2023学年成都七中高新校区高二数学上学期10月考试卷附答案解析

2023学年成都七中高新校区高二数学上学期10月考试卷
2023.10
总分：150分时间：120分钟
一、选择题：本题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．直线1
1
2y x =-+的一个方向向量是（）
A ．()1,2-
B ．(
)2,1-C ．
()1,2D ．()
2,12．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不
合格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则下列结果错误的是（）
A ．()P
B =710B ．()0P A B =
C ．()7100P B C ⋂=
D ．()9
10P A B ⋃=3．一组样本数据为：19，23，12，14，14，17，10，12，18，14，27，则这组数据的众数和中位数分别
为（）
A ．14，14
B ．12，14
C ．14，15.5
D ．12，15.5
4．{}
,,a b c 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（）
A ．a ，a b + ，a b -
B ．b ，a b +
，a b - C ．c ，a b + ，a b - D ．2a b +
，a b + ，a b
- 5．如图，在棱长为a 的正方体
1111ABCD A B C D -中，P 为11A D 的中点，Q 为11A B 上任意一点，E ，F 为CD
上两个动点，且EF 的长为定值，则点Q 到平面PEF 的距离（
）
A ．等于5a
B ．和EF 的长度有关
C ．等于
D ．和点Q 的位置有关
6．设直线l 的方程为66cos 130x y β-+=，则直线l 的倾斜角α的范围是（
）
A ．
[]
0,πB ．ππ,42⎡⎤
⎢⎥⎣⎦C ．πππ3π,4224⎡⎫⎛⎫
⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭ ，D ．π4,3π4⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦7．投掷一枚均匀的骰子，记事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，则下列说法正确
的是（）
A ．事件A 与事件
B 互斥B ．事件A 与事件B 对立
C ．事件A 与事件B 相互独立
D ．
()56
P A B +=
8．在正四棱锥P ABCD -中，若23PE PB = ，13PF PC
= ，平面AEF 与棱PD 交于点G ，则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为（）
A ．7
46
B ．845
C ．745
D ．445
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合要求的.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9．[多选题]下列命题是真命题的是（）．
A ．若A ，
B ，
C ，
D 在一条直线上，则AB 与CD
是共线向量
B ．若A ，B ，
C ，
D 不在一条直线上，则AB 与CD
不是共线向量C ．若向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在一条直线上D ．若向量AB 与AC 是共线向量，则A ，B ，C 三点必在一条直线上
10．已知正方体
1111ABCD A B C D -的棱长为1，点E 、O 分别是11A B 、11A C 的中点，P 在正方体内部且满
足1
312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r
，则下列说法正确的是（
）
A ．点A 到直线BE
B ．点O 到平面11
ABC D 的距离为2
4
C ．平面1
A BD 与平面11
B CD 间的距离为D ．点P 到直线AB 的距离为35
36
11．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，
π
3DAB ∠=
，22AB AD PD ==，PD ⊥底面ABCD ，则（）
A ．PA BD
⊥B ．PB 与平面ABCD 所成角为π
6
C ．异面直线AB 与PC
D ．平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为7
7
12．如图，在正四面体ABCD 中，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，则下列说法正确的是（）
A ．对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面
B ．存在点M ，N ，使得MN 与B
C 垂直
C ．对任意点M ，存在点N ，使得MN 与A
D ，BC
共面
D ．对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．点(1,2,5)P -到xOy 平面的距离
.
14．已知过点()2,A m -和点(),4B m 的直线为1l
，2l ：21y x =-+，3l ：11y x n n =-
-，若12l l ∥，23l l ⊥，
则m n +的值为.
