2021年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷(一模) (解析版)

2021年福建省漳州市高考数学第一次质检试卷（一模）
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x∈N|log2x＜3}，B＝{x|x≥3}，则A∩B＝（）
A．{4，5，6，7}B．{4，5，6，7，8}
C．{3，4，5，6，7}D．{2，3，4，5，6，7，8}
2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+2i）＝1+i2021，则＝（）A．B．C．D．
3．若实数x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最大值为（）
A．90B．100C．118D．150
4．已知向量＝（2，3），＝（k，5），且＝3，则|2|＝（）A．4B．3C．5D．6
5．已知a2﹣3a+2＝0，则直线l1：ax+（3﹣a）y﹣a＝0和直线l2：（6﹣2a）x+（3a﹣5）y ﹣4+a＝0的位置关系为（）
A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．垂直或重合6．函数y＝的图象可能是图中的（）
A．B．
C．D．
7．已知sin（θ﹣）＝，则sin2θtanθ＝（）
A．B．C．D．
8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）﹣f（x）＞0，f（2021）＝e2021，则不等式f（lnx）＜的解集为（）
A．（e6063，+∞）B．（0，e2021）C．（e2021，+∞）D．（0，e6063）
二、选择题（共4小题）.
9．在数列{a n}中，a2和a6是关于x的一元二次方程x2﹣bx+4＝0的两个根，下列说法正确的是（）
A．实数b的取值范围是b≤﹣4或b≥4
B．若数列{a n}为等差数列，则数列{a n}的前7项和为4b
C．若数列{a n}为等比数列且b＞0，则a1＝±2
D．若数列{a n}为等比数列且b＞0，则a2+a6的最小值为4
10．已知在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝3，AB＝2，点D为BC的中点，下面结论正确的有（）
A．PC⊥AB
B．平面PAD⊥平面PBC
C．PA与平面PBC所成的角的余弦值为
D．三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为
11．已知双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为y＝x，且过点（1，），椭圆C2：＝1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、
右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A（1，y1），则下列说法中正确的有（）
A．双曲线C1的离心率为2
B．双曲线C1的实轴长为
C．点B的横坐标的取值范围为（﹣2，﹣1）
D．点B的横坐标的取值范围为（﹣3，﹣1）
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω∈N）在区间[﹣，]和[]上单调递增，下列说法中正确的是（）
A．ω的最大值为3
B．方程f（x）＝log2πx在[0，2π]上至多有5个根
C．存在ω和φ使f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数
D．存在ω和φ使f（x）＝sin（ωx+φ）为奇函数
三、填空题（共4小题）.
13．已知二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为．
14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”
是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是．
15．如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2．取AD的中点E，将△ABE沿BE折起，使二面角A﹣BE﹣C为120°，则四棱锥A﹣BCDE的体积为．
16．定义关于x的曲线f（a，b，c）＝ax2+bx+c，则与曲线f（1，2，0）和f（﹣1，2，0）都相切的直线l的方程为，F（x）＝，已知a＞0，若关于x的方程F（x）＝f（0，a，0）有三个不同的实根，则a＝．
四、解答题（共6小题）.
17．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2S2＝9a1﹣2，a3＝2a2+3a1．（Ⅰ）若等差数列{b n}满足b i＝a i（i＝1，2），求{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若c n＝______，求数列{c n}的前n项和T n．
在①+1；②；③这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝c cos B+b．（Ⅰ）若c＝1，求△ABC面积的最大值；
（Ⅱ）若D为BC边上一点，DB＝4，AB＝5，且＝﹣12，求AC．
19．如图，四边形BEDC为正方形，AE⊥BE，AE＝BE，M，N分别是边DE，BE的中点，直线DE与平面ABE所成的角为．
（Ⅰ）求证：DN⊥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值．
20．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为，答错的概率为．
（Ⅰ）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X，求X的分布列及数学期望；
（Ⅱ）若甲在回答过程中出现在第i（i≥2）个等级的概率为P i，证明：{P i﹣P i﹣1}为等比数列．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+2x，g（x）＝x2+（a﹣2）+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+g（x）＝0至少有两个不相等的实根，求a的最大值．22．已知直线l：2x﹣y﹣4＝0与x轴交于点E，且＝，其中O为坐标原点，F为抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点．
（Ⅰ）求拋物线Ω的方程；
（Ⅱ）若直线l与抛物线Ω相交于P，B两点（P在第一象限），直线PA，PC分别与抛物线相交于A，C两点，与x轴交于D，G两点，且E为DG中点，设直线PA，PC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PBC的面积的取值范围．
参考答案
一、选择题（共8小题）.
