【解析】天津市武清区杨村一中2015届高三上学期第一次段考数学(文)试卷 Word版含解析[ 高考]

2014-2015学年天津市武清区杨村一中高三（上）第一次段考数
学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．设全集U=R，若集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则∁U（A∩B）为( ) A．{1＜x≤5} B．{x≤﹣1或x＞5} C．{x≤1或x＞5} D．{1≤x＜5}
2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )
A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|
3．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=( ) A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣0.5
4．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
6．要得到一个奇函数，只需将函数的图象( )
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
7．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
8．如图，在等腰直角△ABO中，设为AB上靠近点A的
四等分点，过C作AB的垂线L，设P为垂线上任一点，，则=( )
A． B．C． D．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t=__________．
10．已知平面向量=（2，4），，若，则||=__________．11．已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为__________．
12．奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是__________．
13．在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是__________．
14．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=﹣f（x），当﹣1≤x＜1 时，f（x）=x3，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是__________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
16．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量，
=（a﹣b，c），=（a﹣c，a+b），
且与共线．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设y=2sin2C+cos，求y的最大值及此时角C的大小．
17．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值．
18．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin=，bsinA=asinC，
c=1．
（Ⅰ）求a的值和△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
19．（14分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax．
（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=3时，求出f（x）的极值：
（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确定a的取值范围．
20．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年天津市武清区杨村一中高三（上）第一次
段考数学试卷（文科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1．设全集U=R，若集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}，则∁U（A∩B）为( ) A．{1＜x≤5} B．{x≤﹣1或x＞5} C．{x≤1或x＞5} D．{1≤x＜5}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合．
【分析】利用交集与补角运算性质即可得出．
【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤5}，B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1}，
∴A∩B={x|1＜x≤5}．
则∁U（A∩B）={x|x≤1，或x＞5}．
【点评】本题考查了交集与补角运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递减的是( )
A．y=B．y=e﹣x C．y=﹣x2+1 D．y=lg|x|
【考点】函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，可得结论．
【解答】解：根据偶函数的定义，可得C，D是偶函数，其中C在区间（0，+∞）上单调递减，D在区间（0，+∞）上单调递增，
故选：C．
