2019-2020学年四川省雅安市高二(上)期末数学试卷(文科)

2019-2020学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（文科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（5分）直线310x y ++=的斜率为( ) A ．3-
B ．3
C ．
3
D ．1
2．（5分）已知空间中两点(2A ，1-，4)，(4B ，1，2)-，则AB 长为( ) A ．11
B ．112
C ．211
D ．311
3．（5分）若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是( )
A ．79
B ．79.5
C ．80
D ．81.5
4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为2，6，则输出的a 等于( )
A ．4
B ．0
C ．2
D ．14
5．（5分）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为(
)
A ．20x y -=
B ．20x y +=
C ．20x y -=
D ．20x y +=
6．（5分）从编号为130-的30枚最新研制的某型号导弹中随机抽取3枚来进行发射试验，
用系统抽样方法抽取3枚导弹的编号可能是( ) A ．1，3，4
B ．10，15，25
C ．5，17，29
D ．3，13，23
7．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“12
1
1log ()12x -+剟”发生的概率为
(
) A ．
3
4
B ．
23 C ．13
D ．
14
8．（5分）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为( ) A ．1
B ．
5
4
C ．
32
D ．2
9．（5分）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，2PF x ⊥轴，
且△12PF F 是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．
22
B ．
21
2
- C ．22- D ．21-
10．（5分）圆22420x y x y a ++-+=截直线30x y +-=所得弦长为2，则实数(a = ) A ．2
B ．2-
C ．4
D ．4-
11．（5分）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形区域内的概率是( )
A ．
1
7
B ．
14 C ．13
D ．
413
12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22
143
y x +=上的一个动点，
点(1,1)A ，(0,1)B -，则||||PA PB +的最大值为( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）同时掷两颗骰子，则点数和为7的概率是 ．（结果用分数表示）
14．（5分）已知x ，y 的取值如表所示：从散点图分析，y 与x 线性相关，且ˆˆ0.85y x a =+，则ˆa
= ． x
0 1 3 4 y
2.2
4.3
4.8
6.7
15．（5分）已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是 ．
16．（5分）已知直线(4)y k x =+与曲线24y x =-有两个不同的交点，则k 的取值范围是 ．
三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）三角形ABC 的三个顶点(3,0)A -，(2,1)B ，(2,3)C -，求： （1）BC 边所在直线的方程；
（2）BC 边上高线AD 所在直线的方程． 18．（12分）已知圆心为(4,3)C 的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；
（2）求与直线34150x y -+=平行，且与圆C 相切的直线方程．
19．（12分）某校高一（1）班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求高一（1）班参加校生物竞赛的人数及分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高；
（Ⅱ）若要从分数在[80，100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90，100]之间的概率．
20．（12分）如图，已知AB 是半圆O 的直径，8AB =，M 、N 、P 是将半圆圆周四等分的三个分点
（1）从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； （2）在半圆内任取一点S ，求三角形SAB 的面积大于82的概率．
21．（12分）已知点(2,0)M -是椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点，且椭圆C 的离心率
为
3
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）矩形ABCD 的四个顶点均在椭圆C 上，求矩形ABCD 面积的最大值．
22．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径
的圆与直线230ax by ab +-=相切． （1）求椭圆C 的离心率；
（2）如图，过1F 作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为42，求22F P F Q
u u u u r u u u u r
g 的最大值．
2019-2020学年四川省雅安市高二（上）期末数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.
