2021年重庆第十八中学高二数学理上学期期末试题含解析

2021年重庆第十八中学高二数学理上学期期末试题含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 函数的一个单调递增区间是（）
A. B. C.
D.
参考答案：
A
2. 已知函数f（x）=满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为（）
A．（﹣∞，2）B．（﹣∞，] C．（﹣∞，2] D．[，2）
参考答案：
B
【考点】5B：分段函数的应用．
【分析】由已知可得函数f（x）在R上为减函数，则分段函数的每一段均为减函数，且在分界点左段函数不小于右段函数的值，进而得到实数a的取值范围．
【解答】解：若对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，
则函数f（x）在R上为减函数，
∵函数f（x）=，
故，
解得：a∈（﹣∞，]，
故选：B．
3. 已知三棱锥 S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，则球O的体积为（）
A．4πB．C．D．12π
参考答案：
B
【考点】球的体积和表面积．
【分析】由三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，
∠BAC=60°，知BC=，∠ABC=90°．故△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，由此能求出球O的半径，从而能求出球O的体积．
【解答】解：如图，三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，
∵SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，
∴BC==，
∴∠ABC=90°．
∴△ABC截球O所得的圆O′的半径r=AC=1，
∴球O的半径R==2，
∴球O的体积V=πR3=π．
故选：B．
4. 已知水平放置的△ABC的直观图△ (斜二测画法)是边长为a的正三角形，则原△ABC的面积为( )
A．a2 B．a2 C．a2 D．a2
参考答案：
D
略
5. 已知F1，F2是双曲线的左，右焦点，点P在双曲线上，且
，则下列
结论正确的是
A．若，则双曲线离心率的取值范围为
B．若，则双曲线离心率的取值范围为
C．若，则双曲线离心率的取值范围为
D．若，则双曲线离心率的取值范围为
参考答案：
C
若，，得，若
，时，双曲线离心率范围，故选C.
6. 锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半；所以，凡是三角形的面积都等于底乘高的一半．以上推理运用的推理规则是
（）
A．三段论推理B．假言推理C．关系推理D．完全归纳推理
参考答案：
D
【考点】F5：演绎推理的意义．
【分析】三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，故可得结论．
【解答】解：三角形可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，
∴由锐角三角形的面积等于底乘高的一半；直角三角形的面积等于底乘高的一半；钝角三角形的面积等于底乘高的一半，得出凡是三角形的面积都等于底乘高的一半，是完全归纳推理．
故选：D．
【点评】本题考查完全归纳推理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
7. 直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0相交于A，B两点，若弦AB的中点（－2,3），则直线l的方程为：（）（A）x＋y－3＝0（B）x＋y－1＝0（C）x－y＋5＝0（D）x－y－5＝0
参考答案：
C
8. 设与是定义在同一区间上的两个函数，若函数在上有两个不同的零点，则称和在上是“关联函数”，区间称为“关联区间”．若与在上是“关联函数”，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
略
9. 如果函数的图象如图所示，那么导函数的图象可能是（）
A B
C D
参考答案：
A
由原函数图像可知函数单调性先增后减再增再减，所以导数值先正后负再正再负，只有A正确
10. 已知在正三角形ABC中，若D是BC边的中点，G是三角形ABC的重心，则.若把该结论推广到空间，则有：在棱长都相等的四面体ABCD中，若三角形BCD的重心为M，四面体内部一点
O到四面体各面的距离都相等，则等于（）
A. 4
B. 3
C. 2
D. 1
参考答案：
B
【分析】
利用类比推理把平面几何的结论推广到空间中.
【详解】因为到四面体各面的距离都相等，所以为四面体内切球的球心，
设四面体的内切球半径为，则，其中表示四面体的体积，表示一个面的面积；
所以,即，
所以.故选B.
【点睛】本题主要考查类比推理，平面性质类比到空间时注意度量关系的变化.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 过双曲线C：的一个焦点作圆的两条切线，切点分别为A、B，若∠AOB＝120°(O是坐标原点)，则双曲线C的离心率为________．
参考答案：
2
略
12. 给出下列命题;
①设表示不超过的最大整数，则
；
②定义在上的函数，函数与的图象关于轴对称；
③函数的对称中心为；
④已知函数在处有极值，则或；
⑤定义：若任意，总有，就称集合为的“闭集”，已知
且为的“闭集”，则这样的集合共有7个。

其中正确的命题序号是____________
参考答案：
略
13. 下列四个命题：
①圆与直线相交，所得弦长为2；
②直线与圆恒有公共点；
③若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为；
④若棱长为的正四面体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为。

