2.函数性质(奇偶、单调、周期)及图像

专题二、函数的基本性质及图像
例2、讨论()a
f x x
x
=+的单调性。

（2）、导数法：设y()
=在(a,b)内可导，
f x
①．若在(a,b)内恒有'()0
f x>，则函数y()
f x
=在(a,b)内单调递增．
②．若在(a,b)内恒有'()0
f x<，则函数y()
=在(a,b)内单调递减．
f x
例3、求函数()ln
=-的单调性
f x x x
（
4
5
（1）奇（偶）函数在对称的两个区间上单调性相同（反）。

（2）在公共定义域上：
增函数 + 增函数仍是增函数；减函数 + 减函数仍是减函数；
增函数⨯负数所得函数是减函数；减函数⨯负数所得函数是增函数。

6、单调性的应用
（1）求参数的取值范围 （2）求解或证明不等式
（3）比较两个函数值或自变量的大小
例6、已知()f x 为(0,)+∞上的增函数，若2()(3)f a a f a -=+，则实数a 的取值范围
为________
0)≠ 偶函数()()()f x f x f x ⇔-=，等价形式：()()0f x f x --=，
()
1(()0)()
f x f x f x -=≠ ()()()f x f x f
x =-=
(2)若奇函数()f x 的定义域中含有0，则必有(0)0f =
（3）函数()()f x g x 、的定义域分别为12D D 、，在它们的公共定义域D 上有：
奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇⨯偶=奇，奇偶性相同的两个函数之积是偶函数。

（4）任一个函数（定义域关于原点对称）都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或
差）”：
即()()()()()22f x f x f x f x f x +---+=，()()()()
()22f x f x f x f x f x -+---=
（5）既是奇又是偶的函数有无穷多个
(定义在关于原点对称的任一数集上的函数()0f x =)
34T （4）周期函数的定义域一定是无限集
（5）一些求周期的方法：
①若()y f x =图像有两条对称轴,x a x b ==（a b ≠） 则()y f x =必是周期函数，且周期2T a b =-
②若()y f x =的图像有两个对称中心A
≠（a,0）,B(b,0)(a b)
则()y f x =必是周期函数，且周期2T a b =-
③若()y f x =的图像有一个对称中心A （a,0）和一条对称轴≠x=b(a b)
则()y f x =必是周期函数，且周期4T a b =-
④函数()f x 满足()()f x f a x -=+，则()f x 必是周期函数，20T a =≠(a ) ⑤函数()f x 满足1
()()
f x a f x +=±
，则()f x 必是周期函数，20T a =≠(a )
对称。

IV 、
1
f -y=(x)与f y=(x)图像关于直线y=x 对称。

V 、a f y=(2-x)与f y=(x)图像关于直线X=a 对称。

③翻折变换
I 、
()y (x)x x y f x f =−−−−−−−→=轴上方图像不动
轴下方图像翻折到上方
II 、
y ()y ()y y f x f x =−−−−−−−−−−→=轴右方图像不动，轴右方图像翻折
到左方，原左方图像去掉
④伸缩变换
I 、
1
a a 1
a a
()y ()y f x f ax =−−−−−−−−−−−−→=纵坐标不变，横坐标伸长为原来的倍（<1）
(a>0) 横坐标缩短为原来的倍（>1）
II 、
a a>a a<()y ()y f x af x =−−−−−−−−−−−−→=横坐标不变，纵坐标伸长为原来的倍（1）(a>0) 纵坐标缩短为原来的倍（1）
（4）点的对称规律
y x x (,)(,)
(2,)(,2)(2,2)X y x
x a
y b x y y x a x y x b y a x b y ===⎧−−−−→⎪−−−→
⎪⎪−−−−
→⎪⎪−−−−−→⎨⎪−−−−−
→-⎪⎪−−−−−→-⎪
−−−−−→--⎪⎩
关于轴
关于轴
关于原点
关于直线关于直线关于直线关于点（a,b ）（,-y)（-,y ）（-x,-y ）。