1．（5分）直线310x y ++=的斜率为( ) A ．3-
B ．3
C ．
3
D ．1
【解答】解：化直线310x y ++=的方程为斜截式可得：31y x =--， 由斜截式的特点可知已知直线的斜率为：3-， 故选：A ．
2．（5分）已知空间中两点(2A ，1-，4)，(4B ，1，2)-，则AB 长为( ) A ．11
B ．112
C ．211
D ．311
【解答】解：点(2A ，1-，4)，(4B ，1，2)-， 则AB 长为222||(42)(11)(24)211AB =-+++--=． 故选：C ．
3．（5分）若一组数据的茎叶图如图，则该组数据的中位数是( )
A ．79
B ．79.5
C ．80
D ．81.5
【解答】解：把数据从小到大排列，根据茎叶图，中间两位数字为76，82， 故中位数为1
(7682)792
+=，
故选：A ．
4．（5分）如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为2，6，则输出的a 等于( )
A ．4
B ．0
C ．2
D ．14
【解答】解：若输入a ，b 分别为2，6，因为a b ≠，执行左支，26<，执行右支，624b =-=， 返回进入第二次循环，2a =，4b =，再执行一次，得到2a =，2b =， 此时a b =，执行右支，得到2a =， 故选：C ．
5．（5分）过直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点，且过原点的直线方程为(
)
A ．20x y -=
B ．20x y +=
C ．20x y -=
D ．20x y +=
【解答】解：联立24010x y x y -+=⎧⎨++=⎩
，
解得两条直线1:240l x y -+=与直线2:10l x y ++=的交点(2,1)-．
∴过点(2,1)P -且过原点(0,0)的直线方程为：
1
2
y x =
-，即20x y +=． 故选：D ．
6．（5分）从编号为130-的30枚最新研制的某型号导弹中随机抽取3枚来进行发射试验，用系统抽样方法抽取3枚导弹的编号可能是( ) A ．1，3，4
B ．10，15，25
C ．5，17，29
D ．3，13，23
【解答】解：从编号为130-的30枚最新研制的某型号导弹中随机抽取3枚来进行发射试验，
用系统抽样方法抽取3枚导弹， 抽样间隔30
103
f =
=． ∴编号可能是3，13，23．
故选：D ．
7．（5分）在区间[0，2]上随机地取一个数x ，则事件“12
1
1log ()12x -+剟”发生的概率为
( ) A ．
3
4
B ．
23 C ．13
D ．
14
【解答】解：利用几何概型，其测度为线段的长度． 12
1
1log ()12x -+Q 剟
∴
11
222
x +剟 解得3
02
x
剟， 02x Q 剟
3
02
x
∴剟 ∴所求的概率为：3
3
224
P ==
故选：A ．
8．（5分）已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，||||3AF BF +=，则线段AB 的中点到抛物线准线的距离为( ) A ．1
B ．
5
4
C ．
32
D ．2
【解答】解：F Q 是抛物线2y x =的焦点， 1(4F ，0)准线方程14
x =-， 设1(A x ，1)y 2(B x ，2)y 1211
||||344
AF BF x x ∴+=+
++=， 解得1252
x x +=
， ∴线段AB 的中点横坐标为
54
，
∴线段AB 的中点到该抛物线准线的距离为
513442
+=． 故选：C ．
9．（5分）椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，2PF x ⊥轴，
且△12PF F 是等腰直角三角形，则该椭圆的离心率为( ) A ．
2 B ．
21
- C ．22- D ．21-
【解答】解：椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆上，2PF x
⊥轴，且△12PF F 是等腰直角三角形，2
2||2b AF c a
==，
222ac a c ∴=-，2210e e +-=， 21e ∴=-．
故选：D ．
10．（5分）圆22420x y x y a ++-+=截直线30x y +-=所得弦长为2，则实数(a = ) A ．2
B ．2-
C ．4
D ．4-
【解答】解：圆的标准方程为22(2)(1)5x y a ++-=-， 可得圆心坐标为(2,1)-，半径满足25r a =-， 则圆心(2,1)-到直线30x y +-=的距离为222
d ==，
由2221(22)5r a +==-，得4a =-， 故选：D ．
11．（5分）类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设D 为BE 中点，若在大等边三角形中随机取一点，则此点取自小等边三角形区域内的概率是( )
A ．
1
7
B ．
14 C ．13
D ．
413
【解答】解：设BD x =，
因为ABC ∆是由3个全等的三角形与中间的等边三角形构成， 所以2AD x =，120ADB ∠=︒，
由余弦定理可知2222cos120AB AD BD AD BD =+-︒g 代入可得227AB x =
由三角形面积公式可得22373ABC S AB x
∆== 同理2233DEF S BD x ∆=