1．已知集合A＝{x∈N|log2x＜3}，B＝{x|x≥3}，则A∩B＝（）
A．{4，5，6，7}B．{4，5，6，7，8}
C．{3，4，5，6，7}D．{2，3，4，5，6，7，8}
【分析】可求出集合A，然后进行交集的运算即可．
解：∵A＝{x∈N|0＜x＜8}＝{1，2，3，4，5，6，7}，B＝{x|x≥3}，
∴A∩B＝{3，4，5，6，7}．
故选：C．
2．已知i为虚数单位，复数z满足z（1+2i）＝1+i2021，则＝（）A．B．C．D．
【分析】由i4＝1，i2021＝（i4）505•i＝i，再利用复数的运算法则及共轭复数的定义即可得出．
解：∵i4＝1，i2021＝（i4）505•i＝i，
∴z（1+2i）＝1+i2021＝1+i，
∴z＝＝＝，
则＝，
故选：B．
3．若实数x，y满足约束条件，则z＝4x+3y的最大值为（）
A．90B．100C．118D．150
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用线性规划的知识即可得到结论．
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分（含边界）所示，
目标函数z＝4x+3y可转化为直线y＝﹣x+z，
由图可知当直线经过点A时，z取得最大值，
联立，解得点A(16,18)，
所以z max＝4×16+3×18＝118，
故选：C．
4．已知向量＝（2，3），＝（k，5），且＝3，则|2|＝（）A．4B．3C．5D．6
【分析】根据可得出2k+15＝3，解出k＝﹣6，然后即可求出的坐标，进而可求出的值．
解：∵，
∴，解得k＝﹣6，
∴，，
∴．
故选：C．
5．已知a2﹣3a+2＝0，则直线l1：ax+（3﹣a）y﹣a＝0和直线l2：（6﹣2a）x+（3a﹣5）y ﹣4+a＝0的位置关系为（）
A．垂直或平行B．垂直或相交C．平行或相交D．垂直或重合【分析】由a2﹣3a+2＝0，得a＝1或a＝2．当a＝1时，两直线垂直；当a＝2时，两直线重合．
解：因为a2﹣3a+2＝0，所以a＝1或a＝2．
当a＝1时，l1：x+2y﹣1＝0，斜率为k1＝﹣,
l2：4x﹣2y﹣3＝0，斜率为k2＝2,
∵k1k2＝﹣1,∴两直线垂直；
当a＝2时，l1：2x+y﹣2＝0，l2：2x+y﹣2＝0，两直线重合．
故选：D．
6．函数y＝的图象可能是图中的（）
A．B．
C．D．
【分析】先判断函数是偶函数，然后利用分式性质判断函数的单调性，进行排除即可．解：因为y＝为偶函数，故排除选项B，D；
易知y＝＝在（0，+∞）上单调递增，故排除选项C，
故选：A．
7．已知sin（θ﹣）＝，则sin2θtanθ＝（）
A．B．C．D．
【分析】由已知利用诱导公式可求得cosθ的值，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．
解：由sin（θ﹣）＝，得cosθ＝﹣，
则sin2θtanθ＝＝2sin2θ＝2（1﹣cos2θ）＝2×（1﹣）＝．故选：B．
8．已知定义在R上的函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）﹣f（x）＞0，f（2021）
＝e2021，则不等式f（lnx）＜的解集为（）
A．（e6063，+∞）B．（0，e2021）C．（e2021，+∞）D．（0，e6063）【分析】设F(x)＝，得到函数F(x)在R上单调递增，F(2021)＝1，不等式转化为F(lnx)＜F(2021)，求出不等式的解集即可．
解：由题可设F(x)＝，
∵f′（x）﹣f（x）＞0，则F′(x)＝＞0，
∴函数F(x)在R上单调递增，F(2021)＝＝1，
将不等式f(lnx)＜转化为•＝•＜，
可得F(lnx)＜1，即F(lnx)＜F(2021)，
∴lnx＜2021，∴0＜x＜e6063，
∴不等式f（lnx）＜的解集为(0,e6063)，
故选：D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.
