常微分方程

常微分方程
一、填空题
1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是 。

如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是 ，此时其通解可用曲线积分表示为 .
2．设有定义在矩形域66,111:≤≤-≤-≤-y x R 上的初值问题
⎩⎨
⎧=+=0)1(sin '2y y x y ，由存在唯一性定理，其解的存在区间是 .
3．若)(,),(),(21x y x y x y n 为 n 阶线性微分方程
0)()()1(1)(=+++-y x p y x p y n n n
的解，其中)(,),(),(21x p x p x p n 在区间[]b a ,上连续，则)(,),(),(21x y x y x y n 在[]b a ,上线性无关的充分必要条件是
4．若)(),(t t ψΦ是同一n 阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的两
个基解矩阵，则它们之间有关系
5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=5
21972y x dt dy y x dt dx
的奇点是 ，其类型和稳定性为
.
6、方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（ ）方程，其通解是（
），其奇解是（ ）
二、求下列微分方程的解（每题10分，共40分）
1．)0(2<=+x y xy dx dy x .
2．011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+dy y x y dx y x .
3．()0'3'33
=-+xy y x (这里
dx dy y ='). 4．.0)'("2
=+y yy
三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）
1．)5(332
233-=+++-t e x dt dx dt x d dt x d t
2. ⎪
⎩⎪
⎨⎧+-=+=+-=.2',2',3'z y x z z x y z y x x 3、 t t x x 2cos sin -=+
四、 讨论方程组⎩⎨
⎧-=-+=x y x y x x 3
λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ
答案
一、填空题
1． 如果方程的左端恰好 是某个二元函数 u(x,y) 的全微分 。

x N
y M ∂∂=∂∂， ⎰⎰⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂-+c dy dx y x M y N dx y x M ),(),(.
2． 20≤≤x . 3．
],[,0)
()()
()
(')(')(')
()()
()](,),([)1()1(2)1(121211b a x x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y W n n n n n n n ∈∀≠=
---
4． C t t C n )()(,Φ=ψ使得阶非异矩阵
存在. 5．奇点是 (1,3) ， 中心奇点, 稳定 .
6、 克莱洛 ； )(C Cx y φ+=； ⎩
⎨
⎧='++=0)()(C x C Cx y φφ 二、求下列微分方程的解
1．)0(2<=+x y xy dx dy x .
解: 这是奇次方程. 令x y u =得, u
dx du x dx dy +=,于是原方程变为: u dx du x 2=…………..(4分)
分离变量,得到
x dx
u
du =2 两边积分,得到c x u +-=)ln(,即
2])[ln(c x u +-=, )0)(ln(>+-c x ,
这里c 是任意常数. 此外,还有解0=u ……………………...(8分) 代回原来的方程,即得原方程的通解
2])[ln(c x x y +-=, )0)(ln(>+-c x
及解0=y ……………………………………….(10分)
2．011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+dy y x y dx y x .
解: 因为21y y
M -=∂∂, 2
1
y x N -=∂∂, 故方程为恰当方程………..(4分) 把方程重新“分项组合”,得到:
011cos 2=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++
dy y x dx y dy y xdx
即
0||ln sin 2
=-+
+y xdy
ydx y d x d
或
0||ln sin =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++y x y x d ………………(8分)
于是,方程的通解为
c
y x
y x =++||ln sin
这里c 是任意常数………………….(10分)
3．()0'3'33
=-+xy y x (这里
dx dy y ='). 解：令tx p y =='，则由方程得到313t t
x +=，从而
3213t t p +=. 于是
dt t t t dy 3
32
3)1()21(9+-=，……(4分) 积分之，得到
c t t dt t t t y +++=+-=⎰2
33
3323)1(4123)1()21(9………………(8分)
因此，方程的通解表成参数形式
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧
+++=+=c t t y t t x 2333
)1(412313…………………(10分)
4．.0)'("2
=+y yy
解: 令p y =',直接计算可得
dy dp p
y =",于是原方程化为0
2=+p dy dp
yp 得到
0=p 或0
=+p dy dp
y
……………………(5分)
积分后得
y c p =即y c y =
'所以 )2(1212c c c x c y =+=
即为原方程的通解………………………(10分)
三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）
1．)5(332
233-=+++-t e x dt dx dt x d dt x d t
解: 特征方程
0)1(1333
23=+=+++λλλλ有三重根13,2,1-=λ……….(2分) 故有形式为t
e Bt A t x -+=)(*3的特解……………………………………(5分)
它代入方程得
)5()246(-=+--t e e Bt A t t ……………………..(8分)
比较系数求得
241,65=
-=B A ……………………….(12分) 从而t
e t t x --=)20(241*3
………………………………..(13分)
故方程的通解为
t t e t t e t c t c c x ---+
++=)20(241)(3
2321
其中321,,c c c 为任意常数…………………………………………..(15分)
2. ⎪⎩⎪
⎨⎧+-=+=+-=.2',2',
3'z y x z z x y z y x x
解：方程的系数矩阵为
⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=211102113A ，它的特征值为 11=λ （1重）；22=λ（2重）.(2分)
对11=λ，求得⎥⎥
⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=αα01u ；（4分） 对22=λ，求得
⎥⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=γββ2u .（8分） 于是求得基解矩阵为
⎥⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--++--+=t e t e t e t e t e t te t te t e t e t t e t te t te t e t At 222222)1(222)1()exp(，（13分）
故原方程组的通解为
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+--++--+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=32
1321222222)1(222)1(c c c t e t e t e t e t e t te t te t e t e t t e t te t te t e t x x x x .（15分）
3、 t t x x 2cos sin -=+
齐次方程.1,0,0-==+λx x 通解为t
e c c x -+=21
t x x s i n =+
，设x b x a x sin cos 1+=，21
-=
=b a ， t x x 2c o s -=+
，设x d x c x 2sin 2cos 2+=，102
2=
-=b a ， 故 x
x x x e c c x t 2s i n 101
2cos 102)sin (cos 2121-++-+=-
四、 讨论方程组⎩⎨
⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ
（1）（
1
）
一
次
近
似
的
特
征
方
程
为
01
1
=---k
k
λ，
2
4
,012-±=
=+-λλλk k k ，
3分 当 0>λ，零解不稳定，当 0<λ，零解稳定。