=， 所以由几何概型面积类型的概率可得： 此点取自小等边三角形的概率是：1
7
DEF ABC S S ∆∆=， 故选：A ．
12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，P 是椭圆22
143
y x +=上的一个动点，
点(1,1)A ，(0,1)B -，则||||PA PB +的最大值为( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【解答】解：Q 椭圆方程为22
143
y x +=，
∴焦点坐标为(0,1)B -和(0,1)B '，
连接PB '、AB '，根据椭圆的定义，
得||||24PB PB a '+==，可得||4||PB PB '=-， 因此||||||(4||)4(||||)PA PB PA PB PA PB ''+=+-=+- ||||||PA PB AB ''-Q …
||||2||415PA PB a AB '∴++=+=…．
当且仅当点P 在AB '延长线上时，等号成立． 综上所述，可得||||PA PB +的最大值为5． 故选：D ．
二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13．（5分）同时掷两颗骰子，则点数和为7的概率是1
6
．（结果用分数表示）
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
Q试验发生的所有事件为掷两颗骰子所有的6636
⨯=种结果，
而满足条件的事件为1，6；2，5；3，4；4，3；5，2；6，1共有6种结果，
∴由古典概型公式得到结果
61
366
P==，
故答案为：1
6
．
14．（5分）已知x，y的取值如表所示：从散点图分析，y与x线性相关，且ˆˆ
0.85
y x a
=+，则ˆa= 2.8．
x0134
y 2.2 4.3 4.8 6.7
【解答】解：
0134
2
4
x
+++
==，
2.2 4.3 4.8 6.7
4.5
4
y
+++
==，
∴样本点的中心的坐标为(2,4.5)，
代入ˆˆ
0.85
y x a
=+，得ˆ
4.50.852a
=⨯+，
解得ˆ 2.8
a=．
故答案为：2.8．
15．（5分）已知一个算法，其流程图如图所示，则输出结果是81．
【解答】解：初始3
x=，执行循环体
1．9
x=，
2．27
x=，
3．81
x=，是，退出循环，
所以81
x=，
故答案为：81．
16．（5分）已知直线(4)y k x =+与曲线24y x =-有两个不同的交点，则k 的取值范围是 [0，
3
)3
． 【解答】解：如图：(4)y k x =+是过定点(4,0)P -，当直线与半圆切于A 点时，22
3164
(||)||PA k OP OA =
=
=--， 结合图象可得：直线(4)y k x =+与曲线24y x =-有两个不同的交点时，[0k ∈，3)， 故答案为：[0，
3)．
三.解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）三角形ABC 的三个顶点(3,0)A -，(2,1)B ，(2,3)C -，求： （1）BC 边所在直线的方程；
（2）BC 边上高线AD 所在直线的方程． 【解答】解：（1）BC 边所在直线的方程为： 12
3122
y x --=
---， 即240x y +-=；
（2）BC Q 的斜率11
2K =-，
BC ∴边上的高AD 的斜率2K =，
BC ∴边上的高线AD 所在直线的方程为：2(3)y x =+，
即260x y -+=．
18．（12分）已知圆心为(4,3)C 的圆经过原点O ． （1）求圆C 的方程；
（2）求与直线34150x y -+=平行，且与圆C 相切的直线方程． 【解答】解：（1）由题意，22||435r OC ==+=，
∴圆心为(4,3)C 的圆的方程为22(4)(3)25x y -+-=；
（2）设与直线34150x y -+=平行的直线方程为340x y m -+=， 则
22
53(4)=+-，即||25m =，25m =±．
∴与直线34150x y -+=平行，且与圆C 相切的直线方程为34250x y -±=．
19．（12分）某校高一（1）班参加校生物竞赛学生的成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求高一（1）班参加校生物竞赛的人数及分数在[80，90)之间的频数，并计算频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高；
（Ⅱ）若要从分数在[80，100]之间的学生中任选2人进行某项研究，求至少有1人分数在[90，100]之间的概率．
【解答】解：（Ⅰ）因为分数在[50，60)之间的频数为2，频率为0.008100.08⨯=， 所以高一（1）班参加校生物竞赛的人数为
2
250.08
=；------------（2分） 分数在[80，90)之间的频数为25271024----=，频率为4
0.1625
=，----（4分） 所以频率分布直方图中[80，90)间的矩形的高为
0.16
0.01610
=；-------（6分） （Ⅱ）设“至少有1人分数在[90，100]之间”为事件A ，
将[80，90)之间的4人编号为1、2、3、4，
[90，100]之间的2人编号为5、6；----------------------（8分）
