高二数学导数大题练习详细答案

高二数学导数大题练习详细答案
一、解答题 1．已知函数()1
e -=x
x f x . (1)求()f x 极值点；
(2)若()()4g x f x =-，证明：2x >时，()()f x g x >成立. 2．已知函数()()e ,R x f x x a a =+∈．
(1)若函数()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数，求实数a 的取值范围． (2)若2()e f x ≥在[]0,2x ∈时恒成立，求实数a 的取值范围． 3．已知函数()ln f x x =．
(1)当()()sin 1g x x =-，求函数()()()T x f x g x =+在()0,1的单调性； (2)()()1
2h x f x b x
=+
-有两个零点1x ，2x ，且12x x <，求证：121x x +>． 4．已知函数21
()ln (1)()22
=+-+++∈R x f x a x a x a a 有一个大于1的零点0x ．
(1)求实数a 的取值范围；
(2)证明：对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立． 5．已知函数1()2ln f x x x x
=+-． (1)求函数的单调区间和极值；
(2)若12x x ≠且()()12f x f x =，求证：121x x <． 6．已知函数2()ln (2)f x x a x a =+<． (1)若2a =-，求函数()f x 的极小值点；
(2)当2(]0,x ∈时，讨论函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象公共点的个数，并证明你的结论．
7．设函数()()2
()ln 1f x x a x x =++-，其中R a ∈.
(1)1a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)讨论函数()f x 极值点的个数，并说明理由； (3)若()0,0x f x ∀>成立，求a 的取值范围.
8．求函数()31443f x x x =-+在区间1,33⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最大值与最小值.
9．已知函数()()e ,x
f x ax a R =-∈．
(1)讨论()f x 的单调性；
(2)讨论()f x 在()0,+∞上的零点个数．
10．已知函数2()2ln f x x x =-+，()()a
g x x a x =+∈R . (1)求函数()f x 的单调区间；
(2)若函数()f x 与()g x 有相同的极值点，求函数()g x 在区间1
[,3]2
上的最值.
【参考答案】
一、解答题
1．(1)极大值点为2x =，无极小值点； (2)证明见解析. 【解析】 【分析】
（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；
（2）令()()()()4e 31e e
x
x x x F x f x g x --=-=-，利用导数求出函数()F x 的最小值即得证. (1)
解：由题意，得()2e x
x
f x -'=
， 令()0f x '>，得2x <；()0f x '<，得2x >； 列表如下：
所以极大值点为2x =，无极小值点(2)
证明：()()()
4
e 34e x x g x
f x -=-=，
令()()()()4
e 31e e x
x x x F x f x g x --=-=-， ∴()()()()42442e e e 22e e e
x x
x x x x x F x +----'=-=.
当2x >时，20x -<，24x >，从而42e e 0x -<，
∴()0F x '>，()F x 在()2,+∞上是增函数，∴()()22
11
20e e F x F >=-=. ∴当2x >时，()()f x g x >成立. 2．(1)[2,)+∞ (2)2[e ,)+∞ 【解析】 【分析】
（1）求出导函数，由题意可得()0f x '≥在[3,)-+∞上恒成立，从而可求出a 的取值范围，
（2）将问题转化为2e x a x -≥-在[]0,2x ∈时恒成立，构造函数2()e x g x x -=-，利用导数求出其最大值即可 (1)
由()()e ,R x f x x a a =+∈，得()(1)e x f x x a '=++， 因为()f x 在区间[3,)-+∞上是增函数， 所()0f x '≥在[3,)-+∞上恒成立， 所以10x a ++≥在[3,)-+∞上恒成立， 因为1y x a =++在[3,)-+∞上为增函数， 所以满足题意只需310a -++≥，得2a ≥， 所以a 的取值范围为[2,)+∞ (2)
因为()()e ,R x f x x a a =+∈
所以2()e e x x a +≥ 即2e x a x -≥-在[]0,2x ∈时恒成
立， 令2()e x g x x -=- ，[]0,2x ∈，则22()e 1(e 1)0x x g x --'=--=-+<， 所以2()e x g x x -=-在[]0,2x ∈上递减，
所以2
max ()(0)e g x g ==，
所以2e a ≥，
所以a 的取值范围为2[e ,)+∞ 3．(1)单调递增 (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）直接求导，判断出导数大于0，即可得到单调性；
（2）直接由1x ，2x 是函数()1
ln 2h x x b x
=+-的两个零点得到121212
