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第一讲 数系扩张--有理数（一）
一、【问题引入与归纳】
1、正负数，数轴，相反数，有理数等概念。

2、有理数的两种分类：
3、有理数的本质定义，能表成m n （0,,n m n ≠互质）。

4、性质：① 顺序性（可比较大小）；
② 四则运算的封闭性（0不作除数）；
③ 稠密性：任意两个有理数间都存在无数个有理数。

5、绝对值的意义与性质：
① (0)||(0)
a a a a a ≥⎧=⎨-≤⎩ ② 非负性 2(||0,0)a a ≥≥ ③ 非负数的性质： i ）非负数的和仍为非负数。

ii ）几个非负数的和为0，则他们都为0。

二、【典型例题解析】：
1、若||||||0,a b ab ab a b ab
+-则的值等于多少？ 2． 如果m 是大于1的有理数，那么m 一定小于它的（ ）
A.相反数
B.倒数
C.绝对值
D.平方
3、已知两数a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，x 的绝对值是2，求220062007()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值。

4、如果在数轴上表示a 、b 两上实数点的位置，如下图所
示，那么||||a b a b -++化简的结果等于（
A.2a
B.2a -
C.0
D.2b
5、已知2(3)|2|0a b -+-=，求b a 的值是（ ）
A.2
B.3
C.9
D.6
6、 有3个有理数a,b,c ，两两不等，那么,,a b b c c a b c c a a b
------中有几个负数？ 7、 设三个互不相等的有理数，既可表示为1，,a b a +的形式式，又可表示为0，b a
，b 的形式，求20062007a b +。

8、 三个有理数,,a b c 的积为负数，和为正数，且||||||||||||a b c ab bc ac X a b c ab bc ac
=+++++则321ax bx cx +++的值是多少？ 9、若,,a b c 为整数，且20072007||||1a b c a -+-=，试求||||||c a a b b c -+-+-的值。

三、课堂备用练习题。

1、计算：1+2-3-4+5+6-7-8+…+2005+2006
2、计算：1×2+2×3+3×4+…+n(n+1)
3、计算：5917336512913248163264
+++++- 4、已知,a b 为非负整数，且满足||1a b ab -+=，求,a b 的所有可能值。

5、若三个有理数,,a b c 满足||||||1a b c a b c ++=，求||abc abc
的值。

第二讲 数系扩张--有理数（二）
一、【能力训练点】：
1、绝对值的几何意义
① |||0|a a =-表示数a 对应的点到原点的距离。

② ||a b -表示数a 、b 对应的两点间的距离。

2、利用绝对值的代数、几何意义化简绝对值。

二、【典型例题解析】：
1、 （1）若20a -≤≤，化简|2||2|a a ++-
（2）若0x ，化简|||2||3|||x x x x --- 2、设0a ，且||
a x a ≤，试化简|1||2|x x +-- 3、a 、
b 是有理数，下列各式对吗？若不对，应附加什么条件？
（1）||||||;a b a b +=+ （2）||||||;ab a b =
（3）||||;a b b a -=- （4）若||a b =则a b =
（5）若||||a b ，则a b （6）若a b ，则||||a b
4、若|5||2|7x x ++-=，求x 的取值范围。

5、不相等的有理数,,a b c 在数轴上的对应点分别为A 、B 、C ，如果||||||a b b c a c -+-=-，那么B 点在A 、C 的什么位置？
6、设a b c d ，求||||||||x a x b x c x d -+-+-+-的最小值。

7、abcde 是一个五位数，a
b c d e ，求||||||||a b b c c d d e -+-+-+-的最大值。

8、设1232006,,,
,a a a a 都是有理数，令1232005()M a a a a =++++ 2342006()a a a a ++++,1232006()N a a a a =++++2342005()a a a a ++++,试比较M 、N 的大小。

三、【课堂备用练习题】：
1、已知()|1||2||3||2002|f x x x x x =-+-+-++-求()f x 的最小值。

2、若|1|a b ++与2(1)a b -+互为相反数，求321a b +-的值。

3、如果0abc ≠，求||||||a b c a b c
++的值。

4、x 是什么样的有理数时，下列等式成立？
（1）|(2)(4)||2||4|
x x x x -+-=-+- （2）|(76)(35)|(76)(35)x x x x +-=+-
5、化简下式：||||
x x x -
第三讲 数系扩张--有理数（三）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