9．在数列{a n}中，a2和a6是关于x的一元二次方程x2﹣bx+4＝0的两个根，下列说法正确的是（）
A．实数b的取值范围是b≤﹣4或b≥4
B．若数列{a n}为等差数列，则数列{a n}的前7项和为4b
C．若数列{a n}为等比数列且b＞0，则a1＝±2
D．若数列{a n}为等比数列且b＞0，则a2+a6的最小值为4
【分析】由题意利用韦达定理、基本不等式、等差数列和等比数列的性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解：因为关于x的一元二次方程x2﹣bx+4＝0有两个根，
所以△＝b2﹣4×1×4≥0，解得b≤﹣4或b≥4，故选项A正确；
若数列{a n}为等差数列，且a2+a6＝b，
则S7＝＝＝，故选项B错误；
若数列{a n}为等比数列且b＞0，
由可得a2＞0，a6＞0，
所以，a1＞0，∴a2+a6＝b≥2＝4，
当且仅当a2＝a6＝2时，等号成立，
故选项C错误，选项D正确，
故选：AD．
10．已知在正三棱锥P﹣ABC中，PA＝3，AB＝2，点D为BC的中点，下面结论正确的有（）
A．PC⊥AB
B．平面PAD⊥平面PBC
C．PA与平面PBC所成的角的余弦值为
D．三棱锥P﹣ABC的外接球的半径为
【分析】对于AB．如图，连接PD，AD，可得PD⊥BC，AD⊥BC，利用线面、面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；
对于C．∠APD为PA与平面PBC所成的角，在△APD中，根据余弦定理可得cos∠APD，即可判断出正误；
对于D．取△ABC的重心为O1，连接PO1，设外接球的球心为O，半径为R，连接AO，在Rt△AOO1中，可得R2＝+，解得R，即可判断出正误．
解：对于AB．如图，连接PD，AD，易得PD⊥BC，AD⊥BC，
∵AD∩PD＝D，∴BC⊥平面APD，
∵BC⊂平面PBC，∴平面APD⊥平面PBC，
∴PA⊥BC，同理PC⊥AB，故选项A，B正确；
对于C．∠APD为PA与平面PBC所成的角，在△APD中，PD＝＝2，AD＝＝，
根据余弦定理得cos∠APD＝＝，故选项C错误；
对于D．取△ABC的重心为O1，连接PO1，设外接球的球心为O，半径为R，连接AO，在Rt△AOO1中，可得R2＝+，解得R＝，故选项D错误，故选：AB．
11．已知双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为y＝x，且过
点（1，），椭圆C2：＝1的焦距与双曲线C1的焦距相同，且椭圆C2的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交C2于A，B两点，若点A（1，y1），则下列说法中正确的有（）
A．双曲线C1的离心率为2
B．双曲线C1的实轴长为
C．点B的横坐标的取值范围为（﹣2，﹣1）
D．点B的横坐标的取值范围为（﹣3，﹣1）
【分析】根据双曲线C1渐近线的方程为，及过点（1，可得双曲线C1的方程为4x2﹣＝1，从而求得椭圆C2焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），设A（1，y1）（y1
＞0），可得直线AB的方程为y＝，联立，根据韦达定理可得x B＝﹣＝﹣3+，即可求解．
解：双曲线C1：＝1（a1＞0，b1＞0）的一条渐近线的方程为，则可设双曲线C1的方程为x2﹣＝λ，∵过点（1，），∴1﹣＝λ，解得，∴双曲线C1的方程为4x2﹣＝1，即﹣＝1，
可知双曲线C1的离心率e＝，实轴的长为1，故选项A正确，选项B错误；
由可知椭圆C2：＝1的焦点F1（﹣1，0），F2（1，0），
不妨设A（1，y1）（y1＞0），代入＝1得+＝1，∴y1＝，
直线AB的方程为y＝，联立，消去y并整理得（a2+3）x2+2（a2﹣1）x﹣3a2﹣1＝0，
根据韦达定理可得1•x B＝﹣，可得x B＝﹣＝﹣3+，．又a2＞1，∴a2+3＞4，1＜2，∴﹣3＜x B＜﹣1，故选项C错误，选项D正确，
故选：AD．
12．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω∈N）在区间[﹣，]和[]上单调递增，下列说法中正确的是（）
