采用新盐度边界条件的海洋动力学方程组整体弱解的存在性

zso
′) T ,
^
且满足能量不等式:
∫
O
∫
^
U ２d
σd
ζ ＋κ０
∫
∫
κ０C
t
Ñzso
′
０ OS
∫
d
σd
τ ≤ C (M ) (１＋ ‖Ψ ‖
∫
２
zso
′d
σ ＋C
OS
t
０
∫‖^U ‖
t
２
‖ Ñ^
U ‖２
τ ＋C
L (O ) d
t
２
其中:
C,
C(
M )＞０ 都是常数 ．
d
τ ,
２２
L (
O)
０
d
τ＋
＝e(
另外
~
∫h
h∗
c(U ,
U ) ＝ks１
∫h
gγαs
cs２
h∗
Os
~
２
~
２
Os
∫h
~
ks３gα３
( V１０ ３S
′S
′) |ζ＝０d
σ＋
cs２
由迹定理和 Sobo
vλ∗ ) ．
(
１３)
下式初边值问题的解为ζ∗ ．

ìï
∂h∗
∂h∗ζ∗
∗
∗
ïκ０ ∗
＋ Ñ (h V ) ＋
＝０,
(
∂
t
∂
１４)
í
ζ
ï
ï ∗
îζ ＝０,
ζ ＝－１．
)关于
,
将式(
积分,
在
[
]
１４
ζ ∈ －１ζ
ζ ＝０ 时有

κ０ ∗ ∂h∗
é
ù
１ ζ
∗
∗
∗
ê
(
Ñ

(
)
(１＋ζ) úú
１５)
h
V
运动方程:

∂V
V
１
co
tθ ö æ０ －１ö
æ
∗
∗ ∂
Ñp
÷V ＋
′＋
o
sθ ＋
vλ ÷ ç
＋ (V Ñ )V ＋ζ
＋ ç２ωc
∂
t
∂
è
ø
a
１
０
è
ø
ζ
ρ０
~
~
gρ
′
１
∂ ækzof∂V ö
[ (１＋ζ) Ñzso
′ ＋ζ Ñh ] ＝ ∗ Ñ (hkhof ÑV ) ＋ çç ~ ∂ ÷÷ ,
f( V ) 是
ρso (θ,
吹风系数,假设函数 f () 满足
＋
(
C１xα ≤ f (x ) ≤ C２ (１＋xα ) ,
０＜α ＜１,
１７)
f (x ) ∈ C (R ) ,
３
其中:
P,
R 和 E 是正常数,分别代表降水作用,径流作用和蒸发作用;
γ V１０ S
′ 为实盐通量扰动量 ．
2 整体弱解的存在性结论
－cS (１＋ζ) çκ０
＋
ç
∂
∂
t
è
ø ÷
ζ
ç
÷

~
ç
÷
c２
V Ñh ＋h∗ζ)
S (ζ
ç
÷

ç
÷
∗
∂h ζ
ç
÷
Ñ (h∗V ) ＋
è
ø
∂
ζ
第１期
张燕玲等:采用新盐度边界条件的海洋动力学方程组整体弱解的存在性
９


∂V
∗
非线性项 (V ∗ Ñ )V 和ζ∗
中的 (V ∗ ,
) 是修正的速度场 ．令
∂
h
ρ０
ζ èh２ ζ ø
(
１)
其中:
ω 为地球的自转角速度;
khof,
kzof是扩散系数 ．
g 为重力加速度;
温度方程:
收稿日期:
２０２０
Ｇ
１０
Ｇ
１５
基金项目:国家自然科学基金项目(
４１９７５１２９)
作者简 介:张 燕 玲 (
１９９５
Ｇ),女,河 南 焦 作 人,在 读 硕 士,研 究 方 向:偏 微 分 方 程 ．
ï[
(
１６)
í
kzofS
′ζ ＋ks３ (P ＋R －E )S
′ ＋γ V１０ ３S
′]|ζ＝０ ＝０,
ï[
ï
ï
sogzso
′|ζ＝０ ＝κ０ρ
′(θ,
λ,
t) ．
îζ|ζ＝０ ＝０,
p