【点评】本题考查奇偶性与单调性的综合，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．
3．设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ=( )
A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣0.5
【考点】平行向量与共线向量．
【专题】平面向量及应用．
【分析】把、可以作为平面向量的一组基底，求得向量和向量的坐标，再利用两个向量共线的性质，求得λ的值．
【解答】解：方法1：因为向量与共线，所以存在实数x有=x[]=2x，则，解得．
方法2：由于与是两个不共线的向量，故、可以作为平面向量的一组基底，
故向量的坐标为（1，λ），向量的坐标为（2，﹣1）
是且向量与共线，可得1×（﹣1）﹣2λ=0，解得λ=﹣，
故选D．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于基础题．
4．已知函数f（x）=lnx，则函数g（x）=f（x）﹣f′（x）的零点所在的区间是( ) A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
【考点】导数的运算；函数零点的判定定理．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】求出函数f（x）的导函数，把f（x）及其导函数代入函数g（x）中，对函数g（x）求导可知函数g（x）是单调函数，且g（1）＜0，g（2）＞0，则函数g（x）的零点所在的区间可求．
【解答】解：由f（x）=lnx，则，
则g（x）=f（x）﹣f′（x）=lnx﹣．
函数g（x）的定义域为（0，+∞），
＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，
所以函数g（x）在（0，+∞）上为增函数，
而g（1）=ln1﹣1=﹣1＜0，g（2）=ln2﹣=ln2﹣ln＞0．
所以函数g（x）在区间（1，2）上有唯一零点．
故选B．
【点评】本题考查了导数的运算，考查了函数零点的存在性定理，在区间（a，b）上，如果函数f（x）满足f（a）•f（b）＜0，则函数f（x）在（a，b）上一定存在零点，此题是基础题．
5．函数f（x）在定义域R内可导，若f（x）=f（2﹣x），且当x∈（﹣∞，1）时，（x﹣1）f′
（x）＜0，设a=f（0），b=f（），c=f（3），则( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜a
【考点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性．
【专题】压轴题．
【分析】根据f（x）=f（2﹣x）求出（x）的图象关于x=1对称，又当x∈（﹣∞，1）时，（x ﹣1）f′（x）＜0，x﹣1＜0，得到f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，根据增函数性质得到即可．
【解答】解：由f（x）=f（2﹣x）可知，f（x）的图象关于x=1对称，
根据题意又知x∈（﹣∞，1）时，f′（x）＞0，此时f（x）为增函数，
x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
所以f（3）=f（﹣1）＜f（0）＜f（），即c＜a＜b，
故选B．
【点评】考查学生利用函数单调性来解决数学问题的能力．
6．要得到一个奇函数，只需将函数的图象( )
A．向右平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向左平移个单位
【考点】三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】计算题．
【分析】函数即f（x）=2sin（x﹣），向左平移个单位可得y=2sinx 的图象，而函数y=2sinx 是奇函数，由此得出结论．
【解答】解：函数=2sin（x﹣），向左平移个单位可得
函数y=2sin[（x﹣）+]=2sinx 的图象，而函数y=2sinx 是奇函数，
故选D．
【点评】本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，函数y=Asin（ωx+∅）的图象变换，属于中档题．
7．已知函数f（x）=若f（2﹣x2）＞f（x），则实数x的取值范围是( )
A．（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）C．（﹣1，2）D．（﹣2，1）
【考点】函数单调性的性质．
【专题】计算题；函数的性质及应用．
【分析】由x=0时分段函数两个表达式对应的函数值相等，可得函数图象是一条连续的曲线．结合对数函数和幂函数f（x）=x3的单调性，可得函数f（x）是定义在R上的增函数，由此将原不等式化简为2﹣x2＞x，不难解出实数x的取值范围．
【解答】解：∵当x=0时，两个表达式对应的函数值都为零
∴函数的图象是一条连续的曲线
∵当x≤0时，函数f（x）=x3为增函数；当x＞0时，f（x）=ln（x+1）也是增函数
∴函数f（x）是定义在R上的增函数
因此，不等式f（2﹣x2）＞f（x）等价于2﹣x2＞x，
即x2+x﹣2＜0，解之得﹣2＜x＜1，
故选D
【点评】本题给出含有对数函数的分段函数，求不等式的解集．着重考查了对数函数、幂函数的单调性和函数的图象与性质等知识，属于基础题．
8．如图，在等腰直角△ABO中，设为AB上靠近点A的四等分点，过C作AB的垂线L，设P为垂线上任一点，，则=( )
A． B．C． D．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】P在线段AB的垂直平分线上，通过向量的加减运算，向量的数量积的运算即可得到结果．
【解答】解：设AB中点为D，则，，
