电力系统暂态分析：第一章 电力系统故障分析(2)讲解

为了进行拉氏反变换，将上式改写为：
id (
p
)

Ud( 0 x'd
)

1 p2 1

U q( 0 x'd
)

1 p

p p2
1

iq (
p)
U q( 0 ) xq
iq( p ) [( r pX d ( p ))Uq( 0 ) X d ( p )Ud( 0 ) ] pD( p ) 其中：
D( p ) X d ( p )xq p2 r[ X d ( p ) xq ] p r 2 X d ( p )xq
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
0 p f ( p ) rf i f ( p )

可得： 0 pxad id ( p ) px f i f ( p ) rf i f ( p )
即励磁电流故障分量的拉氏变换为：
i f
(
p
)

xad p rf x f
p
id (
p)
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路

d( q(
p p
) )

xd id ( xqiq (
p) p)

xad
i
f
(
p
)

f ( p ) xad id ( p ) x f i f ( p )
Ud( 0 ) Ud( 0 )
p p

p d ( p q(
p ) q( p ) d (
d ( 0 ) q( 0 ) f ( 0 ) 0
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
应用拉氏变换法求解微分方程： 利用拉氏变换公式：L[ c ] c p
L[ df ( t ) dt ] pF( p ) f ( 0 )
对故障分量的磁链方程和电压方程取拉氏变换，可得：
（2）计算d轴磁链的故障分量
由d轴磁链方程： d ( p ) xd id ( p ) xad i f ( p )
代入励磁电流表达式：
i
f
(
p
)

rf
xad p xf
p
id
(
p
)
可得d轴磁链故障分量的拉氏变换为：
d
(
p
)

(
xd

rf
xa2d p xf
p
)id (

f
由于q轴暂态电势与励磁磁链成正比，暂态时不会突变，暂态
初始时刻的暂态电势可用稳态运行时的 Eq' 表示。
而定子d轴磁链可表示为： d Eq' x'd Id 由此可得q轴暂态电势为： Eq' d x'd Id
考虑稳态时的定子电压和磁链方程方程：
Uq d rI q Eq xd Id rI q
1.3 同步发电机三相短路电磁暂态过程
基本假设条件：
1. 发电机转速等于等于额定转速，且保持恒定，即 1
2. 磁路不饱和（故可应用叠加原理）；
3. 励磁电压保持恒定；
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
☆暂态电抗和暂态电势：
* 由定子d轴和励磁绕组磁链方程：
d xd id xad i f
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
而稳态时的磁链方程和电压回路方程为：
d( 0 ) xd I d( 0 ) xad i f ( 0 ) q( 0 ) xq Iq( 0 )


f
(0
)

xad
Id( 0 )

x
f
I
f
(
0 )
Ud (0) d d (0)

f

xad id

xf
i f

ud d d uq d q
dt dt

q d

rid riq

u f d f dt rf i f

1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
由三相短路故障条件：
p ) rid ( p ) riq(
p ) p )
0 p f ( p ) rf i f ( p )

1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
（1） 计算励磁电流的故障分量
由励磁绕组故障分量的磁链方程和电压方程：
f ( p ) xad id ( p ) x f i f ( p )
p
)

Xd(
p
)id
(
p
)
其中：
Xd(
p
)

xd

xa2d p rf xf
p
称为纵（d）轴运算电抗；
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
（3）计算d轴、q轴电流的故障分量
将磁链方程： d ( p ) X d ( p )id ( p )
q( p ) xqiq( p ) 代入电压方程：
ud Ud( 0 ) ud 0 uq Uq( 0 ) uq 0 u f U f ( 0 ) u f U f ( 0 )
可得
ud Ud( 0 ) uq Uq( 0 ) u f 0
由短路瞬间各绕组电流、磁链不能突变，故
id ( 0 ) iq( 0 ) i f ( 0 ) 0
x'd
D( p ) X d ( p )xq p2 r[ X d ( p ) xq ] p r 2 X d ( p )xq
x'd xq( p2 1)
代入电流故障分量的拉氏变换表达式： id ( p ) [( r xq p )U d( 0 ) xqU q( 0 ) ] pD( p ) iq( p ) [( r pX d ( p ))Uq( 0 ) X d ( p )Ud( 0 ) ] pD( p )
jxq Iq
E q'
jxd Id jxd' Id
Eq' Eq j(xd xd' )Id
U q U rI
Iq
I
0
U d Id d
同步发电机暂态电势向量图
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
由于是对称短路，短路后0轴电流和磁链均为0。不计阻尼绕组
磁链和电压方程为： 对于磁链和电压方程
三相短路后，各变量的故障分量为：
ud、id、 d、uq、iq、 q、u f 、i f 、 f
则三相短路后，各变量值为：
Ud Ud( 0 ) ud Id Id( 0 ) id

d
d( 0 )


d

Uq Uq( 0 ) uq Iq Iq( 0 ) iq
可得： Eq' Eq ( xd x'd )Id
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
这样以暂态电势 Eq' 表示的稳态节点电压平衡方程为：
Ud xqIq rId
U q

