人教A版选择性必修第二册5.2.1基本初等函数的导数课件(26张)

.



=



=cos = ,



所以切线方程为 y- = (x- ),


即 4 x-8y+ (4-π)=0.

答案:(2)4 x-8y+ (4-π)=0
师生互动·合作探究
探究点一
利用导数公式求函数的导数
[例1] 求下列函数的导数.

(1)y=cos ;


Hale Waihona Puke 解:(1)因为 y=cos = ,所以 y′=0.

(+)-() -
提示:因为 =

所以 y′=

=


= 0=0.
→ →
同理可求其他函数的导数.
=0,
1.几种常用函数的导数
函数
导数
f(x)=c(c 为常数)
f(x)=x
f(x)=x
2
f(x)=x
3
f(x)=


f(x)=
f′(x)= 0
α
f(x)=x (α∈Q,且α≠0)
f(x)=sin x
f(x)=cos x
x
f(x)=a (a>0,且 a≠1)特别地,f(x)=e
x
f(x)=logax(a>0,且 a≠1)特别地,f(x)=ln x
f′(x)= 0
f′(x)= αxα-1
f′(x)= cos x
f′(x)= -sin x
f′(x)= axln a
f′(x)= 1
f′(x)=2x
f′(x)= 3x2
f′(x)=
-



f′(x)=
[做一做1] (1)函数f(x)=1的导数是(
A.0
B.1
C.不存在
D.不确定
A
解析:(1)常数函数的导数等于0.故选A.
)

2
(2)若函数 f(x)=x ,则曲线 y=f(x)在 x= 处的切线斜率为(
方法总结
求曲线的切线方程时,应注意
(1)切点是曲线与切线的公共点,切点坐标既满足曲线方程也满足切线
方程;
(2)曲线在切点处的导数就是切线的斜率;
(3)必须明确已知点是不是切点,如果不是,应先设出切点.
[针对训练] 设P是曲线y=ex上任意一点,求点P到直线y=x的最小距离.
x
解:如图,设 l 是与直线 y=x 平行,且与曲线 y=e 相切的直线,则切点到直线

A.1
B.-1
C

C.e
D.






解析:f′(x)= ,则 f′( )= =e.故选 C.

)
2.(2021·湖北襄阳高二期中)一质点的运动方程为s=sin t,则t=1时质点的
瞬时速度为(
B
A.sin 1
B.cos 1
C.-sin 1
D.-cos 1
)
解析:s′=cos t,当t=1时,s′|t=1=cos 1,所以当t=1时质点的瞬时速度
线,若有,求出切线方程;若没有,说明理由.
2
解:y′=(x )′=2x,假设存在与直线 PQ 垂直的切线,
设切点坐标为(x0, ).
由直线 PQ 的斜率为 k=
-
=1,
+




又切线与直线 PQ 垂直,所以 2x0=-1,即 x0=- ,所以切点坐标为(- , ).




所以所求切线方程为 y- =(-1)×(x+ ),即 4x+4y+1=0.
y=x 的距离最小.
x
设直线 l 与曲线 y=e 相切于点 P(x0,y0).
x
因为 y′=e ,所以 =1,所以 x0=0,
x
代入 y=e ,得 y0=1,所以 P(0,1),
所以点 P 到直线 y=x 的最小距离为
|-|


= .

当堂检测

1.已知 f(x)=ln x,则 f′( )的值为(

[针对训练] (1)(2021·山东肥城高二期中)函数 y=cos x 在点(- ,0)处的切线

方程是(
A.y=x-


)
B.y=x+


C.y=-x+


解析:(1)由 y=cos x,得 y′=-sin x,

所以切线的斜率为 k=-sin(- )=1,


所以所求的切线方程为 y=x+ .故选 B.
则,避免不必要的运算失误.

x
(3)要特别注意“ 与 ln x”“a 与 logax”“sin x 与 cos x”的导数的区别.

[针对训练] 求下列函数的导数.
(1)y=x12;
解:(1)y′=(x12)′=12x11.

(2)y= ;
解:(2)y′=(




)′=( )′= - .