A．ω的最大值为3
B．方程f（x）＝log2πx在[0，2π]上至多有5个根
C．存在ω和φ使f（x）＝sin（ωx+φ）为偶函数
D．存在ω和φ使f（x）＝sin（ωx+φ）为奇函数
【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
解：由函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω∈N）在区间[﹣，]和[]上单调
递增，
可得当周期T最小时，＝＝﹣＝，∴ω＝3，满足条件．
当周期T最大时，＝＝﹣，∴ω＝1，满足条件．
∴ω＝1，2，3 都可，故A正确；
若方程f（x）＝log2πx在[0，2π]上的根最多，则函数f（x）＝sin（ωx+φ）的周期最小，即ω＝3，
画出两个函数的图象，由图中可知至多有五个交点，故选项B正确；
因为函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω∈N）在区间[﹣，]上单调递增，故不可能存在ω和φ使f（x）为偶函数，
故选项C错误；
当ω＝2和φ＝0时，f（x）＝sin2x为奇函数，满足题意，故选项D正确，
故选：ABD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为256，则展开式的常数项为112．
【分析】先利用二项式系数的性质求得n，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．
解：∵二项式（2x﹣）n的展开式的二项式的系数和为2n＝256，∴n＝8，
则展开式的通项公式为T r+1＝•（﹣1）r•28﹣r•x12﹣2r，令12﹣2r＝0，求得r＝6，故常数项为•22＝112，
故答案为：112．
14．2020年新冠肺炎肆虐，全国各地千千万万的医护者成为“最美逆行者”，医药科研工作者积极研制有效抗疫药物，中医药通过临床筛选出的有效方剂“三药三方”（“三药”
是指金花清感颗粒、连花清瘟颗粒（胶囊）和血必净注射液；“三方”是指清肺排毒汤、化湿败毒方和宜肺败毒方）发挥了重要的作用．甲因个人原因不能选用血必净注射液，甲、乙两名患者各自独立自主的选择一药一方进行治疗，则两人选取药方完全不同的概率是．
【分析】将三药分别记为A，B，C三方分别记为a，b，c，选择一药一方的基本事件共有9个组合，求出两名患者选择药方完全不同的情况的种数和两名患者可选择的药方的种数，由此能求出两人选取药方完全不同的概率．
解：将三药分别记为A，B，C三方分别记为a，b，c，选择一药一方的基本事件如表所示，共有9个组合，
A B C
a{A，a}{B，a}{C，a}
b{A，b}{B，b}{C，b}
c{A，c}{B，c}{C，c}
则两名患者选择药方完全不同的情况有m＝＝24（种），
两名患者可选择的药方共有n＝＝54（种），
所以两人选取药方完全不同的概率是P＝．
故答案为：．
15．如图，在梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，AB＝1，BC＝1，AD＝2．取AD的中点E，将△ABE沿BE折起，使二面角A﹣BE﹣C为120°，则四棱锥A﹣BCDE的体积为．
【分析】取BE的中点H，连接AH，CH，则∠AHC为二面角A﹣BE﹣C的平面角，从而∠AHC＝120°，过点A作CH的垂线，交CH的延长线于点KV A﹣BCDE＝，由此能求出结果．
解：梯形ABCD的面积S＝＝，
，S BCDE＝＝1，
如图，取BE的中点H，连接AH，CH，
AH⊥BE，CH⊥BE，
∴∠AHC为二面角A﹣BE﹣C的平面角，
∴∠AHC＝120°，过点A作CH的垂线，交CH的延长线于点K，
则AH＝,AK＝AH sin60°＝＝，
所以V A﹣BCDE＝＝＝．
故答案为：．
16．定义关于x的曲线f（a，b，c）＝ax2+bx+c，则与曲线f（1，2，0）和f（﹣1，2，0）
都相切的直线l的方程为y＝2x，F（x）＝，已知a＞0，
若关于x的方程F（x）＝f（0，a，0）有三个不同的实根，则a＝8．
