高中数学学案2：1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(第2课时)

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质（第2课时）

【课前准备】 1．课时目标

（1）掌握正、余弦函数的单调性，并会判断三角函数值的大小关系和求解相应的单调区间；（2）掌握正、余弦函数的最值，以及取得最值时自变量x 的值． 2．基础预探

（1）正弦函数在每一个闭区间_______（k ∈Z ）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_______（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到－1．

（2）余弦函数在每一个闭区间_______（k ∈Z ）上都是增函数，其值从－1增大到1；在每一个闭区间_______（k ∈Z ）上都是减函数，其值从1减小到－1．

（3）正弦函数当且仅当x =_______（k ∈Z ）时取得最大值1，当且仅当x =_______（k ∈Z ）时取得最小值－1．

（4）余弦函数当且仅当x =_______（k ∈Z ）时取得最大值1，当且仅当x =_______（k ∈Z ）时取得最小值－1． 【知识训练】 1．函数y =1+2

1

sin x 的最小值是（ ） A ．－

21

B ．0

C ．21

D ．2

3 2．函数y =－2sin x （x ∈[－π，π]）的单调性是（ ） A ．在[－π，0]上递增，在[0，π]上递减 B ．在[－

π2，π2]上递增，在[－π，－π2]、 [π

2

，π]上递减 C ．在[0，π]上递增，在[－π，0]上递减 D ．在[－π，－

π2]、 [π2，π]上递增，在[－π2，π

2

]上递减 3．将下列各式按大小顺序排列，其中正确的是（ ）

A ．cos0<cos

21<cos1<cos30º<cos π B ．cos0<cos π<cos 2

1

<cos30º<cos1 V cos π<cos30º<cos1<cos 21<cos0 D ．cos π<cos1<cos30º<cos 2

1

<cos0

4．函数y =－2cos x 的值域是__________．

5．sin1与sin1º的大小关系是__________．

6．求使函数y=1－2sin x取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出对应的最大值、最小值．

【学习引领】

三角函数的单调性是三角函数的性质中一个主要内容，研究三角函数的单调性与研究一般函数单调性一样，即必须以定义域为前提，还应该强调单调区间．利用三角函数的单调性，可以用来解决三角函数中的单调区间的求解、函数值大小的比较、函数单调性的判断及有关的复合函数问题．

求解三角函数的单调区间的问题，可用三角函数的图象，通过解三角不等式最后用单位圆或三角函数图象单调性有关结论来求解，也可以用数形结合的方法达到快速灵活求解的目的．比较两个三角函数值的大小时，一般应把相关的三角函数值化为同一单调区间上的同名函数，再利用该同名三角函数在对应区间内的单调性来处理．确定相关的区间以及化为同一单调区间上的同名函数是解题的关键．

根据给出函数或已知函数的单调性情况，可以用来处理对应相关函数的单调性问题．有时往往结合函数的定义、函数的奇偶性、函数的图象等其他相关的性质加以综合应用．

【典例导析】

题型一：求解函数的单调区间

例1．求函数y=sin（2x－π

6

）的单调递减区间．

点评：求解形如y=A sin（ωx+φ）、y=A cos（ωx+φ）的函数的单调区间，可以通过求解不等式的方法去解答，列不等式的原则是把ωx+φ（ω>0）看作一个整体，再结合A的正、负情况

加以分析判断．往往可以结合相关函数的直观图象来辅助解答． 变式练习1：求下列函数的单调区间：y =21sin （4π－3

2x

）． 题型二：最值问题的求解

例2．求函数y =a sin x +b （a ，b ∈R ，a ≠0）的最值．

点评：对于函数式中的参数问题，要注意加以讨论，否则容易导致错误． 变式练习2：设M 和m 分别表示函数y =3

1

cos x －1的最大值和最小值，则M +m =_______． 题型三：判断函数的单调性 例3．已知函数y =sin x ，x ∈（0，π2）是增函数，求证：函数y =1－sin x ，x ∈（－π

2

，0）是减函数．

点评：判断此类函数的单调性问题，可以结合上述的函数单调性的定义来处理，在一些填空题或解答题中往往可以直接根据数形结合的方法，通过草图来加以处理，必要时再加以科学论证．

变式练习3：下面四个函数中，在[－π6，π

3]上是增函数的一个函数是（ ） A ．y =sin （2x +π

6） B ．y =cos （2x +π3） C ．y =cos （2x －π6） D ．y =sin （2x －π6

）

题型四：综合应用问题

例4．已知函数f （x ）=2sin （ωx +φ），x ∈R ，其中ω>0，－π<φ≤π．若f （x ）的最小正周期为6π，且当x =

π

2

时，f （x ）取得最大值，则（ ） A ．f （x ）在区间[－2π，0]上是增函数 B ．f （x ）在区间[－3π，－π]上是增函数 C ．f （x ）在区间[3π，5π]上是减函数

D ．f （x ）在区间[4π，6π]上是减函数

点评：主要考查三角函数解析式的求解、图象及其性质等．在三角函数的图象与性质问题中，要注意在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用，并且要注意数形结合的方法．

变式练习4：在△ABC 中，C >π

2

，若函数y =f （x ）在[0，1]上为单调递减函数，则下列命题正确的是（ ）

A ．f （cos A ）>f （cos

B ） B ．f （sin A ）>f （sin B ）

C ．f （sin A ）>f （cos B ）

D ．f （sin A ）<f （cos B ） 【随堂练习】

1．函数y =2cos2x －1的最小值为（ ）

A ．－5

B ．－3

C ．－1

D ．0 2．设函数f （x ）=|sin （x +π

3

）|（x ∈R ），则f （x ）（ ） A ．在区间 [

2π3，7π6]上是增函数 B ．在区间[－π，－π2]上是减函数 C ．在区间[π8，π4]上是增函数 D ．在区间[π3，5π

6

]上是减函数

3．设函数f （x ）=x sin x ，x ∈[－π2，π

2

]，若f （x 1）>f （x 2），则下列不等式必定成立的是（ ）

A ．x 1+x 2>0

B ．x 12>x 22

C ．x 1>x 2

D ．x 2>x 1

4．函数y =2－sin x 的最大值为_______，当函数取得最大值时的自变量x 的取值范围为________．

5．函数y ＝sin 2x －6sin x ＋10的最大值是__________，最小值是________． 6．求下列函数的单调区间：y =－｜sin （x +4

π

）｜．

【课后作业】

1．函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是（ ）

A ．（－π4，π4）

B ．（π4，3π4）

C ．（π，3π2）

D ．（3π

2

，2π）