15．在正方体ABCD A B C D -''''中，点P 是AA '上的动点，Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，则二面角P BD Q --余弦值的取值范围是
．
16．已知四棱锥P ABCD -的各个顶点都在球O 的表面上，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是等腰梯形，
//AD BC ，3AB AD CD ===，
π
3ABC ∠=
，PA =，M 是线段AB 上一点，且AM AB λ=．过点M
作球O 的截面，所得截面圆面积的最小值为2π，则λ＝
．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
17．在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥底面,,1,2,ABCD CD AB AD DC CB AB DP =====∥．
(1)证明：BD PA ⊥；
(2)求PD 与平面PAB 所成的角的正弦值．
18．（1）已知(3,3)A ，(4,2)B -，(0,2)C -，若点D 在线段AB （包括端点）上移动时，求直线CD 的斜率k 的取值范围；
（2）求函数
sin cos 2y θ
θ=
+，θ∈R 的值域.
19．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，
以顶点A 为端点的三条棱长均为6，
且它们彼此的夹角都是60︒
.
(1)证明：1AC BD ⊥；
(2)求1BD 与AC 所成角的余弦值.
20．甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．
（1）若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；（2）若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．21．从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“3+1+2”模式.“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩.按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级A B C D E
人数比例15%
35%
35%
13%
2%
赋分区间
[]86,100[]71,85[]56,70[]41,55[]
30,40将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为
2211Y Y T T
Y Y T T --=
--，其中1Y ，2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T ，2T 分别表示等级赋分区间的最
低分和最高分，Y 表示考生的原始分，Γ表示考生的等级分，规定原始分为1Y
时，等级分为1T ，计算结
果四舍五入取整.某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如下：
(1)根据频率分布直方图，求此次化学考试成绩的平均值；
(2)按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间；
(3)用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成线的原始分为90，试计算其等级分.22．如图，PO 是三棱锥-P ABC 的高，PA PB =，AB AC ⊥，E 是PB 的中点.
(1)求证：OE 平面PAC ；
(2)若30ABO CBO ∠=∠=︒，3PO =，5PA =.①求二面角C AE B --所成平面角的正弦值；
②在线段CE 上是否存在一点M ，使得直线MO 与平面BCP 所成角为30︒？1．B
【分析】直接根据方向向量的定义解答即可．
【详解】直线112y x =-+的斜率为12-，则选项中()2,1-是直线的一个方向向量，即B 正确．故选：B ．
2．C
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及频率与频数的关系，即可求解．【详解】解：由题意可知，A ，B ，C 为互斥事件，()0
P A B = ，
()0
P B C ⋂=，故B 正确，C 错误，
抽查某工厂的100件产品，其中一等品有20件，合格品有70件，其余为不合格品，
则
()201
1005P A ==
，()70710010P B ==，故A 正确，()()()()179
051010P A B P A P B P AB ⋃=+-=
+-=，故D 正确．
故选：C ．
3．A
【分析】把给定数据按由小到大排列，再结合众数、中位数的定义求解作答.
【详解】把这组数据按由小到大排列为：10，12，12，14，14，14，17，18，19，23，27，所以其众数为14，中位数为14.
故选：A 4．C
【分析】确定()()12a a b a b ⎡⎤=++-⎣⎦ ，()()12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦ ，()()
31222a b a b a b +=+--
排除ABD ，得
到答案.
【详解】对选项A ：
(
)()
12a a b a b ⎡⎤
=++-⎣⎦ ，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项B ：
()()
12b a b a b ⎡⎤=+--⎣⎦
，向量共面，故不能构成基底，错误；对选项C ：假设
()(
)c a b a b
λμ=++- ，即()()c a b
λμλμ=++- ，这与题设矛盾，假设不成立，可以构
成基底，正确；
对选项D ：()(
)
31222a b a b a b
+=+-- ，向量共面，故不能构成基底，错误；
故选：C 5．A
【分析】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，利用线面平行判断出选项B,D 错误；建立空间直角坐标系，利用平面的法向量结合空间向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出结论.