其中，正确命题的序号为______________（写出所有正确命题的序号）。

参考答案：
②④
14. 已知椭圆的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交椭圆C于A，B两点．若的周长为，则椭圆C
的标准方程为▲
.
参考答案：
因为离心率为，过的直线交于两点．若的周长为，所以，解得
的方程为，故答案为.
15. 如图是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，对下列四个判断：
①y=f（x）在（﹣2，﹣1）上是增函数；
②x=﹣1是极小值点；
③f（x）在（﹣1，2）上是增函数，在（2，4）上是减函数；
④x=3是f（x）的极小值点；
其中正确的是（）
A．①②B．③④C．②③D．②④
参考答案：
C
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】通过导函数的图象，判断出函数的单调区间，函数的极值，从而得出答案．
【解答】解：对于①：在区间（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，故①错误；对于②：在区间（﹣2，﹣1）上，f′（x）＜0，f（x）递减，
区间（﹣1，2）上，f′x）＞0，f（x）递增，∴x=﹣1是极小值点，故②正确；
对于③：在区间（﹣1，2）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
在（2，4）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数，故③正确；
对于④：f（﹣3）＜0，故④错误；
故选：C．
16. 已知函数则=_________
参考答案：
17. 已知圆x2+y2=9与圆x2+y2﹣4x+2y﹣3=0相交于A，B两点，则线段AB的长为．参考答案：
【考点】圆与圆的位置关系及其判定．
【分析】求出两圆的公共弦，圆心到直线的距离，利用勾股定理，可得结论．
【解答】解：由题意，两圆的公共弦为2x﹣y﹣3=0，
圆x2+y2=9的圆心坐标为（0，0），半径为3，
圆心到直线的距离d=，∴线段AB的长为2=．
故答案为．
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分14分）（理科学生做）如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，且.
（1）求直线与所成角的大小；
（2）求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案：
分别以、、所在直线为轴建立空间直角坐标系.
则由题意可得：,,,,,,
又分别是的中点，
,. …………3分
（1）因为，，
所以
，…………7分
直线与所成角的大小为
. …………8分
（2）设平面的一个法向量为,由,得,可取
，
…………10分
又，所以，…………13分直线与平面所成角的正弦值为
. …………14分
19. 已知圆 M：x2+（y﹣2）2=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若Q（1，0），求切线QA，QB的方程；
（2）若|AB|=，求直线MQ的方程．
参考答案：
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【分析】（1）设出切线方程，利用圆心到直线的距离列出方程求解即可．
（2）设AB与MQ交于点P，求．出|MP|，利用相似三角形，|MB|2=|MP||MQ|，设Q（x，0），通过
x2+22=9，求解即可．
【解答】解：（1）设过点Q的圆M的切线方程为x=my+1，则圆心M到切线的距离为1，∴，∴m=﹣或m=0，
∴切线方程为3x+4y﹣3=0和x=1．
（2）设AB与MQ交于点P，则MP⊥AB，∵MB⊥BQ，∴|MP|=，
利用相似三角形，|MB|2=|MP||MQ|，∴|MQ|=3，设Q（x，0），x2+22=9，∴x=，
直线方程为：2x+或2x﹣=0．
20. 如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC=BC=AA1，D是棱AA1的中点，DC1⊥BD
（1）证明：DC1⊥BC；
（2）求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．
参考答案：
【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．
【专题】综合题．
【分析】（1）证明DC1⊥BC，只需证明DC1⊥面BCD，即证明DC1⊥DC，DC1⊥BD；
（2）证明BC⊥面ACC1A1，可得BC⊥AC取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，C1H，可得点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角，由此可求二面角A1﹣BD﹣C1的大小．【解答】（1）证明：在Rt△DAC中，AD=AC，∴∠ADC=45°
同理：∠A1DC1=45°，∴∠CDC1=90°
∴DC1⊥DC，DC1⊥BD
∵DC∩BD=D
∴DC1⊥面BCD
∵BC?面BCD
∴DC1⊥BC
（2）解：∵DC1⊥BC，CC1⊥BC，DC1∩CC1=C1，∴BC⊥面ACC1A1，
∵AC?面ACC1A1，∴BC⊥AC
取A1B1的中点O，过点O作OH⊥BD于点H，连接C1O，OH
∵A1C1=B1C1，∴C1O⊥A1B1，
∵面A1B1C1⊥面A1BD，面A1B1C1∩面A1BD=A1B1，
∴C1O⊥面A1BD
而BD?面A1BD
∴BD⊥C1O，
∵OH⊥BD，C1O∩OH=O，
∴BD⊥面C1OH∴C1H⊥BD，∴点H与点D重合且∠C1DO是二面角A1﹣BD﹣C1的平面角
设AC=a，则，，
∴sin∠C1DO=
∴∠C1DO=30°
即二面角A1﹣BD﹣C1的大小为30°
【点评】本题考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角，属于中档题．
21. 已知等差数列{a n}满足：a3=3，a5+a7=12，{a n}的前n项和为S n．（1）求a n及S n；（2）令b n=（n∈N*），求数列{b n}的前n项和T n．
参考答案：
【考点】数列的求和；数列递推式．
【分析】（1）利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．
（2）利用“裂项求和”方法即可得出．
【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵a3=3，a5+a7=12，
∴a1+2d=3，2a1+10d=12，
解得a1=d=1．
∴a n=1+（n﹣1）=n，S n=．
（2）b n==，
∴数列{b n}的前n项和T n=2+…+
=2
=．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
22. （14分）（2013?陕西）设S n表示数列{a n}的前n项和．
（Ⅰ）若{a n}为等差数列，推导S n的计算公式；
（Ⅱ）若a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有S n=．判断{a n}是否为等比数列，并证明你的结论．
参考答案：
【考点】等差数列的前n项和；等比关系的确定．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】（I）设等差数列的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，可得a1+a n=a2+a n﹣1=…，利用“倒序相加”即可得出；
（II）利用a n+1=S n+1﹣S n即可得出a n+1，进而得到a n，利用等比数列的通项公式即可证明其为等比数列．
【解答】证明：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，则a n=a1+（n﹣1）d，可得a1+a n=a2+a n﹣1=…，
由S n=a1+a2+…+a n，
S n=a n+a n﹣1+…+a1．
两等式相加可得2S n=（a1+a n）+（a2+a n﹣1）+…+（a n+a1），
∴．
（II）∵a1=1，q≠0，且对所有正整数n，有S n=．
∴a n+1=S n+1﹣S n==q n．
∴，可得（n∈N*），
∴数列{a n}是以a1=1为首项，q≠1为公比的等比数列．
【点评】熟练掌握等差数列的通项公式及“倒序相加”法、等比数列的定义及通项公式、通项公式与前n项和的公式是解题的关键．。