2020年山东省青岛大学附中中考数学一模试卷(附答案详解)

2020年山东省青岛大学附中中考数学一模试卷1.(2021·江苏省宿迁市·历年真题)−6的相反数是()
A. 1
6B. −1
6
C. 6
D. −6
2.(2018·云南省文山壮族苗族自治州·期末考试)以下是回收、绿色包装、节水、低碳
四个标志，其中是中心对称图形的是()
A. B. C. D.
3.(2020·山东省青岛市·模拟题)下列运算正确的是()
A. (a+1)2=a2+1
B. 5a2−3a2=2
C. 2a+3b=5ab
D. (ab3)2=a2b6
4.(2020·山东省青岛市·模拟题)某市5月上旬的最高气温如下(单位：℃)：28、29、31、
29、33，对这组数据，下列说法错误的是()
A. 平均数是30
B. 中位数是31
C. 众数是29
D. 中位数是29
5.(2013·江苏省盐城市·期末考试)一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内
角和为720°，那么原多边形的边数为()
A. 5
B. 5或6
C. 5或7
D. 5或6或7
6.(2020·山东省青岛市·模拟题)已知△ABC在直角坐标系中的位置如图所示，如果以
原点O为位似中心，位似比为1
2
，在第二象限内将图形缩小为△A′B′C′，那么点A 的对应点A′的坐标()
A. (−1,4)
B. (2,−8)
C. (1
2,−2) D. (−1
2
,2)
7.(2020·山东省青岛市·模拟题)如图，一次函数y1=x+1的图象与反比例函数y2=2
x 的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，连接AO、BO，下列说法正确的有()
①A和点B关于原点对称；②当x<1时，y1>y2；③S△AOC=S△BOD；④当x>0
时，y1、y2都随x的增大而增大．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
8.(2020·山东省青岛市·模拟题)如图，正方形ABCD的边长为2，
以正方形边长为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为()
A. 2π−4
B. 2
C. 4π
D. 8−2π
9.(2020·山东省青岛市·模拟题)随着中国综合国力的提升，近年来全球学习汉语的人
数不断增加.据报道，2019年海外学习汉语的学生人数已达42600000人，用科学记数法表示为______ 人.
)−1+(√3−1)2−√36=______ ．
10.(2020·山东省青岛市·模拟题)(1
2
11.(2020·山东省青岛市·模拟题)如图，电灯P在横杆AB的正
上方，AB在灯光下的影子为CD，AB//CD，AB=2米，
CD=5米，点P到CD的距离是3米，则P到AB的距离
是______米．
12.(2020·山东省青岛市·模拟题)如图，在△ABC中，点I
是内心，且∠BIC=124°，则∠A=______ °.
13.(2020·山东省青岛市·模拟题)如图，矩形纸片ABCD的边长AB=4，AD=2.将矩形
纸片沿EF折叠，使点A与点C重合，则折叠后阴影部分的面积为______ ．
14.(2020·山东省青岛市·模拟题)在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a,b)，若规
定以下三种变换：
①f(a,b)=(−a,b).如，f(1,3)=(−1,3)；
②g(a,b)=(b,a).如，g(1,3)=(3,1)；
③ℎ(a,b)=(−a,−b).如，ℎ(1,3)=(−1,−3)．
按照以上变换有：f(g(2,−3))=f(−3，2)=(3，2)，那么f(g(ℎ(5,3)))等于______ ．15.(2020·山东省青岛市·模拟题)如图，四边形区域是音
乐广场的一部分，现在要在这一区域内建一个喷泉，
要求喷泉到两条道路OA，OB的距离相等，且到入
口A、C的距离相等请确定喷泉的位置P．
16.(2020·山东省青岛市·模拟题)计算题：
(1)解不等式组{x+1<3
2x+9≥3；
−1)．
(2)计算：(x−1)÷(2
x+1
17.(2020·山东省青岛市·模拟题)小明和小亮利用摸球做游戏．游戏规则是：在不透明
的袋子中分别放入2个白球和1个红球，它们除颜色外其余都相同．游戏时先把球摇匀，由小明从袋中任意摸出1球，记下颜色后放回并摇匀，再由小亮从袋中摸出1球，记下颜色；如果二人摸到球的颜色相同．则小明赢，否则小亮赢．
(1)请用树状图或列表的方法表示游戏中所有可能出现的结果．
(2)这个游戏对游戏双方公平吗？请说明理由．
18.(2020·山东省青岛市·模拟题)市教育局非常重视学生的身体健康状况，为此在体育
考试中对部分学生的立定跳远成绩进行了调查(分数为整数，满分100分)，根据测试成绩(最低分为53分)分别绘制了统计图：
(1)被抽查的学生为______ 人.