（1）加法法则：同号相加取同号，并把绝对值相加；异号相加取绝对值较大数的符号，并用较大绝对值减较小绝对值；一个数同零相加得原数。

（2）减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数。

（3）乘法法则：几个有理数相乘，奇负得负，偶负得正，并把绝对值相乘。

（4）除法法则：除以一个数，等于乘以这个数的倒数。

3、准确运用各种法则及运算顺序解题，养成良好思维习惯及解题习惯。

二、【典型例题解析】：
1、计算：3510.752(0.125)124478⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+++-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭ 2、计算：（1）、()()560.9 4.48.11+-++-+
（2）、（-18.75）+（+6.25）+（-3.25）+18.25
（3）、（-423）+111362324⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
3、计算：①()232321 1.75343⎛⎫⎛⎫⎛⎫------+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
②111142243⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
4、 化简：计算：（1）711145438248⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（2）35123.7540.1258623⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫----+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭
⎣⎦ （3）()()340115477⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-----+--+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦ （4）235713346⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+÷- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
（5）-4.035×12＋7.535×12-36×（79-57618
+） 5、计算： （1）()()()324
2311-+⨯---
（2）()()219981110.5333⎡⎤---⨯⨯--⎣
⎦ （3）22831210.52552142⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷--⨯--÷⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
6、计算：()3413312100.51644⎧⎫⎡⎤⎪⎪⎛⎫⎛⎫+--⨯-÷---⎢⎥⎨⎬ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭
7、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001
-⨯+----÷++- ：
第四讲 数系扩张--有理数（四）
一、【能力训练点】：
1、运算的分级与运算顺序；
2、有理数的加、减、乘、除及乘方运算的法则。

3、巧算的一般性技巧：
① 凑整（凑0）； ② 巧用分配律
③ 去、添括号法则； ④ 裂项法
4、综合运用有理数的知识解有关问题。

二、【典型例题解析】：
1、计算：237970.71
6.6 2.20.7 3.31173118⨯-⨯-÷+⨯+÷ 2、
1111111111(1)()(1)2319962341997231997----⨯++++-----1111()2341996
⨯++++ 3、计算：①2232(2)|3.14|| 3.14|(1)π
π-+------- ②{}235324[3(2)(4)(1)]7-⨯-+⨯-⨯---÷--
4、化简：111()(2)(3)(9)122389
x y x y x y x y +++++++⨯⨯⨯并求当2,x =9y =时的值。

5、计算：2222222221314112131411
n n S n ++++=++++---- 6、比较1234248162
n n n S =+++++与2的大小。

7、计算：3323200213471113()[0.25()](5 1.254)[(0.45)(2)](1)81634242001
-⨯+----÷++- 8、已知a 、b 是有理数，且a b ，含23a b c +=，23a c x +=，23
c b y +=，请将,,,,a b c x y 按从小到大的顺序排列。

三、【备用练习题】：
1、计算（1）1111142870130208++++ （2）222133599101+++⨯⨯⨯
2、计算：11111120072006200520041232323-+-+-
3、计算：1111(1)(1)(1)(1)2342006-⨯-⨯-⨯⨯-
4、如果2
(1)|2|0a b -++=，求代数式22006
2005()()2()b a a b ab a b -++++的值。

5、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m 的绝对值为2，求2221
(12)a b m m cd -+÷-+的值。

第五讲代数式（一）
一、【能力训练点】：
（1）列代数式； （2）代数式的意义；
（3）代数式的求值（整体代入法）
二、【典型例题解析】：
1、用代数式表示：
（1）比x y 与的和的平方小x 的数。

（2）比a b 与的积的2倍大5的数。

（3）甲乙两数平方的和（差）。

（4）甲数与乙数的差的平方。

（5）甲、乙两数和的平方与甲乙两数平方和的商。

（6）甲、乙两数和的2倍与甲乙两数积的一半的差。

（7）比a 的平方的2倍小1的数。

（8）任意一个偶数（奇数）
（9）能被5整除的数。

（10）任意一个三位数。

2、代数式的求值：
（1）已知25a b a b -=+，求代数式2(2)3()2a b a b a b a b
-+++-的值。

（2）已知225x y ++的值是7，求代数式2364x y ++的值。

（3）已知2a b =；5c a =，求
624a b c a b c
+--+的值(0)c ≠ （4）已知113b a -=，求222a b ab a b ab ---+的值。

（5）已知：当1x =时，代数式31Px qx ++的值为2007，求当1x =-时，代数式31Px qx ++的值。

（6）已知等式(27)(38)810A B x A B x -+-=+对一切x 都成立，求A 、B
的值。

（7）已知223(1)(1)x x a bx cx dx +-=+++，求a b c d +++的值。

（8）当多项式210m m +-=时，求多项式3222006m m ++的值。

3、找规律：
Ⅰ.（1）22(12)14(11)+-=+； （2）22(22)24(21)+-=+
（3）22(32)34(31)+-=+ （4）22(42)44(41)+-=+
第N 个式子呢？
Ⅱ.已知 2222233+=⨯； 2333388
+=⨯； 244441515+=⨯； 若21010a a b b
+=⨯ （a 、b 为正整数），求?a b +=
Ⅲ. 32332333211;123;1236;=+=++=33332123410;+++=猜想：
333331234?n +++++=
三、【备用练习题】：
1、若()m n +个人完成一项工程需要m 天，则n 个人完成这项工程需要多少天？
2、已知代数式2326y y -+的值为8，求代数式2312
y y -+的值。

3、某同学到集贸市场买苹果，买每千克3元的苹果用去所带钱数的一半，而余下的钱都买了每千克2元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每千克多少元？
4、已知11
11n n a a +=+(1,2,3,,2006)n =求当11a =时，
122320062007?a a a a a a +++=
第六讲 代数式（二）
一、【能力训练点】：
（1）同类项的合并法则； （2）代数式的整体代入求值。