6分
或（2）．取
)(2122
y x v +=
，
则 )()()(4
2
3
x x x y x y x x y y x x v
-=-+-+=+=λλλ ， 3分 在)0,0(充分小邻域，当0>λ，v
v ,定正，零解不稳定，当,0<λv 定正，v
定负， 零解渐近稳定，当,0=λ0=v
，为常负，故为稳定，但不渐近稳定。

6分
一水池充满了10000升的清水，设它和A ，B ，C 三管相连。

从A 管每分钟流进清水1升，从B 管每分钟流进糖水1升（其含糖量为每升1两）。

假定流进的水经充分混合后每分钟由C 管流出2升。

求时刻t 时池水的含糖量。

又问+∞→t 时池水的含糖量是多少？
解:设在t 时池水中的含糖量为)(t x 两, 则由题意可得微分方程的Cauchy 问题:
⎪⎩⎪⎨⎧
=-=-=0)0(5000)(2110000)(21)('x t x t x t x (5分)
解之得: )1(5000
)(5000
t
e t x -
-=(两) (2分) 令+∞→t ,得5000)(→t x (两)
即当 +∞→t 时, 池水中的含糖量为5.010*******
=(两/升)
第13套
一．一．填空题 ()5153('='⨯ 1．
0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是
（ ），
其充要条件是（ ），其通解可用曲线积分表示为（
）。

2．当区域D 为有界时，方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx
dy
, D
y x y x ∈),(),,(00 的解的延拓定理是
（
）
3．若)(t Φ是线性齐次方程组 X
t A dt dX
)(=的基解方阵，则非齐次方程组
)()(t F X t A dt dX
+=的通解可表示为 （
) 4. 设 0),,(='y y x F 的通积分是 0),,(=ΦC y x , 则其 p-判别曲线是( ), c-判别曲线是( )
5. 方程组
⎩⎨⎧-++=++=1sin 42y
e y x y x y x x 的奇点是 ( ),其类型和稳定性是( )
二. 求下列方程的通解 )4264('='⨯ 1. 1. 0)(2
2
2
=++dy y x y dx xy
2. 2.
2
y x y dx dy +=
3. 3. y y x '='+21
4. 4. 02
=''''-''y y y
三. 三. 求下列方程的通解 03512'='⨯
1. 1. t t x x cos sin -=+
2. 2.
X dt dX ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛----=401010011
四．)2162('='⨯
1．1．讨论方程组⎩⎨
⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ
2．2．利用李雅普诺夫函数讨论无阻尼单摆运动方程
0sin =+θθ
l g
平衡点的稳定性。

（只讨论0=θ）。

五．五．应用题)9('
弹簧所受到的拉力与它的伸长成正比，当弹簧受到1千克重的拉力时，其
长度增长1厘米，今有重2千克的物体挂在弹簧下端，保持平衡。

假如将 它稍向下拉，然后再放开，试求由此所产生的振动的周期。

六．六．证明题)01('
试证线性非齐次方程组 )
()(t F X t A dt dX
+= 满足初始条件 00)(X t X =
解的唯一性等价于对应的齐次方程满足初始条件 0)(0=t X 的零解的唯一 性。

宁波大学数学系98级常微分方程（1999-2000下）期末试题 参考答案及评分标准
二．一．填空题 ()5153('='⨯
本题中有2空者每空1.5分，有3空者每空01分。

1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是（),,(y x U ∃使 Ndy Mdx dU +=）
其充要条件是（ y P
x Q ∂∂=∂∂ ），其通解可用曲线积分表示为
（ ⎰
=+),()
,(00),(),(y x y x C
dy y x Q dx y x P ）。