【分析】由已知可得F1（x）＝f（1，2，0）与F2（x）＝f（﹣1，2，0），分别求导数，得到F1′（0）与F2′（0），再求出F1（0）与F2（0），即可求得与曲线f（1，2，0）和f（﹣1，2，0）都相切的直线l的方程；写出分段函数F（x））＝
，再求出f（0，a，0），联立方程组，利用判别式大于等于
0求得a的范围，进一步分析可得满足条件的a值．
解：令，，
知F1′（x）＝2x+2在R上单调递增，F2′（x）＝﹣2x+2在R上单调递减，
F1（0）＝F2（0）＝0，且F1′（0）＝F2′（0）＝2，
即两函数有一个公共点，两曲线有过该点的公切线，公切线方程为y＝2x；
∵，∴，
令g（x）＝f（0，a，0）＝ax，
由，整理可得x2+ax+a＝0，
由△＝a2﹣4a≥0，可得a≥4或a≤0，则a≥4；
由，整理可得x2﹣ax+2a＝0，
由△＝4a2﹣8a≥0，可得a≥8或a≤0，则a≥8．
若方程F（x）＝f（0，a，0）有三个根，则直线y＝ax与F（x）的图象有三个交点，得当y＝ax（a＞0）与F（x）左侧图象相交于F（x）右侧图象相切时，方程F（x）＝f （0，a，0）有三个不同的实根，
则a＝8．
故答案为：y＝2x；8．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．已知各项均为正数的等比数列{a n}的前n项和为S n，且2S2＝9a1﹣2，a3＝2a2+3a1．（Ⅰ）若等差数列{b n}满足b i＝a i（i＝1，2），求{a n}，{b n}的通项公式；
（Ⅱ）若c n＝______，求数列{c n}的前n项和T n．
在①+1；②；③这三个条件中任选一个补充到第（Ⅱ）问中，并对其求解．
【分析】（Ⅰ）利用等比数列的通项公式与求和公式求出a1和q，得到数列{a n}的通项公式，再求出对应等差数列{b n}的前两项和公差，即可得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）根据已知条件进行整理，得出数列{c n}的通项公式，进而利用裂项相消法即可求解．
解：（Ⅰ）设数列{an}的公比为q，则q＞0．
∵2S2＝9a1﹣2，
∴2a2＝7a1﹣2，①
∵a3＝2a2+3a1，
∴q2﹣2q﹣3＝0，解得q＝3（舍负），
代入①得a1＝2，a2＝6，
∴a n＝2•3n﹣1；
则b1＝a1＝2，b2＝a2＝6，②
设数列{b n}的公差为d，
∴d＝b2﹣b1＝6﹣2＝4，
则b n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；
（Ⅱ）选择①：
∵b n＝4n﹣2，∴b n+1＝4n+2，
则c n＝+1＝+1＝﹣+1，
∴T n＝（﹣+﹣+…+﹣）+n＝﹣+n＝．
选择②：
∵b n＝4n﹣2，b1＝2，
则b1+b2+…+b n＝＝＝2n2，
∴c n＝＝＝＝﹣，∴T n＝1﹣+﹣+…+﹣＝1﹣＝；
选择③：
由（Ⅰ）知a n＝2•3n﹣1；
∴S n＝＝3n﹣1．
∴c n＝＝＝（﹣）．
∴T n＝（﹣+﹣+﹣+…+﹣）＝．
18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝c cos B+b．（Ⅰ）若c＝1，求△ABC面积的最大值；
（Ⅱ）若D为BC边上一点，DB＝4，AB＝5，且＝﹣12，求AC．
【分析】（Ⅰ）根据正弦定理求出角C，再根据余弦定理及基本不等式求出ab的最大值，即可确定三角形的面积的最大值；
（Ⅱ）首先求出cos B，再求出sin B，再在△ADC中利用正弦定理即可求出AC的长．解：（Ⅰ）根据a＝c cos B+b及正弦定理，可得
sin A＝sin C cos B+sin B，
即sin（B+C）＝sin C cos B+sin B，
可得sin B cos C+cos C sin B＝sin C cos B+sin B，
∵sin B≠0，∴cos C＝．
∵0＜C＜π，∴C＝．
根据余弦定理可得：
c2＝a2+b2﹣2ab cos C≥2ab﹣ab＝ab，
∴ab≤1，当且仅当a＝b时等号成立，
∴△ABC的面积为ab•sin C×1×＝，
∴△ABC的面积的最大值为．
（Ⅱ）由＝﹣12可得