二、【典型例题解析】：
1、 已知多项式222259337y x xy x nxy my +-++-+经合并后，不含有y 的项，求2m n +的值。

2、当250(23)a b -+达到最大值时，求22149a b +-的值。

3、已知多项式3225a a a -+-与多项式N 的2倍之和是324224a a a -+-，求N ？
4、若,,a b c 互异，且x y a b b c c a Z
==
---，求x y Z ++的值。

5、已知210m m +-=，求3222005m m ++的值。

6、已知2215,6m mn mn n -=-=-，求2232m mn n --的值。

7、已知,a b 均为正整数，且1ab =，求11
a b
a b +
++的值。

8、求证20061
20062
1111222
2个个等于两个连续自然数的积。

9、已知1abc =，求
111
a b c
ab a bc b ac c ++
++++++的值。

10、一堆苹果，若干个人分，每人分4个，剩下9个，若每人分6个，最后一个人分到的少于3个，问多少人分苹果？
三、【备用练习题】：
1、已知1ab =，比较M 、N 的大小。

1111M a b =
+++， 11a b
N a b
=+
++。

2、已知210x x --=，求321x x -+的值。

3、已知
x y z K y z x z x y
===+++，求K 的值。

4、5544333,4,5a b c ===，比较,,a b c 的大小。

5、已知22350a a --=，求432412910a a a -+-的值。

第七讲 发现规律
一、【问题引入与归纳】
我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论
上来证明这一规律的一般性，这是人们认识客观法则的方法之一”。

这种以退为进，寻找规律的方法，对我们解某些数学问题有重要指导作用，下面举例说明。

能力训练点：观察、分析、猜想、归纳、抽象、验证的思维能力。

二、【典型例题解析】 1、 观察算式：
(13)2(15)3(17)4(19)5
13,135,1357,13579,,
2222
+⨯+⨯+⨯+⨯+=
++=+++++++=按规律填空：1+3+5+…+99= ？，1+3+5+7+…
+(21)n -= ？
2、如图是某同学在沙滩上用石子摆成的小房子。

观察图形的变化规律，写出第n 个小房子用了多少块石子？
3、 用黑、白两种颜色的正六边形地面砖（如图所示）的规律，拼成若干个图案：（1）第3个图案中有白色地面砖多少块？（2）第n 个图案中有白色地面砖多少块？
4、 观察下列一组图形，如图，根据其变化规律，可得第10个图形中三角形的个数为多少？第n 个图形中三角形的个数为多少？
5、观察右图，回答下列问题：
（1）图中的点被线段隔开分成四层，则第一层有1个点，第二层有
3个点，第三层有多少个点，第四层有多少个点？
（2）如果要你继续画下去，那第五层应该画多少个点，第n层有多
少个点？
（3）某一层上有77个点，这是第几层？
（4）第一层与第二层的和是多少？前三层的和呢？前4层的和呢？你有没有发现什么规律？根据你的推测，前12层的和是多少？
6、读一读：式子“1+2+3+4+5+…+100”表示从1开始的100个连续自然数的和，由于上述式子比较长，书写也不方便，为了简便起见，我们可将“1+2+3+4+5+…
+100”表示为
100
1
n n
=
∑，这里“∑”是求和符号，例如“1+3+5+7+9+…+99”（即从1
开始的100以内的连续奇数的和）可表示为
50
1(21);
n
n =
-
∑又如
“3333333333 12345678910
+++++++++”可表示为
10
3
1
n
n
=
∑，同学们，通过以上
材料的阅读，请解答下列问题：
（1）2+4+6+8+10+…+100（即从2开始的100以内的连续偶数的和）用求和符号可表示为；
（2）计算：
5
2
1
(1)
n
n
=
-
∑= （填写最后的计算结果）。

7、观察下列各式，你会发现什么规律？
3×5=15，而15=42-1 5×7=35，而35=62-1 ……
11×13=143，而143=122-1 ……
将你猜想的规律用只含一个字母的式子表示出来。

8、请你从右表归纳出计算13+23+33+…+n3的分式，并算出
13+23+33+…+1003的值。

三、【跟踪训练题】1 1、有一列数1234
,,,,n a a a a a 其中：1a =6×2+1，2a =6×3+2，3a =6×4+3，4a =6
×5+4；…则第n 个数n a = ，当n a =2001时，n = 。

2、将正偶数按下表排成5列
第1列
第2列 第3列 第4列 第5列 第一行 2 4 6 8 第二行 16 14 12 10 第三行 18 20 22 24
……
……
28
26
根据上面的规律，则2006应在 行 列。

3、已知一个数列2，5，9，14，20，x ，35…则x 的值应为：（ ）
4、在以下两个数串中：
1，3，5，7，…，1991，1993，1995，1997，1999和1，4，7，10，…，1990，1993，1996，1999，同时出现在这两个数串中的数的个数共有（ ）个。

