＝CD.
2 已知下列命题：①若a＞b，则c－a＜c－b；②若a＞0， 则|a|＝a；③两直线平行，内错角相等；④对顶角相
等．其中原命题与逆命题均为真命题的有( )
A．4个B．3个C．2个D．1个
C
【点拨】 ①原命题是真命题，逆命题：若c－a＜c－b，则a＞b，也 是真命题；②原命题是真命题，逆命题：若|a|＝a，则a＞0， 是假命题；③原命题是真命题，逆命题：内错角相等，两 直线平行，是真命题；④原命题是真命题，逆命题：相等 的角是对顶角，是假命题．
证法一(截长法)：如图①，在 AB 上截取 AN＝AC，连接 PN. AN＝AC，
在△APN 和△APC 中，∠1＝∠2， AP＝AP，
∴△APN≌△APC(SAS)．∴PN＝PC. 在△BPN 中，PB－PN<BN， ∴PB－PC<AB－AN.∴AB－AC>PB－PC.
证法二(补短法)：如图②，延长 AC 至点 M，使 AM＝AB， 连接 PM. 在△ABP 和△AMP 中，A∠B1＝＝A∠M2，，