＝5×4×cos（π﹣B）＝﹣12，
∴cos B＝，0＜B＜π，
∴sin B＝．
在△ABC中，利用正弦定理可得＝，
即AC＝＝．
19．如图，四边形BEDC为正方形，AE⊥BE，AE＝BE，M，N分别是边DE，BE的中点，直线DE与平面ABE所成的角为．
（Ⅰ）求证：DN⊥平面ACM；
（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值．
【分析】（Ⅰ）先证明∠AED为直线DE与平面ABE所成角，得到△ADE为等边三角形，再证明DN⊥AM，DN⊥CM，最后由线面垂直的判定定理得证；
（Ⅱ）分别取AE，AB的中点为O，P，连接DO，PO，以O为原点建立空间直角坐标系，求出平面ACM和平面ABC的法向量，再利用空间向量夹角公式求解二面角的余弦值即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AE⊥BE，BE⊥DE，AE∩DE＝E，AE、DE⊂平面ADE，
∴BE⊥平面ADE，
∴平面ABE⊥平面ADE，
∴点D在平面ABE的射影在线段AE上，
∴∠AED为直线DE与平面ABE所成的角，即∠AED＝，
又AE＝BE＝DE，∴△ADE为等边三角形，
连接AM，DN，
∵M为DE的中点，∴AM⊥DE，
∵BE⊥平面ADE，AM⊂平面ADE，∴BE⊥AM，
又BE∩DE＝E，BE、DE⊂平面BCDE，∴AM⊥平面BCDE，
∵DN⊂平面BCDE，∴AM⊥DN，
∵CD＝DE，DM＝EN，∠CDE＝∠DEN＝，
∴△CDM≌△DEN，
∴∠DMC＝∠END，∴∠DMC+∠EDN＝，∴DN⊥CM，
∵CM∩AM＝M，CM、AM⊂平面ACM，
∴DN⊥平面ACM．
（Ⅱ）解：分别取AE，AB的中点为O，P，连接DO，PO，则OP∥BE，
由（Ⅰ）知，BE⊥平面ADE，∴OP⊥平面ADE，∴OP⊥AE，
∵△ADE为等边三角形，∴DO⊥AE，
∵BE⊥平面ADE，DO⊂平面ADE，
∴BE⊥DO，
又BE∩AE＝E，BE、AE⊂平面ABE，∴DO⊥平面ABE，
∴DO⊥OP，
∴OP，OA，OD两两垂直，
故以O为原点，OP，OA，OD所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，设OA＝1，则A（0，1，0），P（1，0，0），D（0，0，），E（0，﹣1，0），B（2，﹣1，0），N（1，﹣1，0），
∴＝（2，﹣2，0），＝＝（0，1，），
设平面ABC的法向量为＝（x，y，z），则，即，
不妨设z＝﹣1，则＝（，，﹣1），
由（Ⅰ）可得＝（1，﹣1，）为平面ACM的一个法向量，
∴cos＜，＞＝＝＝，
由图知，二面角M﹣AC﹣B的平面角为锐角，
∴二面角M﹣AC﹣B的余弦值为．
20．为迎接2020年国庆节的到来，某电视台举办爱国知识问答竞赛，每个人随机抽取五个问题依次回答，回答每个问题相互独立．若答对一题可以上升两个等级，回答错误可以
上升一个等级，最后看哪位选手的等级高即可获胜．甲答对每个问题的概率为，答错的概率为．
（Ⅰ）若甲回答完5个问题后，甲上的台阶等级数为X，求X的分布列及数学期望；（Ⅱ）若甲在回答过程中出现在第i（i≥2）个等级的概率为P i，证明：{P i﹣P i﹣1}为等比数列．
【分析】（Ⅰ）首先确定X的所有可能取值，根据概率公式分别求出对应发生的概率，列出分布列，即可求出数学期望；（Ⅱ）根据已知的关系，求出P i+1与P i，P i﹣1的关系式，再通过化简和等比数列的定义求解即可．
解：（Ⅰ）依题意可得，X可取5，6，7，8，9，10，
P（X＝5）＝＝，
P（X＝6）＝＝，
P（X＝7）＝＝，
P（X＝8）＝＝，
P（X＝9）＝＝，
p（x＝10）＝＝，
则X的分布列如表所示．
X5678910
P
E（X）＝5×+6×+7×+8×+9×+10×＝，
证明：（Ⅱ）处于第i+1个等级有两种情况：
由第i等级到第i+1等级，其概率为；
由第i﹣1等级到第i+1等级，其概率为；
所以P，
所以P，
所以数列{P i﹣P i﹣1}为等比数列．
21．已知函数f（x）＝lnx﹣x2+2x，g（x）＝x2+（a﹣2）+2．
（Ⅰ）求函数f（x）的极值点；