其中:
V１０ (θ,
λ) 是海表十米风速;
λ) 是参考标准海表密度;
ks１ ,
ks２ ,
ks３ 和 γ 是正 常 数;
１９]定义e(
U,
c(
U,
φ)为耗散项与试验函数的内积;
φ)为边
界函数与试验函数 φ 的内积;
U,
U,
U 称为海洋动力学方程组(
６)
g(
φ)为其余项与试验函数 φ 的内积 ．
在 O × [０,
M ] 上的弱解 ．
定理 １(整体弱解的存在性) 对任意 M ＞０,假定下列条件成立:
~
~
~
~
,¥
T (ζ ) ∈ W １ ( [
φz′so )＝ (
φU^ ,
φzso′ )∈ C (０,
有 φ (M ,) ＝０,使得
∫
(I (U０ ) ,
φ (０,) ) ＋
M
０
∫[e(U ,φ ) ＋c(U ,φ ) ＋g (U ,U ,φ ) － (F,φ ) ]dt＝０,
(I (U ) ,
t－
φt ) d
M
０
其 中:(
,
)表示L２ (O ) 的内积 ．类似文献[
h∗ ∈ W １ ( [
０,
M ];
W １ (OS ) ) ,
¥
Ψ (θ,
λ,
t) ∈ L ([
０,
M ];
H －１ (O ) )．
ζ,
若 U０(
θ,
λ,
O ),则海洋动力学方程组(
６)在区间 [０,
M ] 上具有整体弱解,
ζ)∈ L (
２
(
１９)
(
２０)
U :＝ (V ,
T′,
S
′,
zso
′) T ＝ (U ,
第 ３５ 卷第 １ 期
２０２１ 年 １ 月
兰州文理学院学报(自然科学版)
J
ou
r
na
lo
fLan
zhouUn
i
ve
r
s
i
t
fAr
t
sandSc
i
enc
e(
Na
t
u
r
a
lSc
i
enc
e
s)
yo
Vo
l．
３５No．
１
J
an．２０２１
文章编号:２０９５
Ｇ
６９９１(
２０２１)
０１
Ｇ
０００７
Ｇ
０８
采用新盐度边界条件的海洋动力学方程组
∂ ækzof∂T′ö
çç ∗ Ñ (hkhof ÑT′) ＋ çç ~
÷
ç
ζ ÷ø
∂
B (U ) :＝ çc０T èh
ζ èh２ ∂
ç
~
′ö
１
∂ ækzof∂S
ç
Ñ (hkhof ÑS
′) ＋ çç ~ ∂ ÷÷
∗
ç h
∂
ζ èh２ ζ ø
ç
κ０ksoΔzso
′
è
ö
÷
÷
÷
ö÷
÷÷ ÷
ø÷,
÷
÷
E
Ｇma
i
l:
l
i
ng．
zhang．ma
t
h＠ou
t
Ｇ
yan
l
ook．
c
om．
兰州文理学院学报(自然科学版) 第 ３５ 卷
８

zso
′
æ ∂
ö
T′ö
æ∂T′
∗
∗ ∂
÷ ＋c０Tc２
c０T ç
κ０
′ －κ０ksoΔzso
′÷ ＋
T (１＋ζ) ç
d
s
＝
＝０,
－
－
＝０
ζ ζ
êë
t
û ζ＝０
h∗ －１
h∗ ∂
则可以给出海洋动力学方程组(
６)的边界条件:所有状态变量都是关于余纬和经度的周期函数,且
∫

ìï^
Uζ |ζ＝ －１ ＝ζ|ζ＝ －１ ＝０,
ï
kzofVζ ＋ks１f ( V )V ]|ζ＝０ ＝０,(kzofT′ζ ＋ks２T′) |ζ＝０ ＝０,
定义 １ 对任意 M ＞０,若 U 满足:
¥
U ∈ L (０,
M;
L２ (O ) ) ∩ L２ (０,
M;
H １ (O ) ) ,
且在积分意义下满足I (U ) t ＋ N (U ) (U ) ＋B (U ) ＝F ,即对任意的
¥
¥
M;
C０ (O ) ) ,
φ ＝(
φvθ ,
φvλ ,
φT′ ,
φS′ ,
÷
÷
ø

０
æ
ö
－１
∂V
１
c
o
t
θ ö
æ
Ñp
(V ∗ Ñ )V ＋ζ∗
÷V ＋
′＋
o
s
θ＋
vλ ÷ ç
＋ ç２ωc
∂
ø è１ ０ ø
a
ζ è
ρ０
(
６)
(
７)
(
８)
(
９)
æ
ö
ç
÷
ç
÷
ç
÷
~
gρ
′
( (１＋ζ) Ñzso
ç
÷
′ ＋ζ Ñh )
ρ０
ç
÷
ç

zso
′
æ ∂
ö ÷
∂T′
２
ç (V ∗ Ñ ) T′ ＋ζ∗
＋ (V Ñ ) T′ ＋ζ
＋V Ñzso
è∂
ø
t
∂
∂
t
è
ø
ζ
~
１
∂ ækzof∂T′ö
c c (ζV Ñh ＋h ζ) ＝ ∗ Ñ (hkhof ÑT′) ＋ çç ~ ∂ ÷÷ ＋ Ψ ．
∂
h
ζ èh２ ζ ø
~
２
０T T
∗