A.333 B.334 C.335 D.336 5、学校阅览室有能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌拼成一行，2张方桌拼成一行能坐6人（如右图所示 ）按照这种规定填写下表的空格：
拼成一行的桌子数
1 2 3 … n 人数
4
6
…
6、给出下列算式：
487938572835181322222222⨯=-⨯=-⨯=-⨯=-
观察上面的算式，你能发现什么规律，用代数式表示这个规律：
7、通过计算探索规律：
152=225可写成100×1×（1+1）+25 252=625可写成100×2×（2+1）+25 352=1225可写成100×3×（3+1）+25 452=2025可写成100×4×（4+1）+25
…………
752=5625可写成 归纳、猜想得：（10n+5）2= 根据猜想计算：19952
= 8、已知()()1216
1
3212222++=
++++n n n n ，计算： 112+122+132+…+192= ；
9、从古到今，所有数学家总希望找到一个能表示所有质数的公式，有位学者提出：当n 是自然数时，代数式n 2+n+41所表示的是质数。

请验证一下，当n=40时，n 2+n+41的值是什么？这位学者结论正确吗？
第八讲 综合练习（一）
1、若
5x y x y -=+，求552233x y x y
x y x y
-+++-的值。

2、已知|9|x y +-与2(23)x y -+互为相反数，求x y 。

3、已知|2|20x x -+-=，求x 的范围。

4、判断代数式
||||
x x x
-的正负。

5、若||1abcd abcd =-，求||||||||a b c d a b c d
+++
的值。

6、若2|2|(1)0ab b -+-=，求111
(1)(1)(2)(2)
ab a b a b +
++++++
1
(2007)(2007)
a b ++
7、已知23x -，化简|2||3|x x +--
8、已知,a b 互为相反数，,c d 互为倒数，m 的绝对值等于2，P 是数轴上的表示原点的数，求10002a b
P cd m abcd
+-+
+的值。

9、问□中应填入什么数时，才能使|20062006|2006⨯-= 10、,,a b c 在数轴上的位置如图所示，
化简：|||1||||1||23|a b b a c c b ++------- 11、若0,0a
b
，求使||||||x a x b a b -+-=-成立的x 的取值范围。

12、计算：2481632(21)(21)(21)(21)(21)
21
+++++-
13、已知200420042004
200320032003
a ⨯-=-⨯+，
200520052005
200420042004
b ⨯-=-
⨯+，
200620062006200520052005c ⨯-=-⨯+，求abc 。

14、已知99
99909911,99
P q ==，求P 、q 的大小关系。

15、有理数,,a b c 均不为0，且0a b c ++=。

设||||||
|
|a b c x b c c a a b
=+++++，求代数
式19992008x x -+的值。

第九讲 一元一次方程（一）
一、知识点归纳：
1、等式的性质。

2、一元一次方程的定义及求解步骤。

3、一元一次方程的解的理解与应用。

4、一元一次方程解的情况讨论。

二、典型例题解析： 1、解下列方程：（1）2121136x x -+=- （2）32122234x x ⎡⎤
⎛⎫--=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
；
（3）0.30.2 1.550.70.20.5
x x
--+
=
2、 能否从(2)3a x b -=+；得到32b x a +=-，为什么？反之，能否从3
2
b x a +=-得到(2)3a x b -=+，为什么？ 3、若关于x 的方程2236
kx m x nk
+-=+
，无论K 为何值时，它的解总是1x =，求m 、n 的值。

4、若5545410(31)x a x a x a x a +=++++。

求543210a a a a a a -+-+-的值。

5、已知1x =是方程11
322mx x =-的解，求代数式22007(79)m m -+的值。

6、关于x 的方程(21)6k x -=的解是正整数，求整数K 的值。

7、若方程732465x x x --=-与方程3551
2246x x mx ---=-
同解，求m 的值。

8、关于x 的一元一次方程22(1)(1)80m x m x --++=求代数式
200()(2)m x x m m +-+的值。

9、解方程2006122334
20062007
x x x
x
+++
+
=⨯⨯⨯⨯
10、已知方程2(1)3(1)x x +=-的解为2a +，求方程2[2(3)3()]3x x a a +--=的解。

11、当a 满足什么条件时，关于x 的方程|2||5|x x a ---=，①有一解；②有无数解；③无解。

第十讲一元一次方程（2）
一、能力训练点：
1、列方程应用题的一般步骤。

2、利用一元一次方程解决社会关注的热点问题（如经济问题、利润问题、增长率问题）
二、典型例题解析。

1、要配制浓度为20%的硫酸溶液100千克，今有98%的浓硫酸和10%的硫酸，问这两种硫酸分别应各取多少千克？
2、一项工程由师傅来做需8天完成，由徒弟做需16天完成，现由师徒同时做了4天，后因师傅有事离开，余下的全由徒弟来做，问徒弟做这项工程共花了几天？
3、某市场鸡蛋买卖按个数计价，一商贩以每个0.24元购进一批鸡蛋，但在贩运途中不慎碰坏了12个，剩下的蛋以每个0.28元售出，结果仍获利11.2元，问该商贩当初买进多少个鸡蛋？
：
4、某商店将彩电按原价提高40%，然后在广告上写“大酬宾，八折优惠”，结果每台彩电仍可获利270元，那么每台彩电原价是多少？
5、一个三位数，十位上的数比个位上的数大4，个位上的数比百位上的数小2，若将此三位数的个位与百位对调，所得的新数与原数之比为7:4，求原来的三位数？
6、初一年级三个班，完成甲、乙两项任务，（一）班有45人，（二）班有50人，（三）班有43人，现因任务的需要，需将（三）班人数分配至（一）、（二）两个班，且使得分配后（二）班的总人数是（一）班的总人数的2倍少36人，问：应将（三）班各分配多少名学生到（一）、（二）两班？
7、一个容器内盛满酒精溶液，第一次倒出它的1
3
后，用水加满，第二次倒出它
的1
2
后用水加满，这时容器中的酒精浓度为25%，求原来酒精溶液的浓度。