2ln x x x x x x -=，分别解出
1211
2
12ln x x x x
x -=，21
21212ln x x x x x -=，再换元令12x t x =
构造函数()1
2ln l t t t t
=--，求导确定单调性即可求解. (1)
由题意，函数()()sin 1ln T x x x =-+，则()()1cos 1T x x x
'=--+，
又∵()0,1x ∈，∴11x
>，()()10,1,cos 11x x -∈-<，∴()0T x '>，∴()T x 在（0，1）上单调递增． (2)
根据题意，()()1
ln 02h x x b x x =+
->， ∵1x ，2x 是函数()1ln 2h x x b x =+
-的两个零点，∴11
1ln 02x b x +-=，22
1
ln 02x b x +
-=． 两式相减，可得122111
ln
22x x x x =-，即112221
ln 2x x x x x x -=， ∴121212
2ln x x x x x x -=，则1211
2
12ln x x
x x x -=，2
121212ln x
x x x x -=． 令12
x t x =，()0,1t ∈，则1211112ln 2ln 2ln t t t t x x t t t
--
-+=+=．
记()12ln l t t t t =--，()0,1t ∈，则()()2
21t l t t
-'=． 又∵()0,1t ∈，∴()0l t '>恒成立，∴()l t 在()0,1上单调递增，
故()()1l t l <，即12ln 0t t t --<，即12ln t t t
-<．因为ln 0t <，可得1
12ln t t t
-
>，∴
121x x +>．
【点睛】
本题关键点在于对双变量的处理，通过对111ln 02x b x +
-=，22
1ln 02x b x +-=作
差，化简得到
12
1212
2ln x x x x x
x -=
， 分别得到12,x x 后，换元令1
2
x t x =，这样就转换为1个变量，再求导确定单调性即可求解． 4．(1)1a > (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）先求导，分1a ≤和1a >进行讨论，1a >时结合零点存在定理说明存在零点即可；
（2）先构造函数()ln 1g x a x x =-+，求导证明函数先增后减，故只要说明两个端点大于0即可，
化简得到()()0001
()1212
g x x x a =--+，由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明
021<<-a x a ，
即可得到0()0g x >. (1)
2(1)(1)()
()(1)a x a x a x x a f x x a x x x
-++--=+-+=='，
①若1a ≤，则()0f x '>在(1,)+∞恒成立，即()f x 在(1,)+∞上单调递增， 当1x >时，()(1)0f x f >=，与()f x 有一个大于1的零点0x 矛盾．
②若1a >，令()0f x '>，解得01x <<或x a >，令()0f x '<，解得1x a <<． 所以()f x 在(0,1)和(,)a +∞上单调递增，在(1,)a 单调递减．
所以()(1)0f a f <=，当x →+∞时，()f x →+∞，由零点存在性定理，()f x 在(,)a +∞上存在一个零点0x ． 综上，1a >． (2)
令()ln 1,()1'-=-+=
-=a a x
g x a x x g x x x
，由（1）知01<<a x ，令()0g x '>，
解得1x a <<，令()0g x '<，解得0a x x <<，故()g x 在(1,)a 单调递增，在()0,a x 单调递减．
(1)0g =，()000ln 1=-+g x a x x
因为0x 为函数()f x 的零点，故()2
0001ln (1)022
=+-+++=x f x a x a x a ，即
20001
ln (1)22
=-++--x a x a x a ，
所以()()22
0000000011
ln 1112222
x x g x a x x a x a x ax a =-+=-++---+=-+-+
()()001
1212
=
--+x x a ． 又因为2(21)1
(21)ln(21)(1)(21)ln(21)2222
--=-+
-+-++=--+a f a a a a a a a a a ， 令()ln(21)22=--+h a a a a ，则21
()ln(21)2ln(21)12121=-+-=-+-'--a h a a a a a ，令
1
()ln(21)121
m a a a =-+
--， 22
224(1)
()021(21)(21)a m a a a a -'=
-=>---恒成立， 所以()h a '在(1,)+∞单调递增，()(1)0h a h ''>=，所以()h a 在(1,)+∞单调递增，
()(1)0h a h >=，即(21)0f a ->，
由（1）可知()0f a <，所以021<<-a x a ，
因为0010,210-<-+<x x a ，所以()()()0001
12102
=--+>g x x x a ， 所以()0>g x 在(]01,x x ∈恒成立，
故对任意的(]01,x x ∈，都有ln 10-+>a x x 恒成立． 【点睛】
本题关键点在于构造函数()ln 1g x a x x =-+后，如何说明()()0001()1212
g x x x a =--+大于0，