(2)请补全频数分布直方图．
(3)若全市参加考试的学生大约有4500人，请估计成绩优秀的学生约有多少人？(80
分以上为优秀)
19.(2020·山东省青岛市·模拟题)某学校为方便开展“阳光体育”活动，最近分两次为
同学们采购了球类：第一次用3000元购进一批排球，第二次又用2400元购进一批篮球；第二次所购进篮球的单价是第一次所采购排球单价的1.2倍，且数量比第一次少了20个．求学校这两次分别采购了多少个篮球和排球？
20.(2020·山东省青岛市·模拟题)海中有一个小岛A，该岛四周10海里范围内有暗礁.现
有一艘货轮由西向东航行，开始在A岛的南偏西53.4°的B处，往东行驶8海里后，
到达该岛的南偏西36.9°的C处.若该货轮继续往东航行，途中会有触礁的危险吗？
参考数据：sin53.4°≈0.8，tan53.4°≈1.35，sin36.9°≈0.6，tan36.9°≈0.75．
21.(2020·山东省青岛市·模拟题)已知，如图，△ABC中，E为AB的中点，DC//AB，
AB．
且DC=1
2
(1)求证：△AED≌△EBC；
(2)请对△ABC添加一个条件：______ ，使得四边形AECD成为矩形，并进行证明．
(3)请对△ABC添加一个条件______ ，使得四边形BCDE成为菱形，不必证明．
22.(2020·山东省青岛市·模拟题)某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，
根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具.设该种品牌玩具的销售单价为x元(x>40)，销售该品牌玩具获得利润y元．
(1)求出y与x的函数关系式，并通过计算说明销售单价定为多少元时，可以获得最
大利润？最大利润是多少元？
(2)若商场获得了10000元利润，求该玩具销售单价x定为多少元．
(3)若物价部门规定，该品牌玩具销售单价不得高于58元，如果商场想要获得不低
于10000元的销售利润，这种玩具的进货成本最少需要多少元？
23.(2020·山东省青岛市·模拟题)[问题情境]：
我们知道若一个矩形的周长固定，当相邻两边相等，即为正方形时，面积是最大的，反过来，若一个矩形的面积固定，它的周长是否会有最值呢？
[探究方法]：
用两条直角边分别为a、b的四个全等的直角三角形，可以拼成一个正方形，若a≠b，
ab，即a2+b2>2ab；若a=b，可以拼成如图1的正方形，从而得到a2+b2>4×1
2
ab，即a2+b2=2ab．可以拼成如图2的正方形，从而得到a2+b2=4×1
2
于是我们可以得到结论：a、b为正数，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab.另外，我们也可以通过代数式运算得到类似上面的结论．∵(a−b)2≥0，
∴a2+b2−2ab≥0．
∴a2+b2≥2ab．
∴对于任意实数a、b，总有a2+b2≥2ab，且当a=b时，代数式a2+b2取得最小值为2ab．
仿照上面的方法，对于正数a、b试比较a+b和2√ab的大小关系．
[类比应用]
利用上面所得到的结论，完成填空：
(1)x2+3
x2≥______ ，代数式x2+3
x2
有最______ 值为______ ．
(2)当x>0时，−x−5
x ______ ，代数式−x−5
x
有最______ 值为______ ．
(3)当x>3时，x+9
x−3≥______ ，代数式x+9
x−3
有最______ 值为______ ．
[问题解决]：
若一个矩形的面积固定为n，它的周长是否会有最值呢？若有，求出周长的最值及此时矩形的长和宽；若没有，请说明理由，由此你能得到怎样的结论？
24.(2020·山东省青岛市·模拟题)已知：如图，在Rt△ABC中，
∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm.直线PE从B点出发，
以2cm/s的速度向点A方向运动，并始终与BC平行，与
AB交于点P，与AC交于点E.同时，点F从C点出发，以
1cm/s的速度沿CB向点B运动，设运动时间为t(s)(0<t<
5)．
(1)当t为何值时，四边形PFCE是矩形？
(2)设△PEF的面积为S(cm2)，求S与t的函数关系式；
(3)连接BE，是否存在某一时刻t，使PF经过BE的中点？若存在，求出t的值；
若不存在，请说明理由．
(4)是否存在某一时刻t，使△PEF是直角三角形，若存在，求出t的值；若不存在，
请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【知识点】相反数
【解析】解：−6的相反数是6，
故选：C．
求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号．