8、某中学组织初一同学春游，如果租用45座的客车，则有15个人没有座位；如果租用同数量的60座的客车，则除多出一辆外，其余车恰好坐满，已知租用45座的客车日租金为每辆车250元，60座的客车日租金为每辆300元，问租用哪种客车更合算？租几辆车？
9、1994年底，张先生的年龄是其祖母的一半，他们出生的年之和是3838，问到2006年底张先生多大？
10、有一满池水，池底有泉总能均匀地向外涌流，已知用24部A型抽水机，6天可抽干池水，若用21部A型抽水机13天也可抽干池水，设每部抽水机单位时间的抽水量相同，要使这一池水永抽不干，则至多只能用多少部A型抽水机抽水？
11、狗跑5步的时间，马能跑6步，马跑4步的距离，狗要跑7步，现在狗已跑出55米，马开始追它，问狗再跑多远马可以追到它？
12、一名落水小孩抱着木头在河中漂流，在A处遇到逆水而上的快艇和轮船，因雾大而未被发现，1小时快艇和轮船获悉此事，随即掉头追救，求快艇和轮船从获悉到追及小孩各需多少时间？
数形结合谈数轴
一、阅读与思考
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。

我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。

运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面： 1、利用数轴能形象地表示有理数； 2、利用数轴能直观地解释相反数； 3、利用数轴比较有理数的大小；
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

二、知识点反馈
1、利用数轴能形象地表示有理数；
例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练：
1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） （“祖冲之杯”邀请赛试题） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
3、把满足52≤<a 中的整数a 表示在数轴上，并用不等号连接。

2、利用数轴能直观地解释相反数；
例2：如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么A 、B 两点的距离为 。

拓广训练：
1、在数轴上表示数a 的点到原点的距离为3，则._________3=-a
2、已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于 。

（北京市“迎春杯”竞赛题）
3、利用数轴比较有理数的大小；
例3：已知0,0<>b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。

（用“<”号连接）（北京市“迎春杯”竞赛题） 拓广训练：
1、 若0,0><n m 且n m >，比较m n n m n m n m --+--,,,,的大小，并用“>”号连
接。

例4：已知5<a 比较a 与4的大小
拓广训练：
1、已知3->a ，试讨论a 与3的大小
2、已知两数b a ,，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小
4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。

例5： 有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）
A ．c b a -+32
B ．c b -3
C ．c b +
D ．b c - 拓广训练：
1、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，则化简c c a b b a ------+11的结果为 。

2、已知b b a b a 2=-++，在数轴上给出关于b
a ,的四种情况如图所示，则成立的是 。

① ②
③ ④ 3、已知有理数c b a ,,
在数轴上的对应的位置如下图：则b a c a c -+-+-1化简后的结果是（ ）
（湖北省初中数学竞赛选拨赛试题）
A ．1-b
B ．12--b a C
．c b a 221--+ D ．b c +-2
1 三、培优训练
1、已知是有理数，且()
()01212
2
=++-y x ，那以y x +的值是（ ）
A ．
21
B ．23
C ．21或23
- D ．1-或23 2、（07乐山）如图，数轴上一动点A 向左移动2个单位长度到达点B ，再向右移动5个单
位长度到达点C ．若点C 表示的数为1，则点A 表示的数为（ ）
Ａ．7 Ｂ．3 Ｃ．3- Ｄ．2-
3、如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 整数d c b a ,,,且102=-a d ，那么数轴的原点应是（ ）0a O a
A ．A 点
B ．B 点
C ．C 点
D ．D 点
4、数d c b a ,,,所对应的点A ，B ，C ，D 在数轴上的位置如图所示，那么c a +与d b +的大小关系是（ ）
A ．d b c a +<+
B ．d b c a +=+
C ．d b c a +>+
D ．不确定的
5、不相等的有理数c b a ,,在数轴上对应点分别为A ，B ，C ，若c a c b b a -=-+-，那么点B （ ）
A ．在A 、C 点右边
B ．在A 、
C 点左边 C ．在A 、C 点之间
D ．以上均有可能 6、设11++-=x x y ，则下面四个结论中正确的是（ ）（全国初中数学联赛题） A ．y 没有最小值 B ．只一个x 使y 取最小值 C ．有限个x （不止一个）使y 取最小值 D ．有无穷多个x 使y 取最小值 7、在数轴上，点A ，B 分别表示31-
和5
1
，则线段AB 的中点所表示的数是 。