2．当区域D 为无界时，方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx
dy
, D
y x y x ∈),(),,(00 的解的延拓定理是
（如),(y x f 在D 连续且满足对y 的lipschitz 条件，则初值问题的解)(x y y =，可向左、右延拓，以向右为例，或延拓到),(0+∞x ；或延拓到),(0m x ，当))(,(,
x y x m x -
→或任意
接近D 的边界，或∞→)(x y 。

）
3．若 )(),(x x ψΦ是同一线性方程 X
t A dt dX
)(=的基解方阵，则它们间有关系 （
C C x x ,
)()(ψ=Φ 为非奇异方阵。

4．方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（ 克莱洛 ）方程，其通解是（
)(C Cx y φ+= ），其奇解是
（ ⎩⎨
⎧='++=0)()(C x C Cx y φφ ）
5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=51y x dt dy y x dt dx
的奇点是（ （-2，3） ），其类型和稳定性是
（ 渐近稳定焦点 ）
三．二．求下列方程的通解 )4264('='⨯
1．.2y x y dx dy +=
y y x dy dx += 3分
)
()(1
1
y C y dy ye
C e
x dy
y dy
y +=⎰+⎰=⎰-
6分
2．2
2)(a y x dx dy
=+。

令
,1,
-==+dx dz
dx dy z y x 3分
22
222
,
1z z a dx dz z a dx dz +==-，
⎰+=+-C x dz z a a 222
1(， 5分
C
x a z
a a r c t g z +=- 6分
3．
y y y '+
'=132。

设
t t y t y 1
3,
2+
==' 3分
dt
t dt t
t t y dy dx 3261
6--=-='
=
5分
C t t x ++
=221
6，
解为 ⎪⎩⎪⎨⎧+
=++=t t y C t t X 1321622 6分
4．
02=''''-''y y y 。

令,z y ='则02
=''-'z z z 2分
11,0)(C z z z z
=
'=''
， 4分
,,121x C e C z dx C z dz
== 5分
31
21C e C C y x C +=
或 3
12
11C e C y C x C +=+ 6分
三. 求下列方程的通解)30512(='⨯
1 t t x x 2cos sin -=+
齐次方程.1,0,0-==+λx x
通解为t
e c c x -+=21 6分
t x x s i n =+
，设x b x a x sin cos 1+=，21
-=
=b a ， 10分
t x x 2c o s -=+
，设x d x c x 2sin 2cos 2+=，102
2=
-=b a ， 14分
故 x
x x x e c c x t 2s i n 101
2cos 102)sin (cos 2121-++-+=- 15分
2. ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=-+04040x z z z y y y x x
3
,0,0)3(40
1
4100
112-==+-=------λλλλ
λ
λ
（二重根）4分
当0=λ，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---144,04014100111c b a c b a η可取， 6分 当3-=λ，,01114444441014200122
=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-c b a c b a
可取
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,0112010r r ， 10分
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=242101101420012,1210111014200122111r r , 13分 故通解为
t t e t t t C e t t t C C z y x 3332121421211144-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 15分
或 t e C C t C C C t C C t C C z y x 32323223212144-⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
四．)2162('='⨯
3．1．讨论方程组⎩⎨
⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ
（2）（
1
）
一
次
近
似
的
特
征
方
程
为
01
1
=---k
k
λ，
2
4
,012-±=
=+-λλλk k k ，
3分 当 0>λ，零解不稳定，当 0<λ，零解稳定。

6分
或（2）．取
)(2122
y x v +=
，
则 )()()(4
2
3
x x x y x y x x y y x x v
-=-+-+=+=λλλ ， 3分 在)0,0(充分小邻域，当0>λ，v
v ,定正，零解不稳定，当,0<λv 定正，v
定负， 零解渐近稳定，当,0=λ0=v
，为常负，故为稳定，但不渐近稳定。

6分 4．2．利用李雅普诺夫函数讨论无阻尼单摆运动方程
0sin =+θθ
l g
平衡点的稳定性。

（只讨论0=θ）。

令 ,y =ϑ 则
ϑsin l g
y
-= ， 2分
取),cos 1(212ϑ-+=
l g y v 则 0sin =+=ϑϑ l g y y v ，故平衡点的稳定。

6分
五．)9('一条链子挂在钉子上，开始运动时，一边下垂8米，另一边下垂10米，
求链子全部滑过钉子的时间。

（设链子均匀且不计阻力。

） 解：设下滑端链长为s m, 链子单位长密度位ρ，
得方程 g
x x dt x
d ))18((1822--=ρρ 3分 即 ⎪
⎩⎪⎨⎧='=-=0)0(,10)0()19(22x x x
g dt x d 4分
齐次方程的通解为t
g t
g
e
C e
C 3
23
1-
+，非齐次方程有特解 9*=x ，
原方程通解为 93
23
1++=-
t
g t
g
e
C e
C x ， 5分
由初始条件，得
2121=
=C C
故
9
)(213
3
++=-t
g t
g e
e
x ， 7分
设链子全部滑过钉子的时间为T ，此时18=x 。