(
２)
盐度方程:

zso
′
æ ∂
ö
∂S
′
∂S
′
∗
２
′ ＋ζ∗
′ －κ０ksoΔzso
２(
１
[
０,
M ];
H (
O))
(
２２)
~
~
¥
证明 对 ∀U ,
U ∈L (０,
M;
L２ (O ) ) ∩L２ (０,
M;
H １ (O ) ) ,由算子B (
U )的定义可得(
B(
U ),
U)
~
~
~
~
U,
U )＋c(
U,
U )．则由式(
１９)可得 e(
U,
U ) ≤ C ‖U ‖H１(O) ‖U ‖H１(O)．
t
i１３ 在初始能量不要求足够小的情况下,验证了原始方程整体强解的存在性 ．在考虑水汽相变
[
]
过程时,文献[
１４
Ｇ
１６]得出了大气动力学方程组整体强解的适定性理论 ．进而,
Cao,李进开和 Ti
t
i１７Ｇ１９ 研
究了只考虑部分方向耗散的原始方程强解的整体存在性 ．因此,在考虑 地 形 因 素 影 响 下,连 汝 续 和 曾 庆
′÷ －
＋ (V Ñ ) S
－cS (１＋ζ) çκ０
＋V Ñzso
∂
t
∂
∂
t
è
ø
ζ

~
~
′ö
１
∂ ækzof ∂S
c (ζV Ñh ＋h∗ζ) ＝ ∗ Ñ (hkhof ÑS
′) ＋ çç ~ ∂ ÷÷ ,
∂
h
ζ èh２ ζ ø
２
S
(
３)
其中:
S
′ 是盐度偏差;
k０ 等于 ０ 或 １．
海平面高度方程:
关键词:海洋动力学方程组;整体弱解;新盐度边界条件;存在性
中图分类号:
O１７５．
２ 文献标志码:
A
0 引言
针对正压模式、斜压模式、准地转模式及非地转模式等多种大气环流模式,曾庆存 [１Ｇ２]提出了符合物
理意义的大气上下边界条件,大气海洋耦合动力学方程组及海气界面上的边界条件 ．在此基础上,穆穆

其中,
zso
′ 是海表高度偏差 ．
准静力平衡方程:
∂
zso
′
∂h∗ζ
∗
κ０
′,
＋ Ñ (h V ) ＋
＝κ０ksoΔzso
∂
t
∂
ζ
(
４)
′
∂p
∗
′,
＝－h gρ
∂
ζ
(
５)
其中,
′ 是密度偏差 ．
ρ
类似地,文献[
２０]给出相应的算子形式为
令 U :＝ (V ,
T′,
S
′,
zso
′)
T
I (U ) t ＋ N (U ) (U ) ＋B (U ) ＝F ．
整体弱解的存在性
张燕玲,张博冉,连汝续
(华北水利水电大学 数学与统计学院,河南 郑州 ４５００４６)
摘要:海洋动力学方程组由 Nav
i
e
r
ＧS
t
oke
s方程、温度方程以及盐度方程耦合而成 ．对于 盐 度 方 程 给 出 了 具 有 一
定物理意义的新盐度边界条件,并利用能量估计方法,证明了海洋动力学方程组整体弱解的存在性 ．
′ －κ０ksoΔzso
′÷ ＋÷
＋cT (１＋ζ) çκ０
＋V Ñzso
∂
∂
t
è
ø ÷
ζ
ç

ç
÷ ,( )~N (U) (U ) :＝ ç÷ １０
c２T (ζV Ñh ＋h∗ζ)
ç
÷

zso
′
æ ∂
ö
∂S
′
２
ç (V ∗ Ñ ) S
′ ＋ζ∗
V Ñzso
′ －κ０ksoΔzso
′÷ － ÷
存 [２０Ｇ２１]得到了大气动力学方程组整体弱解的稳定性以及整体强解的存在性 ．基于此,本文对于盐度方程
给出了具有一定物理意义的新盐度边界条件,进而研究了考虑地形因素的海洋动力学方程组,并利用能
量估计方法,证明了海洋动力学方程组整体弱解的存在性 ．
1 模型的提出