8、若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值范围是 。

9、x 是有理数，则221
95
221100++-
x x 的最小值是 。

10、已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：
且,64366====d c b a 求c b a b d a -+---22323的值。

11、（南京市中考题）(1)阅读下面材料：
点A 、B 在数轴上分别表示实数b a ,，A 、B 两点这间的距离表示为AB ，当A 、B 两点中有一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1
，b a b OB AB -===；当A 、B 两点都不在原点时，
①如图2，点A 、B 都在原点的右边a a b a b OA OB AB =-=-=-=②如图3，点A 、B 都在原点的左边()b a a b a b OA OB AB -=---=-=-=；
③如图4，点A 、B 在原点的两边()b a b a b a OB OA AB -=-+=+=+=。

综上，数轴上A 、B 两点之间的距离b a AB -=。

B
A
O
B
(A)
O o a A
O
o
（2）回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是 ，数轴上表示-2和-5的两点之间的距离是 ，数轴上表示1和-3的两点之间的距离是 ；
②数轴上表示x 和-1的两点A 和B 之间的距离是 ，如果2=AB ，那么x 为 ；
③当代数式21-++x x 取最小值时，相应的x 的取值范围是 ； ④求1997321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值。

聚焦绝对值
一、阅读与思考
绝对值是初中代数中的一个重要概念，引入绝对值概念之后，对有理数、相反数以及后续要学习的算术根可以有进一步的理解；绝对值又是初中代数中一个基本概念，在求代数式的值、代数式的化简、解方程与解不等式时，常常遇到含有绝对值符号的问题，理解、掌握绝对值概念应注意以下几个方面：
1、脱去绝值符号是解绝对值问题的切入点。

脱去绝对值符号常用到相关法则、分类讨论、数形结合等知识方法。

去绝对值符号法则：
()()()
0000
<=>⎪⎩
⎪⎨⎧-=a a a a a a 2、恰当地运用绝对值的几何意义
从数轴上看a 表示数a 的点到原点的距离；b a -表示数a 、数b 的两点间的距离。

3、灵活运用绝对值的基本性质
①0≥a ②2
2
2
a a a == ③
b a ab ⋅= ④()0≠=b b
a b a
⑤b a b a +≤+ ⑥b a b a -≥-
二、知识点反馈
1、去绝对值符号法则
例1：已知3,5==b a 且a b b a -=-那么=+b a 。

拓广训练：
1、已知,3,2,1===c b a 且c b a >>，那么()=-+2
c b a 。

（北京市“迎春
杯”竞赛题）
2、若5,8==b a ，且0>+b a ，那么b a -的值是（ ） A ．3或13 B ．13或-13 C ．3或-3 D ．-3或-13 2、恰当地运用绝对值的几何意义
例2： 11-++x x 的最小值是（ ） A ．2 B ．0 C ．1 D ．-1 解法1、分类讨论
当1-<x 时，()()221111>-=--+-=-++x x x x x ； 当11≤≤-x 时，()21111=--+=-++x x x x ； 当1>x 时()221111>=-++=-++x x x x x 。

比较可知，11-++x x 的最小值是2，故选A 。

解法2、由绝对值的几何意义知1-x 表示数x 所对应的点与数1所对应的点之间的距离；
1+x 表示数x 所对应的点与数-1所对应的点之间的距离；11-++x x 的最小值是指x 点
到1与-1两点距离和的最小值。

如图易知
当11≤≤-x 时，11-++x x 的值最小，最小值是2故选A 。

拓广训练：
1、 已知23++-x x 的最小值是a ，23+--x x 的最大值为b ，求b a +的值。

三、培优训练
1、如图，有理数b a ,在数轴上的位置如图所示：
则在4,2,,,2,--+---+b a b a a b a b b a 中，负数共有（ ）（湖北省荆州市竞赛题） A ．3个 B ．1个 C ．4个 D ．2个 2、若m 是有理数，则m m -一定是（ ） A ．零 B ．非负数 C ．正数 D ．负数
3、如果022=-+-x x ，那么x 的取值范围是（ ） A ．2>x B ．2<x C ．2≥x D ．2≤x
4、b a ,是有理数，如果b a b a +=-，那么对于结论（1）a 一定不是负数；（2）b 可能
是负数，其中（ ）（第15届江苏省竞赛题） A ．只有（1）正确 B ．只有（2）正确 C ．（1）（2）都正确 D ．（1）（2）都不正确 5、已知a a -=，则化简21---a a 所得的结果为（ ） A ．1- B ．1 C ．32-a D ．a 23-
6、已知40≤≤a ，那么a a -+-32的最大值等于（ ） A ．1 B ．5 C ．8 D ．9
7、已知c b a ,,都不等于零，且abc
abc
c c b b a a x +++=
，根据c b a ,,的不同取值，x 有（ ） A ．唯一确定的值 B ．3种不同的值 C ．4种不同的值 D ．8种不同的值 8、满足b a b a +=-成立的条件是（ ）（湖北省黄冈市竞赛题） A ．0≥ab B ．1>ab C ．0≤ab D ．1≤ab 9、若52<<x ，则代数式
x
x x
x x x +
---
--2255的值为 。

