等比数列概念及性质

例题3：一个等比数列的第3项和第4 项分别是12和18，求它的第1项和第2 项。
1.在等比数列{an}中，已知
a 3 20, a 6 160
求an.
四. 应用示例
例2.根据右图的框图,写出所打印 数列的前5项,并建立数列的递 推公式.这个数列是等比数列吗?
开始
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
2
性质3：在等比数列中，序号成等差数列的项 依原序构成的新数列是等比数列。
等差数列 性质1 性质2 an=am+(n-m)d 若n+m=p+q 则am+an=ap+aq 项数成等差， 数列成等差
等比数列
a aq
m n
mn
若n+m=s+t 则an·m=as·t, a a
性质3
项数成等差 数列成等比
① 1，-1，1，…，(-1)n+1 ；√
②1，2，4，6…；× ③a，a，a，…，a； ×
④已知a1=2，an=3an+1 ； √
⑤
m, 2m, 4m ,8m ,... ×
2
3
⑥2a，2a，2a，…，2a. √
2、求出下列等比数列中的未知项： 1 (1)2，a，8；(2)－4，b，c， . 2
思考2：公比q<0时，等比数列呈现怎样的特 点？ 正负交替
结论： 等比数列an 的图象是其对应的 函数的图象上一些孤立的点
探究三:
等比数列的图象与指数函数之间的关系:
a1 n 等比数列{an }通项公式可整理为：an = q， q a1 x 它的图象是函数y = q 的图象上的孤立点. q
三.巩固 应用
例题1：某种放射性物质不断变化 为其他物质，每经过一年剩留的 这种物质是原来的84％.这种物质 的半衰期为多长（精确到1年）？
an am q
变通公式
nm
( n, m N )
*
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， 且公比为q，则an am q
证明
nm
.
设等比数列an 的首项为a1 , 公比为q， 则有an a1q , am a1q
n 1 m 1
an nm nm 从而 q , 即an am q . am
第二课时
二、新课
1.什么是等比数列？ 如果一个数列从第2项起，每一项与它的 前一项的比等于同一个常数，那么这个数 列叫做等比数列，这个常数叫做公比q. an 1 数学语言表示为： q
2.什么是等比中项？
an
如果a，G，b成等比数列，那么G叫做
G b 2 = 或G = ab a与b的等比中项 ，即 a G
已知
an , bn 是项数相同的等比数列， 求证 an bn 是等比数列.
证明:设数列 a n 首项为a1,公比为 q1bn ; 首项为b1,公比为q 2 那么数列 an bn 的第n项与第n+1项 分别为：
a1 q1
即为
n 1
b1 q2 与a1 q1 b1 q2
a n1 q an
等比中项 G ab

等差数列
an1 an d
d可以是0
等差中项

q不可以是0,
2A a b
an am q
an a1q
n 1
an a1 (n 1)d an am (n m )d
n m
5.性质 (若m+n=p+q)
探究一
在等比数列{an}中，a2.a6=a3.a5是否成立？
a32=a1.a5是否成立?
你能得到更一般的结论吗？
思考 设等比数列an 首项为a1 , 公比为q 且 m , n , s , t N+ ,若m+n=s+t
am,an,as ,at有什么关系
证明 则an a1q n1 , am a1q m1 ,
注：运用此公式，已知任意两项， 可求等比数列中的其他项
设数列an 为等差数列，且m, n, p, q N ， 若m n p q, 则am an a p aq .
若m n 2 p , 则a m a n 2 a p .
等比数列中有类似性质吗？？？
想一想
其中，a1与q均不为0。由于当n=1时上面等式两边均为a1， 即等式也成立，说明上面公式当n∈N*时都成立，因此它 就是等比数列｛an｝的通项公式。
等比数列的通项公式：
an=a1qn-1 （n∈N﹡,q≠0）
特别地，等比数列{an}中，a1≠0,q≠0
性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项， n a nm nm 且公比为q，则an am q . 或q m a
探究
bn
特别地，如果是a 等比数列，c是不等 于０的常数，那么数列 c a 也是等比数列．
n
n
对于例４中的等比数列 a n 与 b n ，数 列 a n 也一定是等比数列吗？
是
比较：
数列 定义式 公差（ 比）
定义变 形 通项公 式 一般形
等差数列 an+1-an=d
对公比q的探究： （a1 ﹥0时） 当0﹤q﹤1时，等比数列{an}为递减数列; 当q﹥1时，等比数列{an}为递增数列； 当q=1时，等比数列{an}为常数列； 当q﹤0时，等比数列{an}为摆动数列。
探究二：通项公式
思考3：如何用a1和q表示第n项an 1.不完全归纳法 2.叠乘法（累乘法）
等比数列的通项公式：
4、等比数列所有奇数项符号相同； 所有偶数项符号相同。
三、判断等比数列的方法
定义法:
an 1 q(是与n无关的数或式子, 且q 0） an
中项法:
an 1 an 1 an ( 0)
2
三个数a,b,c成等比数列
b2 ac
等比数列
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差) 中项 4.通项公式
作业：
P60 2
定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等 于同一个常数（指与n无关的数），这个数列就叫做等比数列， 这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。
an 1 q (是与n无关的数或式子, 且q 0） an
由此可知，等比数列
n>5? 是
结束
开始
解：若将打印出来的数依次记为 a1 (即A), a2 , a3, ......,
1 1 a2 a1 , 2 2
1 1 a4 a3 , 2 8
则：a1 1，
A=1 n=1 输出A n=n+1 A=1/2A 否
1 1 a3 a2 , 2 4
1 1 a5 a4 , 2 16
an a1 q
n 1
﹡,q≠0） （n∈N
2.由定义归纳通项公式
问：如何用a1和q表示第n项an 1.叠乘法（累乘法） 2.不完全归纳法 a2/a1=q a2=a1q a3/a2=q a3=a2q=a1q2 a4/a3=q a4=a3q=a1q3 … … an/an-1=q 这n-1个式子相乘得an/a1=qn-1 an=a1qn-1 所以 an=a1qn-1
分析：当n 1时，a1 S1 3 1 2； n n 1 当n 2时，an S n S n 1 3 1 (3 1)
1
an 2 3n 1 3为常数(n 2). n2 an 1 2 3
当n 1时，也满足an 2 3
an 的通项公式为
a n a1 q n 1 (a1 q 0)
an am q n m (am q 0)
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列， 2 那么G叫做a与b的等比中项。 G ab G ab
等比数列的性质： ①an=amqn-m ②若m+n=p+q,则aman=apaq
a1 1, 可得递推公式： 1 an an 1 (n 1) 2 a 1 由于 n ， 这个数列是等比数列，
an 1 2
n>5? 是
其通项公式为:
1 n 1 an ） （ 2
结束
2
n
3
n
6
n
是 是
1 n ( ） 2
1 n ( ) 3
1 n ( ) 6
定义说明： 1o等比数列的符号表示 a n 1
{a n }成等比数列
王新敞
奎屯 新疆