Eq'
(xd
xd' )Id
rIq

xd

Eq'

xd' Id
rIq
写成向量的形式：
)

f ( 0 ) f xad ( Id( 0 ) id ) x f ( I f ( 0 ) i f )
Ud( 0 ) ud Uq( 0 ) uq
d( q( 0 ) q d( d( 0 ) d
) )
dt dt
Ud jxqIq rId Uq Eq' jxd' Id rIq
将两式相加可得： U Ud Uq Eq' jxd' Id jxqIq rI
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
故发电机稳态运行时的向量图如下：
q E q
f
xad id

xf
if

1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
消去励磁电流 i f 可得：
d
xdid

xad



f
xadid xf


xad
xf
f



xd


xa2d xf
id


' d

x'd id
其中： xd'


xd
由于暂态初始时刻，各绕组磁链基本恒定，没有衰减，这相 当于各绕组的电阻为0。故先讨论忽略绕组电阻时的情形。
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
1. 忽略各绕电阻时的三相短路电流
当 r rf 0 时：
X d ( p ) xd

rf
xa2d p xf
p

xd
xa2d xf
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
可得定子d、q轴电流暂态分量的拉氏变换表达式为： id ( p ) [ pU d( 0 ) U q( 0 ) ] [ x'd p( p2 1)]
iq( p ) [ pU q( 0 ) U d( 0 ) ] [ xq p( p2 1)]
d q
xd id xqiq
xad i f

f xad id x f i f
ud d d uq d q
dt dt
q d

rid riq

u f d f dt rf i f

在满足条件：
三相短路：ua ub uc 0 即：ud uq 0 励磁电压保持恒定，即：u f U f ( 0 )

( (
q( 0 ) d( 0 )

q d
) r( Id( 0 ) ) r( Iq( 0 )
id iq
) )
U f ( 0 ) u f d( f ( 0 ) f ) dt rf ( I f ( 0 ) i f )

dt

q
(0)

rI
d
(0)

Uq(0) d q(0) dt d (0) rIq(0)
U f (0) d f (0) dt rf I f (0)

故可得故障分量的磁链方程和电压回路方程为：
d q
xd id xqiq
xad i f


q
q( 0
)


q
U f U f ( 0 ) u f I f I f ( 0 ) i f

f

f
(
0
)


f

1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
将上式代入磁链方程和电压回路方程，可得
d( 0 ) d xd ( Id( 0 ) id ) xad ( i f ( 0 ) i f q( 0 ) q xq ( Iq( 0 ) iq )
计算三相短路时的电流： ia、ib、ic
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
应用叠加原理求解
故障后变量值＝故障前变量的稳态值＋故障后变量的故障分量
即： X X( 0 ) x
三相短路前，各变量的稳态运行值为：
Ud (0)、Id (0)、 d (0)、Uq(0)、Iq(0)、 q(0)、U f (0)、I f (0)、 f (0)
综上可得，故障时发电机各绕组电流故障分量的拉氏变换： id ( p ) [( r xq p )U d( 0 ) xqU q( 0 ) ] pD( p ) iq( p ) [( r pX d ( p ))Uq( 0 ) X d ( p )Ud( 0 ) ] pD( p ) i f ( p ) [ ( xad p ) ( rf x f p )]id ( p ) 对上式取拉氏反变换即可求得定子d、q轴电流的解，进而求得 定子a、b、c三绕组的电流。

xa2d xf
d
称为d轴暂态电抗，与定子d绕组及 励磁绕组参数相关的计算电抗。
与励磁绕组磁链成正比的磁链：

' d

xad xf

f
称为纵轴等值磁链。
1.3.1 不计阻尼绕组时同步电机三相短路
定子d轴等值磁链产生的旋转电势，称为q轴暂态电势：
Eq'


' d

' d

xad xf

Ud( 0 ) p p d ( p ) q( p ) rid ( p ) Ud( 0 ) p p q( p ) d ( p ) riq( p )
Hale Waihona Puke 可得d轴、q轴电流故障分量的拉氏变换
id ( p ) [( r xq p )U d( 0 ) xqU q( 0 ) ] pD( p )