由(21)0f a ->借助()f x 的单调性说明021<<-a x a ，即可得到0()0g x >，即可得证. 5．(1)减区间()0,1，增区间()1,+∞，极小值3， (2)证明见解析 【解析】 【分析】
（1）依据导函数与原函数的关系去求函数的单调区间和极值即可； （2）构造新函数利用函数单调性去证明121x x <即可. (1)
1()2ln (0)f x x x x x =+
->，则()()22
21111()2(0)x x f x x x x x +-'=--=> 由()0f x '>得1x >，由()0f x '<得01x <<， 即()f x 减区间为()0,1，增区间为()1,+∞，
在1x =时()f x 取得极小值(1)2103f =+-=，无极大值. (2)
不妨设12x x <且()()12f x f x a ==，则101x <<，21>x ，3a >，21
01x <<
令1
()()2ln (0)h x f x a x x a x x
=-=+-->，则()()120h x h x ==
()()22
21111()2x x h x x x x +-'=-
-=， 则当1x >时()0h x '>，()h x 单调递增；当01x <<时()0h x '<，()h x 单调递减 由()2222
12ln 0x x h x a x +=--=，得222
1
2ln a x x x =+-
则2222222222
21
1ln 2ln 2ln 1x x x x x h x x x x x ⎛⎫++-+-=-+ ⎪⎛⎫=
⎪⎝⎝⎭⎭ 令21
t x =
，则222
112ln 2ln (01)x x t t t x t -+=--<< 令()12ln (01)t m t t t t --<=<，则()()2
22
11210t t t t m t -'=+-=> 即()1
2ln (01)t m t t t t
--<=<为增函数，
又()11100m =--=，则()12ln 0m t t t
t --<=在(0,1)上恒成立. 则222212ln 10x x x h x ⎛⎫+
⎪⎝⎭=-<恒成立，则()211h h x x ⎛⎫
⎪< ⎝⎭
， 又01x <<时()h x 单调递减，101x <<，2
101x <
< 则2
11
x x >，故121x x <
6．(1)详见解析； (2)详见解析； 【解析】 【分析】
（1）由2a =-，得到2()2ln f x x x =-，然后求导2
()2f x x x
'=-求解； （2）令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，求导()()
21()--'=
x a x g x x
，分0a ≤，
012a <
<，12a =，122
a
<<讨论求解. (1)
解：当2a =-时，2()2ln f x x x =-，
所以2
()2f x x x
'=-，令()0f x '=，得1x =，
当01x <<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>， 所以1x =是函数()f x 的极小值点； (2)
当2(]0,x ∈时，令2()ln (2)22=+-+++g x x a x a x a ，
则()()2212(2)()2(2)---++'=+-+==x a x a x a x a g x x a x x x
， 当0a ≤时，01x <<时，()0g x '<，12x <≤时，()0g x '>， 所以当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，()g x ∞→+，
当()110g a =+>，即10a -<≤，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；
当()110g a =+=，即1a =-时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪
⎨
=+≥⎪⎩
，即21ln 2-
≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点；
当()()11022ln 20g a g a ⎧=+<⎪⎨=+<⎪⎩
，即2ln 2a <-，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图
象有1个公共点； 当012a <
<，即02a <<时，02a
x <<或1x >时，()0g x '>，12
a x <<时，()0g x '<，
所以当2
a
x =时，()g x 取得极大值，当1x =时，()g x 取得极小值，且0x →，
()g x →-∞，
因为()110g a =+>恒成立，
所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当12
a =，即2a =时，()0g x '≥恒成立，
所以()g x 在(0,2]上递增，所以函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有1个公共点； 当122a <
<，即24a <<时，01x <<或22a x <<时，()0g x '>，12a
x <<时，()0g x '<，
所以当1x =时，()g x 取得极大值，当2
a x =时，()g x 取得极小值，且0x →，
()g x →-∞，
因为()110g a =+>，()22ln 20=+<g a ，2ln 20242⎛
⎫=-+++> ⎪⎝⎭
a a a g a a 恒成立，
所以()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点.