⇒，
∴
=
=
=+
=•
=﹣
=﹣
故选A．
【点评】本题考查线段垂直平方线的性质、向量的运算法则、向量模的平方等于向量的平方，考查转化计算能力．
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9．设集合A={﹣3，0，1}，B={t2﹣t+1}．若A∪B=A，则t=0或1．
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】计算题．
【分析】A∪B=A等价于B⊆A，转化为t2﹣t+1∈A解决．
【解答】解：由A∪B=A知B⊆A，∴t2﹣t+1=﹣3①t2﹣t+4=0，①无解
或t2﹣t+1=0②，②无解
或t2﹣t+1=1，t2﹣t=0，解得t=0或t=1．
故答案为0或1．
【点评】本题考查集合运算及基本关系，掌握好概念是基础．正确的转化和计算是关键．
10．已知平面向量=（2，4），，若，则||=8．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由已知求出的坐标，然后进行模的计算．
【解答】解：，
∴，
∴，
∴
故答案为：8．
【点评】本题考查了平面向量的坐标运算以及向量模的求法；属于基础题．
11．已知sin（30°+α）=，60°＜α＜150°，则cosα的值为．
【考点】同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数．
【专题】计算题．
【分析】先利用α的范围确定30°+α的范围，进而利用同角三角函数的基本关系求得cos （30°+α）的值，最后利用两角和的余弦函数求得答案．
【解答】解：∵60°＜α＜150°，∴90°＜30°+α＜180°．
∵sin（30°+α）=，∴cos（30°+α）=﹣．
∴cosα=cos[（30°+α）﹣30°]
=cos（30°+α）•cos30°+sin（30°+α）•sin30°
=﹣×+×=．
故答案为：
【点评】本题主要考查了同角三角函数的基本关系的运用和两角和与差的余弦函数．考查了学生综合运用所学知识解决问题的能力．
12．奇函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，若f（x）在[0，2]上单调递减，且f（1+m）+f（m）＜0，则实数m的取值范围是．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】由f（1+m）+f（m）＜0，结合已知条件可得﹣2＜3﹣2a＜2﹣a＜2，解不等式可求a的范围．
【解答】解：∵函数函数f（x）定义域在[﹣2，2]上的奇函数，
则由f（1+m）+f（m）＜0，可得f（1+m）＜﹣f（m）=f（﹣m）
又根据条件知函数f（x）在定义域上单调递减，
∴﹣2≤﹣m＜1+m≤2
解可得，﹣＜m≤1．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了函数的奇偶性及函数的单调性在抽象函数中的应用，及不等式的求解，属于基础试题．
13．在边长为1的等边△ABC中，D为BC边上一动点，则的取值范围是[，1]．
【考点】平面向量数量积的运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】由题意可得与的夹角等于120°，利用两个向量的数量积的定义计算
等于1﹣•|BD|，结合0≤|BD|≤1 求得的取值范围．
【解答】解：由题意可得与的夹角等于120°，
∴==+
=1+1×|BD|cos120°=1﹣•|BD|．
由于D为BC边上一动点，故0≤|BD|≤1，∴≤1﹣•|BD|≤1，即的取值范围是[，1]，
故答案为[，1]．
【点评】本题主要考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义，属于中档题．
14．已知定义在R上的函数y=f（x）对任意的x都满足f（x+1）=﹣f（x），当﹣1≤x＜1 时，f（x）=x3，若函数g（x）=f（x）﹣log a|x|至少6个零点，则a的取值范围是（0，]∪（5，
+∞）．
【考点】函数零点的判定定理；函数的周期性．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，即函数y=f（x）与y=log5|x|的交点的个数，由函数图象的变换，分别做出y=f（x）与y=log a|x|的图象，结合图象可得log a5＜1 或log a5≥﹣1，由此求得a的取值范围．
【解答】解：根据题意，函数g（x）=f（x）﹣log a|x|的零点个数，
即函数y=f（x）与y=log a|x|的交点的个数；
f（x+2）=f（x），函数f（x）是周期为2的周期函数，
又由当﹣1＜x≤1时，f（x）=x3，
据此可以做出f（x）的图象，
y=log a|x|是偶函数，当x＞0时，y=log a x，
则当x＜0时，y=log a（﹣x），做出y=log a|x|的图象，
结合图象分析可得：
要使函数y=f（x）与y=log a|x|至少有6个交点，
则log a5＜1 或log a5≥﹣1，解得a≥5，或0＜a≤，
故（0，]∪（5，+∞），
故答案为：（0，]∪（5，+∞）
【点评】本题考查函数图象的变化与运用，涉及函数的周期性，对数函数的图象等知识点，关键是作出函数的图象，由此分析两个函数图象交点的个数，属于中档题．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15．（13分）已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x．
（1）求函数f（x）的最小正周期；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）求f（x）在区间[﹣，]上的最大值和最小值．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．