故
T
g T
g
e
e
3
3
18-
+=，即
,
0118)(3
2
3
=+-T
g T
g e
e
8分
809)41818(21
23
±=-±=T
g
e
，因左端大于1，故取正号。

)
809ln(3+=
g
T 。

9分
六．证明题 )01(' 两题任选一题。

1． 1． 证明：)(x f py y =+'的任一解满足,0)(lim =+∞→x y x 此处，常数0>p ，
函数)(x f 在 ),0(+∞连续且0)(lim =+∞→x f x 。

因
⎰⎰---=
+=⎰+⎰=x
x x x p x
x x tx p pdx
pdx
dx e x f y e
dx e
x f y e
y x
x x
x t 0
00
000)
)(())(()(0)
(0， 4分
显然，
),(00)
(0+∞→→--x y e x x p 6分
因0
)(lim =+∞→x f x 。

故0>∀ε存在 ,0>M 当
M x >，ε<)(x f 。

p pe e x f e dx e x f x x p x x p x x x p x x p x
M x ε
ε=≤--+∞→--+∞
→⎰)
()()
()(00000
)(lim )(lim。

10分 2． 2． 证明：n 阶线性非齐次方程有且仅有 1+n 个线性无关解。

设*
x 是非齐次方程的一个解，n x x x ,,,21 是齐次方程的n 个线性无关解，则
**2*1*,,,,x x x x x x x n +++ 是非齐次方程的n+1个解。

设
0)()()(*
*
22*
11*
0=+++++++x x C x x C x x C x C n n ，即
+++++*210)(x C C C C n 02211=+++n n x C x C x C ，
如0)(210≠++++n C C C C ，则
n n
n C C C x C x C x +++++=
1011*，与*x 是非齐次
方程的一个解，矛盾。

故0210=++++n C C C C 。

从而
02211=+++n n x C x C x C ，由n x x x ,,,21 是齐次方程的n 个线性无关解，知 021====n C C C ，从而，00=C ，即**2*1*,,,,x x x x x x x n +++ 是线性无
关。

6分 次设2
121,,,,,++n n n x x x x x n 阶线性非齐次方程的n+2个解。

则
2122221,,,,+++++----n n n n n n x x x x x x x x 是齐次方程的n+1个解，故必线性相关，
于是存在不全为零的121,,,+n n C C C C ，使
0)()()(211222211=-++-+-+++++n n n n n x x C x x C x x C ，从而，
++++n n x C x C x C 2211-++11n n x C 0)(2121=++++++n n n x C C C C ，这里 121,,,+n n C C C C ，)(121+++++-n n C C C C 不全为零，故2
121,,,,,++n n n x x x x x 线性相关。

10分
《常微分方程》试题之一
一. 一.填空题 )1863(分=⨯
1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是（
） 。

如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是（ ），此时其通解可用曲线积分表示为
（ ）。

2．设⎩⎨
⎧=-='0)0(2
y y x y ,2,1:≤≤y x R 用逐次逼进法,设00=φ,
求
=)(1x φ( ),=)(2x φ( )
并求解的存在区间
（ ）。

3．当区域D 为无界时，方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx
dy
, D
y x y x ∈),(),,(00 的解的 延拓定理是：当),(y x f 在D 满足条件（ ）时，
则初值问题的解)(x y y =，可向左、 右延拓，以向右为例，可延拓到（
） 。

4．若 )(),(t t ψΦ是同一线性方程 X
t A dt dX
)(=的基解方阵，则它们间有关系
（ ）。

5．设线性齐次方程组A AX dt dX
,=为n 阶常数矩阵，若A 的特征根都有负实部，则当
+∞→t 时，其一切解)(t X （ ）； 若A 的特征根至少有一个有正实部，
则当+∞→t 时，有结论：（
）。

6．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=521972y x dt dy y x dt dx
的奇点是（ ），其类型和稳定性是（ ）。

二．求下列微分方程的解（分3056=⨯）
1．
x y x dx dy
y
=+sin 2cos
2．2y x y dx dy +=.
3．0)(2
2
=++-dy y x x ydx .
4．0
2)(
3=-+y dx dy x dx dy .
5．0')''(2
='''-y y y .
三．求下列方程（组）的通解（分28214=⨯） 1．t
e t t x x 2sin ''+=+.
2. ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-=+=+-=z y x dx dz
z x dt dy
z y x dt dx
223 四．（分1829=⨯）
1．求一曲线，使其任一点的切线在OX 轴上的截距等于该切线的斜率。

2． 2． 讨论单摆运动方程
0sin 2
2=++ϑϑμϑl g
dt d m dt d ，
当0≠μ和0=μ时，平衡点的稳定性（只讨论0=ϑ）。

五．（本题6分） 设)(x y 在+∞<≤x 0上连续可微且0)]()('[lim =++∞→x y x y x 。

证明0
)(lim =+∞
→x y x 。

《常微分方程》试题之二
一.填空题 )1863(分=⨯
1． 方程
)1,0()()(≠+='n y x q y x p y n
称为( )方程,其通解为 （
）。