10、若0>ab ，则
ab
ab b
b a
a -+
的值等于 。

11、已知c b a ,,是非零有理数，且0,0>=++abc c b a ，求abc
abc c c b b a a +++的值。

12、已知d c b a ,,,是有理数，16,9≤-≤-d c b a ，且25=+--d c b a ，求
c d a b ---的值。

13、阅读下列材料并解决有关问题：
我们知道()
()()
0000
<=>⎪⎩
⎪
⎨⎧-=x x x x x x ，现在我们可以用这一个结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式21-++x x 时，可令01=+x 和02=-x ，分别求得2,1=-=x x （称2,1-分别为1+x 与2-x 的零点值）。

在有理数范围内，零点值1-=x 和2=x 可将全体有理数分成不重复且不遗漏的如下3种情况：
（1）当1-<x 时，原式=()()1221+-=--+-x x x ; （2）当21<≤-x 时，原式=()321=--+x x ； （3）当2≥x 时，原式=1221-=-++x x x 。

综上讨论，原式=()()()
2211123
1
2≥<≤--<⎪⎩
⎪
⎨⎧-+-x x x x x 通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1） 分别求出2+x 和4-x 的零点值；（2）化简代数式42-++x x
14、（1）当x 取何值时，3-x 有最小值？这个最小值是多少？（2）当x 取何值时，25+-x 有最大值？这个最大值是多少？（3）求54-+-x x 的最小值。

（4）求
987-+-+-x x x 的最小值。

15、某公共汽车运营线路AB 段上有A 、D 、C 、B 四个汽车站，如图，现在要在AB 段上修建一个加油站M ，为了使加油站选址合理，要求A ，B ，C ，D 四个汽车站到加油站M 的路程总和最小，试分析加油站M 在何处选址最好？
16、先阅读下面的材料，然后解答问题：
在一条直线上有依次排列的()1>n n 台机床在工作，我们要设置一个零件供应站P ，使这n 台机床到供应站P 的距离总和最小，要解决这个问题，先“退”到比较简单的情形：
① ② 如图①，如果直线上有2台机床（甲、乙）时,很明显P 设在1A 和2A 之间的任何地方都行,因为甲和乙分别到P 的距离之和等于1A 到2A 的距离.
如图②,如果直线上有3台机床(甲、乙、丙)时，不难判断，P 设在中间一台机床2A 处最合适，因为如果P 放在2A 处，甲和丙分别到P 的距离之和恰好为1A 到3A 的距离；而如果P 放在别处，例如D 处，那么甲和丙分别到P 的距离之和仍是1A 到3A 的距离，可是乙还得走从2A 到D 近段距离，这是多出来的，因此P 放在2A 处是最佳选择。

不难知道，如果直线上有4台机床，P 应设在第2台与第3台之间的任何地方；有5台机床，P 应设在第3台位置。

问题（1）：有n 机床时，P 应设在何处？ 问题（2）根据问题（1）的结论，求617321-+⋅⋅⋅+-+-+-x x x x 的最小值。

有理数的运算
一、阅读与思考
在小学里我们已学会根据四则运算法则对整数和分数进行计算，当引进负数概念后，数集扩大到了有理数范围，我们又学习了有理数的计算，有理数的计算与算术数的计算有很大的不同：首先，有理数计算每一步要确定符号；其次，代数与算术不同的是“字母代数”，所以有理数的计算很多是字母运算，也就是通常说的符号演算。

数学竞赛中的计算通常与推理相结合，这不但要求我们能正确地算出结果，而且要善于观察问题的结构特点，将推理与计算相结合，灵活选用算法和技巧，提高计算的速成度，有理数
A D C
B A 2乙（P ）12
的计算常用的技巧与方法有：1、利用运算律；2、以符代数；3、裂项相消；4、分解相约；5、巧用公式等。