【专题】计算题；三角函数的图像与性质．
【分析】（1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x﹣），利用周期公式即可得解．
（2）由2kπ≤2x﹣，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间．
（3）由x∈[﹣，]，可求2x﹣∈[﹣，]，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），
∴函数f（x）的最小正周期T=．
（2）由2kπ≤2x﹣，k∈Z，可解得函数f（x）的单调递减区间为：[k，k]k∈Z．
（3）∵x∈[﹣，]，
∴2x﹣∈[﹣，]，
∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，
∴f（x）=2sin（2x﹣）在区间[﹣，]上的最大值为，最小值为﹣2．
【点评】本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．
16．（13分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，向量，
=（a﹣b，c），=（a﹣c，a+b），
且与共线．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）设y=2sin2C+cos，求y的最大值及此时角C的大小．
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；正弦定理．
【专题】解三角形．
【分析】（Ⅰ）由条件利用两个向量共线的性质求出cosB的值，可得B的值．
（Ⅱ）利用三角形内角和公式、辅助角公式化简函数的解析式为y=sin（2C﹣）+1，利用
正弦函数的值域求得它的最大值，及此时角C的大小．
【解答】解：（Ⅰ）因与共线，所以（a﹣b）（a+b）﹣c（a﹣c）=0，
即b2=a2+c2﹣ac，故．
而0＜B＜π，所以．
（Ⅱ）∵，
∴，
故y max=2，此时，因，所以．
【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，三角形内角和公式，辅助角公式，正弦函数的值域，属于基础题．
17．（13分）已知函数f（x）=x3﹣ax2+（a2﹣1）x+b（a，b∈R）
（Ⅰ）若x=1为f（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅱ）若y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣3=0，求f（x）在区间[﹣1，4]上的最大值．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的概念及应用；导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出导数，由题意可得f′（1）=0，解方程可得a；
（Ⅱ）求出导数，求得切线的斜率和切点，解方程可得a，b，再由极值和区间[﹣1，4]的端点处的函数值，即可得到所求最大值．
【解答】解：（Ⅰ）由已知得f′（x）=x2﹣2ax+a2﹣1，
∵x=1是f（x）的极值点，
∴f′（1）=0，即a2﹣2a=0．
解a=0，或2．
经检验合题意．故a=0或a=2；
（Ⅱ）∵（1，f（1））是切点，
∴由切线方程x+y﹣3=0可得1+f（1）﹣3=0，即f（1）=2，
即．
∵切线x+y﹣3=0的斜率为﹣1，
∴f′（1）=﹣1，即a2﹣2a+1=0，即a=1．
代入解得．
∴．
∴f′（x）=x2﹣2x，∴x=0和x=2是y=f（x）的两个极值点．
∵，
∴y=f（x）在[﹣1，4]上的最大值为8．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值和最值，考查运算能力，属于中档题．
18．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin=，bsinA=asinC，
c=1．
（Ⅰ）求a的值和△ABC的面积；
（Ⅱ）求sin（2A+）的值．
【考点】两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．
【专题】三角函数的求值．
【分析】（Ⅰ）△ABC中，由条件利用同角三角函数的基本关系、二倍角公式求得sinB、cosB 的值，再利用正弦定理求得sinC的值，可得cosC的值，可得sinA=sin（B+C）的值，再利用正弦定理求得a的值．
（Ⅱ）求得cosA=﹣cos（B+C）的值，可得sinA的值，求得sin2A、cos2A的值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2A+）的值．
【解答】解：（Ⅰ）△ABC中，sin=，∴cos==，
∴sinB=2sin cos=，cosB=1﹣2=，∴B为锐角．
∵bsinA=asinC，利用正弦定理可得sinBsinA=sinAsinC，
∴sinC==＜sinB，故C为锐角，cosC==，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．
再根据c=1，利用正弦定理=，可得=，求得a=3，
故△ABC的面积为S=ac•sinB=×3×1×=．
（Ⅱ）∵cosA=﹣cos（B+C）=sinBsinC﹣cosBcosC=﹣=﹣，
∴sinA==，cos2A=1﹣2sin2A=1﹣2×=﹣，
∴sin（2A+）=sin2Acos+cos2Asin=×﹣×=．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式，正弦定理，两角和的正弦公式，以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题．