【详解】取11B C 的中点G ，连接,,PG CG DP ，则//PG CD ，所以点Q 到平面PEF 的距离即点Q 到平面PGCD 的距离，与EF 的长度无关，B 错．又11//A B 平面PGCD ，所以点1A 到平面PGCD 的距离即点Q 到
平面PGCD 的距离，即点Q 到平面PEF 的距离，与点Q 的位置无关，D 错．
如图，以点D 为原点，建立空间直角坐标系，则1(0,,0),(0,0,0),(,0,),,0,2a C a D A a a P a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴(0,,0)DC a = ，1(,0,)
DA a a =
，
,0,2a DP a ⎛⎫= ⎪
⎝⎭ ，设(,,)n x y z = 是平面PGCD 的法向量，则由0,0,n DP n DC ⎧⋅=⎨⋅=⎩ 得0,20,a x az ay ⎧+=⎪⎨
⎪=⎩
令1z =，则2,0x y =-=，所以(2,0,1)n =- 是平面PGCD 的一个法向量．
设点Q 到平面PEF 的距离为d
，则155||DA n d n ⋅=
，A 对，C 错．
故选：A ．
【点睛】本题主要考查点到直线的距离，意在考查学生的数学抽象的学科素养，属中档题.6．D
【分析】当cos 0β=时，可得倾斜角
π2α=
，当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1tan cos α
β==k ，然
后由余弦函数和正切函数的性质求解．
【详解】当cos 0β=时，方程为6130+=x ，直线的倾斜角π
2α=
，
当cos 0β≠时，由直线方程可得斜率1
tan cos αβ=
=k ，
[]
cos 1,1β∈- ，且cos 0β≠，
),1(1,[]k ∴∈-∞-+∞ ，即)tan ,1]1,([α∈-∞-+∞ ，
又[0,π)α∈，
ππ[,)(,422π3π
4α∴∈ ，综上，倾斜角α的范围是3π[,4π].
4
故选：D ．7．C
【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念结合事件A 与事件B 的基本事件可判断A ，B ；根据独立事件的概率公式可判断C ；求出事件A B +的概率可判断D.
【详解】对于A ，B ，事件A ：“朝上的点数大于3”，B ：“朝上的点数为2或4”，
这两个事件都包含有事件：“朝上的点数为4”，故事件A 与事件B 不互斥，也不对立，A ，B 错误；对于C ，投掷一枚均匀的骰子，共有基本事件6个，
事件A ：“朝上的点数大于3”包含的基本事件个数有3个，其概率为1
()2P A =
,B ：“朝上的点数为2或4”，包含的基本事件个数有2个，其概率为
1
()3P B =
,
事件AB 包含的基本事件个数有1个，其概率为
1
()6P AB =
,由于()()()P AB P A P B =,故事件A 与事件B 相互独立，C 正确；
对于D ，事件A B +包含的基本事件个数有朝上的点数为2,4,5,6共4个，故
()4263P A B +=
=
，D 错误，
故选：C 8．B
【分析】利用A 、E 、F 、G 四点共面，25PG PD
=
，由锥体体积公式，求出P AEF P ABCD V V --和P AGF P ABCD V V --的值，即
可得P AEFG P ABCD
V V --的值.
【详解】如图所示，
设PG PD λ=
，由A 、E 、F 、G 四点共面，
设AF x AE y AG =+ ，则
()()AP PF x AP PE y AP PG +=+++ ，即()
12()()33x AP AB AD AP xAP AB AP y AP y AD AP
λλ++-=+-++- ，
得2120133333x x y y AP AB y AD λλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--++-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
又AP ，AB ，AD 不共面，则2
0331203310
3x y y x
y λλ⎧--+=⎪⎪
⎪-=⎨⎪⎪-=⎪⎩，解得：2
=5λ，即25PG PD = ，设1h ，2h 分别是点F 到平面PAE 和点C 到平面PAB 的距离，则12h PF h PC =
，
所以122
9
P AEF F PAE PAE PAE P ABC C PAB PAB PAB V S PF PA h P S E V V V S h S P C A PB PF PE P PB F PC P PC ----⋅===⋅=⋅=⋅⋅=
⋅⋅ ，
12P ABC P ABCD
V V --=，19P AEF P ABCD V V --=，
同理，
2
15
P AGF F PAG P ADC C PAD PA V PG PF PG PF PC P V V V PA P C D PD ----=⋅=⋅=
⋅⋅=，12P ADC P ABCD
V --=，115P AGF P ABCD V V --=，
118
91545
