函数的零点与方程的根

函数与方程及函数的应用
1．函数的零点与方程的根
(1)函数的零点
对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．
(2)函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
(3)零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．
注意以下两点：
①满足条件的零点可能不唯一；
②不满足条件时，也可能有零点．
(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．
2．函数模型
解决函数模型的实际应用题，首先考虑题目考查的函数模型，并要注意定义域．其解题步骤是(1)阅读理解，审清题意：分析出已知什么，求什么，从中提炼出相应的数学问题；(2)数学建模：弄清题目中的已知条件和数量关系，建立函数关系式；(3)解函数模型：利用数学方法得出函数模型的数学结果；(4)实际问题作答：将数学问题的结果转化成实际问题作出解答.
考点一函数的零点
例1 (1)(2013·重庆)若a<b<c，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x －a)的两个零点分别位于区间
( )
A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内
C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内
(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ ln x －x 2＋2x x >0，2x ＋1x ≤0，的零点个数是
( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
答案 (1)A (2)D
解析 (1)由于a <b <c ，所以f (a )＝0＋(a －b )(a －c )＋0>0，f (b )＝(b －c )(b －a )<0，f (c )＝(c －a )(c －b )>0.因此有f (a )·f (b )<0，f (b )·f (c )<0，又因f (x )是关于x 的二次函数，函数的图象是连续不断的曲线，因此函数f (x )的两零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.
(2)依题意，当x >0时，在同一个直角坐标系中分别作出y ＝ln x 和y ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1的图象，可知它们有两个交点；当x ≤0时，作出y ＝2x ＋1的图象，可知它和x 轴有一个交点．综合知，函数y ＝f (x )有三个零点．
(1)函数零点(即方程的根)的确定问题，常见的有①函数零点值大致存在区间的确定；②零点个数的确定；③两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合求解．
(2)提醒：函数的零点不是点，是方程f (x )＝0的根，即当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零．函数的零点也就是函数y ＝f (x )的图象与x 轴的交点的横坐标．
(1)(2012·天津)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,1)内的零点个数是 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 (2)已知函数f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0∈(n ，n ＋1)(n ∈Z )，其中常数a 、b 满足2a ＝3,3
b ＝2，则n ＝________.
答案 (1)B (2)－1
解析 (1)先判断函数的单调性，再确定零点．
因为f ′(x )＝2x ln 2＋3x 2
>0，
所以函数f (x )＝2x ＋x 3－2在(0,1)上递增，
且f (0)＝1＋0－2＝－1<0，f (1)＝2＋1－2＝1>0，
所以有1个零点．
(2)f (x )＝a x ＋x －b 的零点x 0就是方程a x ＝－x ＋b 的根．
设y 1＝a x ，y 2＝－x ＋b ，
故x 0就是两函数交点的横坐标，如图，
当x ＝－1时，y 1＝1a
＝log 32<y 2＝1＋b ＝1＋log 32， ∴－1<x 0<0，∴n ＝－1.
考点二 与函数有关的自定义问题
例2 若对于定义在R 上的函数f (x )，其图象是连续不断的，且存在常数λ(λ∈R )使得f (x
＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立，则称f (x )是一个“λ－伴随函数”．有下列关于“λ－伴随函数”的结论：①f (x )＝0是常数函数中唯一一个“λ－伴随函数”；
②f (x )＝x 是“λ－伴随函数”；③f (x )＝x 2是“λ－伴随函数”；④“12
－伴随函数”至少有一个零点．
其中正确结论的个数是
( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
先理解新定义“λ－伴随函数”的意义，然后对给出的函数逐一用定义检验，从而判断所给命题的正确性．
答案 A
解析 对于①，若f (x )＝c ≠0，取λ＝－1，
则f (x －1)－f (x )＝c －c ＝0，
即f (x )＝c ≠0是一个“λ－伴随函数”，故①不正确．
对于②，若f (x )＝x 是一个“λ－伴随函数”，
则(x ＋λ)＋λx ＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故②不正确．
对于③，若f (x )＝x 2
是一个“λ－伴随函数”，
则(x ＋λ)2＋λx 2＝0，求得λ＝0且λ＝－1，矛盾，故③不正确．
对于④，若f (x )是“12
－伴随函数”， 则f (x ＋12)＋12
f (x )＝0，取x ＝0， 则f (12)＋12
f (0)＝0， 若f (0)，f (12)任意一个为0，函数f (x )有零点；
若f (0)，f (12
)均不为0， 则f (0)，f (12
)异号，由零点存在性定理， 知f (x )在(0，12
)内存在零点x 0， 所以④正确．故选A. 函数的创新命题是高考命题的一个亮点，此类题型是用数学符号、文字叙述给出一个教材之外的新定义，如本题中的“λ－伴随函数”，要求在短时间内通过阅读、理解后，解决题目给出的问题．解决这类问题的关键是准确把握新定义的含义，把从定义和题目中获取的新信息进行有效的整合，并转化为熟悉的知识加以解决，即检验f (x ＋λ)＋λf (x )＝0对任意实数都成立．
若平面直角坐标系内两点P ，Q 满足条件：①P ，Q 都在函数f (x )的图象上；②P ，Q 关于y 轴对称，则称点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”(点对(P ，Q )与点对(Q ，P )看作同一个“镜像点对”)．
已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ cos πx x <0，log 3x x >0，则f (x )的图象上的“镜像点对”有
( )
A ．1对
B ．2对
C ．3对
D ．4对 答案 C
解析 依题意，设点P (x 0，y 0)，Q (－x 0，y 0)(其中x 0>0)，
若点对(P ，Q )是函数f (x )的图象上的一个“镜像点对”，
则有⎩⎪⎨⎪⎧ y 0＝log 3x 0，y 0＝cos π－x 0＝cos πx 0，
所以log 3x 0＝cos πx 0，即x 0是方程log 3x ＝cos πx 的根．
在同一个直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 的图象，可知这两个图象共有3个交点，即函数f (x )的图象的“镜像点对”共有3对．故选C.