2．设⎩⎨
⎧=+='0)0(2y y x y ,2,1:≤≤y x R 用逐次逼进法,设00=φ,求
=)(1x φ( ), =)(2x φ( ) 并求解的存在区间
（ ）。

3．当区域D 为有界时，方程 ⎪
⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx dy
, D y x y x ∈),(),,(00 的解的延拓定 理是：当),(y x f 在D 满足条件（ ）
时，则初值问题的解)(x y y =，可向左、 右延拓，以向右为例，可延拓到 （
）。

4．若 )(),(t t ψΦ是同一线性方程 X
t A dt dX
)(=的基解方阵，则它们间有关系
（ ）。

5．设线性齐次方程组A AX dt dX
,=为n 阶常数矩阵，若A 的特征根都有负实
部，则当+∞→t 时，其一切解)(t X （ ）；若A 的特征根 至少有一个有正实部，则当+∞→t 时，有结论：
（ ）。

6．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=1432y x dt dy y x dt dx
的奇点是（ ），其类型和稳定性是
（ ）。

二．求下列微分方程的解（分3056=⨯）
1．y
x e dx dy
+=
2．y x y
dx dy +=
.
3．0)1(2
=++-dy y x ydx .
4．
'1
)'(32y y y +
=. 5．0')''(2
='''+y y y .
三．求下列方程（组）的通解（分28214=⨯）
1．t
e t x x +='-sin ''.
2. ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=-+.
04',04',0'x z z z y y y x x 四．（分1829=⨯）
1．求一曲线，使其任一点的切线在OY 轴上的截距等于切点的横坐标。

1．1．讨论单摆运动方程
0s i n 2
2=++ϑϑμϑl g
dt d m dt d ，
当0≠μ和0=μ时，平衡点的稳定性（只讨论0=ϑ）。

五．（本题6分）证明：n 阶线性非齐次微分方程在系数连续的区间内有且仅有 1+n 个线性无关解。

《常微分方程》试题之三
四．一．填空题 ()63123('=⨯'
1．1．方程)1,0()()(≠=+'n y x q y x p y n
称为( ) 方程，用变换 ( )可化为( ) 方程。

2．2．一阶线性方程
)()(x q y x p y =+'有积分因子
( =μ )。

3．3．函数),(y x f 在平面区域D 中满足对y 的李普希兹条件的一个充分条件是( ).
4．4．设⎪⎩⎪⎨⎧=+=0
)0(22y y x dx
dy
，1,1:≤≤y x R 由存在唯一性定理，其解的存在区间是(
).
5．5．设1)(,1)0(02==+=⎩⎨⎧x y x
y dx
dy ϕ且，试用逐次逼近法求 =)(1x ϕ( )，
=)(2x ϕ( ).
6．6．试述 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)(),(y x y y x f dx
dy
在有界区域D 上的解的延拓定理(
) 7．7．)(y y x y '+'=ϕ称为 ( )方程，其通解为（ ） ，其奇解为（ ）．
8．8．方程
x e y y y x
sin 42=+'+''有形如（ ） 的特
解。

9．9．已知 o y x q y x p y =+'+'')()(的一特解为)(1x y ，则其通解可表示为（
）．
10. 10. 若 )(x Φ是方程组Y
x A dx dY
)(=的基本解方阵，则该方程组的通解可表示为（
）．
11. 11. n 阶线性非齐次方程有且仅有（ ） 个线性无关解。

12. 12. n 阶常系数线性齐次方程，若其特征根均有负实部，则当+∞→t 时其任何解
)(x y y =有性质：（ ）．
五．二．求下列方程的通解)4246('=⨯'
1．.y x x dx dy +=
2．
.0))((2
2=-+-xdy dx y x x y ３．
).(,122dx dy
y y x =
'='+
4．.02
='+''y y y
六．三．求下列方程的通解)03251('=⨯'
1．.
cos 4422t e t x dt dx
dt x d +=+-
2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.y x dt dz z x dt
dy
z y dt dx
四．讨论题()0152'='⨯
1．1．试讨论：对于什麽样的p 和 q, （p,q 为常数）方程 0=+'+''qy y p y 的一切解在 ),[∞+a 上有界，其中a 是某确定的常数。

2．2．设)(x f 在),0[+∞上联系连续且0)(lim =+∞→x f x ，证明方程)(x f y y =+'
的一切解)(x y y =满足0)(lim =+∞→x y x 。

《常微分方程》试题之四
一、一、空题 ()63123('=⨯'
1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是
（ ）， 其充要条件是（ ），其通解可用曲线积分表示为（
）。

2. 函数),(y x f 在平面区域 D 内满足李普希兹条件,是指有常数( ) 使( ).
3. 初值问题⎩⎨
⎧=='00)(),(y x y y x f y 的解 与积分方程( ) 的
( )解等价.
4. 设⎩⎨
⎧=-='0)0(22y y x y , 且0)(0=x ϕ，试用逐次逼近法求=)(1x ϕ（ ）， =)(2x ϕ（ ）。