P AEFG P AGF P AEF P ABCD P ABCD V V V V V -----+=
+==
则四棱锥P AEFG -与四棱锥P ABCD -的体积比为8
45.故选：B
【点睛】方法点睛：
点共面问题可转化为向量共面问题；求几何体的体积，要注意分割与补形；利用锥体体积公式，棱锥的体积比最终转化为棱长之比.9．AD
【分析】向量平行与共线是同一个概念，对四个命题依次判断即可．【详解】A 项为真命题，A ，B ，C ，D 在一条直线上，
则向量AB ，CD 的方向相同或相反，因此AB 与CD 是共线向量；B 项为假命题，A ，B ，C ，D 不在一条直线上，则AB ，CD 的方向不确定，不能判断AB 与CD
是否共线；
C 项为假命题，因为AB ，CD
两个向量所在的直线可能没有公共点，
所以A ，B ，C ，D 四点不一定在一条直线上；
D 项为真命题，因为AB ，AC 两个向量所在的直线有公共点A ，
且AB 与AC
是共线向量，所以A ，B ，C 三点共线．
故选：AD ．10．BC
【分析】建立空间直角坐标系，用向量法直接求解可得．
【详解】如图，以A 为原点，1,,AB AD AA 所在直线为,,x y z
轴建立空间直角坐标系：
则(0A ,0,0)，(1B ,0,0)，(0D ,1,0)，1(0A ,0,1)，1(1C ,1,1)，1(0D ,1,1)，1(,0,1)
2E ．所以(1,0,0)BA =-uu r ，1(,0,1)2BE =- ，则A 到直线BE
的距离
15d =，
故A 不正确；
易知111111(,,0)222C O C A ==-- ，又1(0,1,1)DA =-uuu r ，()()11,0,0,1,1,1AB AC == ，所以1110,0DA AB DA AC ⋅=⋅= ，
则平面11ABC D 的一个法向量为1(0,1,1)DA =-uuu r
，则点O 到平面11ABC D
的距离1121
124DA C O d DA ⋅=
，故
B 正确；
1(1,0,1)A B =-uuu r ，1(0,1,1)A D =-uuu r ，11(0,1,0)A D =uuuu r ．设平面1A BD 的法向量为()n x y z =++
，则1100n A B n A D ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪
⎩ ，所以00x z y z -=⎧⎨-=⎩，令1z =，得1y =，1x =，所以(1,1,1)n =
，所以点1D 到平面1A BD 的距
离
1133A D n d n ⋅==
．因为平面1//A BD 平面11B CD ，所以平面1
A BD 与平面11
B CD 间的距离等于点1D 到平面1
A BD
的距离，即为，故C 正确；因为1312423AP AB AD AA =++uu u r uu u r uuu r uuu r ，所以312(,,)
423AP = ，(1,0,0)AB = ，则34||AP AB AB ⋅=uu u r uu u r
uu u r ，所以点P 到AB
的距离
56
d =
，故D 不正确．
故选：BC ．11．ABC
【分析】由线面垂直的判定定理及异面直线所成角的求法，结合空间向量的应用逐一判断即可得解．
【详解】对于选项A ，因为π
3DAB ∠=
，2AB AD =，由余弦定理可
得BD AD =
，从而222
BD AD AB +=，即BD AD ⊥，
由PD ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCD ，可得BD PD ⊥，又,,AD PD D AD PD ⋂=⊂面PAD ，即BD ⊥面PAD ，
又PA ⊂面PAD ，即PA BD ⊥，故选项A 正确；
对于选项B ，因为PD ⊥底面ABCD ，所以PBD ∠就是PB 与平面ABCD 所成的角，又
3tan 3PD PBD BD ∠=
=，即π
6PBD ∠=，故选项B 正确；
对于选项C ，显然PCD ∠为异面直线AB 与PC 所成的角，易得25
cos 5CD PCD PC ∠=
=，故选项C 正确；
对于选项D ，建立如图所示的空间直角坐标系，
设1AD =，则(0D ,0,0)，(1A ,0,0)，(0B 30)，(1C -30)，(0P ,0,1)，
设平面PAB 的一个法向量为111(,,)n x y z =
，则00n AB n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即11113030x y z ⎧-+=⎪⎨-=⎪⎩，令11y =，则113x z ==即(3,1,3)n =
，
设平面PBC 的一个法向量为222(,,)m x y z =
，则00m PB m BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩
，则22230
0z x ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，令21y =，则20x =，
23
z =3)m =
，
则
27cos ,7
m n m n m n ⋅==
，即平面PAB 与平面PBC 夹角的余弦值为27
，故选项D 不正确.