综上： 当10a -<≤时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象无公共点；
当1a =-或 2
ln 2
a <-或04a <<时，()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象只有1个公共点； 当2
1ln 2
-≤<-a 时，函数()f x 的图象与函数(2)22y a x a =+--的图象有2个公共点.
7．(1)322ln230x y -+-=
(2)当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809
a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当89
a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)0,1 【解析】 【分析】
（1）将1a =代入函数()f x 中，得出函数()f x 的解析式，进而可以求出切点坐标，再利用导数的几何意义及点斜式即可求解；
（2）根据已知条件，对a 进行分类讨论，利用导数法求函数极值的步骤及函数极值的定义即可求解；
（3）根据()0,0x f x ∀>成立，转化为()min 0,0x f x ∀>即可，再利用第（2）的结论即可求解. (1)
当1a =时，()2
()ln 1f x x x x =++-
()()21ln 1111ln 2f =++-=，所以切点为()1,ln2，
()()11321,12111112
f x x k f x ''=
+-∴==+⨯-=++， 所以曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为()3
12
k f ='=， 所以曲线()y f x =在点()1,ln2处的切线的斜率切线方程为
()3
ln212
y x -=
-，即322ln230x y -+-=
(2)
由题意知函数()f x 的定义域为()1,-+∞，
()()2121
2111
ax ax a f x a x x x +-+=+-='++，
令()()2
21,1,g x ax ax a x =+-+∈-+∞，
（i ）当0a =时，()10f x '=>，函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点 （ii ）当0a >时，()Δ98a a =-，
①当8
09
a <≤时，()()Δ0,0,0g x f x '≤≥≥， 所以函数()f x 在()1,-+∞单调递增，无极值点； ②当89
a >时，Δ0>，
设方程2
210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==
此时12x x <
()121211111
,,,110,12444
x x x x g x +=-∴---=>-<<∴<->
()()121,,,x x x ∴∈-+∞时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增；
()12,x x x ∈时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减. ∴函数有两个极值点；
③当0a <时，()Δ980a a =->，
设方程2
210ax ax a +-+=两根1212,,x x x x ==
此时12x x >
()12110,1x g x -=>∴-<<
()11,x x ∴∈-时，()()0,0g x f x '>>，函数()f x 单调递增； ()1,x x ∈+∞时，()()0,0g x f x '<<，函数()f x 单调递减.
∴函数有一个极值点；
综上所述：
当0a <时，函数()f x 有一个极值点； 当809
a ≤≤时，函数()f x 无极值点； 当8
9a >时，函数()f x 有两个极值点. (3)
由()0,0x f x ∀>成立等价于()min 0,0x f x ∀>≥即可.
①当809
a ≤≤时，函数()f x 在()0,+∞上单调递增，
()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意； ②当819
a <≤时，由()00g >，得20x ≤，
∴函数()f x 在()0,+∞上单调递增， 又()()00,0,f x =∴∈+∞时，()0f x >，符合题意；
③当1a >时，由()00<g ，得20x >
()20,x x ∴∈时， ()f x 单调递减,
()()200,0,f x x =∴∈时，()0f x <时，不合题意；
④当0a <时，设()()ln 1h x x x =-+，
()0,x ∈+∞，时，()()110,11
x h x h x x x =-=>∴+'+在()0,+∞上单调递增. ∴当()0,x ∞∈+时，()()00h x h >=，即()ln 1x x +<，
可得()()()221f x x a x x ax a x <+-=+-， 当1
1x a
>-时，()210ax a x +-<，此时()0f x <，不合题意. 综上，a 的取值范围是0,1.