5. 写出方程⎩⎨
⎧
='==+''1)0(,1)0(0y y y y 的特解.（ ）。

6．当区域D 为无界时，方程⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx
dy
, D
y x y x ∈),(),,(00 的解的延拓定理是
（
）。

7. 方程
x e y y y x
sin 2)4(=+''-有形如（ ） 的特解. 8．若 )(),(x x ψΦ是同一线性方程 X
t A dt dX
)(=的基解方阵，则它们间有关系 （
）。

9．方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（ ）方程，其通解是（
），其奇解是（ ）。

10. 设 )(x Φ是 Y x A Y )(='的基解矩阵, 则)()(x F Y x A Y +='的一个特解为（ ）。

11. 设)(1x y 是方程 0)()(=+'+''y x q y x p y 的一个特解，则其通解可写为（刘微尔公式）（ ）。

12. 设 )(,),(),(21x y x y x y n 是 n 阶线性齐次方程0)()()
1(1)(=+++-y x a y x a y n n n 在区间I 上的 n 个解，则它们在I 上线性无关的充要条件是(
).
二、二、下列方程的通解 )4264('='⨯
1．.2
y x y dx dy y
+=
2．y
x e dx dy y sin cos +=。

3．23y y x y '+'=。

4．
.022
=''-'y y y 。

三. 求下列方程的通解)30512(='⨯
1 t e t x x --=+sin
2. ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=-+04040x z z z y y y x x
四．证明题 )0152('=⨯
1．1．证明：n 阶线性非齐次方程有且仅有 1+n 个线性无关解。

2．2．设)(x f 在),0[+∞上有界，证明方程)(x f y y =+'的一切解)(x y y = 在),0[+∞上有界。

一、一、空题 ()63123('=⨯'
1． 1． 程)1,0()()(≠=+'n y x q y x p y n
称为( ) 方程，用
变换 ( )可化为( ) 方程。

2． 2． 阶线性方程
)()(x q y x p y =+'有积分因子
( =μ )。

3． 3． 数),(y x f 在平面区域D 中满足对y 的李普希兹条件的一个充分条件是( ).
4．设⎪⎩⎪⎨⎧=+=0)0(22y y x dx
dy
，
1,1:≤≤y x R 由存在唯一性定理，其解的存在区间是( ).
5．设1)(,1)0(02==+=⎩⎨⎧x y x
y dx
dy ϕ且，试用逐次逼近法求 =)(1x ϕ( )，
=)(2x ϕ( ).
6． 6． 述 ⎪⎩⎪⎨⎧==0
0)(),(y x y y x f dx
dy
在有界区域D 上的解的延拓定理(
) 7． 7． )(y y x y '+'=ϕ 称为 ( )方程，其通解为
（ ） ，其奇解为（ ）． 8． 8． 方程 x e y y y x
sin 42=+'+''有形如（ ） 的特解。

9． 9． 已知 o y x q y x p y =+'+'')()(的一特解为)(1x y ，则其通解可表示为（ ）．
13. 13. 若 )(x Φ是方程组Y
x A dx dY
)(=的基本解方阵，则该方程组的通解可表示为（
）．
14. 14. n 阶线性非齐次方程有且仅有（ ） 个线性无关解。

15. 15. n 阶常系数线性齐次方程，若其特征根均有负实部，则当+∞→t 时其任何解
)(x y y =有性质：（ ）．
二、二、下列方程的通解)4246('=⨯'
1．
.sin cos y x x
dx dy y
+=
2．
.0))((2
2=-+-xdy dx y x x y ３．
).(,122dx dy y y x =
'='-
4．.022
='+''y y y
三、三、求下列方程的通解)03251('=⨯'
1．.
cos 4422t e t x dt dx
dt x d +=+-
2.⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=.y x dt dz z x dt
dy
z y dt dx
四．讨论题()0152'='⨯
1．1．讨论：对于什麽样的p 和 q, （p,q 为常数）方程 0=+'+''qy y p y 的一切解在 ),[∞+a 上有界，其中a 是某确定的常数。

2．2．设函数)(x y 在),0(+∞连续可微且满足0
)(lim =+'+∞
→y y x ，证明0
)(lim =+∞
→x y x
1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是 。

如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是 ，
此时其通解可用曲线积分表示为 。

2．设有定义在矩形域66,111:≤≤-≤-≤-y x R 上的初值问题
⎩⎨
⎧=+=0)1(sin '2y y x y ，由存在唯一性定理，其解的存在区间是 。

3．若)(,),(),(21x y x y x y n 为 n 阶线性微分方程
0)()()1(1)(=+++-y x p y x p y n n n
的解，其中)(,),(),(21x p x p x p n 在区间[]b a ,上连续，则)(,),(),(21x y x y x y n 在[]b a ,上线性无关的充分必要条件是。