故选：ABC ．
12．ACD
【分析】A 选项，首先MN 不可能与AD 相交，其次证明AD 与MN 不可能平行，故A 正确；
B 选项，证明出B
C ⊥平面ADF ，因为直线AB 与C
D 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故B 错误；
C 选项，作出辅助线，得到存在0λ≠，使得()1MN A
D BC
λλ=+- ，由空间向量性质可知C 正确；D 选项，作出辅助线，对于任意点M ，找到点N ，得到MN 与AD ，BC 所成的角，利用相似和余弦定理得到MN 与AD ，BC 所成的角相等.
【详解】A 选项，M ，N 分别是线段AB ，CD （不含端点）上的动点，故MN 不可能与AD 相交，过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，MN 与ME 相交，故AD 与MN 不可能平行，综上：对任意点M ，N ，都有MN 与AD 异面，A
正确；
B 选项，取B
C 中点F ，连接AF ，DF ，
因为四面体ABCD 为正四面体，所以AF ⊥BC ，DF ⊥BC ，
因为AF DF F ⋂=，所以BC ⊥平面ADF ，
因为直线AB 与CD 分别与平面ADF 的交点为A ，D ，但M ，N 与A ，D 不会重合，故BC 不可能与MN 垂直，B 错误；
C 选项，对于任意点M ，作ME ∥A
D 交BD 于点
E ，过点E 作EN ∥BC 交CD 于点N ，连接MN ，此时
MN ME EN =+u u u u r u u u r u u u r
，故存在0λ≠，使得()1MN AD BC λλ=+- ，
所以对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 共面，C 正确；
D 选项，对任意的点M ，在CD 上取点N ，使得CN=AM ，则BM DN =，
过点M 作ME ∥AD 交BD 于点E ，过点N 作NF ∥BC 交BD 于点F ，则NME ∠为MN 与AD 形成的角，∠MNF 为MN 与BC 形成的角，且FN=EM ，DE=BF ，
由BM=DN ，∠ABD=∠CDB=60°，DE=BF 得：△BMF ≌△DNE ，所以MF=EN ，
由余弦定理得：222cos 2MN NF MF MNF MN NF +-∠=⋅，222
cos 2MN ME EN NME MN ME +-∠=
⋅，
由于三边对应相等，故∠MNF=∠NMF ，
对任意点M ，存在点N ，使得MN 与AD ，BC 所成的角相等，D 正确.
故选：ACD
【点睛】立体几何中动点问题，在点运动过程中求解垂直或平行关系或角度或长度的最值等，需要把点运动到特殊位置或抓住运动过程中的不动量作为解题的突破口.13．5
【分析】根据空间点的坐标的含义，即可得答案.
【详解】点(1,2,5)P -在平面xOy 上的射影是(1,2,0)P '-，则点(1,2,5)P -在平面xOy 距离为5
PP '=.
故答案为：514．10
-【分析】由平行、垂直直线的斜率关系求解即可.
【详解】因为12
l l ∥，所以422AB m k m -==-+，解得8m =-，
又23l l
⊥，所以1
((2)1n -⨯-=-，解得2n =-，所以10m n +=-.故答案为：10-.
15
．1,33⎡⎤
⎢⎥⎣
⎦
【分析】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP ，证明出A D '
⊥平面ABC D ''，
可知点Q 的轨迹为线段BC '，由二面角的定义可知二面角P BD Q --的平面角为POC '∠，求出cos POC '∠的最小值和最大值，即可得解.