（Ⅱ）若关于x的方程f（x）+g（x）＝0至少有两个不相等的实根，求a的最大值．【分析】（Ⅰ）对函数求导，根据导函数正负判断函数的单调性，确定函数的极值点即可；
（Ⅱ）根据f（x）+g（x）＝0，可以分离出参数a，构造新函数，求导确定新函数的最值，进而确定参数a的最大值．
解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．
f′（x）＝﹣3x+2＝＝．
令f′（x）＝0，得x＝1或x＝﹣（舍）．
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，∴f（x）单调递增；
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，∴f（x）单调递减，则当x＝1时，函数f（x）取得极大值，
故函数f（x）的极大值点为x＝1，不存在极小值点．
（Ⅱ）由f（x）+g（x）＝0可得lnx+x2+ax+2＝0，
所以﹣a＝+x+（x＞0）．
设F（x）＝+x+，则F′（x）＝．
令h（x）＝x2﹣lnx﹣1．
则h′（x）＝2x﹣＝，令h′（x）＝0，
可得x＝或x＝﹣（舍）．
所以h（x）在（0，）上，h′（x）＜0，h（x）单调递减；
在（，+∞）上，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
所以函数h（x）的最小值为h（）＝（）2﹣ln﹣1＜0．
又h（1）＝0，所以当x∈（1，+∞）时，h（x）＞0，
又当x＝时，h（）＝（）2﹣ln﹣1＞0，
因此必存在唯一x0∈（，），使得h（x0）＝0，
当x变化时，h（x），F′（x），F（x）的变化情况如表：
x（0，x0）x0（x0，1）1（1，+∞）h（x）+0﹣0+
F′（x）+0﹣0+
F（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x＝x0时，F（x）有极大值F（x0），
当x＝1时，F（x）有极小值F（1）．
又F（1）＝3，F（）＝＜F（1），且当x→+∞时，F（x）→+∞，
所以F（1）≤﹣a≤F（x0），可得﹣F（x0）≤a≤﹣F（1）时，
直线y＝﹣a与函数y＝F（x）至少有两个交点，
所以a的最大值为﹣3．
22．已知直线l：2x﹣y﹣4＝0与x轴交于点E，且＝，其中O为坐标原点，F为抛物线Ω：y2＝2px（p＞0）的焦点．
（Ⅰ）求拋物线Ω的方程；
（Ⅱ）若直线l与抛物线Ω相交于P，B两点（P在第一象限），直线PA，PC分别与抛物线相交于A，C两点，与x轴交于D，G两点，且E为DG中点，设直线PA，PC的斜率分别为k1，k2，求证：为定值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求△PBC的面积的取值范围．
【分析】（Ⅰ）先求出点E的坐标，进而求出点F的坐标，从而即可求出抛物线方程；
（Ⅱ）把直线和抛物线方程联立，解得P，B的坐标，再通过设点D，G的坐标，表示出k1，k2，再代入求出定值即可；
（Ⅲ）先表示出直线PC的方程，得到点C的坐标以及点C到直线PB的距离，从而表示出△PBC的面积，再根据定点的切线方程求参数的取值范围，进而确定面积的取值范围．
解：（Ⅰ）由已知得E（2，0），
F为OE的中点，所以F（1，0）．
故抛物线Ω的方程为y2＝4x．
（Ⅱ）证明：联立，
解得P（4，4），B（1，﹣2），
由E为DG的中点得＝．
设D（2﹣t，0），G（2+t，0），其中t＞0．
则k1＝，k2＝．
所以＝1，
即为定值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知直PC的方程为y﹣4＝（x﹣4），即4x﹣（2﹣t）y﹣4t﹣8＝0，
可得C，
故点C到直线PB的距离d＝．
设过点P的抛物线的切线方程为y﹣4＝k（x﹣4），
联立得ky2﹣4y+16﹣16k＝0，
由△＝0，得k＝，
所以切线方程为x﹣2y+4＝0，令y＝0，得x＝﹣4，
所以要使过P点的直线与抛物线有两个交点，
则有0＜t＜6，
又|PB|＝＝3，
所以△PBC的面积：＝，即0＜S△PBC＜54，故△PBC的面积的取值范围为（0，54）．。