【点睛】
解决此题的关键是第一问利用导数的几何意义及点斜式即可，第二问主要是对参数进行分类讨论，再结合利用导数法求函数的极值的步骤即可，第三问主要将恒成立问题转化为最值问题再结合第二问的结论即可求解.
8．最小值为()423f =-，最大值为1217381
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 【解析】
【分析】
利用导数判断函数的单调性与最值情况.
【详解】
由()31
443
f x x x =-+， 得()24f x x '=-
令()0f x '=.得2x =± 1,33x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
，所以2x =-舍去， 列表如下：
()f x ∴的极小值为()23
f =- 又1217381f ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，()31f =， 所以，()f x 的最小值为()423f =-，最大值为1217
381
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 9．(1)答案见解析；
(2)答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）求得'()f x ，对参数a 进行分类讨论，根据不同情况下导数的正负即可判断对应的单调性；
（2）根据（1）中所求函数的单调性，结合零点存在定理，逐一分析每种情况下函数零点的个数即可.
(1)
因为()e x f x ax =-，则'()f x e x a =-， 当0a ≤时，'()f x 0<，此时()f x 在R 上单调递减；
当0a >时，令'()f x 0=，可得ln x a =，
则当(),ln x a ∈-∞时，'()f x 0>，()f x 单调递增，
当()ln ,x a ∈+∞时，'()f x 0<，()f x 单调递减.
综上所述：当0a ≤时，()f x 在R 上单调递减；
当0a >时，()f x 在(),ln a -∞单调递增，在()ln ,a +∞上单调递减.
(2)
当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减，又()01f =-，
故当()0,x ∈+∞时，()1f x <-，故此时()f x 在()0,+∞无零点；
当01a <≤时，ln 0a <，故()f x 在()0,+∞单调递减，
同0a ≤时，此时()f x 在()0,+∞无零点；
当1a >时，ln 0a >，故()f x 在()0,ln a 单调递增，在()ln ,a +∞单调递减，
()()()ln ln 1f x f a a a ≤=-，
若ln 10a -<，即1e a <<时，()ln 0f a <，故()f x 在()0,+∞无零点；
若ln 10a -=，即e a =时，()ln 0f a =，此时()f x 在()0,+∞有一个零点ln a ； 若ln 10a ->，即e a >时，()ln 0f a >，
又因为()010f =-<，故()f x 在()0,ln a 上一定存在一个零点；
又因为2ln ln a a >，且()2ln 0f a <，故()f x 在()ln ,2ln a a 上也一定存在一个零点； 下证()2ln 0f a <：
()()22ln 2ln 2ln ,e f a a a a a a a a =-=->，
令2ln ,e y x x x =->，则'y 20x x
-=<，即2ln y x x =-在()e,∞+单调递减， 故2ln e e 2e 0y <-=-<，即2ln 0,(e)x x x -<>
故()()2ln 2ln 0,e f a a a a a =-.
故当e a >时，()f x 有两个零点.
综上所述：当e a <时，()f x 在()0,+∞无零点；
e a =时，()
f x 在()0,+∞有一个零点ln a ；
e a >时，()
f x 有两个零点.
【点睛】
本题考察利用导数研究含参函数的单调性，以及函数的零点个数，涉及零点存在定理，属综合中档题.
10．(1)单增区间为(0,1)，单减区间为(1,)+∞
(2)min ()2g x =，max 10()3
g x = 【解析】
【分析】
（1）求导之后，分别令()0f x '>，()0f x '<即可求出()f x 的单调区间；
（2）由有相同的极值点求出a 的值，再利用对勾函数的单调性求出()g x 在区间1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最值. (1)
()f x 的定义域：()0,∞+
()()
22122x f x x x x --'=-+=， 由()0f x '>得01x <<，由()0f x '<得1x >，
∴()f x 的单增区间为()0,1，单减区间为()1,+∞.
(2)
()2
1a g x x ='-，由（1）知()f x 的极值点为1. ∵函数()f x 与()g x 有相同的极值点， ∴()10g '=，即10a -=，∴1a =，
从而()1g x x x =+，()g x 在1
,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上单调递减，在(]1,3上递增, 又1522g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()10
33g =, ∴在区间1,32⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上，()()min 12g x g ==，()max 103g x =.。