A.0
C.


B.1
D.不存在
解析:(2)因为 f′(x)=2x,




所以 k=f′( )=2× =1.故选 B.
B
)
[问题2] 由问题1你能总结出函数y=xα(α∈Q,且α≠0)的导数是什么吗?
提示:能,归纳可得y=xα的导数是y′=αxα-1.
2.基本初等函数的导数公式
原函数
导函数
f(x)=c(c 为常数)
f′(x)= ex
f′(x)=



f′(x)=

[做一做2] (1)若函数y=10x,则y′|x=1=
;
解析:(1)因为y′=10xln 10,所以y′|x=1=10ln 10.
答案:(1)10ln 10


(2)曲线 y=sin x 在( , )处的切线方程为

解析:(2)因为 k=(sin x)′|



(2)y= ;


-5
-6
解:(2)因为 y= =x ,所以 y′=-5x .

[例1] 求下列函数的导数.

(3)y= ;







解:(3)因为 y= = = ,所以 y′= .


(4)y=lg x;
解:(4)因为 y=lg x,
所以 y′=


.

[例1] 求下列函数的导数.
(5)y=5x;
解:(5)因为y=5x,所以y′=5xln 5.

(6)y=cos ( -x).


解:(6)因为 y=cos ( -x)=sin x,

所以 y′=cos x.
方法总结
(1)若求导函数符合导数公式,则直接利用公式求解.
(2)对于不能直接利用公式的类型,一般遵循“先化简,再求导”的基本原

(3)y=log5x.
解:(3)y′=(log5x)′=


.
探究点二
利用公式求函数在某点处的导数

[例 2] (1)求函数 f(x)= 在(1,1)处的导数;


-



-


解:(1)因为 f′(x)=( )′=( )′=- =
所以 f′(1)=-








,

=- .




(2)求函数 f(x)=cos x 在( , )处的导数.







解:(2)因为 f′(x)=-sin x,所以 f′( )=-sin =- .

方法总结
求函数在某定点(点在函数图象上)的导数的步骤是:
(1)先求函数的导函数;
(2)把对应点的横坐标代入导函数求相应的导数值.
于时间t的函数为s=f(t),求它的瞬时速度,即f(t)的导数.
探究:根据导数的定义,运算比较复杂,是否有更好的求导方法呢?
提示:有.求导法则.
知识探究
[问题 1] 你能利用导数的定义求出函数 y=f(x)=c 的导数吗?类似地你能求出函

2
数 y=f(x)=x,y=f(x)=x ,y=f(x)= ,y=f(x)= 的导数吗?
为cos 1.故选B.

3.函数 y= 在点( , )处切线的倾斜角为

解析:y′=
答案:



,y′|


=

.

=1,所以切线的斜率为 1,所以切线的倾斜角为 .

4.曲线y=e x 在点(2,e 2 )处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为
.
x
x
2
2
解析:因为 y′=(e )′=e ,所以在点(2,e )处的切线的斜率为 k=e ,
2
2
2
所以曲线在点(2,e )处的切线方程为 y-e =e (x-2),
2
2
即 y=e x-e .
2
当 x=0 时,y=-e ;
当 y=0 时,x=1.

2

2
所以 S 三角形= ×1×|-e |= e .

答案: e


2

5.2
导数的运算
基本初等函数的导数
学习目标
2

1.能根据定义求函数 y=c,y=x,y=x ,y= 的导数,发展数学运算的核心素养.

2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数,增强数学运算
的核心素养.
知识梳理·自主探究
师生互动·合作探究
知识梳理·自主探究
情境导入
高铁是目前非常受欢迎的交通工具,既低碳又快捷.设一高铁走过的路程s关

D.y=-x-


(2)函数f(x)=x3,f′(x0)=6,则x0等于(
A.
B.-
C.±1
)
D.±
解析:(2)因为 f′(x)=3x ,所以 f′(x0)=3 =6,
2
所以 x0=± .故选 D.
探究点三
导数公式的应用
[例3] 已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上两点,是否存在与直线PQ垂直的切