在[80，100]之间任取2人的基本事件有： (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,4)，(3,5)，(3,6)，
(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个；
其中，至少有1人分数在[90，100]之间的基本事件有9个，--------------------（10分）
根据古典概型概率的计算公式，得P （A ）93
155
=
=．------------（12分） 20．（12分）如图，已知AB 是半圆O 的直径，8AB =，M 、N 、P 是将半圆圆周四等分的三个分点
（1）从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，求这3个点组成直角三角形的概率； （2）在半圆内任取一点S ，求三角形SAB 的面积大于82的概率．
【解答】解：（1）从A 、B 、M 、N 、P 这5个点中任取3个点，一共可以组成10个三角形：ABM 、ABN 、ABP 、AMN 、AMP 、ANP 、BMN 、BMP 、BNP 、MNP ，其中是直角三角形的只有ABM 、ABN 、3ABP 个， 所以这3个点组成直角三角形的概率3
10
P =
． （2）连接MP ，取线段MP 的中点D ，则OD MP ⊥， 易求得22OD =
当S 点在线段MP 上时，1
228822
ABS S ∆=⨯=
所以只有当S 点落在阴影部分时，三角形SAB 面积才能大于82 2211
4448222
OMP OMP S S S ππ∆=-=⨯⨯-⨯=-阴影扇形，
所以由几何概型公式得三角形SAB 的面积大于82的概率482
82P ππππ
--=
=
．
21．（12分）已知点(2,0)M -是椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左顶点，且椭圆C 的离心率
3
． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）矩形ABCD 的四个顶点均在椭圆C 上，求矩形ABCD 面积的最大值． 【解答】解：（1）依题意，(2,0)M -是椭圆C 的左顶点，2a ∴=． 又3
c e a =
=
∴3c ，1b =， 从而椭圆C 的标准方程为2
214
x y +=；
（2）由对称性，设0(A x ，0)y ，其中000x y ≠， 则0(B x -，0)y ，0(C x -，0)y -，0(D x ，0)y -， 0||2||AB x ∴=，0||2||AD y =，004ABCD S x y =矩形．
Q 2
2
2
00()16ABCD S x y =矩形，又22
0014
x y =-，
Q 222422200000()164164(2)16ABCD S x y x x x ==-+=--+矩形，
而20(0,4)x ∈，故当202x =时，2()ABCD S 矩形取得最大值16，
∴矩形ABCD 的面积最大值为4．
22．（12分）已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，以12F F 为直径
的圆与直线230ax by ab +=相切． （1）求椭圆C 的离心率；
（2）如图，过1F 作直线l 与椭圆分别交于P ，Q 两点，若2PQF ∆的周长为42求22F P F Q
u u u u r u u u u r
g 的最大值．
【解答】解：（12
2
|3|4ab c a b
-=+，化解整理得222a b =，
所以椭圆C 的离心率2221c b e a a ==-；
（2）由2PQF ∆的周长为42442a =2a ． 由（1）可知，21b =，
所以椭圆C 的方程为2
212
x y +=，
且焦点1(1,0)F -，2(1,0)F ，
①若直线l 斜率不存在，方程为1x =-，解方程组22
112x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 所以2()P -，2(1,)Q -， 则22()F P =-u u u u r ，22(2,F Q =-u u u u r ， 所以2272
F P F Q =u u u u r u u u u r g ；
②若直线的斜率存在，设直线l 方程为(1)y k x =+，由22
(1)12y k x x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 整理得2222(21)4220k x k x k +++-=，
设1(P x ，1)y 、2(Q x ，2)y ，则2122421k x x k +=-+，212222
21
k x x k -=+，
所以221(1F P F Q x =-u u u u r u u u u r
g ，12)(1
y x -，
222212121212)(1)(1)(1)(1)()1y x x y y k x x k x x k =--+=++-+++ 2222
22
22222247179(1)()(1)()121212122(21)
k k k k k k k k k k --=++--++==-
++++，
由20k >，可得227
(1,)2
F P F Q ∈-u u u u r u u u u r g ，
综上所述．227
(1,]2
F P F Q ∈-u u u u r u u u u r g ，
所以22F P F Q u u u u r u u u u r g 的最大值是7
2
．。