【详解】连接AC 、BD 、AD '、A D '，设AC BD O = ，连接OC '、OP
，如下图所示：
因为//AB C D ''且AB C D ''=，则四边形ABC D ''为平行四边形，因为四边形AA D D ''为正方形，则AD A D '⊥'，
因为AB ⊥平面AA D D ''，A D '⊂平面AA D D ''，则AD
AB '⊥，因为AB AD A ⋂'=，AB 、AD '⊂平面ABC D ''，所以，A D '
⊥平面ABC D ''，
因为BC '⊂平面ABC D ''，所以，BC A D ''⊥，
因为Q 是平面BB C C ''内的一点，且满足A D BQ '⊥，所以，点Q 的轨迹为线段BC '，设正方体ABCD A B C D -''''的棱长为2
，则BC BD C D ''===因为四边形ABCD 为正方形，AC BD O = ，则O 为BD 的中点，且OC BD '⊥，
由勾股定理可得PB PD ==，则OP BD ⊥，
所以，二面角P BD Q
--的平面角为POC'
∠，
由图可知，当点P与点A重合时，POC'
∠
最大，
sin60
OC BC
''
==
11
22
OC AC
==⨯=
因为CC'⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，则CC AC
'⊥，
此时，
(
)
cos cosπcos
3
OC
POC COC COC
OC
'''
∠=-∠=-∠=-=--
'；
当P与点A'重合时，POC'
∠最小，
此时，
(
)
2
2
1 cos cosπ2cos212cos12
3
POC COC COC COC
''''
∠=-∠=-∠=-∠=-⨯=
⎝⎭，
又因为函数
cos
y x
=在[]
0,π
上单调递减，所以，
31
cos
33
POC'
≤∠≤
，
因此，二面角
P BD Q
--
的余弦值的取值范围
1
3
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦.
故答案为：
1
3
⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦.
【点睛】方法点睛：求二面角常用的方法：
（1）几何法：二面角的大小常用它的平面角来度量，平面角的作法常见的有：
①定义法；②垂面法，注意利用等腰三角形的性质；
（2）空间向量法：分别求出两个平面的法向量，然后通过两个平面法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求二面角是锐角还是钝角.
16．
1
3或
2
3
【分析】根据给定的几何体，确定球心O的位置并求出球半径，再利用球的截面圆性质及余弦定理求解作答.
【详解】在等腰梯形ABCD中，连接AC
，如图，
因为//
AD BC，3
AB AD CD
===，
π
3
ABC
∠=
，则
2π
3
BAD ADC
∠=∠=
，
π
6
CAD
∠=
，
于是
π
2
BAC
∠=
，取BC中点1
O
，连接11
,
O A O D，则
111
O A O B O C
==，得
11
,
AO B CO D
均为正三角形，
即有1111O A O B O C O D ===，即1O 是梯形ABCD 外接圆圆心，
而O 为四棱锥P ABCD -的外接球球心，因此1O O ⊥平面ABCD ，又PA ⊥平面ABCD ，则1//O O PA ，而PA 为球O 的弦，则过点O 垂直于PA 的平面必过PA 的中点E ，连接,OE OA ，
于是OE PA ⊥，而1O A PA
⊥，即有1//O A OE
，四边形1O AEO
为矩形，
11
2O O AE PA ==
=，
因此球O 的半径
R OA ==M 的球O 的最小截面圆所在平面必垂直于OM ，
而此截面圆半径为
，则3OM ==，连接1O M ，在1Rt O OM △中，
1O M ==在1
AMO 中，
1π
3BAO ∠=
，222
11112cos AM O A AM O A BAO O M +-⋅∠=，
即有2
937AM AM +-=，解得1AM =或2AM =，
所以
13λ=
或2
3λ=.故答案为：13或2
3
【点睛】关键点睛：解决与球有关的内切或外接问题时，关键是确定球心的位置，再利用球的截面小圆性质求解.