4．若)(),(t t ψΦ是同一一阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的两
个基解矩阵，则它们之间有关系 。

5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+-=521972y x dt dy y x dt dx
的奇点是 ，其类型和稳定性为。

二、二、求下列微分方程的解（每题5分，共20分）
1．2
y x y dx dy +=.
2．0)1(2
2=++-dy y x ydx .
3．
'1)'(32y y y +
=.
4．0''')''(2
=-y y y .
三、三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）
1．t t x x 2cos sin '''-=+.
2. ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=-+.04',04',0'x z z z y y y x x
四、（每题8分，共16分）
1．1．讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=x y x y x x '3'3λλ零解的稳定性,其中λ是不为零的常数。

2．2．利用李雅普诺夫第二方法讨论方程组⎩
⎨⎧=-=y x y xy x x 4
22''α零解的稳定性，其中α为参数。

五、应用题（9分）
一水池充满了10000升的清水，设它和A ，B ，C 三管相连。

从A 管每分钟流进清水1升，从B 管每分钟流进糖水1升（其含糖量为每升1两）。

假定流进的水经充分混合后每分钟由C 管流出2升。

求时刻t 时池水的含糖量。

又问+∞→t 时池水的含糖量是多少？
六、证明题（10分）
对于微分方程)
(x f ay dt dy
=+，假设)(x f 在+∞<≤x 0上连续且
b
b x f x ()(l i m =+∞
→是常数）。

证明当0>a 时，方程的任一解)(x y y =满足
.)(lim a b
x y x =
+∞
→
1．1．形如)()('x Q y x P y +=（)(),(x Q x P 连续）的方程是 方程，它的通解为 。

2．初值问题 ⎩⎨
⎧=+=0)0('22y y x y 的解与积分方程 的解等价。

如果取0)(0=x ϕ，试用逐步逼近法求)(1x ϕ= ； =)(2x ϕ 。

3．若)(,),(),(21x y x y x y n 为 n 阶线性微分方程
0)()()1(1)(=+++-y x p y x p y n n n
的解，其中)(,),(),(21x p x p x p n 在区间[]b a ,上连续，则)(,),(),(21x y x y x y n 在[]b a ,上线性无关的充分必要条件是。

4．若)(t Φ是n 阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的一个基解矩阵，则n 阶级非齐线性微分方程组)()('t f x t A x +=的一个特解是 。

5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=+--=5
1y x dt dy y x dt dx
的奇点是 ，其类型和稳定性为 。

二、二、下列微分方程的解（每题5分，共20分）
1．y x y dx dy +=
.
2．0)4()3(2
=---dy x y dx x y .
3．0
2)(3=-+y dx dy x dx dy .
4．.0)'(''2=-y yy
三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）
1．t
t e e x x x 24'4''+=+-.
2. ⎪⎩⎪
⎨⎧+-=+=+-=.2',2',3'z y x z z x y z y x x 四、（每题8分，共16分）
3．3．讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧+--+=++-=+-+-=)
(''2'22232z y e z y x z z y x y x y e x z y x x x x 零解的稳定性。

4．4．利用李雅普诺夫第二方法讨论方程组⎩⎨⎧--=+-=322
2''y y x y xy x x 零解的稳定性。

五、应用题（9分）
物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温度差成比例，如果物体在20分
钟内由C 100冷至C 60，那么，在多久的时间内，这个物体的温度达到C
30？假设空气的温度为C
20。

六、证明题（10分）
设)(x y 在+∞<≤x 0上连续可微且0)]()('[lim =++∞→x y x y x 。

证明0
)(lim =+∞→x y x 。

1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是 。

如果N M ,在某个单连通区域G 内具有一阶连续偏导数，则它是恰当方程的充分必要条件是 ， 此时其通解可用曲线积分表示为 。

2．当区域D 有界时，方程,)()
,(00⎪
⎩⎪⎨⎧==y x y y x f dx
dy
),,(y x D y x ∈),(00 的解的延拓定理是 。

3．若)(),(t t ψΦ是同一n 阶齐线性微分方程组x t A x )('=在区间[]b a ,上的两个基解矩阵，则它们之间有关系 。

4．方程)'('y xy y ϕ+=（ϕ可微）叫 方程，其通解是 。

5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=5
1y x dt dy y x dt dx
的奇点是 ，其类型和稳定性为 。

二、下列微分方程的解（每题5分，共20分）
1．2
y x y dx dy +=.
2．.)('2
2a y x y =+.
3．
'1
)'(32y y y +
=. 4．0'''')''(2
=-y y y .
三、求下列方程（组）的通解（每题15分，共30分）
1．t t x x 2cos sin '''-=+. 2. ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=-+.04',04',0'x z z z y y y x x 四、（每题8分，共16分）
1．讨论方程组⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=x y x y x x '3'3
λλ零解的稳定性,其中λ是不为零的常数。