此题考查了相反数的定义，互为相反数的两个数分别在原点两旁且到原点的距离相等．2.【答案】B
【知识点】中心对称图形
【解析】解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；
B、是中心对称图形，故本选项正确；
C、不是中心对称图形，故本选项错误；
D、不是中心对称图形，故本选项错误；
故选：B．
根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．
此题主要考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】D
【知识点】幂的乘方与积的乘方、合并同类项、完全平方公式
【解析】解：A、原式=a2+2a+1，不符合题意；
B、原式=2a2，不符合题意；
C、原式不能合并，不符合题意；
D、原式=a2b6，符合题意．
故选：D．
各式计算得到结果，即可作出判断．
此题考查了完全平方公式，合并同类项，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．
4.【答案】B
【知识点】算术平均数、中位数、众数
【解析】解：将这组数据重新排列为28、29、29、31、33，
=30，中位数为29，众数为29，
所以这组数据的平均数为28+29+29+31+33
5
故选：B．
将数据重新排列，再根据平均数、中位数和众数的概念求解即可．
本题主要考查众数、中位数和平均数，解题的关键是掌握众数、中位数和平均数的概念．5.【答案】D
【知识点】多边形内角与外角
【解析】解：如图，
剪切的三种情况：①不经过顶点剪，则比原来边数多1，
②只过一个顶点剪，则和原来边数相等，
③按照顶点连线剪，则比原来的边数少1，
设内角和为720°的多边形的边数是n，则(n−2)⋅180=720，
解得：n=6．
则原多边形的边数为5或6或7．
故选：D．
首先求得内角和为720°的多边形的边数，即可确定原多边形的边数．
本题考查了多边形的内角和定理，理解分三种情况是关键．
6.【答案】D
【知识点】坐标与图形性质、位似图形及相关概念
【解析】解：如图，A(1,−4)，
∵以原点O 为位似中心，位似比为12，在第二象限内将图形缩小为△A′B′C′， ∴点A 的对应点A′的坐标为(−12,2)．
故选：D ．
根据关于以原点为位似中心的点的坐标的变换规律，把A 点的横纵坐标都乘以−12可得到点A′的坐标．
本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k ，那么位似图形对应点的坐标的比等于k 或−k ． 7.【答案】A
【知识点】一次函数与反比例函数综合
【解析】解：①{y =x +1
y =2x
， 消去y 得x +1=2x ，
解得：x 2+x −2=0，
(x +2)(x −1)=0，
x 1=−2，x 2=1，
代入y =x +1得：y 1=−1，y 2=2，
∴B(−2,−1)，A(1,2)，
∴A 、B 不关于原点对称，故本选项错误；
②当−2<x <0或x >1时，y 1>y 2，故本选项错误；
③∵S △AOC =12×1×2=1，S △BOD =12×|−2|×|−1|=1， ∴S △BOD =S △AOC ，故本选项正确；
④当x >0时，y 1随x 的增大而增大，y 2随x 的增大而减小，故本选项错误； 故选：A ．
求出两函数式组成的方程组的解，即可得出A 、B 的坐标，即可判断①；根据图象的特点即可判断②；根据A 、B 的坐标和三角形的面积公式求出另三角形的面积，即可判断③；根据图形的特点即可判断④．
本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生观察图象的能力，熟练掌握函数的性质是解此题的关键，题目比较典型，是一道具有一定代表性的题目．
8.【答案】D
【知识点】扇形面积的计算、正方形的性质
【解析】解：
)2]=8−2π，
图中阴影部分的面积S=2×[2×2−π×(2
2
故选：D．
根据图形得出阴影部分的面积等于矩形ABCD的面积减去一个圆的面积的差的2倍，再求出答案即可．
本题考查了正方形的性质和扇形面积的计算，能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键．
9.【答案】4.26×107
【知识点】科学记数法-绝对值较大的数
【解析】解：42600000=4.26×107．
故答案为：4.26×107．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
10.【答案】−2√3
【知识点】负整数指数幂、实数的运算
【解析】解：原式=2+3+1−2√3−6
=−2√3．
故答案为：−2√3．