17．(1)证明见解析；【分析】（1）作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，利用勾股定理证明AD BD ⊥，根据线面垂直的性质可得PD BD ⊥，从而可得BD ⊥平面PAD ，再根据线面垂直的性质即可得证；（2）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法即可得出答案.
【详解】（1）证明：在四边形ABCD 中，作DE AB ⊥于E ，CF AB ⊥于F ，因为//,1,2CD AB AD CD CB AB ====，所以四边形ABCD 为等腰梯形，所以
12AE BF ==
，
故
DE =
，BD ==所以222
AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，
因为PD ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，
又=PD AD D ⋂，
所以BD ⊥平面PAD ，又因为PA ⊂平面PAD ，所以BD PA ⊥
；
（2）解：如图，以点D
为原点建立空间直角坐标系，BD =则(
)(
)(1,0,0,,0,0,A B P ，
则
(
(
(
,0,,AP BP DP =-==
，
设平面PAB 的法向量()
,,n x y z =
，
则有0
{0n AP x n BP ⋅=-=⋅==
，可取
)n =
，
则cos ,n DP n DP n DP
⋅==
，
所以PD 与平面PAB
所成角的正弦值为
18．【小问1】1k ≤-或
5
3k ≥【小问2】3333⎡-⎢⎣⎦【分析】（1）求出直线AC ，BC 的斜率，数形结合可得答案；
（2）利用辅助角公式，结合三角函数的性质求解.【详解】（1）直线AC 的斜率
235033AC k --=
=
-，直线BC 的斜率2210(4)BC k --==---，
如图所示，点D 在线段AB （包括端点）上移动时，BC k k ≤或AC k k ≤，故直线CD 的斜率的取值范围是：1k ≤-或
53k ≥
.
（2）由
sin cos 2y θ
θ=
+，得2cos sin y y θθ+=，
所以
2sin cos sin()y y θθθϕ=--
，其中
cos ϕϕ
则sin()θϕ-=
，
由|sin 1()|θϕ≤-
1
≤，即2
31y ≤
，解得
y ≤，
所以函数
sin cos 2y θθ=+，θ∈R
的值域为⎡⎢⎣⎦.19．(1)证明见解析
(2)6
【分析】（1）根据向量的线性运算和数量积的运算性质，得到10
AC BD ⋅= ，即可得证；
（2）求出
11||,||,BD AC BD AC
⋅ ，再利用向量夹角公式即可求解.
【详解】（1） 以顶点A 为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60︒，1166cos 6018
AA AB AA AD AD AB ∴⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=
，
1111111()()()
)(AC BD AA A B B C AD AB AA AB AD AD AB ∴⋅=++⋅-=++⋅-
2211AA AD AA AB AB AD AB AD AD AB =⋅-⋅+⋅+--⋅
181836360=--+=，
1.
AC BD ∴⊥（2）111BD AD DD AB AD AA AB =+-=+- ，AC AB BC AB AD =+=+
，
1||BD ∴=
=
==
||AC ==== 11()()
BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 22113636181836AD AB AA AB AA AD =-+⋅+⋅=-+
+=
，111cos ,6||||BD AC BD AC BD AC ⋅∴===
⋅
，则异面直线1BD
与AC
所成角的余弦值为6
20．（1）
（2）25
【详解】甲校的男教师用A 、B 表示，女教师用C 表示，乙校的男教师用D 表示，女教师用E 、F 表示，（1）根据题意，从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，
有（AD ），（AE ），（AF ），（BD ），（BE ），（BF ），（CD ），（CE ），（CF ），共9种；其中性别相同的有（AD ）（BD ）（CE ）（CF ）四种；
则选出的2名教师性别相同的概率为P=；（2）若从报名的6名教师中任选2名，
有（AB ）（AC ）（AD ）（AE ）（AF ）（BC ）（BD ）（BE ）（BF ）（CD ）（CE ）（CF ）（DE ）（DF ）（EF ）共15种；