二、知识点反馈
1、利用运算律：加法运算律()()⎩⎨
⎧
++=+++=+c
b a
c b a a b b a 加法结合律加法交换律乘法运算律()()()⎪⎩
⎪⎨⎧+=+⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅ac ab c b a c b a c b a a b b a 乘法分配律乘法结合律乘法交换律 例1：计算：
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
--+-⎪⎭⎫ ⎝⎛---32775.2324523 解：原式=15.175.56.4375.26.43
2
775.23246.4-=-=--=---++ 拓广训练：
1、计算（1）
11
5
292.011275208.06.0+
+--+
-- （2）4
9
41911764131159431+++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+
例2：计算：5025249
⨯⎪⎭
⎫
⎝⎛- 解：原式=()49825005025150105025110-=--=⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯-⨯-=⨯⎪⎭⎫ ⎝
⎛-- 拓广训练：
1、 计算：()⎪⎭⎫ ⎝
⎛---⨯⨯⨯⨯514131215432
2、裂项相消 （1）
b a ab b a 1
1+=+；
（2）()11111+-=+n n n n ；（3）()m n n m n n m +-=+11 （4）
()()()()()21111212++-+=++n n n n n n n
例3、计算
2010
20091
431321211⨯+
⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯
解：原式=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-2010120091
41313121211 =20101
2009141313121211-
+⋅⋅⋅+-+-+-
=2010
2009
201011=
- 拓广训练： 1、计算：
2009
20071
751531311⨯⋅
⋅⋅+⨯+⨯+⨯
3、以符代数 例4：计算：⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-+39385271781712133937111712727717 解：分析：397610393711,17242617127,27341627717
=== 令A =3938527178171213-+，则A 239
76
101724262734163937111712727717=-+=-+
原式=22=÷A A
拓广训练： 1
、
计
算
：
⎪⎭
⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅+++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++200513121200613121120051312112006131
21
4、分解相约
例5：计算：2
93186293142842421⎪⎭
⎫
⎝⎛⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯⋅⋅+⋅⋅⋅+⨯⨯+⨯⨯n n n n n n
解：原式=()()()()293193129314214212421⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯+⋅⋅⋅+⨯⨯⨯+⨯⨯n n =()()2
2193121421⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⋅⋅⋅++⨯⨯⨯+⋅⋅⋅++⨯⨯⨯n n
=729649314212
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯⨯⨯⨯
三、培优训练
1、a 是最大的负整数，b 是绝对值最小的有理数，则2008
2009
2007
b a += 。

2、计算：（1）
1999
19971
971751531⨯+
⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯= ； （2）()()()()[]
⎪⎭
⎫
⎝⎛-
÷-÷-+--⨯-2
4
3
4
31
622825.0= 。

3、若a 与b -互为相反数，则ab
b a 199********
2+= 。

4、计算：
⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅⋅⋅++
+⋅⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++989798
3981
656361434121= 。

5、计算：10987654322222222222+--------= 。

6、
99
98
,19991998,9897,19981997-
---
这四个数由小到大的排列顺序是 。

7、（2007“五羊杯”）计算：86.66.68686.06284.3114.3⨯+⨯+⨯=（ ） A ．3140 B ．628 C ．1000 D ．1200
8、（2005“希望杯”）30
28864215
144321-+⋅⋅⋅-+-+-+-⋅⋅⋅+-+-等于（ ）
A ．41
B ．41-
C ．21
D ．2
1-
9、（2006“五羊杯”）计算：4
5.418922
35.2465÷⨯+÷⨯÷⨯+÷⨯=（ ）
A ．25
B ．310
C ．920
D ．9
40
10、（2009鄂州中考）为了求2008
322221++++ 的值，可令S ＝
2008
322221++++ ，
则2S ＝
2009
4
322
222++++ ，因此2S-S ＝
12
2009
-，所以
2008
3
2
2
221++++ ＝
1
2
2009
-仿照以上推理计算出
2009
325551++++ 的值是（ ）
A 、
152009-
B 、
152010
- C 、41
52009-
D 、4152010-
11、2004321,,,a a a a ⋅⋅⋅都是正数，如果()()200432200321a a a a a a M +⋅⋅⋅++⨯+⋅⋅⋅++=，
()()200332200421a a a a a a N +⋅⋅⋅++⨯+⋅⋅⋅++=，那么N M ,的大小关系是（ ）
A ．N M >
B ．N M =
C ．N M <
D ．不确定
12、设三个互不相等的有理数，既可表示为a b a ,,1+的形式，又可表示为b a
b
,,0的形式，求20001999b a +的值（“希望杯”邀请赛试题）
13、计算
（1）()000000164.05700006.019.000036.07.5⨯-⨯-⨯（2009年第二十届“五羊杯”
竞赛题）
（2）()()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-÷-+-⨯-
⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-⨯-24
23
4
31625.6134313825.0（北京市“迎春杯”竞赛题）
14、已知n m ,互为相反数，b a ,互为负倒数，x 的绝对值等于3，
求()()()2003
2001
231ab x
n m x ab n m x -++++++-的值
15、已知022=-+-a ab ，求
()()()()
()()2006200612211111+++⋅⋅⋅+++++++b a b a b a ab 的值（2006，香港竞赛）
16、（2007，无锡中考）图1是由若干个小圆圈堆成的一个形如正三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了n 层．将图1倒置后与原图1拼成图2的形状，这样我们可以算出图1中所有圆圈的个数为(1)
1232
n n n ++++
+=
． 图１ 图2 图3 图4 如果图1中的圆圈共有12层，（1）我们自上往下，在每个圆圈中都按图3的方式填上一串连续的正整数1234，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是 ；
（2）我们自上往下，在每个圆圈中都按图4的方式填上一串连续的整数23-，22-，21-，，求图4中所有圆圈中各数的绝对值之和．
第2层 第1层 …… 第
n 层
第一讲和绝对值有关的问题
一、知识结构框图：
数
二、绝对值的意义：
(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；
③零的绝对值是零。

也可以写成：
()
()
() ||0
a a
a a
a a
⎧
⎪⎪
=⎨
⎪
-
⎪⎩
当为正数
当为0
当为负数
说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；
（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

三、典型例题
例1．（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图：
则代数式| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（A ）
A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b
解：| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a
分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。

脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值。