2．利用李雅普诺夫第二方法讨论无阻力单摆运动方程
0s i n ..
=+
θθl g
平衡点的稳定性（只讨论0=θ）。

五、应用题（9分）
重为p=4千克的物体挂在弹簧下端，它使弹簧长度增加1cm ，假定弹簧上端有一转动机使弹簧产生竖直振动：)(30sin 2cm t y =。

在开始时间0=t ，重物处于静止状态，求物体运动规律。

六、证明题（5分）
证明方程)('x f py y =+的任一解)(x y y =满足和0
)(lim =+∞→x y x ，其中0>p 且
)(x f 在区间),0(+∞内连续且0)(lim =+∞→x f x 。

《常微分方程》试题之九
一、填空题 ()5153('='⨯
本题中有2空者每空1.5分，有3空者每空01分。

1．0),(),(=+dy y x N dx y x M 是恰当方程的定义是（),,(y x U ∃使 Ndy Mdx dU +=）
其充要条件是（ y P
x Q ∂∂=
∂∂ ），其通解可用曲线积分表示为
（ ⎰
=+),()
,(00),(),(y x y x C
dy y x Q dx y x P ）。

2．当区域D 为无界时，方程 ⎪⎩⎪⎨⎧==00)(),(y x y y x f dx
dy
, D
y x y x ∈),(),,(00 的解的延拓定理是 （如),(y x f 在D 连续且满足对y 的lipschitz 条件，则初值问题的解)(x y y =，可向左、右
延拓，以向右为例，或延拓到),(0+∞x ；或延拓到),(0m x ，当))(,(,
x y x m x -
→或任意
接近D 的边界，或∞→)(x y 。

）
3．若 )(),(x x ψΦ是同一线性方程 X
t A dt dX
)(=的基解方阵，则它们间有关系 （
C C x x ,
)()(ψ=Φ 为非奇异方阵。

4．方程),(y y x y '+'=φ)(可微φ 叫（ 克莱洛 ）方程，其通解是（
)(C Cx y φ+= ），其奇解是
（ ⎩⎨
⎧='++=0)()(C x C Cx y φφ ）
5．方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=+--=5
1y x dt dy y x dt dx
的奇点是（ （-2，3） ），其类型和稳定性是
（ 渐近稳定焦点 ）
二、求下列方程的通解 )4264('='⨯
1．.2
y x y
dx dy +=
y y x dy dx += 3分
)
()(1
1
y C y dy ye
C e
x dy
y dy
y +=⎰+⎰=⎰-
6分
2．2
2)(a y x dx dy
=+。

令,
1,-==+dx dz
dx dy z y x 3分
22
222,1z z a dx dz z a dx dz +==-， ⎰+=+-C x dz z a a 222
1(， 5分
C
x a z
a a r c t g z +=- 6分 3．
y y y '+
'=1
32。

设
t t y t y 1
3,2+
==' 3分
dt
t dt t
t t y dy dx 3261
6--=-='
=
5分
C t t x ++
=221
6，
解为 ⎪⎩⎪⎨⎧+
=++=t t y C t t X 1321622 6分
4．02
=''''-''y y y 。

令,z y ='则02
=''-'z z z 2分
11,0)(C z z z z
=
'=''
， 4分
,,121x C e C z dx C z dz
== 5分
31
21C e C C y x C +=
或 3
12
11C e C y C x C +=+ 6分
三. 求下列方程的通解)30512(='⨯
1 t t x x 2cos sin -=+
齐次方程.1,0,0-==+λx x
通解为t
e c c x -+=21 6分 t x x s i n =+
，设x b x a x sin cos 1+=，21-=
=b a ， 10分 t x x 2c o s -=+
，设x d x c x 2sin 2cos 2+=，102
2=
-=b a ， 14分 故 x
x x x e c c x t 2s i n 101
2cos 102)sin (cos 2121-++-+=- 15分
2. ⎪⎩⎪
⎨⎧=-+=-+=-+04040x z z z y y y x x
3
,0,0)3(40
1
4100
1
12-==+-=------λλλλ
λλ（二重根）4分
当0=λ，⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---144,04014100111c b a c b a η可取， 6分 当3-=λ，,01114444441014200122
=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-c b a c b a
可取
⎪⎪
⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=101,0112010r r ， 10分
⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=242101101420012,1210111014200122111r r , 13分 故通解为
t t e t t t C e t t t C C z y x 3332121421211144-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ 15分
或 t e C C t C C C t C C t C C z y x 32323223212144-⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
四．)2162('='⨯
5．1．讨论方程组⎩⎨
⎧-=-+=x y x y x x 3λλ零解的稳定性，其中常数0≠λ
（3）（
1
）
一
次
近
似
的
特
征
方
程
为
01
1
=---k
k
λ，
2
4
,012-±=
=+-λλλk k k ，
3分 当 0>λ，零解不稳定，当 0<λ，零解稳定。

6分 或（2）．取 )(2122
y x v +=
，
则 )()()(4
2
3
x x x y x y x x y y x x v
-=-+-+=+=λλλ ， 3分。