考点三 函数模型及其应用
例3 省环保研究所对市中心每天环境放射性污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综
合放射性污染指数f (x )与时刻x (时)的关系为f (x )＝|x
x 2＋1－a |＋2a ＋23，x ∈[0,24]，其中a 是与气象有关的参数，且a ∈[0，12
]，若用每天f (x )的最大值为当天的综合放射性污染指数，并记作M (a )．
(1)令t ＝x
x 2＋1，x ∈[0,24]，求t 的取值范围；
(2)省政府规定，每天的综合放射性污染指数不得超过2，试问目前市中心的综合放射性污染指数是否超标？
(1)分x ＝0和x ≠0两种情况，当x ≠0时变形使用基本不等式求解．
(2)利用换元法把函数f (x )转化成g (t )＝|t －a |＋2a ＋23
，再把函数g (t )写成分段函数后求M (a )．
解 (1)当x ＝0时，t ＝0；
当0<x ≤24时，x ＋1x
≥2(当x ＝1时取等号)， ∴t ＝x x 2＋1＝1x ＋1x
∈(0，12]，即t 的取值范围是[0，12]． (2)当a ∈[0，12]时，记g (t )＝|t －a |＋2a ＋23
， 则g (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －t ＋3a ＋23，0≤t ≤a ，t ＋a ＋23，a <t ≤12.
∵g (t )在[0，a ]上单调递减，在(a ，12
]上单调递增， 且g (0)＝3a ＋23，g (12)＝a ＋76
， g (0)－g (12)＝2(a －14
)．
故M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ g
12，0≤a ≤14，g 0，14<a ≤12
.
即M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋76，0≤a ≤14，3a ＋23，14<a ≤12. 当0≤a ≤14时，M (a )＝a ＋76
<2显然成立； 由⎩⎪⎨⎪⎧ 3a ＋23≤2，14<a ≤12，得14<a ≤49
， ∴当且仅当0≤a ≤49
时，M (a )≤2. 故当0≤a ≤49时不超标，当49<a ≤12
时超标． (1)解答函数应用题的关键
将实际问题中的数量关系转化为函数模型，常见模型有：一次或二次函数模型；分式函数模型；指数式函数模型等．
(2)对函数模型求最值的常用方法
单调性法、基本不等式法及导数法．
(3)本题中的函数与方程思想：①在求t 的范围时，把t 看作是x 的函数，在求M (a )时，把综合放射性污染指数看作是t 的函数．②在确定综合放射性污染指数是否超标时，用到了方程的思想．
某地发生地质灾害，使当地的自来水受到了污染，某部门对水质检测后，决定在水中投放一种药剂来净化水质，已知每投放质量为m 的药剂后，经过x 天该药剂在水中释放
的浓度y (毫克/升)满足y ＝mf (x )，其中f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 216＋2，0<x ≤4，
x ＋142x －2，x >4，当药剂在水中
的浓度不低于4(毫克/升)时称为有效净化；当药剂在水中释放的浓度不低于4(毫克/升)且不高于10(毫克/升)时称为最佳净化．
(1)如果投放的药剂质量为m ＝4，试问自来水达到有效净化一共可持续几天？
(2)如果投放药剂质量为m ，为了使在7天(从投放药剂算起包括7天)之内的自来水达到最佳净化，试确定应该投放的药剂质量m 的最小值．
解 (1)由题意，得当药剂质量m ＝4时，
y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋80<x ≤4，
2x ＋28x －1x >4.
当0<x ≤4时x 24＋8≥4，显然符合题意． 当x >4时2x ＋28x －1
≥4，解得4<x ≤16. 综上0<x ≤16.
所以自来水达到有效净化一共可持续16天．
(2)由y ＝m ·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ mx 216＋2m 0<x ≤4
，m x ＋142x －2x >4
，得 当0<x ≤4时，y ＝mx 216＋2m 在区间(0,4]上单调递增，即2m <y ≤3m ；
当x >4时，y ′＝－30m 2x －22
<0， ∴函数在区间(4,7]上单调递减，即7m 4
≤y <3m ， 综上知，7m 4
≤y ≤3m ， 为使4≤y ≤10恒成立，只要7m 4
≥4且3m ≤10即可， 即167≤m ≤103
.。