an
n N ） =q(≠0) （
2 隐含：任一项
an 0且q 0 (等比数列无零项)
3 q= 1时，{an}为常数列
新疆 奎屯
王新敞
非零的常数数列既是等差数列又是等比数列
思考1
： 1.用下列方法表示的数列中能确定 是等比数列的是 ① ④ ⑥.
a m a n a p aq a m a n a p aq
例3：已知{an }的通项公式an 3 , 求证： n }是 {a
n
等比数列.
变式 : 数列{an }是等比数列.
an q(q是一个与n无关的非零常数） an 1
定义法，只要看
n
已知数列{an }的前n项和为Sn 3 1, 求证：
课堂小结： 性质1：设an , am为等比数列an 中任意两项，
且公比为q，则an am q
nm
.
性质2：设数列an 为等比数列，且m, n, s, t N ， 若m n s t , 则am an as at .
若m n 2 s , 则 a m a n a s .
3 3
n
n 1
3 3
n 1
n 1
an 2 3 .
3
n 1
23 ，
n 1
n 1
课堂练习
1、一个等比数列的第4项与第7项分别是 －
2 9
,
2 243
，求这个等比数列的通项公式
以及第5项
3、 已 知 数 列a n }为 等 比 数 列 { (1)若a n 0, 且a 2 a 4 2a3a5 a 4 a6 25, 求a3 a5 ; ( 2)a1 a 2 a3 7, a1a 2 a3 8, 求a n
n
n 1
n
a n 1 bn 1 a1b1 (q1 q 2 ) n q1 q 2 .它是一个与n无关的常数， n 1 a n bn a1b1 (q1 q 2 )
所以 an bn 是一个以 q1q 2 为公比的等比数列
a1b1 (q1q2 )n 1 与a1b1 (q1q2 )n

例3.已知等比数列an 的首项为a1 , 公比为q，依次取出数列an 中所有奇数项，组成一个新数列，这个数列还是等比数列吗？
变式1：如果依次取出a1 , a4 , a7 , a10 ,构成一个新数列， 该数列是否还是等比数列？
思考：你能得到更一般的结论吗？
思考4：等比数列的通项公式与函数有怎样的关系？
例如：数列{an}的首项是a1=1,公比q=2,则通项公式是：
an 2n -1 ＿＿＿＿＿＿
上式还可以写成
an 8
·
1 n an 2 2
7
6
5 4
可见，这个等比数列 的图象都在函数
y 2
1 2
x
·
3
2 1
0
的图象上，如右图所示。
·
·
1 2 3 4 n
从而an am a1 q
2 m n2
2 s t 2
同理可得a s at a1 q
又因为m n s t 所以am an as at .
要积极 思考哦
性质2：
若等比数列{an}的首项为a1 ，公比q，且 且 m , n , s , t N+
若m+n=s+t ,则aman=asat
d 叫公差
等比数列
an+ 1 an = q
q叫公比
an+1=an q an=a1qn-1
an+1=an+d
an= a1+(n-1)d
an=am+(n-m)d
an=amqn-m
变形结论: 变通公式
在等差数列 a n 中
an am (n m)d
( n, m N )
*
试问：在等比数列 a n 中，如果知道 am 和公 比q，能否求 an ？如果能，请写出表达式。
若m n 2s, 则am an as .
2
二、等比数列的性质
1、若m, n, p, q N , 且m n p q,
则a m a n a p a q
1 2、an .an1 ...a2 .a1仍为等比数列其公比为 q
3、a1 .an a2 .an1 a3 .an 2 ...