其中选出的教师来自同一个学校的有6种；则选出的2名教师来自同一学校的概率为P=．
21．(1)73(2)[85,98](3)91分
【分析】（1）利用频率分布直方图各小矩形面积和为1求出a ，由频率分布直方图中平均数的概念求解平均数；
（2）求出等级A 的原始分区间的最低分，又最高分为98，即可得解；（3）利用给定转换公式求出等级分作答．
【详解】（1）由10(0.020.030.04)1a a ++++=，可得0.005a =，
此次化学考试成绩的平均值为550.05650.4750.3850.2950.0573⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=分．
（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间[90,100]的占比为5%，位于区间[80,90)的占比为20%，因为成绩A 等级占比为15%，所以等级A 的原始分区间的最低分位于区间[80,90)，
估计等级A 的原始分区间的最低分为
15%5%
90108520%--
⨯=，
已知最高分为98，所以估计此次考试化学成绩A 等级的原始分区间为[85,98]．
（3）由9890100908586T T --=--，解得1188
91
13T =≈，该学生的等级分为91分．
22．(1)证明见解析(2)①11
13；②存在
【分析】（1）取AB 的中点D ，可证得OD 面PAC ,DE 面PAC ,从而面ODE 面PAC ,进而得结论；（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，求出平面AEB 和平面AEC 的法向量，利用向量夹角公式求解；
②设(1)OM OC OE λλ=+- ，（01λ<<
），则
33,111,22OM λ⎫
=--⎪
⎭ ，求出平面BCE 的法向量，利用向量夹解公式列出方程求解λ即可.【详解】（1）如图，取AB 的中点D ，连接,OA OB ,
∵PO ⊥面ABC ,PA PB =,∴OA OB =,则OD AB ⊥,又AC AB ⊥,∴OD AC ∥,OD ⊄面PAC ,AC ⊂面PAC ,∴OD 面PAC ,
∵,D E 分别为,AB PB 的中点，∴DE PA ∥,DE ⊄面PAC ,PA ⊂面PAC ,∴DE 面PAC ,
DE OD D = ,,DE OD ⊂面ODE ,∴面ODE 面PAC ,
又OE ⊂平面ODE ，所以OE 平面PAC
.
（2）①以A 为坐标原点，AB ，AC 所在直线分别为x ，y 轴，以过A 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴
建立空间直角坐标系，如图所示，
因为3,5PO AP ==
，所以4OA ==，
又30ABO CBO ∠=∠=︒，4OA OB ==
，所以cos 30AD BD OB ==︒=
则212AB BD AC ====，
则(0,0,0)A
，()B ，(0,12,0)C
，()
2,3P
，32E ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
，3),(0,12,0)
2AE AB AC ===
，
设平面AEB 的法向量为(),,m x y z =
，则3020
m AE y m AB ⎧⋅=++=⎪
⎨⎪⋅==⎩
，
令2z =，则3,0y x =-=，所以
()
0,3,2m =-
，
设平面AEC 的法向量(,,)n a b c =
，则302120
m AE b c m AB b ⎧⋅=++=⎪
⎨⎪⋅==⎩ ，
令1a =-
，则0c b ==
，所以
(
1,0,n =-
，
所以cos ,n m n m n m
⋅〈〉== .
设二面角C AE B --的大小为θ
，则11
sin 13
θ==.
②()
2,0O ，设(1)OM OC OE λλ=+-
，（01λ<<），
则
33,111,22OM λ⎫=--⎪
⎭
，(
)
3,2BC BE ⎛⎫
=-= ⎪
⎝
⎭ ，
21设平面BCE 的法向量(),,r d e f = ，
则120
3
02r BC e r BE e f ⎧⋅=-+=⎪⎨
⋅=++=⎪⎩
，令d =41,3e f ==，
所以43r ⎫=⎪⎭
，r = ，4r OM ⋅= ，因为sin 30r OM r OM ⋅
︒=
，所以OM =
2
60189
251
04252λλ--=，
解得λ=
（负根舍去），
1λ-=，因为2222601251601251
89(60189)895121313
⨯⨯+--=-+6012512514236016014230
1313⨯⎛⎫
=-⨯+=-< ⎪⎝⎭，
所以10λ-<，即01λ<<，所以存在点M 满足条件.。