直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质、完全平方公式计算得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
11.【答案】6
5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求出P到AB的距离．利用相似三角形对应高的比等于相似比，列出方程即可解答．
【解答】
解：∵AB//CD
∴△PAB∽△PCD
∴AB：CD=P到AB的距离：点P到CD的距离．
∴2：5=P到AB的距离：3
m，
∴P到AB的距离为6
5
．
故答案为6
5
12.【答案】68
【知识点】三角形的内切圆与内心
【解析】解：∵在△ABC中，点I是内心，且∠BIC=124°，
∴∠IBC+∠ICB=180°−124°=56°，
∴∠B+∠C=112°，
∴∠A=180°−(∠B+∠C)=180°−112°=68°．
故答案为：68．
根据三角形的内心是三条角平分线的交点，∠BIC=124°，可得∠B+∠C的度数，从而得到∠A的度数．
本题考查三角形的内切圆和内心，解题的关键是明确三角形的内心是三条角平分线的交点．
13.【答案】11
2
【知识点】翻折变换(折叠问题)、矩形的性质
【解析】解：由图形折叠不变形的性质可知AD=GC，DF=GF，AE=CE，设DF=GF=x，则FC=4−x，
∵GC=AD=2，
在Rt△CGF中，CF2=GF2+GC2，
即(4−x)2=x2+22，
解得x=3
2
，
阴影部分的面积=S四边形
BEFC +S△CGF=1
2
S
矩形ABCD
+S△CGF=1
2
AB⋅AD+1
2
GF⋅GC=
1 2×4×2+1
2
×3
2
×2=11
2
，
故答案为：11
2
．
根据图形翻折不变形的性质求FG，再根据阴影部分的面积等于四边形BEFC的面积+△CGF的面积计算即可．
本题主要考查组合图形的面积，根据翻折后图形的变化后各边之间的关系求出边长是解题的关键．
14.【答案】(3,−5)
【知识点】轴对称中的坐标变化
【解析】解：f(g(ℎ(5,3)))
=f(g(−5,−3))
=f(−3,−5)
=(3,−5)．
故答案为：(3,−5)．
直接根据题意分别化简得出答案．
此题主要考查了新定义，正确理解各式的意义是解题关键．
15.【答案】解：如图所示：P点即为所求．
【知识点】角平分线的性质、作图与测量
【解析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作
法得出P点即可．
此题主要考查了应用设计与作图，熟练应用角平分线的
性质和线段垂直平分线的性质是解题关键．
16.【答案】解：(1){
x +1<3①2x +9≥3②
， 解①得x <2，
解②得x ≥−3， 所以不等式组的解集为−3≤x <2；
(2)原式=(x −1)÷2−(x+1)x+1
=(x −1)⋅x +1−(x −1)
=−x −1．
【知识点】一元一次不等式组的解法、分式的混合运算
【解析】(1)分别解两个不等式得到x <2和x ≥−3，然后利用大小小大中间找确定不等式组的解集；
(2)先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可．
本题考查了分式的混合运算：分式的混合运算，一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算．也考查了解不等式组．
17.【答案】解：(1)根据题意可列表如下：
从列表可以看出所有可能结果共有9种，且每种结果发生的可能性相同，
(2)其中颜色两人摸到球的颜色相同的占5种，颜色不同的占4种，
∵P 小明赢=59
，P 小亮赢=49，且P 小明赢≠P 小亮赢， ∴这个游戏对游戏双方不公平．
【知识点】游戏公平性、用列举法求概率(列表法与树状图法)
【解析】(1)列表得出所有等可能的情况数；
(2)找出两次颜色相同的与不同的情况数，分别求出两人获胜的概率，比较大小即可做出判断．
此题考查了游戏的公平性，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
18.【答案】45
【知识点】加权平均数、用样本估计总体、频数(率)分布直方图
【解析】解：(1)被抽查的学生人数为3+42=45(人)，
故答案为：45；
(2)76.5∼84.5的人数为45−(3+7+10+8+5)=12(人)，
补全图形如下：
(3)估计成绩优秀的学生约有4500×20
45
=2000(人)．
(1)根据表格中59.5分以下和59.5分以上的人数可得答案；
(2)根据各分数段的人数之和等于总人数求出76.5∼84.5的人数即可补全图形；
(3)用总人数乘以样本中成绩优秀学生人数所占比例即可．