19．（14分）已知函数f（x）=lnx+x2﹣ax．
（I）若函数f（x）在其定义域上是增函数，求实数a的取值范围；
（II）当a=3时，求出f（x）的极值：
（III）在（I）的条件下，若在x∈（0，1]内恒成立，试确
定a的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．
【专题】导数的综合应用．
【分析】（Ⅰ）求出f′（x），因为函数在定义域上为增函数，所以f′（x）大于等于0恒成立，再利用基本不等式求出左边的最小值即可得到a的取值范围；
（Ⅱ）先求导数，确定函数的单调区间．减区间与增区间的分界点为极值点，且当极值点左侧导数为正，右侧导数为负时，为极大值，当极值点左侧导数为负，右侧导数为正时，为极小值；
（III）设=，求出函数的最大值，即可确定a的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=lnx+x2﹣ax（x＞0），则f′（x）=+2x﹣a（x＞0）．
∵函数f（x）在（0，+∞）上是单调增函数，
∴f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，即+2x﹣a≥0在（0，+∞）上恒成立．
∴+2x≥a．
∵当x＞0时，+2x≥2，当且仅当=2x，即x=时等号成立．
∴a的取值范围是（﹣∞，2]；
（Ⅱ）当a=3时，
当0＜x＜或x＞1时，f′（x）＞0，
当＜x＜1时，f′（x）＜0
∴f（x）在（0，）和（1，+∞）上是增函数，在（，1）上是减函数，
∴f（x）
极大值=f（）=﹣﹣ln2，f（x）
极小值
=f（1）=﹣2
（III）设=
∴g′（x）=
∵a∈（﹣∞，2]，且x∈（0，1]
∴g′（x）＞0
∴g（x）在（0，1）内为增函数
∴g（x）max=g（1）=2﹣a
∵在x∈（0，1]内恒成立，
∴2﹣a≤0，解得a≥2．
【点评】本题考查学生会利用导数研究函数的单调性，考查函数的极值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
20．（14分）已知函数f（x）=x3+x2+ax+b（a，b为常数），其图象是曲线C．
（1）当a=﹣2时，求函数f（x）的单调减区间；
（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；
（3）已知点A为曲线C上的动点，在点A处作曲线C的切线l1与曲线C交于另一点B，在点B处作曲线C的切线l2，设切线l1，l2的斜率分别为k1，k2．问：是否存在常数λ，使得k2=λk1？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】压轴题；导数的综合应用．
【分析】（1）先求原函数的导数，根据f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可；
（2）由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，则
存在唯一的实数根x0，即b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，
就把问题转化为求函数最值问题；
（3）假设存在常数λ，依据曲线C在点A处的切线l1与曲线C交于另一点B，曲线C在点B处的切线l2，得到关于λ的方程，有解则存在，无解则不存在．
【解答】解：（1）当a=﹣2时，函数f（x）=x3+x2﹣2x+b
则f′（x）=3x2+5x﹣2=（3x﹣1）（x+2）
令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜，
所以f（x）的单调递减区间为（﹣2，）；
（2）函数f（x）的导函数为由于存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，
则即x3+x2+（﹣3x2﹣5x﹣1）x+b=0存在唯一的实数根x0，故b=2x3+x2+x存在唯一的实数根x0，
令y=2x3+x2+x，则y′=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1）=0，故x=﹣或x=﹣，
则函数y=2x3+x2+x在（﹣∞，），（﹣，+∞）上是增函数，在（，﹣）上是减函数，
由于x=﹣时，y=﹣；x=﹣时，y=﹣；
故实数b的取值范围为：（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）；
（3）设点A（x0，f（x0）），则在点A处的切线l1的切线方程为y﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），与曲线C联立得到f（x）﹣f（x0）=f′（x0）（x﹣x0），
即（x3+x2+ax+b）﹣（x03+x02+ax0+b）=（3x02+5x0+a）（x﹣x0），
整理得到（x﹣x0）2[x+（2x0+）]=0，
故点B的横坐标为x B=﹣（2x0+）
由题意知，切线l1的斜率为k1=f′（x0）=3x02+5x0+a，
l2的斜率为k2=f′（﹣（2x0+））=12x02+20x0++a，
若存在常数λ，使得k2=λk1，则12x02+20x0++a=λ（3x02+5x0+a），
即存在常数λ，使得（4﹣λ）（3x02+5x0）=（λ﹣1）a﹣，
故，解得λ=4，a=，
故a=时，存在常数λ=4，使得k2=4k1；a≠时，不存在常数，使得k2=4k1．
【点评】本题以函数为载体，考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查曲线的切线，同时还考查了方程根的问题，一般要转化为函数的最值来解决．。