本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
19.【答案】解：设学校采购了x个排球．
根据题意得：1.2×3000
x =2400
x−20
，
解得，x=60，
经检验x=60是原方程的根，则x−20=40．
答：学校这两次分别采购了40个篮球和60个排球．【知识点】分式方程的应用
【解析】设学校采购了x个排球．根据“第二次所购进篮球的单价是第一次所采购排球单价的1.2倍，且数量比第一次少了20个”找到等量关系，列出方程．
本题考查了分式方程的应用．利用分式方程解应用题时，一般题目中会有两个相等关系，这时要根据题目所要解决的问题，选择其中的一个相等关系作为列方程的依据，而另一个则用来设未知数．
20.【答案】解：如图，作AD⊥BC于点D，设AD=x海里，
在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=36.9°，
∴CD=AD⋅tan36.9°=tan36.9°⋅x．
在Rt△ABD中，∵∠ADB=90°，∠BAD=53.4°，
∴BD=AD⋅tan53.4°=tan53.4°⋅x．
∵BD−CD=BC，
∴tan53.4°⋅x−tan36.9°⋅x=8，
∴1.35x−0.75x=8，
解得x≈13.3(海里)，
∵13.3海里>10海里，
而A岛到货轮的航线的最短距离大于10，所以不可能触礁．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】作AD⊥BC于点D，设AD=x海里，先解Rt△ACD，得出CD，再解Rt△ABD，得出BD，然后根据BD−CD=BC列出方程，解方程求出A到BC的最短距离，和10比较可得答案．
本题考查了解直角三角形的应用−方向角问题，解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线．
21.【答案】BC=AC AB=2BC
【知识点】菱形的判定、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质
AB，E为AB的中点，
【解析】(1)证明：∵DC=1
2
∴CD=EB=AE，
又∵DC//AB，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC，AD//CE，
∴∠BEC=∠BAD，
∴△BEC≌△EAD(SAS)；
(2)解：添加一个条件：BC=AC，可使得四边形AECD成为矩形，证明如下：
由(1)得：四边形AECD是平行四边形，
又∵BC=AC，E为AB的中点，
∴CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴平行四边形AECD是矩形；
故答案为：BC=AC；
(3)解：添加一个条件：AB=2BC，可使得四边形BCDE成为菱形，证明如下：
由(2)得：CD=BE且CD//BE，
∴四边形BCDE是平行四边形，
∵E为AB的中点，
∴AB=2BE，
∵AB=2BC，
∴BE=BC，
∴平行四边形BCDE是菱形；
故答案为：AB=2BC．
(1)利用SAS即可证得△BEC≌△EAD；
(2)由等腰三角形的性质得E⊥AB，即可得出结论；
(3)先证四边形BCDE是平行四边形，再证BE=BC，可得四边形BCDE是菱形．
本题考查了全等三角形的性质和判定，矩形、菱形的判定，平行四边形的判定与性质等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键．
22.【答案】解：(1)设销售该品牌玩具获得利润y元，销售量是w件，
根据题意，得：w=600−10(x−40)=−10x+1000，
y=(x−30)(−10x+1000)，
化简，得y=−10x2+1300x−30000，
化为顶点式：y=−10x2+1300x−30000=−10(x−65)2+12250，
∴当x=65时，y最大=12250，
答：y与x的函数关系式为y=−10x2+1300x−30000，当该玩具销售单价为65元时，商场获得最大利润12250元；
(2)依题意−10x2+1300x−30000=10000，
解之得：x1=50，x2=80
答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润；
(3)由(2)可得当50≤x≤58时，符合获得不低于10000元的销售利润，
∵销售量随着价格的提升而减小，
∴当x=58时，销售量w=−10×58+1000=420(件)，
这种玩具的进货成本最少需要30×420=12600(元)．
答：这种玩具的进货成本最少需要12600元．
【知识点】二次函数的应用、一元二次方程的应用
【解析】(1)设销售该品牌玩具获得利润w元，根据“实际销量=原销量−降低的价格×每降1元少售出的件数”可得销量y的函数解析式，根据“总利润=每件利润×降价后的销售量”可得w的函数解析式，将函数解析式配方成顶点式即可得出函数的最大值；
(2)利用一元二次方程的解法进而得出x的值；
(3)由(2)可得当50≤x≤58时，符合获得不低于10000元的销售利润，求出销售量，即可得进货成本．
本题考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质以及利用二次函数最值求解．
23.【答案】2√3小2√3≤−2√5大−2√59 小9
【知识点】四边形综合
【解析】解：[探究方法]：
对于正数a、b，由题意可得：
∵(√a+√b)2=a+2√ab+b≥0，
∴a+b≥2√ab，
故a+b和2√ab的大小关系：a+b≥2√ab，
[类比应用]：
(1)x2+3
x2≥2√3，代数式x2+3
x2
有最小值为2√3，
故答案为：2√3，小，2√3；
(2)当x>0时，−x−5
x =−(x+5
x
)，
∵x+
5
x
≥2√x⋅
5
x
即x+5
x
≥2√5，
∴−(x+5
x )≤−2√5，代数式−x−5
x
有最大值为−2√5，
故答案为：≤−2√5，大，−2√5；
(3)当x>3时，x+9
x−3=x−3+9
x−3
+3，
∵x−3+9
x−3
≥2√9=6，
∴x−3+9
x−3
+3≥6+3，
∴当x>3时，x+9
x−3≥9，代数式x+9
x−3
有最小值为9；
故答案为：9，小，9；
[问题解决]：
设该矩形的长为a，宽为b(a≥b>0)，
根据题意：C=2(a+b)≥4√ab=4√n，且当a=b时，代数式2(a+b)取得最小值4√n，此时a=b=√n，
故若一个矩形的面积固定为n，它的周长是有最小值，最小值为4√n，此时矩形为一个正方形，长和宽都为√n．
[探究方法]：仿照给定的方法，理解并加以推理即可得出a+b≥2√ab；
[类比应用]：(1)根据探究中的方法，代入数据即可得出结论；
(2)观察题干发现提取负号，即可按照(1)中方法推理得出结论；
(3)观察题干发现先减3再3，即可按照(1)中方法推理得出结论；
[问题解决]：设该矩形的长为a，宽为b(a≥b>0)，根据上提结论结合周长和面积计算公式综合推理即可得出结论．
本题属于创新题型，根据阅读材料，考查学生的理解能力和学习能力，结合四边形的知识比较灵活，本题理解题干中的推理方法并能举一反三是解决本题的关键．
24.【答案】解：(1)在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=√AC2+BC2=√82+62=10，
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第22页，共23页 ∵PE//BC ， ∴PA AB =PE BC =AE AC ，即10−2t 10=PE 6=AE 8， ∴PE =35(10−2t)，AE =45(10−2t)，
当PE =CF 时，四边形PECF 是矩形，
∴3
5(10−2t)=t ， 解得t =3011．
(2)S =12⋅PE ⋅CE =12×35(10−2t)×[8−45(10−2t)]=−2425t 2+
245t(0<t <5)．
(3)当PE =BF 时，PF 经过BE 的中点．
则有35(10−2t)=6−t ，
解得t =0，不合题意，
∴不存在某一时刻t ，使PF 经过BE 的中点．
(4)①当∠FPE =90°时，PE =CF ，
∴35(10−2t)=t ，
解得t =3011．
②当∠PFE =90°时，PE 2=PF 2+EF 2，
∴[35(10−2t)]2=[35(10−2t)−t]2+(85t)2+(85t)2+t 2，
解得t =150119，
综上所述，满足条件的t 的值为3011或150119．
【知识点】四边形综合
【解析】(1)由PE//BC ，可得PA AB =PE BC =AE AC ，即
10−2t 10=PE 6=AE 8，推出PE =35(10−2t)，AE =45(10−2t)，当PE =CF 时，四边形PECF 是矩形，列出方程即可解决问题；
(2)根据S =1
2⋅PE ⋅CE 计算即可；
(3)当PE =BF 时，PF 经过BE 的中点．则有35(10−2t)=6−t ，解得t =0，不合题意，
推出不存在某一时刻t，使PF经过BE的中点．
(4)分两种情形：①∠FPE=90°.②∠PFE=90°，分别构建方程求解即可．
本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建参数解决问题，属于中考常考题型．
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